陕西省镇安中学2026届高三模拟预测数学试题

数学 1.本场考试120分钟，满分150分。试卷共6页。考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。 2.答题前，考生先将自己的姓名、准考证号码填写清楚，将条形码准确粘贴在考生信息条形码粘 贴区。 3.回答选择题时，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如果改动，用橡皮擦千净 后，再选涂其他答案标号。非选择题必须使用黑色签字笔书写，字体工整、笔迹清楚。 4.请按照题号顺序在答题卡各题目的答题区域内作答，超出答题区域书写的答案无效；在草稿 纸、试卷上答题无效。 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符 合题目要求的， 1.若复数之=26+i,则x在复平面内对应的点位于 A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限 2.已知集合A={xlx2-5x≤0}，B={x∈N2≤√元≤3}，则B∩(CRA)= A.(5,9] B.[5,9] C.{6,7,8,9} D.{5,6,7,8,9 y2 B.已知双曲线一 =1(6>0)的渐近线方程为y=±2x,则双曲线的焦点到渐近线的距 离为 A B.3 C.6 D.9 胎 4已知函数f(x)=5x+红，正数a,6满足(a)+f一1)=0，则启+的最小值为 a A.2 B.5 C.8 D.9 5.已知向量a在向量b方向上的投影向量为b,且a=2,|b=3,则a一2b= A.210 B.2√7 C.52 D.2√/15 6.一个高为3√3cm,上、下底面半径分别是1cm和4cm的封闭圆台容器（容器壁厚度忽略不 计)内有一个铁球，则当该铁球体积最大时，该铁球的体积与圆台的体积的比值为 A溜 128 128 B.567 c D.189 第1页（共6页） 7.若圆x2十y2=9上总恰好存在两个点到点(1，b)的距离为4，则实数b的取值范围是 A.(-1,1) B.(-43,4√3) C.(-1,0)U(0,1) D.(-4√3,0)U(0,43) 8.已知f(x)为函数f(x)的导函数，且对任意x∈R,f'(x)一f(x)<1.若f(0)=2026, 则不等式f(x)+1>2027e的解集为 A.(-∞，0) B.(0,十o∞) c(-o,) D.(-∞，1) 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要 求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分 9.下列说法正确的是 A.甲、乙、丙、丁4个人到3个国家进行学术交流，每人只去1个国家，每个国家都要有人 去，则不同的安排方法有72种 B.若A,B两组成对数据的样本相关系数分别为rA=0.89,rB=一0.93，则A组数据的相 关性比B组数据的强 C.数据11,13,5,6,8,1,3,9的第25百分位数是4 D.若事件C,D满足P(C),P(D)∈(0,1)，且P(DC)=P(D),则C,D相互独立 an十1，n为奇数， 10.已知数列{am}满足a1=1,a2=2,am+2= 记数列{an}的前n项和为 2an,n为偶数， Sn,则 n+ A.as<a6 B.a,= 2,n=2k-1, k∈N 2,n=2k, C.S24-1= 卡。+2-2,1∈N D.Sa=2*1+2 2 -1,t∈N 11.已知抛物线C:y2=4x,过抛物线C的焦点F的直线l与抛物线C交于A(x1,y1),B(x2, y2)两点，则 A.抛物线C的准线方程为x=一2 B.若|AF|=4,则x1=3 C.|AF|IBF的最大值为16 D.