期末专题：长方体和正方体应用题（专项训练） -2025-2026学年五年级下册数学人教版

期末专题：长方体和正方体应用题 1．一块长方体木块，从上部截去高是6厘米的长方体后，变成一个正方体，表面积减少了120平方厘米，原来长方体木块的体积是多少立方厘米？ 2．一个长、宽、高分别为40厘米、30厘米、20厘米的小纸箱，在所有的棱长粘上一圈胶带，至少需要多长的胶带？ 3．一个长方体玻璃缸，长12分米，宽10分米，高8分米，水深6.5分米。如果投入一块棱长为6分米的正方体实心铁块，缸里的水会溢出吗？请说明理由。 4．学校要粉刷教室，已知教室长8米，宽6米，高是3.8米，门窗和黑板的面积是16.2平方米。如果每平方米需要花6元涂料费，刷这个教室需要多少涂料费？ 5．在一个长方体的小纸箱所有棱长上粘一圈胶带用了78.8厘米，已知这个小纸箱的长是9.5厘米，宽是6.2厘米，这个小纸箱的高是多少厘米？ 6．一根方木，长是4米，它的截面是一个边长为4分米的正方形。求这根方木的表面积。 7．一种盒装纸巾，它的长21cm、宽10cm、高8cm，用胶带将3盒这样的纸巾捆扎起来，（如图捆两道），至少需要多少厘米的胶带？（接头外忽略不计） 8．一个正方体油箱，棱长6分米，里面装满油。如果把这些油倒入一个长8分米、宽6分米的长方体油箱中，油深多少分米？（油箱厚度忽略不计） 9．一个长方体无盖玻璃鱼缸，长8分米、宽4分米、高5分米。制作这个鱼缸至少需要多少平方分米的玻璃？如果每平方分米玻璃4元，买玻璃需要多少钱？ 10．一个长方体水箱，从里面量长是40厘米，宽是35厘米，水箱中浸没一个钢球（水未溢出），水深15厘米。取出钢球后，水深12厘米。如果每立方分米钢重7.8千克，这个钢球重多少千克？ 11．小丽有12个棱长5cm的正方体木块，她想把它们堆成一个长方体，可以怎样堆？写出两种不同的长、宽、高（单位：cm），并计算其中一种堆法的表面积。 12．一个新建的游泳池长100米，长是宽的2倍，深2.8米，现在要在游泳池的四周和池底贴上瓷砖，如果每平方米瓷砖要36.5元，瓷砖一共要多少钱？ 13．在下图的玻璃鱼缸中放入一块高为3分米，体积为7.5立方分米的假山石，如果水管以每分钟2.5立方分米的流量向鱼缸内注水，至少需要多长时间才能把假山石完全淹没？ 14．在周末，明明和小伙伴们在小区的花园里玩耍，发现了一个漂亮的铁制小摆件。这个摆件形状奇特，大家都很好奇它的体积是多少。这时明明想起了课堂上学过的排水法。请帮明明想想办法，测量出小摆件的体积？ 15．学校准备重新粉刷体育馆，该体育馆是一个长方体，长20米，宽15米，高8米。现要粉刷体育馆内部，其中地面不需要粉刷，通风口和出入口的面积共50平方米。已知每桶油漆可粉刷100平方米，每桶油漆售价200元，且不足一桶按一桶购买。那么粉刷这个体育馆最少需要花费多少钱买油漆？ 16．有一个长方体玻璃鱼缸，长8分米，宽7分米，高5分米，缸内水深4.5分米。如果将一块棱长为30厘米的正方体铁块完全浸入水中，缸里的水会溢出来吗？ 17．一根木料长1.2米，将它按图中所示锯成三段后表面积增加了24平方分米，这根木料的体积是多少立方米？ 18．如图，一个长方体的高如果减少3分米，就变成一个正方体，表面积减少60平方分米，原来长方体的表面积是多少平方分米？ 19．园博园工作人员在整理瓯越园景观、调试展示效果时，用到一个长方体玻璃缸。该玻璃缸从里面测量，长8分米、宽6分米、高4分米，目前缸内已注入清水，水深3.2分米。 (1)玻璃缸内现有清水的体积是多少升？ (2)工作人员将一块棱长为4分米的正方体景观装饰铁块，小心放入玻璃缸中，确保铁块完全浸没在水中，此时缸里的水会溢出多少升？ 20．