专题12 解答题第23题（几何证明题16题）（上海专用）2026年中考数学二模分类汇编

专题12 解答题23题（几何证明题16题） 一、解答题 1．（2026·上海徐汇·二模）如图，已知、为的两条弦，，连接、并延长交弦于点、，且． (1)求证：； (2)如果，求证：． 2．（2026·上海青浦·二模）已知：如图，四边形是平行四边形，点在边上，点在的延长线上，，的延长线与相交于点，且．    (1)求证：四边形是菱形； (2)如果，求证：点是边的中点． 3．（2026·上海浦东新·二模）已知：如图，与相交于点、，且，过点的直线分别交、于点、，且．点是线段的中点．联结并延长交于点，且． (1)求证：； (2)求证：四边形是菱形． 4．（25-26九年级下·上海嘉定·期中）如图，在平行四边形中，点O是对角线的中点，过点作的垂线分别与边、交于点、，连接和． (1)求证：四边形是菱形； (2)当平分时，求证：． 5．（2026·上海虹口·二模）如图，和都是等腰直角三角形，，，，连接、，，延长交于点，交于点． (1)求证：四边形为正方形； (2)如果，求证：． 6．（25-26九年级下·上海长宁·期中）如图，正方形中，点E在对角线上，点F在边上（点F与点C不重合），且． (1)求证：； (2)在图中延长与交于点H，如果，求证：． 7．（2026·上海普陀·二模）已知：如图，在四边形中，，点在边上，，． (1)求证：四边形是平行四边形； (2)联结交于点，联结．如果，求证：． 8．（2026·上海奉贤·二模）如图，在平行四边形中，对角线、交于点，交于点、交于点，且，． (1)如果，求证：； (2)连接．如果，求证：是的中点． 9．（25-26九年级下·上海杨浦·期中）已知：如图，是半圆O的直径，C是半圆上一点（不与点A、B重合），点D是弧的中点，过点D作，垂足为点F，连接与交于点E． (1)求证：； (2)连接并延长与弦的延长线交于点G，联结．求证：四边形是矩形． 10．（2026·上海崇明·二模）如图，已知四边形是平行四边形，点是对角线上一点，，． (1)求证：四边形是菱形； (2)点是边上一点，与相交于点，若，求证：． 11．（2026·上海松江·二模）已知是半圆的直径，弦、交于点，与交于点，满足． (1)求证：； (2)如图2，是的中点，与交于点，求证：四边形是菱形． 12．（2026·上海闵行·二模）如图，在中，，．点在边上，点在的延长线上，连结、，过点作的垂线，分别交、、于点、和，且． (1)求证：； (2)求证：． 13．（2026·上海宝山·二模）如图，已知梯形中，，，对角线与交于点E，将沿着直线翻折得到（点D对应点F）． (1)求证：四边形是平行四边形； (2)如果四边形是矩形，且，求证：． 14．（2026·上海金山·二模）在平行四边形中，，为锐角．要在对角线上找点、（且点、分别与点、不重合），使，甲、乙、丙分别提出方案（如图）． 甲：使． 乙：作，，垂足分别为、． 丙：在上任取一点，连接，再以为圆心、以长为半径作弧，交于点． (1)选择其中一种正确的方案进行证明：； (2)根据你在（1）中选择的方案，延长交边于点，若，求证：． 15．（2026·上海静安·二模）如图，正方形中，点E在边上，点F是正方形外一点，连结、、，对角线与线段相交于点M，如果，且． (1)求证：，； (2)当点E是边的中点时，请直接写出与面积的比值： ． 16．（2026·上海杨浦·二模）如图，四边形为平行四边形，连接、交于，点在线段上，且． (1)延长、交于，求证：； (2)点在的延长线上，且，求证：． / 学科网（北京）股份有限公司 $函学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 专题12解答题23题（几何证明题16题) 一、解答题 1.(2026上海徐汇二模)如图，已知AB、CD为⊙O的两条弦，AB<CD,连接A0、BO并延长交弦 CD于点E、F,且CF=DE」 (I)求证：AB∥CD: 2)如果4C2=0AAE AB=AC 求证： 【答案】I)见解析 (2)见解析 【分析】(1)连接 OC,OD ,先证明 △CFO≌△DEO(SAS) 则OE=OF,然后根据等边对等角以及三角 形内角和定理证明∠4=∠7，即可证明平行； (2)先证明△CAO∽△EAC,再证明 OAC≌△OAB(AAS) 即可 【详解】(1)证明：连接OC,OD 80 E .OC=OD .