精品解析：北京理工大学附属中学2025-2026学年第二学期高一年级数学学科期中练习

2025—2026学年度第二学期高一年级数学学科期中练习 考试时间90分钟 一、选择题：本题共10小题，每小题4分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 函数的最小正周期是（ ） A. 2 B. C. D. 2. 已知，，三点共线，那么c的值是（ ） A. B. 1 C. D. 3 3. 下列函数中，在上递增的偶函数是（ ） A. B. C. D. 4. 如图，这把折扇是从一个大圆中剪下一个扇形，再在该扇形内剪下一个同心小扇形（作为扇骨留白），形成扇环形状的扇面.已知扇子扇形的圆心角为，则此扇面的面积为（ ） A. B. C. D. 5. 点在第二象限，则角的终边在（ ） A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限 6. 已知角的终边绕原点逆时针旋转后与角的终边重合，且，则的取值可以为（ ） A. B. C. D. 7. 若函数的部分图象如下图所示，则的值是（ ） A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 8. 已知，则“存在使得”是“”的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充分必要条件 D. 既不充分也不必要条件 9. 已知不共线的向量，满足，，，则的最小值为（ ） A. B. 2 C. D. 10. 已知函数＝，若存在实数且，使得，则的取值范围为（ ） A. B. （－，4] C. D. 二、填空题：本题共5小题，每小题5分，共25分． 11. 已知，且是第二象限角，则的值是________． 12. 将函数的图象先向右平移个单位长度，得到函数________________的图象，再把图象上各点横坐标缩短到原来的（纵坐标不变），得到函数________________的图象． 13. 已知向量，向量，则向量与向量的夹角为__________． 14. 如图，数轴，的交点为，夹角为，与轴、轴正向同向的单位向量分别是，由平面向量基本定理，对于平面内的任一向量，存在唯一的有序实数对，使得，我们把叫做点在斜坐标系中的坐标以下各点的坐标都指在斜坐标系中的坐标．若，且点的坐标为，点的坐标为，则_______． 15. 已知函数f(x)=sinxtanx.给出下列结论： ①函数f(x)是偶函数； ②函数f(x)在区间（，0）上是增函数； ③函数f(x)的最小正周期是2π; ④函数f(x)的图象关于直线x=π对称． 其中正确结论的序号是_______________．（写出所有正确结论的序号） 三、解答题：本题共4小题，共35分．解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程． 16. 已知角的顶点与原点O重合，始边与x轴的正半轴重合，它的终边过点，且． （1）求m及的值； （2）化简：，并求值． 17. 已知中，D为上的点，且，E为的中点，． （1）记，用表示和； （2）若，求的值． 18. 已知函数的最小正周期为，再从下列两个条件中选择一个作为已知条件： 条件①：的图象关于点对称； 条件②：的图象关于直线对称． （1）请写出你选择的条件序号，并求的解析式； （2）在（1）的条件下，求的单调递增区间； （3）在（1）的条件下，记函数为在区间上的最小值，试写出的解析式（不用写出过程）． 注：如果选择条件①和条件②分别解答，按第一个解答计分． 19. 设平面内两个非零向量的夹角为，定义一种运算“⨂”：．试求解下列问题： （1）已知向量满足，，，求的值； （2）（i）若，用坐标表示； （ii）在平面直角坐标系中，已知点，，，求的值； （3）已知向量，求的最小值． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025—2026学年度第二学期高一年级数学学科期中练习 考试时间90分钟 一、选择题：本题共10小题，每小题4分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 函数的最小正周期是（ ） A. 2 B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据正弦函数的最小正周期公式即可求解 【详解】因为，所以，所以函数的最小正周期为. 