小亮在一个长12厘米、宽10厘米、高28厘米的长方体容器中做实验（测量一个土豆的体积）。请根据他的实验过程，计算这个土豆的体积是多少立方厘米？ 21．学校要粉刷教室，已知每间教室的长是9米，宽是7米，高是3米，门窗和黑板的面积共25平方米，每平方米需花费6.5元的涂料费。 (1)每间教室需要粉刷的面积是多少平方米？ (2)粉刷3间这样的教室需要花费多少钱？ 22．王叔叔是一名环保卫士，他把一块长方形铁皮（如图），从四个角各剪去边长8cm的正方形，然后焊接成一个无盖饮水器。王叔叔把鸟类饮水器放在山顶，定期加水，王叔叔一次最多可以加多少升水？ 23．某小区准备修建一个长方体地下停车场（如下图）。 (1)挖出的泥土用一辆限载16立方米的运土车装走，要运多少次才能全部运完？ (2)在停车场的底面和内壁抹一层水泥，每平方米水泥2.4元，一共需要多少钱？ 24．幸福烘焙房最受欢迎的产品是一款巧克力蛋糕。这款蛋糕是长方体形状的，做它的蛋糕胚需要用到长20厘米、宽15厘米、高8厘米的长方体模具，蛋糕师将蛋糕面糊倒入模具中，再放入烤箱烘烤，烤好的蛋糕胚正好占满这个模具。 (1)烤好的蛋糕胚的体积是多少立方厘米？ (2)接下来裱花师要在烤好的蛋糕胚的表面涂抹一层巧克力奶油，最后再裱花。涂抹巧克力奶油部分的面积是多少平方厘米？（下底面不用涂抹） 第6页，共7页 第7页，共7页 学科网（北京）股份有限公司 《期末专题：长方体和正方体应用题》参考答案 1． 275立方厘米 【分析】原长方体的底面是正方形，即长和宽相等，且等于正方体的棱长。表面积减少的是4个完全相同的侧面，每个侧面的面积＝总共减少的表面积÷4；正方体棱长＝每个侧面的面积÷截去的高；原长方体的高＝正方体棱长＋截去的高；长方体的体积＝长×宽×原长方体的高。 【详解】 （厘米） （立方厘米） 答：原来长方体木块的体积是275立方厘米。 2．360厘米 【分析】长方体的棱长总和＝（长＋宽＋高）×4，代入数据计算即可。 【详解】 （厘米） 答：至少需要360厘米长的胶带。 3．会溢出；理由：缸中剩余部分的体积小于正方体的体积，水会溢出 【分析】要求缸里的水会不会溢出，要先算出长方体玻璃缸的体积减去水深6.5分米的水的体积，即水上方部分的体积，与棱长为6分米的正方体体积比较大小，小于正方体的体积会溢出。 【详解】12×10×（8－6.5） ＝120×1.5 ＝180（立方分米） 6×6×6＝216（立方分米） 180＜216，水会溢出。 答：缸里的水会溢出。 4．829.2元 【分析】粉刷教室不需要粉刷地面，因此需要计算长方体上面、前面、后面、左面、右面这5个面的面积之和。求出这5个面的总面积后，减去门窗和黑板的面积，得到实际粉刷面积。最后用实际粉刷面积乘每平方米的涂料费，即可求出总费用。 【详解】8×6＋（8×3.8＋6×3.8）×2－16.2 ＝48＋（30.4＋22.8）×2－16.2 ＝48＋53.2×2－16.2 ＝48＋106.4－16.2 ＝154.4－16.2 ＝138.2（平方米） 138.2×6＝829.2（元） 答：刷这个教室需要829.2元涂料费。 5． 4厘米 【分析】根据“长方体的棱长总和＝（长＋宽＋高）×4”可知“高＝长方体的棱长总和÷4－（长＋宽）”。 【详解】78.8÷4－（9.5＋6.2） ＝78.8÷4－15.7 ＝19.7－15.7 ＝4（厘米） 答：这个小纸箱的高是4厘米。 6．672平方分米 【分析】截面是一个边长为4分米的正方形，说明这个方木的宽是4分米，高是4分米，长是4米，根据长方体表面积＝（长×宽＋长×高＋宽×高）×2，代入数据，即可解答，注意统一单位。 