∠1=∠2 .CF=DE 1/30 函学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 △CFO≌△DEO(SAS) ∴.OE=OF ·∠3=∠4=180°-∠5 2, .OA=OB :∠7=∠8=180°-∠6 2 .∠5=∠6 .∠4=∠7 :.AB//CD: (2)证明：：AC2=OAAE AC AE ·OAAC ∠CAO=∠EAC .△CAO∽△EAC .∠9=∠4， :∠4=∠7=∠8 .∠9=∠7=∠8 OA=OC .∠9=∠0AC=∠7=∠8， OA=OA △OAC≌△OAB(AAS) .AB=AC, 4B-AC 2.(2026上海青浦·二模)已知：如图，四边形ABCD是平行四边形，点E在边CD上，点F在BC的延 长线上，CF=DE,AE的延长线与DF相交于点G,且DG=GE.GA. D E G C 西学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 (I)求证：四边形ABCD是菱形： (2)如果AE=3EG,求证：点E是边CD的中点. 【答案】(1)见解析 (2)见解析 【分析】(4)先证明△GED∽△GDA,再证明 ADE≌△DCF(AAS) 最后根据一组邻边相等的平行四边 形是菱形证明即可； (2)设EG=m,AE=3m,由DG2=GE·GA求出DG,再由△GEDn△GDA证明即可. 【详解】(1)证明：如图， 0 5 E G 人3 C F ,四边形ABCD是平行四边形， ∴.AD∥BC .∠4=∠3. ..DG2-GE.GA DG GA GE DG .∠5=∠5 △GED∽△GDA ∴.∠1=∠2 .CF=DE △ADE≌ADCF(AAS) ∴.AD=DC 又：四边形ABCD是平行四边形， ∴，四边形ABCD是菱形： (2)解：AE=3EG 3/30 可学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 “.设EG=m,AE=3m ∴.AG=EG+AE=4m .DG2=GE.GA=mx4m .DG=2m(舍负)， △GED∽△GDA DE DG 2m 1 AD AG 4m 2' AD=CD DE 1 ·CD2 .DE=CE, ∴.点E是边CD的中点 3.(2026上海蒲东新二模)已知：如图，00与O0,相交于点P、Q,且4>60，过点P的直线4B 202 分别交 0、00，于点4、日，且4P=B即.点C是线段O0的中点，联结C0并延K交BP于点M,且 PM=BM. B (I)求证：CP⊥AB; CPO,O (2)求证：四边形 是菱形. 【答案】(1)见解析 (2)见解析 【分】析山)作ONLAP,垂足为N,根据垂径定理可得4N=PN=4P,∠0N=90, 2 ∠O,MB=90° ON∥O,M ONMO, 从而得到 ，可得到四边形 是梯形，即可求证： 可学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 002 PO (2)联结“交 2于D，根据题意可得垂直平分2，从而得到 DP=DO CP=CO ,再有 CD DP CP∥O,M,可得O,DD0,从而得到CD=O,D,可得到四边形CPO2是平行四边形，即可求证. N⊥A 【详解】(1)证明：作 ,垂足为N B :9 ON⊥AP 过圆心， 1 ·.AW=PN=7AP,∠0，NP=90°. 2 .PM=BM, :PM-8即 AP=BP, .PN=PM,即点P是MN中点. O,M 过圆心， PM=BM O2M⊥BP ∠O2MB=90° ∠ONP=∠O,MB ON∥O,M ON≠O,M 5/30 函学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 ONMO, .四边形 是梯形 C 002 ,点是线段 的中点；点P是W 中点， CP∥O,M ∠CPB=∠O,MB=90° .CP⊥AB P00,0:于D (2)证明：联结交 B ⊙0，⊙02 与 相交于点P、O, 002 PO 垂直平分， ..DP=DO,CP=cO. CP∥O,M CD DP ..O,D DO, CD=O,D ..DP=DO, CPO,O 四边形 是平行四边形 ..CP=CO, CPO,O 四边形 是菱形. 4.(25-26九年级下·上海嘉定·期中)如图，在平行四边形ABCD中，点O是对角线AC的中点，过点O 函学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 作AC的垂线分别与边BC、AD交于点E、F,连接AE和CF D (I)求证：四边形AECF是菱形： (2)当CF平分∠ACD时，求证：DF·AC=CD.CE. 