∠AOB为钝角 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分， 12.函数f(x)=xcos2x+1的图象在x=0处的切线方程为 明c中￥出留明.（工-2）47田<u+三q'?=1o巢严q险日8 数，则数列{bn}的前n项和Sm= 14.小明同学抛掷一枚质地不均匀的正方体骰子，并记向上的面的点数为X,若E(X)=5.3, 则P(X=6)的最小值为 第2页（共6页） 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤 15.(13分） 在△ABC中，内角A,B,C的对边分别为a,b,c,且满足sinC+2sinB=cos EsinA. (1)求A; (2)若a=23,△ABC的面积为W3,求△ABC的周长. 16.(15分) 某影城想了解观众性别与喜欢的电影类型是否有关，随机调查了300名观众，得到下表： 喜欢生活片 喜欢战争片 男性观众 70 80 女性观众 90 60 (1)根据α=0.01的独立性检验，分析观众性别与喜欢的电影类型是否有关； (2)从这300名观众中随机选择2名，在已知其中至少有1名女性观众条件下，求这2名观 众都喜欢生活片的概率. n(ad-bc)2 参考公式：X2=(a+b)c十d)a十c6+d,其中n=a+b+c+d. 临界值表： a 0.05 0.01 0.001 3.841 6.635 10.828 第3页（共6页） 17.(15分)》 如图，平面ABEF⊥平面ABCD,四边形ABEF为矩形，且BE=√3，AD∥BC,BC⊥CD, AD=2BC=2CD=2,G为线段CE上的动点（不含端点）. (1)证明：BD⊥平面ABEF (2)设CG=CE(t∈(0,1)，记二面角E-BDG的平面角为0，用t表示tan0的值，并求 出当0=牙时实数t的值。 第4页（共6页） 18.(17分) 由半个椭圆和两个相同的半圆组成的形如心脏的曲线称为“类心脏曲线”.如图，在平面直 角坐标系中，类心脏曲线C:F(x,y)=0的两个半圆C2和C3的圆心恰好分别是半椭圆 C1的左、右焦点F1和F2,且点A1,A2分别为C1的左、右顶点.已知半圆C2和C3的半径 均为1. (1)求半椭圆C1的方程和离心率； 3 (2)若直线L:y=(x-1)交曲线C于A,B两点，动点S在曲线C上，求△SAB面积的 最大值； (3)如图，分别过点F1,F2作两条平行线11，l2,分别与C1,C2和C1,C3交于点M,N和点 P,Q,求|MN|+|PQ的最小值 第5页（共6页） 19.(17分) 已知函数f(x)=a(x-)-1nx,a≥0. (1)当Q≥2时，试证明函数f(x)存在唯一零点，并求出该零点. (2)当a=1时，设am=f(n2),且数列{an}的前n项和为Sn,求证： (1a,≥1 (i)nSn≥(n-1)2. 必 牛 辨 第6页（共6页） 1.B易得z=一1十i,所以x在复平面 内对应的点为（一1,1），该点位于第二象限. 2.C因为集合A={x|x2-5x≤01= {x|0≤x≤5}，所以CRA=(-∞，0)U(5, 十∞) 因为B={x∈N|2≤√x≤3}={4,5,6， 7,8,9},所以B∩(CRA)={6,7,8,9} 3B因为等-茶-1(6>0)的浙近线 y 方程为y=士%=士多x,所以b=3, 2 所以双曲线的方程为号-号-1， 所以双曲线的焦点（√13,0）到渐近线 3x-2y=0的距离为13vB-2X0=3. √22+32 4.D易知f(x)=5x3十x为奇函数， 因为f(a)+f(b-1)=0,所以 f(a)=-f(b-1)=f(1-b) 又易知f(x)=5x3+x在R上单调递 增，所以a=1一b,即a十b=1. 因为0,6均为正数，所以十音- (日+)(a+6)=名+名+5≥ 2√+5=9，当且仅当a=号，6=号时 等号成立，故。