北京市某重点校2025-2026学年高一下学期期中考试数学试题

2026学年高一数学第二学期期中考试评标 一、单选题： 1-5:BD BCA 6-10:C A DD B 二、填空题： 11、1-4 12、(-∞，-16)U(0,6U(6,+∞) 13、8 g (答案不唯一) 14、800n 3 15、xx≠k元，k∈Zz)【-日+k元，k)U(km+k(k∈z) 16、[0,1] 17、(88] 18、5 19、(0,] 20、①③ 三、解答题： 21、 (1)an2a=号 (2)角a的始边与x轴的正半轴重合，终边过定点P(2,3),则r=0P=√4+9=3 所以sina=上-3_3v3 r313, c0sa=5=2-213 rV1313 所以 11π cos[ -a sin +a- 2 2 2sin(+a)cos(-a cos a in 2 *。 -2sinπ+cos(-中 +a)sin(-x-a) cos 2+a（元-g 2W13 -sina.cosa-2(-sina)·cosa_sina·cosa cosa 13 2 -sina·sina -sina.sina sina 313 13 a由于m(怎+jml臣-售-j】=c售-)片 (+-佰】售小 所以m(小(+P引专 22、 (1)依题意有9+9+11+11>9+8+9+10+(10+a ,解得a<4, 4 5 又aeN,所以a的所有可能取值构成的集合为{0,1,2,3} (2)记甲组四名同学分别为A,B,C,D,他们植树的棵数依次为9,9,11,11， 乙组五名同学分别为a,b,c,d,e,他们植树的棵数依次为8,9,9,10,11， 分别从甲、乙两组中各随机抽取一名同学，所有可能的结果有20个， 即(A,a,(A,b),(A,c),(A,d),(Ae,(B,a,(B,b),(B,c,(B,d),(B,e, (C,a,C,b),(C,c,(C,d),(C,e,(D,a,D,b),(D,c,(D,d),(D,e), 用事件C表示“选出的两名同学的植树总棵数不小于20”，则事件C中的结果有10个， 它们是(Ae,(B,e,(C,b),(C,c,(C,d),(C,e),(D,b),(D,c),(D,d),(D,e, 故所求概车r℃)-8号 (3)甲组同学的植树棵数的方差为s, 把甲组中每一个数据都变为原来的2倍，则这组新的数据方差=4， 把甲组中每一个数据都增加2，这组新的数据方差s=5, 所以=5号<. 23、 (1)因为f(x)=2+a2,可得f(0)=0,即2°+a.2°=0，解得a=-1;经检验成立 (2)当a=-1,可得f(x)=2-2,则g(x)=ln(2-2)+x-2, 因为函数f(x)=2-2在区间(0，+∞)为单调递增函数， 又因为函数y=x-2和y=lnx在(0，+o)上单调递增， 所以函数g(x)在(0，+o)上单调递增， 因为81)=ln(2-2)+1-2=h31<0,g(2)=n(2:-2)+2-2=1n5>0, 4 所以g(1)g(2)<0,根据零点的存在性定理，可得g(x)在区间①，2)上有一个零点， 即函数g(x)在(0，+o)上有一个零点： 24、 (1)若选择①② 由条件②函数了)最小正周期为元，得2亚=元，所以w=2. 所以f(x)=sin(2x+p). 由条件①对任意的xeR.都在了侣（正+ 得函数✉的图象关丁x一台对将。 即2xC+p=匹+km,keZ,p=亚+km,keZ. 12 2 3 由0≤0<2m,所以0=或0=4 3 3 即不能唯一确定，不合题意： 若选①③： 由条件@对征数的xK,都在/侣小侣， 得函数f八田的图象关于-晋对称 由条件S)在[受 上为增函数，fx)在x=匹处取得最大值， 12 即0<ws2. 此时ω不能唯一确定，不合题意； 若选②③，由条件②函数f)最小正周期为元，得2亚=元，所以w=2. 