【答案】(I)见解析 (②)见解析 【分析】)证明aF40@aBCO(AAS),得到OF-0E,然后证明四边形4BCF是平行四边形，然后结 合EF垂直平分AC即可得到四边形AECF是菱形： S.AFC=AC (2)如图，过点F作FGLCD交CD于点G,由角平分线的性质得到FO=FG,然后推出S.DFC CD S&AFC= EC 同理得到S,ocFD,进而求解即可. 【详解】(I)解：：四边形ABCD是平行四边形 :AD∥BC :.∠FAO=∠ECO,∠AFO=∠CEO :点O是对角线AC的中点 ∴.OA=OC :△FAORECO(AAS) ∴.OF=OE ∴.四边形AECF是平行四边形 ,EF垂直平分AC .AC⊥EF “,四边形AECF是菱形： (2)解：如图，过点F作FG⊥CD交CD于点G 7/30 函学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 F D G E :AC⊥EF,CF平分∠ACD ∴.FO=FG 1 S4C=2 AC.FO AC :.S.DFC 2CD-FG CD: 由(1)得，△FAO≌△ECO .AF=EC S.AFC._AF_EC S.DFC FD FD AC EC ·CDFD :DF·AC=CD.CE 5.(2026:上海虹口·二模)如图，△ABC和△ADE都是等腰直角三角形，∠BAC=∠DAE=90°，AB=AC, AD=AE,连接BD、CE,∠ADB=90°，延长BD交CE于点F,交AC于点G. B (I)求证：四边形ADFE为正方形： (②)如果∠FBC=∠ACF,求证：2AD=FG·FB. 【答案】(1)证明见解析 (2)证明见解析 【分析】(I)先利用已知的两个直角∠BAC∠DAE,通过减去公共角∠DAC,推导出∠BAD=∠CAE: 再结合AB=AC、AD=AE,用SAS证明△BAD≌aCAE,得到∠ADB=∠AEC=90°；接着结合 西学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 LDAE=90°，判定四边形ADFE是矩形，最后根据邻边AD=AE,得出四边形ADFE为正方形： (2)连接AF,先由(1)中正方形ADFE的性质，结合勾股定理得到AF2=2AD:再利用等腰直角 △ABC的角度关系和外角定理，推导出∠FAG=∠ABF;随后通过两角对应相等证明△AFG∽△BFA,得到 FG AF 比例式AF=FB,交叉相乘后结合AF2=2AD2,证得2AD2=FGFB· 【详解】(1)证明：，∠BAC=∠DAE=90°， .LBAC-∠DAC=∠DAE-∠DAC,即∠BAD=∠CAE, ,在△ABD和△ACE中， AB=AC ∠BAD=∠CAE AD=AE △BAD≌△CAE(SAS) ∴.∠AEC=∠ADB=90° :∠DAE=90°，∠ADF=180°-∠ADB=90°， ∴.四边形ADFE是矩形， AD=AE, ∴.四边形ADFE为正方形. (2)证明：连接AF, ',四边形ADFE是正方形，AF是正方形的对角线， ∴.AD=DF,∠ADF=90°，∠AFB=45 由勾股定理得：AF2=AD2+DF2=AD2+AD2=2AD2, :AB=AC,∠BAC=90°， ∴.∠ABC=45°，即∠ABF+∠FBC=45° .∠FBC=∠ACF, 9/30 可学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 .∠ABF+∠ACF=45°， :由(I)知EC⊥BF,即∠BFC=90°， .∠CFG=∠BAG=90°， :∠AGF是△CGF的外角， .∠AGF=∠CFG+∠ACF=90°+∠ACF, 在△AFG中，由内角和定理：∠AGF=180°-∠AFB-∠FAG=180°-45°-∠FAG=135°-∠FAG, .90°+∠ACF=135°-∠FAG. 整理得∠ACF+∠FAG=45°， :∠ABF+∠ACF=45°， .∠FAG=∠ABF, ,在△AFG和△BFA中 ∠FAG=∠FBA,∠AFG=∠BFA, .△AFGP△BFA, FG AF AF=FB,即AF2=FGFB,代入AF2=2AD2 得：2AD2=FGFB」 6.(25-26九年级下·上海长宁·期中)如图，正方形ABCD中，点E在对角线BD上，点F在边CD上（点 F与点C不重合)，且∠EAF=45°. D B C (I)求证：AF·BE=AECF: ②在图中延长E与BC交于点，如果 CF=2DF BH=DF ,求证： 【答案】()见解析 (2)见解析 【分析】(1)连接AC,根据正方形的性质得到∠ABD=∠ACD=∠BAC=45°，结合∠EAF=45°，得到 AE BE ∠BAE=∠CAF,进而证明。