第三节　幂函数与指、对数式的运算课件-2027届高三数学一轮复习

第三节 第二章　函数与基本初等函数 幂函数与指、对数式的运算 【目标要求】　1.了解幂函数的概念.2.结合y=x,y=,y=x2,y=,y=x3的图象,了解它们的变化规律.3.了解指数幂的拓展过程,掌握指数幂的运算性质.4.理解对数的概念及运算性质,知道用换底公式能将一般对数转化成自然对数或常用对数. 1.幂函数 (1)幂函数的定义 一般地,函数_________叫做幂函数,其中x是自变量,α是常数. (2)常见的五种幂函数的图象 y=xα (3)幂函数的性质 ①幂函数在(0,+∞)上都有定义; ②当α>0时,幂函数的图象都过点________和________,且在(0,+∞)上单调递增; ③当α<0时,幂函数的图象都过点________,且在(0,+∞)上单调递减; ④当α为奇数时,y=xα为___________;当α为偶数时,y=xα为__________. (1,1) (0,0) (1,1) 奇函数 偶函数 2.指数式的运算 (1)根式 ①一般地,如果xn=a,那么________叫做a的n次方根,其中n>1,且n∈N*. ②式子叫做_______,这里n叫做根指数,a叫做被开方数. ③()n=______. 当n为奇数时,=_____, 当n为偶数时,=|a|= x　 根式 a a (2)分数指数幂 正数的正分数指数幂:=_______(a>0,m,n∈N*,n>1). 正数的负分数指数幂:=_____=(a>0,m,n∈N*,n>1). 规定:0的正分数指数幂等于___,0的负分数指数幂没有意义. (3)指数幂的运算性质 aras=_____;(ar)s=_____;(ab)r=______.(a>0,b>0,r,s∈R) 　 　 0 ar+s ars arbr 3.对数式的运算 (1)对数的概念 一般地,如果ax=N(a>0,且a≠1),那么数x 叫做以a为底N的对数,记作__________,其中_______叫做对数的底数,______叫做真数. 以10为底的对数叫做常用对数,记作_______.以e为底的对数叫做自然对数,记作_________. x=logaN a N lg N ln N (2)对数的性质与运算性质 ①对数的性质:loga1=____,logaa=_____,=_____ (a>0,且a≠1,N>0). ②对数的运算性质 如果a>0,且a≠1,M>0,N>0,那么: (ⅰ)loga(MN)=_______________;(ⅱ)loga=_______________; (ⅲ)logaMn=_______________(n∈R). ③对数换底公式:logab=(a>0,且a≠1;b>0;c>0,且c≠1). 0 1 N logaM+logaN logaM-logaN nlogaM 1.logab·logba=1.　　 2.logab·logbc=logac. 3.lobn=logab. 4.lobn=logab. 1.思考辨析(对的打“√”,错的打“×”) (1)幂函数的图象一定不能出现在第四象限.(　　) (2)分数指数幂可以理解为个a相乘.(　　) 由分数指数幂的意义可知,分数指数幂个a相乘,错误. 解析 (3)对数log39和log93的意义一样.(　　) (4)当α>0时,幂函数y=xα在(0,+∞)上是增函数.(　　) 因为log39=2,log93=,两者不同,错误. 解析 2.函数y=的大致图象为(　　) 函数y=是幂函数,定义域为R,是偶函数,排除D;由0<<1,得函数y=在(0,+∞)上单调递增,排除C;且当x>1时,函数y=的图象在y=x下方,排除A,选项B符合要求.故选B. 解析 3.已知ab≠1,logam=,logbm=,则logabm=(　　) A.5 B. C.6 D. 解析 4.+log82+-log28的值为______. +log82=+lo2=+=1.-log28=(3-3-log223=3-3=0,原式=1+0=1. 解析 1　 5.(人A必一P100T5改编)已知幂函数f(x)经过点(,2),则不等式f(x+3)≤f(2x-1)的解集为________. 解析 [4,+∞)　 (1)(多选题)若幂函数f(x)在(-∞,0)上单调递减,则f(2)的值可能是(　　) A. B.4 C. D.8 考点一 幂函数的图象与性质………………自练自悟 设幂函数f(x)=xα,若f(2)=,则α=-1,f(x)=x-1,在(-∞,0)上单调递减,符合题意;若f(2)=4,则α=2,f(x)=x2,在(-∞,0)上单调递减,符合题意;若f(2)=,则α=,f(x)=,定义域为[0,+∞),不符合题意;若f(2)=8,则α=3,f(x)=x3,在(-∞,0)上单调递增,不符合题意.故选AB. 解析 (2)下面给出4个幂函数的图象,则图象与函数对应的是(　　)   A.①y=,②y=x2,③y=,④y=x-1 B.①y=x3,②y=x2,③y=,④y=x-1 C.①y=x2,②y=x3,③y=,④y=x-1 D.①y=,②y=,③y=x2,④y=x-1 图象①对应的幂函数的幂指数必然大于1,排除A,D.图象②中幂 函数是偶函数且在第一象限单调递增,幂指数必为正偶数,排除C.故选B. 解析 (3)已知a=40.2,b=30.4,c=1.50.8,则(　　) A.b<c<a B.c<a<b C.a<c<b D.a<b<c a=40.2==20.4,c=1.50.8=(1.52)0.4=2.250.4,对于幂函数y=x0.4,因为指数0.4>0,故y=x0.4在[0,+∞)上单调递增,又2<2.25<3,所以a<c<b.故选C. 解析 (4)若<,则实数m的取值范围是__________. 　 解析 1.对于幂函数y=xα(α∈R)图象的掌握只要抓住在第一象限内三条线分第一象限为六个区域,即x=1,y=1,y=x所分区域.