2. 已知，，三点共线，那么c的值是（ ） A. B. 1 C. D. 3 【答案】B 【解析】 【详解】由题可得，， 因为三点共线，所以， 所以，解得. 3. 下列函数中，在上递增的偶函数是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【详解】对于A：为奇函数，故A错误； 对于B： 为奇函数，故B错误； 对于C：为偶函数，但是函数在上单调递减，故C错误； 对于D：为偶函数，且上单调递增，故D正确. 4. 如图，这把折扇是从一个大圆中剪下一个扇形，再在该扇形内剪下一个同心小扇形（作为扇骨留白），形成扇环形状的扇面.已知扇子扇形的圆心角为，则此扇面的面积为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】利用扇形面积公式计算扇形和扇形的面积，最后相减即可. 【详解】扇子扇形的圆心角为，， 由扇形面积公式得，扇形的面积为， 扇形的面积为， 扇面的面积为. 故选：B. 5. 点在第二象限，则角的终边在（ ） A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限 【答案】D 【解析】 【分析】根据点所在象限得出且，再根据三角函数定义得出终边所在位置. 【详解】由题意， 则终边在轴下方，则终边在轴右侧， 所以终边在第四象限， 故选：D. 6. 已知角的终边绕原点逆时针旋转后与角的终边重合，且，则的取值可以为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】由题意易得，列出余弦函数方程解出即可. 【详解】由于角的终边绕原点逆时针旋转后与角的终边重合， 所以， 所以，即，解得， 当时，， 故选：C. 7. 若函数的部分图象如下图所示，则的值是（ ） A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 【答案】B 【解析】 【分析】由得的图像关于对称，进而得周期，即可求解. 【详解】由图可得：，，所以的图像关于对称， 所以，所以，所以. 8. 已知，则“存在使得”是“”的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充分必要条件 D. 既不充分也不必要条件 【答案】A 【解析】 【分析】由三角函数的诱导公式可判断充分性，通过特殊值可判断必要性. 【详解】存在使得， 则， 则，充分性成立， 取，满足， 此时无论取何值，，，必要性不成立. 9. 已知不共线的向量，满足，，，则的最小值为（ ） A. B. 2 C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】由题意，根据平面向量数量积的运算律可得，设，，进而知点C在直线上，点B直线上，结合计算即可求解. 【详解】由，得， 即，又， 整理得. 设，则， 设，则， 所以，即点C在直线上； 设，由，得，即点B直线上， 而的几何意义为直线上的点B到直线上的点C的距离， 所以， 即的最小值为. 故选：D 10. 已知函数＝，若存在实数且，使得，则的取值范围为（ ） A. B. （－，4] C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】作出图形，利用正弦型函数的对称性得出，可得出，求出的取值范围，利用二次函数的基本性质可求得所求代数式的取值范围. 【详解】作出函数图象，如下图所示： 令，解得，故时，对称轴为直线，则，因为， 所以，又因为， 则， 由，得，则，则， 所以. 二、填空题：本题共5小题，每小题5分，共25分． 11. 已知，且是第二象限角，则的值是________． 【答案】 【解析】 【分析】先用平方关系解出余弦，再根据商数关系得到答案. 【详解】因为，且是第二象限角，所以，所以. 故答案为：. 12. 将函数的图象先向右平移个单位长度，得到函数________________的图象，再把图象上各点横坐标缩短到原来的（纵坐标不变），得到函数________________的图象． 【答案】 ①. ②. 【解析】 【分析】根据三角函数的图象变换可得变换后函数的解析式. 【详解】由三角函数的图象变换可知， 函数的图象先向右平移可得， 再把图象上各点横坐标缩短到原来的（纵坐标不变）可得， 故答案为：； 13. 