所以f(x)=sin(2x+p) 由条件③f()在 5元兀 12'12 上为增函数，了 (阁 得函数f(x)在x 处取得最大值，且在x-钙处取得最小值 1 5死x×2+0=- +2,k Z 所以 2 12 ×2+p= +2,k Z 由0≤0<2π，得0=元 3 唯一确定 20随得-+1=2n1=a+1 ππ 由xe 6'12 令2=2x+ 则后 因为y=sinz在 后引上单璃运着 在 π5π 26 上单调递减， 且sm亚=V3 sin=lsin5 3 2 2 6-2 所以sinz∈ 所以g(x)∈[2,3]，即函数g(x)的值域为[2,3] 因为存在x[司 g(x)∈[2,3， 所以由关于x的不等式成立，得到m2(2%- 3 2g(x)min' 令t=8x,y=t-fe2,3, 因为y=产23止是增丽数。所以y的最小值在t2处取得，即最小值为； t 所以m的取值范围是号+oo). 25、 )）由f=4 sin.xco+号3=4sn(coso-mx =4sinx 1-sinx 2 +3=2sin.x cosx-23sinx+3=sin2x+(1-2sin2 x)=sin 2x+3 cos 2x sin 2x. -+cos 2x 2 =2m(2x+ 由f(x)=a, π 令2x+ =t, x∈ πn 3 6’4] 则te0,5] 06 则snt=2 在te05r 上有两个不同的实数解。即y=血与)=号有两个不同的交点： 如图 A y=sint y= 7≤号<1，解得1≤a<2,即实数a的取值范国L,2): sin 2 62 6 (2)将函数()的图象向右平移品个单位长度 得y=2sim -引-2sn(+副 图象上所有点的横坐标变为原来 纵坐标不变 2 6 当引+后[后 可得m4+)[习 从而g(6)-2sm3+君e1.2]: 当后引则+合小可得m+写引写 从而1s)》=2m(2+号)[0同 当m>0,7 )=时(s)-me[-m√3-m 当m<0, s)=时s)-me[5-1m-m 由对任意的引存在引 使得g(5)=h()成立， m>0 [<0 则{-≤-1 或(3-1m≤1 5-1m≥2m≥2 解得m≥√3+1或≤-2， 实数m的取值范围为(-o,-2U「3+1，+ 26、 (1)Q是平衡的，O不是平衡的. 理由：S={1,2,…,5}, 9:1,2,1,3,4,5){2,32,4么，5}，4=2,4=4,4=2,44=2,4=2，满足4≥2， 显然A=s,且对于S中的任意两个不同元素i,j, {1,2,1,3},1,4,1,5},2,3,24},2,5,34,85},4,5), 都存在唯一的k∈{L,2,,m,使得{包，}s4. 故只是平衡的， 9:{1,2,3},1,4,5,{2,4234)3,5}, {2,5}并不是A的子集，故Q2不是平衡的 (2)()当1E4时，对于A中的每个元素j,考虑1，} 由③知存在唯一的k≠1，满足1，》≤A,则k,∈B. 将每一个j∈A对应到k,∈B, 若j≠广，就有k,≠k,否则{j,}4且{，}二A,与③矛盾。 所以4≤B: ()对A,A,,A中所有元素的总个数算两次（重复出现的计多次）， 一方面总个数就是A+A++1, 另一方面，按照每个元素出现的次数计算，这个总个数也是B+B+…+B, 所以4+4+…+A=B+B++Bn.(*) 不妨设B,B,,B中最小的（之一）为B, 且Bn=L,2,,t,由②③知1<t<n. 再不妨设5∈A(s=1,2,,t) 由()的证明方法可证：当iEA时，≥4， 由③知3生A1(=1,2,,t-10,tEA, 所以AsB6=1,2…t-0,4sB 又因为nEA1,A2,A,所以A4…A都不大于B, 全部相加得4+4+…+A≤B+B,+…+B+(-t)B, 由B,的最小性知B+B+…+B≥B+B+…B(n-到， 结合(*)可得 B+Bl++B+u-t)B上B+B++B+1-t)串. 所以之n.2026学年高一数学第二学期期中考试 一、单选题 1.集合A={x2≤x≤5，x∈Z,B=1,2,3,6},则图中阴影部分所表示的集合为() B A.