ABE∽AACF,进而得到AFCF,从而得出结论： 可学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 (②)设DF=a,则Cr=a,CD-(N2+0, 在Rt△ABC中，根据勾股定理求出AC=V2AD,由 BEAB BH BE (I)知ABAE∽CAF,则CF=AC,进而求出BE=a=DF,再证明。ADE&HBE,进而得到ADDE, 利用E=BD-B5有到DE:AD·准而求出B1-5-a=Dr,从面符出结论. DE 【详解】(1)证明：如图，连接AC, A D F 四边形 是正方形， B C ABCD :.∠ABD=∠ACD=∠BAC=45°， ∠EAF=45°， ∠BAC=LEAF, ∴.∠BAE+∠EAC=LCAF+∠EAC, .∠BAE=∠CAF, :∠ABE=∠ACF, △ABEP△ACF, AE BE AF CF AF·BE=AECF: (2)证明：如图， A F B H F=a CF=2a 设 ,则 11/30 函学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 :.CD=CF+DF=Va+a=(2+1)a :四边形ABCD是正方形， 、AD=BC=CD=(N2+1A、∠ABC=90, 在Rt△ABC中，由勾股定理得：AC=VAB+BC=V2AB=2AD 由(I)知，△ABEn△ACF, BE ABAB 1 CFAC√2ABV2' BE 1 2a2, 解得BE=a, :BE=DF, 四边形ABCD是正方形， ,AC=BD=V2ADAD∥BC AD∥BH ,即 ∴.∠DAE=∠BHE, ,∠AED=∠HEB, ∴△ADEP△HBE, BH BE ADDE· :BD=2AD=V2-(N2+1a=(2+V2)a :.DE=BD-BE=(2+2)a-a=(V2+1)a ∴DE=AD .BHADBE-AD-a-d. DE AD DF=a, .BH=DF 【点睛】本题考查正方形的性质、相似三角形的判定与性质、勾股定理，熟练掌握相关性质定理是解题的 关键。 7.(2026上海普陀二模)己知：如图，在四边形ABCD中，AD∥BC,点E在边BC上， 学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 DC2=CE·CB∠CED=∠ABD A D E (I)求证：四边形ABCD是平行四边形： (②)联结AC交BD于点O,联结OE.如果BE·AD=BD·AB,求证：EO⊥BD 【答案】(I)见解析 (②)见解析 【分析】(1)根据己知得出△DCE∽aBCD,则∠CED=∠CDB,结合已知可得∠CDB=∠ABD,即可证明 AB∥CD,结合条件AD∥BC,即可得证： (2)根据△DCEABCD得出BD·DC=BC·DE,根据平行四边形的性质可得AB=CD,AD=BC, OB=OD,代入已知等式得出BE=DE,根据三线合一，即可得证. 【详解】(1)证明：，DC2=CE.CB DC CE CB DC 又'∠ECD=∠DCB ∴.△DCEABCD .∴.∠CED=∠CDB 又：∠CED=∠ABD ∴.∠CDB=∠ABD ∴.AB∥CD :AD∥BC, “.四边形ABCD是平行四边形： (2)证明：：aDCE△BCD DC=CE=DE ·CBDC BD ∴.BD.DC=BCDE 又，四边形ABCD是平行四边形， .AB=CD,AD=BC.OB=OD 13130 可学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 .BD.AB=BC.DE ,BE·AD=BD·AB, .BE·AD=BC·DE即BE=DE 又OB=OD .OE⊥BD D 8.(2026:上海奉贤·二模)如图，在平行四边形ABCD中，对角线AC、BD交于点O,AF交BD于点E、 交BC于点F,且BE=BF,∠BAF=∠DAC (I)如果AE=CF,求证：∠ABC=∠ACB； (②)连接OF.如果OF2=EF·AF,求证：F是BC的中点. 【答案】(I)见解析 (2)见解析 【分析】本题主要考查了平行四边形的性质、全等三角形的判定与性质以及相似三角形的判定与性质， (1)根据四边形ABCD是平行四边形，∠BAF=∠DAC,可推出∠BAF=∠ACF,根据BE=BF,可推出 ∠AEB=∠CFA,结合AE=CF证明△ABE≌△CAF即可得证： OF EF (2)由OF2=EF,AF可得AF=OF,又有∠AF0=∠0FE'则。