已知向量，向量，则向量与向量的夹角为__________． 【答案】## 【解析】 【分析】由平面向量夹角公式代入即可得出答案. 【详解】，，，设向量与向量的夹角为，，所以向量与向量的夹角为. 故答案为：. 14. 如图，数轴，的交点为，夹角为，与轴、轴正向同向的单位向量分别是，由平面向量基本定理，对于平面内的任一向量，存在唯一的有序实数对，使得，我们把叫做点在斜坐标系中的坐标以下各点的坐标都指在斜坐标系中的坐标．若，且点的坐标为，点的坐标为，则_______． 【答案】 【解析】 【分析】将用表示，再将平方开根号，结合数量积的运算律即可得解. 【详解】依题意夹角为，所以， 因为，，， 所以. 故答案为： 15. 已知函数f(x)=sinxtanx.给出下列结论： ①函数f(x)是偶函数； ②函数f(x)在区间（，0）上是增函数； ③函数f(x)的最小正周期是2π; ④函数f(x)的图象关于直线x=π对称． 其中正确结论的序号是_______________．（写出所有正确结论的序号） 【答案】①③④ 【解析】 【详解】对于其定义域为 关于原点对称，且 ∴函数是偶函数，故①正确； 当时， 当时， ，而 故②错误； ∴函数的最小正周期是， 故③正确； 即函数的图象关于直线 对称，故④正确． ∴正确结论的序号是①③④． 即答案为①③④． 三、解答题：本题共4小题，共35分．解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程． 16. 已知角的顶点与原点O重合，始边与x轴的正半轴重合，它的终边过点，且． （1）求m及的值； （2）化简：，并求值． 【答案】（1）m＝1， （2） 【解析】 【分析】（1）由三角函数的定义可得，由此解出m，再由三角函数的定义求出的值； （2）由诱导公式化简代入的值即可得出答案； 【小问1详解】 由题意可知：， 平方可得：，化简得：，又因为， 所以m＞0，故m＝1．因此． 【小问2详解】 原式 17. 已知中，D为上的点，且，E为的中点，． （1）记，用表示和； （2）若，求的值． 【答案】（1），； （2） 【解析】 【分析】（1）根据向量的平行四边形定则和三角形定则求解即可. （2）根据向量垂直和向量的数量积计算即可. 【小问1详解】 ， ； 【小问2详解】 若，则，即， 得：，， 所以，得， 所以． 18. 已知函数的最小正周期为，再从下列两个条件中选择一个作为已知条件： 条件①：的图象关于点对称； 条件②：的图象关于直线对称． （1）请写出你选择的条件序号，并求的解析式； （2）在（1）的条件下，求的单调递增区间； （3）在（1）的条件下，记函数为在区间上的最小值，试写出的解析式（不用写出过程）． 注：如果选择条件①和条件②分别解答，按第一个解答计分． 【答案】（1）条件①，；条件②． （2）． （3） 【解析】 【分析】（1）选择条件①，通过正弦函数对称中心代入即可求解，选择条件②，通过正弦函数对称轴代入即可求解； （2）通过正弦函数单调区间，整体代换即可求解； （3）借助正弦型函数的单调区间，通过讨论，，，即可求解. 【小问1详解】 因为函数f（x）＝的最小正周期为， 所以， 选择条件①： 因为的图象关于点对称， 所以，所以， 因为，所以，故的解析式为． 选择条件②： 因为的图象关于直线对称，所以， 所以，因为，所以， 故的解析式为． 【小问2详解】 令， 所以， 故的单调递增区间为． 【小问3详解】 令， 所以， 故的单调递减区间为，单调递增区间为． 故当时，单调递增， 当时，单调递减， 且，， 所以当， 当， 当， 即 19. 设平面内两个非零向量的夹角为，定义一种运算“⨂”：．试求解下列问题： （1）已知向量满足，，，求的值； （2）（i）若，用坐标表示； （ii）在平面直角坐标系中，已知点，，，求的值； （3）已知向量，求的最小值． 【答案】（1） （2）（i）；（ii）7 （3）9 【解析】 【分析】（1）根据新定义代入运算即可得解； （2）（i）根据新定义代入运算得解；（ii）由（i）的结论，代入运算得解； （3）由（2）的结论结合基本不等式求解. 【小问1详解】 由，可得， 则. 【小问2详解】 （i）由，可得， 因为，故， 故. （ii）由，，可得，， 故. 【小问3详解】 由，结合（2）的结论可知： ， 当且仅当，等号成立，结合，故时取等号， 因此的最小值为9. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $