第五节　对数函数课件-2027届高三数学一轮复习

第五节 第二章　函数与基本初等函数 对数函数 【目标要求】　1.通过具体实例,了解对数函数的概念.能用描点法或借助计算工具画出具体对数函数的图象,探索并了解对数函数的单调性与特殊点.2.知道对数函数y=logax与指数函数y=ax互为反函数(a>0,且a≠1). 1.对数函数概念及其性质 (1)概念:函数____________________叫做对数函数,其中x是自变量,定义域是________. y=logax(a>0,且a≠1) (0,+∞) (2)对数函数的图象与性质   a>1 0<a<1 图象     定义域 _____________ (0,+∞) 值域 _____________ 性质 过定点_____________,即当x=1时,y=0 在区间(0,+∞)上是______函数 在区间(0,+∞)上是_______函数 R (1,0) 增 减 2.反函数 指数函数y=ax(a>0,且a≠1)与对数函数　　　　　　　　　互为反函数,它们的图象关于直线_______对称. y=logax(a>0,且a≠1) y=x 1.如图,给出4个对数函数的图象.   由图知b>a>1>d>c>0,即在第一象限,不同的对数函数图象从左到右底数逐渐增大. 2.对数函数y=logax(a>0,且a≠1)的图象过定点(1,0),且过点(a,1),,函数的图象只在第一、四象限. 1.思考辨析(对的打“√”,错的打“×”) (1)任意一个函数都有反函数.(　　) 只有定义域和值域满足“一一对应”的函数才有反函数,故任意一个函数都有反函数是错误的,错误. 解析 (2)函数y=log2(x+1)是对数函数.(　　) (3)函数y=log2x与y=lox的图象关于x轴对称.(　　) 形如y=logax(a>0且a≠1)的函数是对数函数,所以函数y=log2(x+1)不是对数函数,错误. 解析 (4)对数函数y=logax(a>0,且a≠1)在(0,+∞)上是增函数.(　　) 0<a<1时,对数函数y=logax在(0,+∞)上是减函数;a>1时,对数函数y=logax在(0,+∞)上是增函数,错误. 解析 2.(人A必一P140习题4.4 T1改编)在y=log3a-1(4-a2)中,实数a的取值范围是(　　) A. B.∪ C. D. 解析 3.(人B必二P28练习B T4改编)函数f(x)=log2(x2+2x+2)的值域为(　　) A.(-∞,1) B.[0,+∞) C.[0,1) D.(-∞,0] 函数f(x)=log2(x2+2x+2)的定义域为R,令t=x2+2x+2,则t=(x+1)2+1≥1,又y=log2x在[1,+∞)上单调递增,则log2t≥log21=0,则函数f(x)=log2(x2+ 2x+2)的值域为[0,+∞).故选B. 解析 4.函数y=lo|x|的图象大致是(　　) 由函数f(x)=lo|x|,可得函数f(x)的定义域为(-∞,0)∪(0,+∞),又由 f(-x)=lo|-x|=lo|x|=f(x),所以函数f(x)为偶函数,图象关于y轴对称,当x>0时,f(x)=lox,由对数函数的性质得f(x)在(0,+∞)单调递减,且f(1)=0,所以选项D符合题意.故选D. 解析 5.函数f(x)=+lg(5-x)的定义域为______. 解析 (3,5) 【例1】　(1)函数y=lo(|x|-1)的图象可以是(　　) 考点一 对数函数的图象 令f(x)=lo(|x|-1),由|x|-1>0⇒|x|>1⇒x>1或x<-1,所以f(x)的定义域为 (-∞,-1)∪(1,+∞),故可以排除AB选项,令x=4有f(4)=lo(|4|-1)=lo3< 0,故C错误,D正确.故选D. 解析 (2)(多选题)在同一直角坐标系中,函数y=a-x,y=loga(a>0且a≠1)的图象可能是(　　) 解析 对数函数图象的识别及应用方法 1.在识别对数函数的图象时一定要注意其定义域,善于利用已知函数的性质、函数图象上的特殊点(与坐标轴的交点、最高点、最低点等),排除不符合要求的选项. 2.一些对数型方程、不等式问题常转化为相应的函数图象问 题,利用数形结合法求解. 【训练】　(多选题)已知a>0且a≠1,则函数f(x)=loga(x+a)的图象必经过 (　　) A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限 当0<a<1时,函数f(x)=loga(x+a)的图象经过第一、二、四象限;当a>1时,函数f(x)=loga(x+a)的图象经过第一、二、三象限,综上可知,函数f(x)=loga(x+a)的图象必经过第一、二象限.故选AB. 解析 考向❶比较对数式的大小 【例2】　(多选题)已知2a=loa,=lob,下面结论正确的是(　　) A.a<b B.a< C.b< D.b-a< 考点二 对数函数的性质 解析 解析 比较对数式大小的三种方法 1.单调性法:在同底的情况下直接得到大小关系,若不同底,则先化为同底. 2.中间量过渡法:寻找中间数连接要比较的两个数,一般是用“0”“1”或其他特殊值进行“比较传递”. 3.图象法:根据图象观察得出大小关系. 考向❷解简单的对数不等式 【例3】　已知函数f(x)=3log2x-2(x-1),则不等式f(x)<0的解集是(　　) A.(1,4) B.(-∞,1)∪(4,+∞) C.(0,1)∪(4,+∞) D.