4FOA0OFE,得∠AOF=∠OEF,则 ∠COF=∠AEO,结合LBAF=LDAC可得∠COF=∠BFE,又由(I)得∠BAF=∠ACF,可证 △ABF∽aCFO,得到AB‖OF,结合平行四边形的性质即可得证. 【详解】(1)证明：四边形ABCD是平行四边形， .AD∥BC, .∠DAC=∠ACF, ∠BAF=∠DAC ∴.∠BAF=∠ACF, 可学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 BE=BF, .∠BEF=∠BFE .'∠AEB+∠BEF=180°，∠CFA+∠BFE=180°， ,∠AEB=∠CFA, 在△ABE和△CAF中， I∠BAF=∠ACF AE=CF ∠AEB=∠CFA' ∴.△ABE≌△CAF(ASA) :AB=CA, ·∠ABC=∠ACB: (2)证明：OF2=EF·AF, OF EF AF OF 又∠AFO=∠OFE, AFOAOFE, ∴.∠AOF=∠OEF, .∴.∠COF=∠AEO :∠AEO=∠BEF(对顶角相等)： :∠COF=LBEF, 又BE=BF, ,∠BEF=∠BFE, .∠COF=∠BFE, .ADI BC, .∠DAC=∠ACF, ∠BAF=∠DAC, .∠BAF=∠ACF, .△ABF∽ACFO. ∴.∠ABF=∠CFO」 15130 函学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 AB∥OF, :四边形ABCD是平行四边形， .O为AC中点， :AB∥OF .F是BC的中点。 9.(25-26九年级下·上海杨浦期中)已知：如图，AB是半圆O的直径，C是半圆上一点（不与点A、B 重合)，点D是弧AC的中点，过点D作DF⊥AB,垂足为点F,连接OD与AC交于点E. (1)求证：BC=2OF: (②)连接FE并延长与弦BC的延长线交于点G,联结DG.求证：四边形DECG是矩形. 【答案】(1)见解析 (2)见解析 【分析】(1)先由垂径定理的推论结合三角形中位线定理得到BC=2OE,然后证明 △AEO≌△DFO(AAS) 即可； (2)连接D,先由三角形的中位线定理证明OE∥BC,然后证 △AED≌△ECG(ASA) 得到 DE=GC,即可证明四边形DECG是平行四边形，再由∠DEC=90°证明即可. 【详解】(1)证明：：点D是弧AC的中点，OD是半径， .OD⊥AC,AE=EC .OA=OB ∴.BC=20E, OD⊥AC, .∠AE0=90°， ,DF⊥AB, .∠DF0=90° ∴.∠AEO=∠DFO 又：∠AOE=∠DOF,OA=OD 可学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 △AEO≌△DFO(AAS) ∴.OE=OF, ..BC=20F: (2)证明：连接AD G D .OA=OB,AE=CE ∴.OE∥BC .∠AED=∠ECG, ..OE=OF,OD=0A OF OE .OA OD' .∠EOF=∠DOA ∴.△OEF-△ODA ∴.∠OFE=∠OAD ∴.EF∥AD ∴.∠DAE=∠AEF=∠GEC 又，AE=EC ,△AED≌△ECG(ASA) .DE=GC 又：DE∥GC ∴.四边形DECG是平行四边形， :OD⊥AC ∴.∠DEC=90°， .四边形DECG是矩形. 17/30 学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 10.(2026上海崇明·二模)如图，已知四边形ABCD是平行四边形，点E是对角线BD上一点，BE>ED, AE=EC O G B (I)求证：四边形ABCD是菱形： (2)点F是边BC上一点，AF与BD相交于点G,若BG·BE=AB·BF,求证：AB2=BE·DG 【答案】()见解析 (2)见解析 【分析】(1)连接AC交BD于点O,利用等腰三角形的性质证明OE⊥AC,即可得到结论： AB BG AB DGDG (2)根据题意得到BE-BF,证明△ADG∽△FBG,推出BE=AD=AB,即可得到结论. 