与圆有关的最值问题教学设计——2026届高三数学一轮复习

与圆有关的最值问题 福州高级中学 张平 教材分析：本节课是高三一轮复习课第九章平面解析几何第三节圆的方程第二课时，前面已经复习了直线方程以及两直线得位置关系，圆的方程第一节重点复习了圆的标准方程与一般方程，通过代数法和几何法求圆方程，本节重点圆方程的相关应用——与圆有关的最值问题。本节课承接了上节课代数法和几何法去研究解析几何问题方法来研究与圆有关的最值问题，为后续研究其他圆锥曲线最值问题提供了方法上的类比，起到了承上启下的作用，通过本节课的复习，让学生进一步领悟“以数解形”与“以形助数”解决解析几何的两大重要方法。 学情分析：学好解析几何本章需要学生具备较强的抽象思维能力和几何直观的想象能力。本班学生对几何性质的掌握以及应用还不熟练，学生存在盲目性，无法从题意中提炼有效的几何性质去解决问题。学生高一二所学的解析几何遗忘率高，各类题型都已近淡忘，在一轮复习中都需要放慢节奏，细讲精炼。 教学目标： 1.进一步理解圆的定义、标准方程和几何性质，掌握求解与圆有关的相关变量的最值问题的通法。 2.理解并掌握“解析法”思想，会从代数与几何两个角度分析和解决与圆有关的最值问题，能合理选择两种方法解决实际问题；领悟“以数解形”与“以形助数”是相辅相成。 3．构建解决圆的最值问题的方法体系，学会应用数学化归和转化思想解决新知，形成处理最值问题的基本策略，培养创新意识。 教学重点： 1.借助直角三角形研究切线长、弦长、角度的最值问题；掌握圆上动点到圆外一点以及到相离直线的距离最值问题，并应用相关知识解决实际问题。 2. 培养学生通过几何法研究与圆有关的最值问题，结合代数运算来解决解析几何问题。 教学难点：学生能够利用圆的几何特征去分析问题，并提出解决问题的方法；能够从圆方程的代数形式把解析几何问题转化为代数问题去解决问题。 学科素养： 1.数学抽象： 圆上动点到定点定直线的最值； 2.逻辑推理：切线长、切点弦、角度等最值转化为圆心到定直线距离问题； 3.数学运算：求切线长，切点弦、角度的最值，坐标法利用函数求最值； 4.直观想象：圆的几何性质； 教学工具：GGB软件，PPT 教学过程： 一、夯基固本 1. 圆O半径为R，圆外一点P到圆O上任意一点距离的最小值＝ |OP|-R ，最大值＝ |OP|+R . 2. 圆O半径为R，直线l与圆O相离，圆心到直线距离为d，圆上任意一点到直线距离的最小值＝ d-R ,最大值＝ d+R . 3. 圆O半径为R,过圆O内一定点P的直线被圆截得的弦长的最小值＝ ，最大值＝ 2R . 二、研习考点 思考探究：已知点在直线l:上，圆C:,过P点做圆的切线，切点分别为A,B。 问题1：切线长是否存在最值？不存在请说明理由，如果存在求出切线长的最值。 师：同学认真观察GGB模拟实验，当P点固定时，切线长怎么求？ 生：在 师：当P点变化时，切线长会变化吗？ 生：会 师：PA的取值会因哪个变量而改变？ 生：PC 师：很好，在,其中半径AC固定，故切线的最值取决于PC的最值，圆心C到定直线的最短距离是C到直线的距离。 解：圆心C(5,5),圆心C到直线l的距离,即当PC的最小值为 在 因为PC不存在最大值，所以PA也不存在最大值。 小结：本题探究中，我们应用了特殊到一般的探究方法，抓住切线得几何性质（勾股关系）把切线最值问题转化为圆心到定直线得距离问题。 设计意图：通过GGB实验模拟，让学生用动态的眼观去看待问题，能够提炼出解决问题的关键：结合勾股关系，利用半径为定值；掌握把切线长的问题转化成圆心到定直线上动点距离问题。 师：类比探究1的研究方法，请同学先观察GGB动画演示，找出解决问题的办法。（请学生上台来分析讲解，教师点评） 探究1：四边形PACB面积是否存在最值？