【详解】4米＝40分米 （4×40＋4×40＋4×4）×2 ＝（160＋160＋16）×2 ＝（320＋16）×2 ＝336×2 ＝672（平方分米） 答：这根方木表面积是672平方分米。 7．136厘米 【分析】根据图示，胶带的长度包括4个宽和4个高。宽还是原纸巾中的宽，但高是原三盒纸巾的高度和。 【详解】104＋83 ＝40＋96 ＝136（厘米） 答：至少需要136厘米的胶带。 8．4.5分米 【分析】已知正方体油箱的棱长6分米，根据正方体的容积公式V＝a3，求出油的体积；再把这些油倒入一个长方体油箱中，油的体积不变，根据长方体的高h＝V÷a÷b，求出长方体油箱中油的深度。 【详解】6×6×6 ＝36×6 ＝216（立方分米） 216÷8÷6 ＝27÷6 ＝4.5（分米） 答：油深4.5分米。 9．152平方分米；608元 【分析】长方体无盖玻璃鱼缸，即少上面，说明只需要计算长方体的下面、前后面、左右面共5个面；根据“长×宽＋长×高×2＋宽×高×2”求出这5个面的面积之和，即是制作这个鱼缸至少需要玻璃的面积。 根据“总价＝单价×数量”，用每平方分米玻璃的单价乘玻璃的总面积，求出买玻璃需要的钱数。 【详解】8×4＋8×5×2＋4×5×2 ＝32＋80＋40 ＝152（平方分米） 4×152＝608（元） 答：制作这个鱼缸至少需要152平方分米的玻璃，买玻璃需要608元。 10．32.76千克 【分析】根据题意，从长40厘米、宽35厘米、水深15厘米的长方体水箱中取出一个完全浸没的钢球，水深变成12厘米，水面下降了（15－12）厘米；那么水下降部分的体积等于这个钢球的体积，根据长方体的体积公式V＝abh，求出钢球的体积，并根据进率“1立方分米＝1000立方厘米”换算单位。最后用每立方分米钢的重量乘钢球的体积，即可求出这个钢球的重量。 【详解】水面下降的高度：15－12＝3（厘米） 钢球的体积：40×35×3 ＝1400×3 ＝4200（立方厘米） 4200立方厘米＝4.2立方分米 钢球的重量：4.2×7.8＝32.76（千克） 答：这个钢球重32.76千克。 11．两种不同的长、宽、高可以是长5厘米、宽5厘米、高60厘米和长10厘米、宽10厘米、高15厘米；其中一种堆法的表面积是800平方厘米 【分析】首先根据小正方体的总个数是12，利用找因数的方法确定长方体长、宽、高方向上小正方体的个数组合；然后将小正方体的个数乘棱长5厘米，可得到长方体实际的长、宽、高；从中选取两种不同的堆法，最后选取其中一种堆法，根据长方体的表面积＝（长×宽＋长×高＋宽×高）×2列式求出表面积。 【详解】12＝1×1×12＝1×2×6＝1×3×4＝2×2×3 方案一：长：1×5＝5（厘米） 宽：1×5＝5（厘米） 高：12×5＝60（厘米） 方案二：长：2×5＝10（厘米） 宽：2×5＝10（厘米） 高：3×5＝15（厘米） （10×10＋10×15＋10×15）×2 ＝（100＋150＋150）×2 ＝400×2 ＝800（平方厘米） 答：两种不同的长、宽、高可以是长5厘米、宽5厘米、高60厘米和长10厘米、宽10厘米、高15厘米；其中一种堆法的表面积是800平方厘米。 （答案不唯一） 12．213160元 【分析】根据题意，游泳池是一个长方体，贴瓷砖的部分包括底面和四周的侧面，共5个面。首先根据长是宽的2倍求出宽，再利用长方体表面积公式计算出需要贴瓷砖的总面积，最后根据单价乘数量等于总价，求出所需的总钱数。 【详解】100÷2＝50（米） 100×50＋100×2.8×2＋50×2.8×2 ＝5000＋560＋280 ＝5840（平方米） 5840×36.5＝213160（元） 答：瓷砖一共要213160元。 13．