【详解】(1)证明：如图，连接AC交BD于点O, D E G 四边形 是平行四边形， ABCD ∴.OA=OC,OB=OD .AE=CE, ,OE⊥AC, ∴四边形ABCD是菱形： (2)证明：BG·BE=AB·BF, .AB BG BE BF 由(I)知，四边形ABCD是菱形： AD∥BC,AB=AD, .ADG△FBG, 可学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 DG BG AD BF AB DGDG BE AD AB· AB2=BE·DG 11.(2026上海松江·二模)己知AB是半圆O的直径，弦AC、BD交于点E,OC与BD交于点F,满足 DE CE 1 BEAE2· D M 图1 图2 ()求证：OC⊥BD: (2)如图2，M是OB的中点，CM与BD交于点G,求证：四边形CEOG是菱形. 【答案】1)见解析 (2)见解析 【分析】(1)先证明△CED∽△AEB,得到CD=BO,继而可证明 CFD≌△OFB(AAS) 再由垂径定 理的推论即可证明： CF FG (2)先证明△EAO∽△CAM,则∠AEO=∠ACM,故OE∥CM,那么得到OF=EF,由(I)知， △CFD≌△OFB,则CF=OF,那么FG=EF,即可得到四边形CEOG是平行四边形，再由对角线互相 垂直即可证明菱形 DE CE 1 【详解】(1)证明：：BE=AE2,∠CED=∠AEB' △CED∽△AEB, DE_CD1 ·BEAB2,∠D=∠B ,AB是半圆O的直径， BO 1 AB 2' 19130 函学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 CD BO .AB AB' .CD=BO ,∠D=∠B,∠CFD=∠OFB, △CFD≌△OFB(AAS) .'DF =BF, ,OC经过圆心， .OC⊥BD: (2)证明：：M是OB的中点， OM 1 .OB2, ..OA=OB. OM 1 A0 2 :OA=2,即AM3, CE 1 :AE2' AE 2 AC 3' AEAO .AC AM :∠EAO=∠CAM, .△EAOn△CAM, ∴.∠AEO=∠ACM, .OE∥CM, CF FG ·OFEF, 由(1)知，△CFD≌△OFB, ..CF=OF, .FG=EF, ,四边形CEOG是平行四边形， ,OC⊥BD,即OC⊥EG, ∴.四边形CEOG是菱形. 函学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 12.(2026上海闵行·二模)如图，在Rt△ABC中，∠ABC=90°，AB=BC.点D在边BC上，点E在 CB的延长线上，连结AD、AE,过点E作AD的垂线，分别交AB、AD、AC于点M、H和F,且 AE=EF H (I)求证：BD=BE; AM 2MH (2)求证：AE DE· 【答案】()见详解 (②)见详解 【分析】本题考查等腰直角三角形的性质，等腰三角形的判定和性质，相似三角形的判定和性质等知识点. (I)根据Rt△ABC为等腰直角三角形，△EAF为等腰三角形，得到对应底角相等，根据三角形外角定理 以及角的和差关系得到∠EAB=∠FEC,根据等角的余角相等得到∠AEB=∠HDE,继而根据等腰三角形 三线合一的性质得证结论. (2)通过证明△AEB~△EMB,△AMH∽△EMB，,得到对应线段成比例，继而通过线段的等量代换得证 结论. 【详解】(1)证明：，AB=BC, ,:.Rt△ABC为等腰直角三角形， .∠BAC=∠BCA=45°，∠ABE=∠ABC=90°. AE=EF, .△EAF为等腰三角形， ·.∠EAF=∠EFA, :∠EAF=∠BAC+∠EAB,∠EAF=∠BCA+∠FEC, ∴.∠EAB=∠FEC, ,EF⊥AD, ,∴.∠AHE=∠DHE=90° .∠DHE=∠FEC+∠HDE=90°， 21130 函学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 :∠EAB+∠AEB=∠ABE=90°， .∠AEB=∠HDE, ∴.AE=AD, ,:.△AED是等腰三角形， :∠ABE=∠ABC=90°， ∴BD=BE: (2)证明：由(1)知，∠EAB=∠FEC,BD=BE,△AED是等腰三角形， ·∠EAB=∠DAB=∠FEC, 又：∠AHE=∠ABE=90°，∠ABE=∠EBM=90°，∠EMB=∠AMH, ∴.△AEB△EMB,△AMH∽△EMB, AE EM EM AM ·BEBM,BMMH, AE AM AM MH ·BE=MH,即AE= BE· 又BE=BD=5DE AM 2MH :代入上式得AE DE· 13.