{2,3} B.{4,5} C.{1,2,3,6} D.{2,3,4,5} 2.已知a=logc0s6,b=2s6,c=c0s6,则（) A.bzazc B.a>b>c C.c>b>a D.b>c>a 3.已知aw∈(0，)，则“sin(π-a)= 是csa=g5的《) 1 2 A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充要条件 D.既不充分也不必要条件 4.在三角形ABC中，M、N分别在边AB、AC上，且AB=2AM,AC=4N,D在边 BC上（不包含端点）.若AD=xAM+A,则上+2的最小值是() A.8 B.4 C.2 D.1 5.函数f(x)=1-2 cos(2π-x)的图像大致为() e+1 2玩 2π 6.已知函数f)=Asin(ox+A>0,®>0,4<5的部分图象如图所示，则下列结论中错 误的是() 试卷第1页，共7页 5 12 A)=sm2x+君 B.点P 12 ,0是函数∫(x)的图象的对称中心 C.函数f(x)在区间 _ππ] 3’4 上是增函数 D.将函数了()的图象向右仪0>0个单位后所得的函数为偶函数，则9的最小值为背 7.已知非零向量a,5满足=2，(3ā-2五)1(V3a+2),且对t,a-≥a-b恒成立， 则a.b=() A.3 B.2√5 C.2 D.0 8.DeepSeek是人工智能的一种具有代表性的实现方法，它是以神经网络为出发点.在神经 网络优化中，指数衰减的学习率模型为L=乙D,其中L表示每一轮优化时使用的学习率， L表示初始学习率，D表示衰减系数，G表示训练迭代轮数，G表示衰减速度.已知某个 指数衰减的学习率模型的初始学习率为0.6，衰减速度为20，且当训练迭代轮数为10时， 学习率衰减为0.3，则学习率衰减到0.4以下（不含0.4）所需的训练迭代轮数至少为() (参考数据：lg2≈0.3,1g3≈0.477) A.3 B.4 C.5 D.6 9.函数f(x)=2sin(ox+p)(o>0,lpkT)的部分图象如图所示，直线y=-x+3经过函数f(x) 图象的最高点M和最低点N,则f(0)+f1)+f(2)+.…+f(2026)的值是() VA A.√2+1 B.√2+2 C.2W2+1 D.22+2 试卷第2页，共7页 10.已知点P为三角形ABC所在平面内一点，满足PC+xPB+yPA=0,(其中x,y∈R) 以下说法错误的是() A.若直线PC过边AB的中点，则x=y B.当x=1,y=2时，△APB与△APC的面积之比为1：2 C.若网=历p1,月=1，则PAa丽=} D.若PA.PB=0,且PA=PB=1PC=2,则x,y满足x2+y2=4 二、填空题 11.已知向量a=1,2),万=(-2，)，若Lb,则x的值为 :若a∥，则x的值为 12已知向量ā=（←t-)万=l60且a与万夹角为钝角，则t的取值范围为 13.已知，B∈[0,2元]，且cosa=cosB,sina≠sinB.写出满足条件的一组a,B的值 &= ,B= 14.窗花是中国传统民间工艺，承载着吉祥寓意与文化内涵.图1为一张手工制作的扇环形 窗花，可视为图2扇形OAB截去扇形OCD所剩余部分.已知AC=20cm,∠AOB=120, AB=20mcm.则此扇环形窗花的面积为 cm2 图1 图2 15.已知函数 f()= (sinx-cosx)sin2xf()定义域为 f(x)的单调增区间为 sinx 16.己知正方形ABCD的边长为2，MN是它的内切圆的一条弦，点P为正方形四条边上的 动点：当弦MN的长度最大时，PM.P的取值范围是 试卷第3页，共7页 17. 设函数)=sm0+引，®>0在区间(Q列恰有三个最值，两个零点，则0的取 值范围是 18.已知函数f(x)=cos(ax+p), 〔。>0以习引过点（牙0直线-晋为共中一条对 称镇，且在侣引}上单消，则如的最大值为 19.