45分钟 【分析】要把假山石完全淹没，水面高度至少要达到假山石的高度，此时鱼缸内的总体积等于“水的体积＋假山石的体积”。先算出水面高度为3分米时，鱼缸内的总体积；再减去假山石的体积，得到需要注入的水的体积；用水的体积÷注水流量，算出所需时间。长方体的体积＝长×宽×高。 【详解】8×5×3＝120（立方分米） 水的体积：120－7.5＝112.5（立方分米） 所需时间：112.5÷2.5＝45（分钟） 答：至少需要45分钟才能把假山石完全淹没。 14．利用排水法，上升的那部分水的体积就是小摆件的体积。 【分析】根据排水法原理，把铁制小摆件完全浸入水中，上升的那部分水的体积就是小摆件的体积。需要准备长方体容器，水，尺子等。 【详解】测量步骤： 1．准备一个透明的长方体容器，测量并记录容器内部的长和宽。 2．在容器内装入适量的水，测量并记录放入摆件前水面的高度。 3．将铁制小摆件完全浸没在水中，确保水未溢出，测量并记录放入摆件后水面的高度。 4．计算水面上升的高度，即放入摆件后水面高度减去放入摆件前水面高度。 5．根据长方体体积长×宽×高，计算出水面上升部分的体积，也就是铁制小摆件的体积。 15． 1800元 【分析】首先需要明确粉刷的范围是长方体内部的5个面（除去地面），计算出这5个面的总面积后，减去通风口和出入口的面积，得到实际需要粉刷的面积。然后根据每桶油漆的覆盖面积计算所需桶数，注意剩余面积不足一桶也需要购买一桶，应采用“进一法”取整数。最后根据单价和数量计算总费用。 【详解】计算需要粉刷的总面积（5个面）： （平方米） 计算实际粉刷面积（扣除通风口和出入口）： （平方米） 计算所需油漆桶数（使用进一法）： （桶） 因为不足一桶按一桶购买，所以需要9桶。 计算总费用： （元） 答：粉刷这个体育馆最少需要花费1800元买油漆。 16．不会 【分析】鱼缸的高度是5分米，现在水深4.5分米，水面上方还有0.5分米的空余高度，长方体的体积（容积）＝长×宽×高，求出空余部分的容积；统一单位，30厘米＝3分米，正方体的体积＝棱长×棱长×棱长，求出正方体铁块的体积。若正方体铁块的体积不超过鱼缸空余部分的体积，水就不会溢出来。 【详解】8×7×（5－4.5） ＝8×7×0.5 ＝56×0.5 ＝28（立方分米） 30厘米＝3分米 3×3×3 ＝9×3 ＝27（立方分米） 28＞27 答：缸里的水不会溢出来。 17．0.072立方米 【分析】把木料锯成3段需要锯2次，每锯1次都会新增2个横截面，2次一共新增4个横截面，用增加的表面积除以4求出横截面积，换算单位后，根据体积等于横截面乘长度求出体积。 【详解】2×（3－1） ＝2×2 ＝4（个） 24÷4＝6（平方分米） 6平方分米＝0.06平方米 1.2×0.06＝0.072（立方米） 答：这根木料的体积是0.072立方米。 18．210平方分米 【分析】正方体的表面积比长方体的表面积减少了4个长为正方体的棱长，宽为3分米的长方形的面积，据此可以求出正方体的棱长，长方体的长和宽的长度与正方体的棱长相等，长方体的高等于正方体的棱长加3分米，长方体的表面积＝（长×宽＋长×高＋宽×高）×2，把数据代入计算即可解答。 【详解】60÷4÷3 ＝15÷3 ＝5（分米） 5＋3＝8（分米） （5×5＋5×8＋5×8）×2 ＝（25＋40＋40）×2 ＝105×2 ＝210（平方分米） 答：原来长方体的表面积是210平方分米。 19．(1)153.6升 (2)25.6升 【分析】（1）根据长方体体积＝长×宽×高，这里的高指水深，计算出水的体积，再根据1立方分米＝1升进行单位换算。 （2）根据排水法原理，若水和物体的总体积超过玻璃缸的容积，超出部分即为溢出的水体积。