(2026上海宝山二模)如图，己知梯形ABCD中，AB∥CD,AD=BC,对角线AC与BD交于点 E,将△ABD沿着直线AB翻折得到△ABF(点D对应点F)· B (I)求证：四边形AFBC是平行四边形： AD DE ②)如果四边形AFBC是矩形，且ABBE,求证：AB=2CD· 【答案】（①）见解析 (2)见解析 【分析】(I)先得到梯形ABCD是等腰梯形，然后根据等腰梯形的性质以及折叠的性质，通过两组对边 分别相等的四边形是平行四边形证明即可： 西学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 (2)先根据比例线段证明AD=CD,然后结合翻折，矩形的性质证明∠3=30°，即可求证 【详解】(I)证明：由翻折可得，BD=BF,AD=AF, :梯形ABCD中，AB∥CD,AD=BC, ∴.梯形ABCD是等腰梯形，AF=BC, .AC=BD .AC=BF, .四边形AFBC是平行四边形： (2)证明：如图， B ,四边形AFBC是矩形， .∠F=∠ACB=90°，AC∥BF, .∠3=∠4，设∠3=∠4=a, :AB∥CD .△DECn△BEA,∠2=∠3=a, DE CD ·BEAB AD DE :ABBE· AD CD .AB AB' .AD=CD, “.∠1=∠2=a, ,翻折 .∠5=∠BAD=∠1+∠3=2a, .∠F=90°， ∴.∠4+∠5=3a=90° 23130 函学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 .a=30°， .∠3=30°， ∠ACB=90°， .AB=2BC. ..AD=CD,AD=BC. .'.AB=2CD 14.(2026·上海金山二模)在平行四边形ABCD中，AB<AD,∠ABC为锐角.要在对角线BD上找点 M、N(BM<BN且点M、N分别与点B、D不重合)，使AN∥CM,甲、乙、丙分别提出方案（如 图). 甲：使BM=DN M 乙：作AM⊥BD,CN⊥BD,垂足分别为M、N. 丙：在BD上任取一点M,连接AM,再以C为圆心、以AM长为半径作弧，交BD于点N. M (I)选择其中一种正确的方案进行证明：AN∥CM; (2)根据你在(I)中选择的方案，延长AN交边CD于点P,若∠DPN=∠DNC,求证：AB2=BM·DM 【答案】()选择方案甲或方案乙，证明见解析 (2)见解析 【分析】(I)选择甲方案，证明△BCM≌△DAN,得到∠AND=∠CMB,则可证明∠ANM=∠CMN,得 到AN∥CM:乙方案，证明如下：先证明AMI‖CN,∠AMB=∠CND=9O°，再证明△ABM≌aCDN,得 到AM=CN,则可证明四边形AMCN是平行四边形，得到AN∥CM; (2)在方案甲中，证明△ABM≌aCDN,得到∠AMB=∠CND,证明△ABM∽△NBA,得到 可学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 AB2=BM·BN BN DM AB2=BM·DM ABM≌ACDN 再证明 ,证明 :在方案乙中，由(1)可得 ,则 BM=DN,同理可证明AB2=BM·DM. 【详解】(1)解：选择甲方案，证明如下： ,四边形ABCD是平行四边形， BC=AD,AD∥BC, ∴.∠ADN=∠CBM, 又：BM=DN, △BCM≌△DAN(SAS) ∴.∠AND=∠CMB .180°-∠AWD=180°-∠CMB ∴.∠AWM=∠CMN, .AN∥CM: 选择乙方案，证明如下： :AM⊥BD,CN⊥BD .AM ICN,∠AMB=∠CND=90°， ,四边形ABCD是平行四边形， .AB=CD,ABII CD .∠ABM=∠CDN. △ABM≌△CDN(AAS) .AM=CN, .四边形AMCN是平行四边形， .AN∥CM； (2)证明：如图所示，在方案甲中， D B ,四边形ABCD是平行四边形， 25130 函学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 AB=CD,AB CD .∠ABM=∠CDN,∠BAN=∠DPN, 又：BM=DN, △ABM≌aCDN(SAS) .∠AMB=∠CND :∠DPN=∠DNC, .∠AMB=∠NAB. 又，∠ABM=∠NBA, ∴.△ABM∽△NBA, AB BM BN AB, .AB2=BM·BN, 又，BM+MN=DN+MN, .BN DM, AB2=BM·DM: 如图所示，在方案乙中，由(I)可得△ABM≌aCDN, A M .BM DN, ∴.