+号的最小值为9， a 5.B因为向量a在向量b上的投影向量 36, 所6品6-，所赵品-号 又|a|=2,|b1=3,所以a·b=3, 所以|a-2b1=√(a-2b)2= √Wa2-4a·b+4b=√/4-12+36=2/7. 6.C易知当铁球与圆台的侧面和下底 面相切时，铁球的体积最大. 如图，作出截面图(E,F为切点)，设铁 球的球心为O,连接EO并延长，交AB于G, 连接OF,OB,过点B作BH⊥DC,垂足为点 H,BG=EH=1 cm,CE=4 cm,CE= CF,所以CH=3cm. 又BH=3√3cm, 所以BC=√BH+CH2=6(cm), 所以BF=BC一CF=BC一CE=6一 4=2(cm). 设此时铁球的半径为Rcm. 因为OB2=BG2+OG2=OF2+BF2, 所以1+(3√5-R)2=R2+22→R =43 3 此时铁球体积的最大值为告R-号、 (°-56(cm. 又因为V验=号h(R2+Rx+r2)= 21√π(cm3),所以铁球体积与圆合体积的比 值为瓷 7.D圆x2+y2=9的圆心为(0,0)，半 径为3. 设圆(x一1)2+(y一b)2=16(b≠0) 由题意可知，两圆有两个公共点，即两圆 1+ 相交，所以4一3<√62+1<4十3， 解得0<b2<48,即-4V3<b<0或0< b<43. 所以实数b的取值范围是（一4√3,0）U (0,43) 8.A设函数g(x)=f(x)+ 则g'(x) =f(x)·e-[f(x)+1]·e =f'(x)-f(x)-1 e 由f'(x)-f(x)<1,得g'(x)<0,则 函数g(x)=f()+在R上单调递减 因为f(x)+1>2027e,所以 f(x)+1>2027,即g(x)>2027. 由f(0)=2026,得g(0)=f(0)+1= e 2027,所以g(x)>g(0),解得x<0, 所以不等式f(x)+1>2027e的解集 为(-∞，0). 9.CD对于A,甲、乙、丙、丁4个人到3 个国家进行学术交流，每人只去1个国家，每 个国家都要有人去，则不同的安排方法有 CA3=6X6=36(种)，故A错误； 对于B,因为1ra|=0.89,rB=0.93, |rA<ra,所以B组数据的相关性比A组 数据的强，故B错误； 对于C,因为25%×8=2，且数据11,13， 5,6,8,1,3,9从小到大依次为1,3,5,6,8,9， 11,13,所以第25百分位数是35=4，故C 2 正确；对于D,因为P(DIC)=P(D).且 PD1c)-8,所以8-PD. 即P(CD)=P(C)P(D),所以事件C与事 件D相互独立，故D正确。 10.ABC对于A,B,数列{an}的奇数项 构成首项和公差都为1的等差数列，偶数项 构成首项和公比都为2的等比数列，所以 a24-1=k,a4=2X2*-1=2*,所以an= [n+1 2,n=2k-1, k∈N”,所以a5=3,a6= 2,n=2k, 8,所以as<a6,故A,B正确； 对于C,S2-1=a1十a2十a3十a4十…十 a2-1=(a1十a3+…十a2-1)十(a2十a4+…十 a）09+2②2生+2 2 2-1 2,t∈N”,故C正确； 对于D,Sa=51十aa=(生士+2 2)+2=2*1+-2,tCN,故D错误 2 11.BD对于A,抛物线C:y=4x的 焦点为F(1,0),准线方程为x=一1，故A 错误 对于B,因为|AF|=x1十1=4，所以 x1=3,故B正确. 对于C,易知直线L的斜率不为0，故设 直线L的方程为x=y十1.由任二)十1得 y2=4x, y2一4y-4=0,则y1+y2=4t,y1y2=一4， 所以x1+x2=t(y1十y2)+2=4t2+2, =要·菩1，所以1AP1川BF1=红，十 1)(x2十1)=x1x2+(x1+x2)+1=4t2+4, 显然，IAFI川BFI没有最大值，故C错误. 2丰 对于D,OA.0成=x1x2十y1y2=-3< 0,则∠AOB为钝角，故D正确. 12.x-y+1=0 f(x)=xcos 2x+ 1,得f(0)=1,f'(x)=cos2x-2xsin2x,所 以f'(0)=1,所以函数f(x)=xcos2x十1 的图象在x=0处的切线方程为y一1=x,即 x-y+1=0. 