(x)=sinx (x)=cosx+ 6/ 若对任意t∈R,存在i∈L,2}使得函数y=f(x)在 区间[t,t+a](a>0)上是单调函数，则实数a的取值范围是 20.如图所示，某游乐场有一款游乐设施，该设施由转轮A和转轮B组成，B的圆心固定在 转轮A上的点Q处，某个座椅固定在转轮B上的点M处.转轮A的半径为10米，转轮B的 半径为5米，A的圆心P距离地面竖直高度为20米.游乐设施运行过程中，A与B分别绕 各自的圆心逆时针方向匀速旋转，A疾转一周用时灭分钟，及底转一周用时子分钟，当在 P正下方且M在Q正下方时，开始计时，设在第t分钟时M距离地面的竖直高度为h(t) 米.给出下列四个结论：① 4 =25;②h(t)的最大值是35：③M在竖直方向上的速 度低于40米分：④存在t,∈(0，π)，使得t=,时，M到P的距离等于15米.其中所有正 确结论的序号为 转轮A 转轮B h(t) 试卷第4页，共7页 三、解答题 21.己知角的始边与x轴的正半轴重合，终边过定点P(2,3) (1)求tan2a cos 11z-asin (2)求（2 (9a-2sin (na)cos(a) 气2 一的值。 cwg+小nra) e-片求m+P的慎 22.以下茎叶图记录了甲、乙两组同学中每位同学的植树棵数，其中乙组记录中有一个数据 模糊，无法确认，在图中用α表示. 甲组 乙组 99 0 989 11 1 (1)如果甲组同学植树棵数的平均数大于乙组同学植树棵数的平均数，求图中α的所有可能 取值： (2)如果α=1，现分别从甲、乙两组中各随机抽取一名同学，求这两名同学的植树总棵数不 小于20的概率： (3)记上图中甲组同学的植树棵数的方差为5.变化一：把图中甲组中每一个数据都变为原 来的2倍，记得到的这组新的数据方差为，变化二：把图中甲组中每一个数据都增加2， 记得到的这组新的数据方差为，试比较s,s,巧的大小.（结论不要求证明） 注：=[-+6-到++区-x到门，=占+5++) 试卷第5页，共7页 23.已知函数f(x)=2+a·2x.f(x)是奇函数. (1)求实数a的值： (2)设g(x)=n[f(x)]+x内-24，判断函数g(x)在区间(0，+o)上的零点个数，并说明理由. 24.在条件①对任意的x∈R, 都有倍-径：条件@)最小正周期为： 条件③f(x)在 5兀兀 12'12 上为增函数，这三个条件中选择两个，补充在下面的题目中，并解 答 已知f(x)=sin(ox+p)（o>0,0≤p<2π)，若 则ω，P唯一确定. (1)求f(x)的解析式； 设数)2+引1， ①求函数g(x)的值域： ②若存在x∈- T,严，使得关于x的不等式g(2-2mg()-3≤0有解，求实数m的取 6'12 值范围。 试卷第6页，共7页 25.已知函数)=46nxco+写引5，定义域为R. (1)已知方程f(x)=a在区间 元π 64 上有两个不同的实数解，求实数α的取值范围： (2)将函数(x)的图象向右平移”个单位长度，再将所得函数图象上所有点的横坐标变为原 纵坐标不变，得到函数g的图象，函数(9)=f四)-m,x∈R,m≠0， 任意的∈0,3 总存在x∈ ππ 6’3 使得g(:)=h(x)成立，求实数m的取值范围. 26.记M表示有穷集合M的元素个数.已知m,n是正整数，集合S={1,2,,n}.若集合序 列Q:A,A,,A满足下列三个性质，则称2是“平衡序列”： ①4x≥2，其中k=1,2,,: ②AS,其中k=1,2,…,; ③对于s中的任意两个不同元素i,j,都存在唯一的k∈1,2，，m},使得{i,j}二A. (1)设=n=5,判断下列两个集合序列是否是“平衡序列？（结论不要求证明） 9:1,2,1,3,4,5),{2,3,2,425} 22:1,2,3},{1,4,5,2,43,4},5} (2)已知n≥3且集合序列Q:A,A,,Am是“平衡序列”，对于i=1,2,,n,定义： B,={ki∈4，k=1,2,,m.证明： (i)当1E4时，B≥4： (ii)≥n. 试卷第7页，共7页