同理可证明AB2=BM·DM, 15.(2026·上海静安·二模)如图，正方形ABCD中，点E在边BC上，点F是正方形外一点，连结AE、 EF、AF,对角线AC与线段EF相交于点M,如果AB·AF=AE·AC,且LEAC=∠DAF D B E 可学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 (1)求证： ∠ACF=90°AF=V2EF (②)当点E是边BC的中点时，请直接写出△AMF与△EMC面积的比值：-· 【答案】(1)见解析 (2)10 【分析】本题考查正方形的性质，相似三角形的性质和判定，等腰直角三角形 (1)先证明△ABEn△ACF,得∠ACF=9O°，再证明△ABC∽aAEF,得△AEF是等腰直角三角形，利用 等服直角三角形斜边是直角边的5倍，即可证明F=5EF △AEM∽△FCM (2)先证明 ，再证 △MMF△EMC,设BE=EC=x,得4E=5x,4F=ox SAAME AF 2 最后利用S△EMC EC 求解即可。 【详解】(1)证明：：AC是正方形ABCD的对角线， .∠BAC=∠CAD=45°」 ,∠EAC=∠DAF, .∠BAC-∠EAC=∠CAD-∠DAF, 即∠BAE=∠CAF, ,AB·AF=AE·AC, ABAE .AC AF' ∴.△ABEn△ACF, ∴.∠ACF=∠B=90°， :∠BAE=∠CAF, .∠BAE+∠EAC=∠CAF+∠EAC, 即∠BAC=∠EAF=45°， AB AE ·ACAF· AB AC AE AF' .△ABCP△AEF, 27130 可学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 “.△AEF是等腰直角三角形， AF=EF (2)解：'∠AEF=∠ACF=90°，∠AME=∠FMC .△AEM∽△FCM, AM EM ·FMCM' AM FM ·EMCM' :∠AMF=∠EMC, ∴.△AMF∽△EMC, ,点E是边BC的中点 .设BE=EC=x,则BC=AB=2x, AE-VAB+BE=5x AF=√2AE=V10x S△MME AF 10x :SAEMC =10 EC 16.(2026·上海杨浦·二模)如图，四边形ABCD为平行四边形，连接AC、BD交于M,点E在线段 DM上，且∠ACD=∠ECB D 备用图 (I)延长BA、CE交于N,求证：BC2=BN·AB: (②)点F在AC的延长线上，且∠BFD=∠ABC,求证：∠AFD=∠BFE, 【答案】(1)证明见解析 (②)证明见解析 【分析】(1)由平行四边形的性质可得∠BAC=∠ACD,则∠ECB=∠BAC,结合∠CBN=∠ABC可证明 可学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 △ABC∽△CBN,从而命题得证： (2)作△ABD的外接圆，根据题干和平行四边形的性质可得∠BAD+∠BFD=180°，则A、B、F、D四 AF BF 点共圆，从而得到∠ADB=∠AFB·由(I)可知∠ECB=∠BAC,因此△ABF∽ACEB,则BC=BE,变形 AF AD 得BFBE.根据圆周角定理可得∠DAF=∠DBF,从而证明△ADF一△BEF,命题得证. 【详解】(1)证明：如图， D E M 在平行四边形ABCD中，AB∥CD, ·.∠BAC=∠ACD 又，∠ACD=∠ECB, ∴.∠ECB=∠BAC, ,∠CBN=∠ABC, .△ABC∽△CBN, AB BC ·BCBN· BC2=BN·AB: (2)证明：如图，作△ABD的外接圆， 29/30 函学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 :四边形ABCD是平行四边形 .AD=BC,AD∥BC,AB∥CD .∠BAD+∠ABC=180°，∠BAC=∠ACD,∠ADB=∠EBC, .:∠BFD=∠ABC, .∠BAD+∠BFD=180° .A、B、F、D四点共圆，即点F在△ABD的外接圆上， 4B=4B ∴.∠ADB=∠AFB, :∠EBC=∠AFB, ,∠ACD=∠ECB, ∴.∠BAC=∠ECB, .△ABFP△CEB, AF BF BC BE AF BC BF BE. AD=BC, AF AD .BF BE, DF-DE .∠DAF=∠DBF, .△ADF一△BEF, ∴.∠AFD=∠BFE. 【点睛】利用对角互补联想到四点共圆，结合圆周角定理证明相似三角形是解题关键.