13.2++18-8 由a1=2,bn= 十m,得b1=2,所以S1=2, an (2一x)”的展开式的通项公式为T+1= C·2m-r·（-x)r=Cn·2-·（-1)y·x', 令r=2,可得x2的系数为C·2"-2· (-1)2, 所以当n≥2时，an=C%·2-2·（-1)2= n(n-1）.22, 所以当n≥2时，.=公十n= a aa2”2+a3+=8片 2·20 是)+m, 所以当≥2时，S,=2+8(1-号+号 言+号-号+…+马)+(2+3+4 ++)=2+8-9+2- 2 n2+n+188 n 又S1=2满足上式，所以Sm= n2+n+18_8 2 14.0.3设P(X=i)=p,(1≤i≤6，i∈ N),则p1+2十pg十p4十5十p6=1,且 p≥0. 由E(X)=5.3,得p1+2p2+3pg+ 4p4+5p5+6p6=5.3. 因为p1+2p2十3p3十4p4+5ps≤ 5(p1十p2十p3十p4十p5),当且仅当p1= p2=3=4=0时，等号成立， 所以5.3-6p6≤5(p1十p2十p3十p:十 ps)=5(1-6),即p6≥0.3，当且仅当p1= 巾2=3=p4=0,5=0.7时等号成立， 此时E(X)=1×0+2×0+3×0+4× 0+5×0.7+6×0.3=5.3,符合题意， 所以P(X=6)的最小值为0.3. 15.解：(1)因为sinC=sin[π-(A十B)]= sin(A+B)=sin Acos B+cos Asin B, 1 所似sin Acos B+s Asin B+2s血B= Bsin A,整理得cos Asin B=一 2 sin B. 又s如B>0,所以cosA=-合 又因为A∈(0，x),所以A=(6分) (②1)询A=答， 由△ABC的面积为3，得2 besin手 3 √3，解得bc=4, 由余弦定理，得a2=b2十c2一 2bcos5=(6+c)P-c=(6+c)-4=12, 解得b十c=4, 3丰 所以△ABC的周长为a十b十c=4十 2√5.(13分) 16.解：(1)零假设为H。:观众性别与喜 欢的电影类型无关， 由题表中的数据可得X2= 300×(70×60-90×80)2_75 150×150×160×140 =14≈5.357<xau, 故依据α=0.01的独立性检验，没有足 够的证据说明H。不成立， 即认为观众性别与喜欢的电影类型无 关.(7分) (2)设事件A=“所选的2名观众至少有 1名女性观众”，事件B=“所选的2名观众都 喜欢生活片” 由题表可知P(A)=1一P(A)=1 C30_2245_449 C30029905981 P(AB)= Ci0-C3_687 C30 2990' 所以P(B1A)=PAB) 687 P(A)2245 故所求概率为2245 687 (15分) 17.(1)证明：因为AD∥BC,BC⊥CD, 所以四边形ABCD是直角梯形. 在直角梯形ABCD中，BC=CD=1, AD=2, 由勾股定理，得BD=√BC2十CD?= +1=2, AB=√/CAD-BC)+CD=√P+正=√2， 故AB2+BD2=2+2=4=AD2,即 BD⊥AB. 又平面ABEF⊥平面ABCD,平面ABEF ∩平面ABCD=AB,BDC平面ABCD, 所以BD⊥平面ABEF.(6分) (2)解：如图，以B为原点，BA,BD,BE 所在直线分别为x轴、y轴、z轴建立空间直 角坐标系B-xy之， 则B(0,0,0),D(0,W2,0),E(0,0,N3), c(-号o. 