(0,4) 解析 解不等式时需注意以下两个方面 1.注意方程或不等式要有意义,即真数大于0. 2.根据底数与1的大小关系得出对数函数的单调性,进而解不等式. 考向❸对数复合型函数的性质 【例4】　设函数f(x)=ln|2x+1|-ln|2x-1|,则f(x)(　　) A.是偶函数,且在上单调递增 B.是奇函数,且在上单调递减 C.是偶函数,且在上单调递增 D.是奇函数,且在上单调递减 解析 解析 求与对数函数有关的函数值域和复合函数的单调性问题,必须弄清三个问题:一是定义域;二是底数与1的大小关系;三是复合函数的构成. 【题组对点练】 题号 1 2 3 考向 ❶ ❸ ❷ (1)已知a=2sin 1,b=log2,c=log92,则实数a,b,c的大小关系是(　　) A.c>a>b B.c>b>a C.a>c>b D.a>b>c 解析 (2)(多选题)已知函数f(x)=log2(x+6)+log2(4-x),则(　　) A.f(x)的定义域是(-6,4) B.f(x)有最大值 C.不等式f(x)<4的解集是(-∞,-4)∪(2,+∞) D.f(x)在[0,4]上单调递增 解析 (3)已知对数函数y=logax(a>0,且a≠1),且loga<loga,则关于x的不等式loga(2x-3)>0的解集为________. 解析 (2,+∞) 1.(2024·北京高考)生物丰富度指数d=是河流水质的一个评价指标,其中S,N分别表示河流中的生物种类数与生物个体总数.生物丰富度指数d越大,水质越好.如果某河流治理前后的生物种类数S没有变化,生物个体总数由N1变为N2,生物丰富度指数由2.1提高到3.15,则(　　) A.3N2=2N1 B.2N2=3N1 C.= D.= 由题意,得=2.1,=3.15,若S不变,则2.1ln N1=3.15ln N2,即 2ln N1=3ln N2所以=,故选D. 解析 2.(2022·天津高考)设a=20.7,b=,c=log2,则a,b,c的大小关系为 (　　) A.a<b<c B.c<a<b C.b<c<a D.c<b<a a=20.7>20=1,b=<=1且b>0,c=log2<log21=0,故a>b>c,故选D. 解析 要使式子y=log3a-1(4-a2)有意义,需<a<<a<2.故选B. 由题可知,解得3<x<5. 由函数y=a-x,y=loga,当a>1时,可得y=a-x是递减函数,图象恒过(0,1)点,函数y=loga,是递增函数,图象恒过,当1>a>0时,可得y=a-x是递增函数,图象恒过(0,1)点,函数y=loga,是递减函数,图象恒过;所以满足要求的图象为A,C.故选AC. 令y1=2x,y2=lox,在同一直角坐标系中作出y1,y2 的图象,如图①,当x=时,y1=<2,y2=lo=2, 当x=时,y1=>1,y2=lo=1,当2a=loa, 由图可得<a<, 令y3=,在同一直角坐标系中作出y2,y3的图象, 如图②,当x=时,y3==,所以x=时,y2>y3, 当x=时,y2=lo=lo=, y3=>, 当=lob,由图可得<b<,所以选项A正确, 选项B错误, 选项C正确;对于选项D,因为-<-a<-,所以0<b-a<-<-=,所以选项D正确, 故选ACD. 依题意f(x)=3log2x-2(x-1)<0,得log2x<(x-1), 由观察可得方程组的解为 画出y=log2x,y=(x-1)的 图象,由图可知,不等式f(x)<0的解集是(0,1) ∪(4,+∞).故选C. 由f(x)=ln|2x+1|-ln|2x-1|,得f(x)的定义域为},关于坐标原点对称,又f(-x)=ln|1-2x|-ln|-2x-1|=ln|2x-1|-ln|2x+1|=-f(x),所以f(x)为定义域上的奇函数,故排除A,C;当x∈时,f(x)=ln(2x+1)-ln(1-2x),因为y=ln(2x+ 1)在上单调递增,y=ln(1-2x)在上单调递减,所以f(x)在上单调递增,故排除B;当x∈时,f(x)=ln(-2x-1)-ln(1-2x)= ln=ln,因为u=1+上单调递减,f(u)=ln u在(0,+∞)上单调递增,根据复合函数单调性可知f(x)在上单调递减,故D正确. 因为sin 1>0,故2sin 1>1,而log92=log32=log3<log3=,而1=log22> log2>log2=,故a>b>c,故选D. 由题意可得解得-6<x<4,即f(x)的定义域是(-6,4),则A正确;f(x)=log2(-x2-2x+24),因为y=-x2-2x+24在(-6,-1)上单调递增,在(-1,4)上单调递减,y=log2x在(0,+∞)上单调递增,所以f(x)在(-6,-1)上单调递增,在(-1,4)上单调递减,所以f(x)max=f(-1)=2log25,则B正确;因为f(x)在(-6,-1)上单调递增,在(-1,4)上单调递减,且f(-4)=f(2)=4,所以不等式f(x)<4的解集是(-6,-4)∪(2,4),则C错误;因为f(x)在(-1,4)上单调递减,所以D错误.故选AB. 因为loga<loga,当0<a<1时,则有>,无解;当a>1时,则有<,解得a>1.综上a>1,则对数函数y=logax(a>0,且a≠1)在(0,+∞)上单调递增,又关于x的不等式loga(2x-3)>0,所以2x-3>1,解得x>2.所以关于x的不等式loga(2x-3)>0的解集为(2,+∞). $