不存在请说明理由，如果存在求出该四边形面积的最值。 解：根据对称性，四边形PACB的面积为三角形PAC面积的两倍， ,由上题可知PA最小值为， 可得四边形PACB的面积最小值为. 设计意图：通过GGB实验，学生能观察出四边形PACB关于PC对称，把问题转化为三角形PAC或三角形PBC的最值问题。使学生能够从形上发现变化的规律，学会用函数关系去探究最值问题。 探究2：变化规律，是否存在最值？如果存在，请说明点P在何位置时取得最值。 师：请一位同学从GGB的演示，来说说你所发现的变化规律。 生：点P从左上往右下移动过程中：先变大后变小 师：可否用代数形式表示角度 解：由图可知当CP垂直直线l时， 根据对称性，, ，当PC最小时，， ，即 设计意图：通过GGB实验，能直观观察出角的变化，让学生去探究形到数的过程，引导学生利用三角函数值来研究角的变化规律。最终将问题化归到圆心到直线上动点的距离最值问题。合理建立变量间的关系将问题转化为可求熟知的问题。 探究4：两切点所在弦AB是否存在最小值，如果存在求出该最小值。 （本题在把学生不同解答过程拍照上传对比分析优缺点） 解法一：根据四边形PACB是圆内接四边形，，弦AB的长短是随着的增大而增大，即随着的增大而减小，由探究2可知， 利用,解得|AB|最小值为 解法二：在 由探究3可知， 此时, 设计意图：本题探究可以作为探究2的一个递进探究，利用圆的性质：圆心角越大则其所对弦的越长，反之亦然。让学生学会利用圆的相关性质将问题进行转化。 问题2：已知点在圆上，点、，当最小时， ,当最大时， 师：请同学们首先根据题意作出图象。稍后请一位同学分享解法。 【详解】圆的圆心为，半径为， 如下图所示： 当最大或最小时，与圆相切，连接、，可知， ，， 由勾股定理可得， 设计意图：考察学生实际应用与分析能力，检验学生能否成功通过数形结合将角度问题转化为切线问题。 探究1： 已知圆和两点A (-m,1),B (m,-1)(m>0),若圆C上存在点P,使得，则m的取值范围是______________。 师：本题中三个点P，A，B是动点，而是固定不变的，请同学结合GGB演示说说三个动点运动的规律有何特征？ 生：点P在圆上运动，点A,B关于原点对称,分别在直线y=1与y=-1上运动。 师：遇到多动点问题如何研究？（可以参照探究1方法先特殊后一般）。 生：先将P点固定让A、B变化观察图形变化规律，或A、B固定，让P变化。 师：如何将理解，可以用哪些关系来呈现 生：可以用勾股关系，AP,BP斜率乘积为-1，等 解：设点,则 ,即,变形可得, 所以P点的轨迹是以原点O为圆心，以， 又因为点P在圆C：上，故圆O与圆C有公共点。 ,又|C0|=5 ,解得,又m>0, 求P点轨迹方法二(定义法)： , 所以P点的轨迹是以原点O为圆心，以， 探究2：已知圆和两点A (-m,1),B (m,-1)(m>0),若圆C上存在点P,使得，三角形CAB面积的最大值。 解：直线AB方程：x+my=0 设C到直线AB距离为d,则 三角形面积 设计意图：通过本题，考察学生数形结合能力，问题转化能力，以及代数运算能力。 四、课堂小结： 研究有关圆的最值 一、利用几何法，即通过利用圆的定义、几何性质以及平面几何中的定理、性质等进行求解； 二、利用代数法，即把要求最值的几何量转化为用代数表达式表示为某个(些)参数的函数(解析式)，然后利用函数方法、不等式方法等进行求解． 三、数形结合不可忘，两者结合有奇效。 五、课后作业 课本P209对点训练，P210对点训练，课时规范练41 ( 左黑板 中间希沃白板 右黑板 与圆有关的最值问题 PPT 演示 学生板演： 问题2 几何问题 代数问题 学生课堂演练拍照 探究一板演（作图） )六、板书设计 七、教学反思 学科网（北京）股份有限公司 $$