所成=（竖，-号），动=0， √2,0) 由忘-C(:∈(0,10》，得c(受 所成-=（唱号号+号 设平面GBD的法向量为n2=(x,y,z),， 则 BC·n2=0,」 即 Bi·n2=0, C号-号)x+(-+)+5a=0, 2y=0, 所以y=0, 取x=2,则z=,故2=（厄，0， √3t 》 由题意知，平面EBD的法向量为n,= (1,0,0),所以|n1|=1. 4+ n1·n2 所以cos9=m1·1:=,所以 血9=1-o0=√1-（品》 VIn2[2-2 =√++()》-2 n2 n2 1-t 3t 7(0,1), 因此，an0=s血9-1,4e0,1). cos6√6t 当0=妥时，n0=后=1，解得= √6t 号.(15分) 18,解：(1)设半椭圆C,的方程为 大 若=10≤0，且a>6>0. 由半圆的半径为1，得|FF2|=2, |A1A2|=4, 故F1(-1,0),F2(1,0),A1(-2,0), A2(2,0),所以a=2,c=1, 所以62+1=4，解得62=3， 所似半椭圆C,的方程为号+ 3⊙ 1(y≤0)， 所以半椭圆C,的离心率e=后-是 (5分) (2)如图，不妨设点A在x轴下方，点B 在x轴上方. 5 =x-10, 由 得7x2一6x +3=1(0y≤0)， 13=0,解得z=-1或x=9, 所以A(-1,-2): 又F2B|等于半径1，所以IAB|=|AF2|十 IF,B到=√a+1+(2)+1=子 显然，当点S在半圆F:(x十1)2+y2= 1(y≥0)上且SF1⊥AB时，△SAB的面 积最大 因为点F1（-1,0)到直线AB:3x 4y-3=0的距离d=一3-3=6 32+42 5 所以点S到直线AB的距离h≤d十 1PF,=g+1=号 所以△SAB面积的最大值弘(10分) (3)由题意知，|MN|+|PQ|=|MFI+ |PF2|+2. 因为1九2，所以由对称性可知，|MF|十 1PF,1为椭圆听+苦-1截直线h所得弦 的长 设4：x=my十1，且a与椭圆子+号 31 1交于点(x1,y1)和(x2,y2) (x=my+1, +苦-1,86m+y+y 由 9=0,则△=144(m2+1)>0, 丰 6m 所以少+=一3m+4= 9 3m2+4' 所以|MF|+|PF2|=√I+m· VG+2-42=26m+) 4 3m2+4 所以当m=0时，1MF1I+|PF2|取得最 小值4-1=3， 所以MN|+|PQ1的最小值为3+2= 5.(17分) 19.(1)解：因为f(x)=a(x-)- lnx,a≥0， 所以函数f(x)的定义域为(0，十∞)， fx)=a(1+)-是 令t=子(e>0),则f(x)=g()= at2-t+a. 因为a>2,所以4=(-1)2-4a2=1- 4a2≤0恒成立， 所以g(t)≥0恒成立，即f'(x)≥0恒 成立， 所以函数f(x)在(0，十∞)上单调递增 又因为f(1)=a(1-)-ln1=0, 所以函数f(x)存在唯一零点，且零点为 1.(5分) (2)证明：(i)先证明x-lnx≥1. 令h（x)=x-lnx-1(x>0),则 h(x)=1-2=2(>0, 所以当x∈(0,1)时，h'(x)<0,当x∈ (1,+∞)时，h'(x)>0, 所以函数h(x)在(0,1)上单调递减，在 (1,+∞)上单调递增， 所以h(x)血=h(1)=0,所以h(x)≥ h(1)=0,即x-lnx≥1. 当a=1时，fe)=x-是-1hz 因为x-血x≥l,所以f(x)≥1-是，所 以fx2)≥1-是 又a.=f(n,所以a≥1-.(10分) (i)当n≥2时，由放缩法得n2>n(n- 1),所以->n- 1)蜘a≥1， 所以当n≥2时，Sn=a1十a2十…十am> 0+(a-1)-[1-号+合-号+…+ (马] =(m-1)-(1-) =n2-2m+1 =n-1)2 n 即nS.>(n-1)2. 又当n=1时，S1=0=(1一1)2=0，满足 nSm≥(n-1)2, 所以nS≥(n-1)2成立.(17分) 6t