根据α<0,0<α<1,α=1,α>1的取值确定位置后,其余象限部分由其奇偶性决定. 2.在比较幂值的大小时,必须结合幂值的特点,选择适当的函数,借助其单调性进行比较. 考点二 指数幂运算 解析 +1 解析 1.指数幂的运算首先将根式、分数指数幂统一为分数指数幂,以便利用法则计算,还应注意: (1)必须同底数幂相乘,指数才能相加. (2)运算的先后顺序. 2.运算结果不能同时含有根号和分数指数,也不能既有分母又含有负指数. -1++=-++π-2=π. 解析 π 4 解析 - 解析 【例2】　(1)log3-log32log23--lg-lg=______. 考点三 对数运算 解析 -3 (2)若9a=4b=m,且+=4,则m=_______. 由9a=4b=m,可得:a=log9m,b=log4m,所以+=logm9+4logm4=4,即logm(9×44)=4,即9×44=m4,而m>0,所以m=4. 解析 4 因为=+≥2,所以ab≥2,所以+=log2ab≥log22=1,所以最小值为1,此时a=b=. 解析 解决对数运算问题的常用方法 1.将真数化为底数的指数幂的形式进行化简. 2.将同底对数的和、差、倍合并. 3.利用换底公式将不同底的对数式转化成同底的对数式,要注意换底公式的正用、逆用及变形应用. 【训练2】　(1)计算lg 2-lg+3lg 5-log32·log49+=_____. 原式=lg 2+lg 4+3lg 5-log32·+4=3lg 2+3lg 5-1+4=3-1+4=6. 解析 6 (2)已知函数f(x)=ax(a>0,a≠1),若f(ln 2)f(ln 4)=8,则a=_____. e　 解法一:因为f(x)=ax(a>0,a≠1),所以f(ln 2)f(ln 4)=aln 2·aln 4=aln 2+ln 4= aln(2×4)=aln 8=8=eln 8,即aln 8=eln 8,所以a=e. 解法二:因为f(x)=ax(a>0,a≠1),所以f(ln 2)f(ln 4)=aln 2·aln 4=aln 2+ln 4= aln(2×4)=aln 8=8=,即ln 8=loga8,所以log8e=log8a,所以a=e. 解析 【例3】　(2025·北京高考)在一定条件下,某人工智能大语言模型训练N个单位的数据量所需要时间T=klog2N(单位:小时),其中k为常数.在此条件下,已知训练数据量N从106个单位增加到1.024×109个单位时,训练时间增加20小时;当训练数据量N从1.024×109个单位增加到4.096×109个单位时,训练时间增加(单位:小时)(　　) A.2 B. 4 C. 20 D. 40 考点四 指对运算的应用 设当N取106个单位、1.024×109个单位、4.096×109个单位时所需时间分别为T1,T2,T3,由题意,T1=klog2106=6klog210,T2=klog2(1.024× 109)=klog2(210×106)=k(10+6log210),T3=klog2(4.096×109)=klog2(212×106)=k(12+6log210),因为T2-T1=k(10+6log210)-6klog210=10k=20,所以k=2,所以T3-T2=k(12+6log210)-k(10+6log210)=2k=4,所以当训练数据量N从1.024×109个单位增加到4.096×109个单位时,训练时间增加4小时.故选B. 解析 解决指数、对数运算实际应用问题的步骤 1.理解题意,弄清楚条件和所求之间的关系; 2.运用指数或对数的运算公式、性质等进行运算,把题目条件转化为所求. 【训练3】　围棋是中国传统棋种,蕴含着中华文化丰富内涵,围棋 棋盘横竖各有19条线,共有19×19=361个落子点.每个落子点都有落白子、落黑子和空白三种可能,因此围棋空间复杂度的上限M≈3361.科学家们研究发现,可观测宇宙中普通物质的原子总数N≈1080.则下列各数中与最接近的是(参考数据:lg 3≈0.48)(　　) A.1093 B.1083 C.1073 D.1053 解析 由logam=可得logma=2,由logbm=可得logmb=3,所以logabm== ==.故选B. 设f(x)=xa,由f()==2,得α=3,则f(x)=x3.因为f(x)=x3在R上单调递增,所以由f(x+3)≤f(2x-1),得x+3≤2x-1,即x≥4. 因为幂函数y==在定义域x∈(0,+∞)上单调递减,所以⇒⇒-1<m<. 原式=-1+1++=++=++=+1. 【例1】　(1)+++的值为_____________. (2)(多选题)下列运算(化简)中正确的有(　　) A.·(a-2= B.(y)a·(4y-a)=4x C.[(1-)2-(1+)-1+(1+)0=3-2 D.2a3·(-5)÷(4)=- 对于A:()-1·(a-2==,故A正确;对于B:(y)a·(4y-a)= 4ya-a=4xy0=4x,故B正确;对于C:[(1-)2-(1+)-1+(1+)0=[(-1)2-+1=-1-(-1)+1=1,故C错误;对于D:2a3·(-5)÷ (4)=[2×(-5)÷4]=-,故D正确.故选ABD. 【训练1】　(1) 计算:-1++=_____. (2)已知x>0,y>0,则关于x,y的表达式=_______. 原式===4. (3)已知+=,则=______. 因为+=,两边同时平方得x+x-1+2=5,即x+x-1=3,对x+x-1=3两边同时平方得x2+x-2+2=9,即x2+x-2=7,所以==-. 原式=log3-log32×--lg=-1-3-=-3. (3)(2026·T8检测训练)已知a>0,b>0,=+,则+的最小值为(　　) A.3 B.2 C. D.1 设=x=,两边取对数lg x=lg=lg 3361-lg 1080=361×lg 3-80≈93.28,所以x≈1093.28,故选A. $