根据正方体体积＝棱长×棱长×棱长，算出铁块的体积，根据长方体容积＝长×宽×高，算出玻璃缸的容积，再用水的体积与铁块体积之和减去玻璃缸容积，计算溢出水的体积，最后换算单位。 【详解】（1）8×6×3.2＝153.6（立方分米） 153.6立方分米＝153.6升 答：玻璃缸内现有清水的体积是153.6升。 （2）8×6×4＝192（dm³） 4×4×4＋153.6－192 ＝64＋153.6－192 ＝217.6－192 ＝25.6（立方分米） 25.6立方分米＝25.6升 答：此时缸里的水会溢出25.6升。 20．180立方厘米 【分析】水面上升的体积就是土豆的体积，用10.5厘米减去9厘米计算出上升的水的高度，再用底面积×上升的水的高度即可计算出土豆的体积。 【详解】12×10×（10.5－9） ＝12×10×1.5 ＝120×1.5 ＝180（立方厘米） 答：这个土豆的体积是180立方厘米。 21．(1)134平方米 (2)2613元 【分析】（1）粉刷教室通常只粉刷四面墙壁和天花板，地面不需要粉刷。因此，需要计算长方体5个面的面积之和，再减去门窗和黑板的面积。即：长×宽＋（长×高＋宽×高）×2－门窗黑板面积。 （2）已知每间教室的粉刷面积和每平方米的费用，先求出粉刷一间教室的费用，再乘教室的数量3，即可求出总费用。 【详解】（1）9×7＋（9×3＋7×3）×2－25 ＝63＋（27＋21）×2－25 ＝63＋48×2－25 ＝63＋96－25 ＝159－25 ＝134（平方米） 答：每间教室需要粉刷的面积是134平方米。 （2）134×6.5×3 ＝871×3 ＝2613（元） 答：粉刷3间这样的教室需要花费2613元。 22．4升 【分析】从长方形铁皮四个角各剪去边长8厘米的正方形后，焊接成的无盖饮水器是一个长方体，长方体的高就是剪去的正方形边长8厘米，长和宽分别用原铁皮的长和宽减去两个8厘米，再根据长方体体积公式计算容积，最后换算成升。 【详解】长： （厘米） 宽： （厘米） 高：8厘米 体积：25×20×8 ＝500×8 ＝4000（立方厘米） 4000立方厘米＝4升 答：王叔叔一次最多可以加4升水。 23．(1)94次 (2)2424元 【分析】（1）如图，该长方体地下停车场长50米，宽15米，高2米。根据“长方体体积＝长×宽×高”，先求出地下停车场的体积，再除以运土车每次能运走的体积，结果用进一法向上取整，据此解答。 （2）在停车场的底面和内壁抹一层水泥，就是求长方体的一个底面加四个侧面的面积，用总面积×每平方米水泥的价格，即可求出一共需要多少钱。 【详解】（1）50×15×2＝1500（立方米） 1500÷16≈94（次） 答：要运94次才能全部运完。 （2）50×15＋（50×2＋15×2）×2 ＝50×15＋（100＋30）×2 ＝50×15＋130×2 ＝750＋260 ＝1010（平方米） 1010×2.4＝2424（元） 答：一共需要2424元。 24．(1)2400立方厘米 (2)860平方厘米 【分析】（1）根据长方体的体积公式：体积＝长×宽×高，代入数据计算即可求出蛋糕胚的体积。 （2）涂抹巧克力奶油的部分不包括下底面，即需要计算长方体5个面的面积之和。这5个面分别是上面、前面、后面、左面、右面。可以根据“上面面积＋前后面积＋左右面积”的列式计算。 【详解】（1）20×15×8 ＝300×8 ＝2400（立方厘米） 答：烤好的蛋糕胚的体积是2400立方厘米。 （2）20×15＋（20×8＋15×8）×2 ＝300＋（160＋120）×2 ＝300＋280×2 ＝300＋560 ＝860（平方厘米） 答：涂抹巧克力奶油部分的面积是860平方厘米。 答案第2页，共11页 答案第3页，共11页 学科网（北京）股份有限公司 $