北京市某重点校2025-2026学年高二年级下学期期中考试数学试卷

选择题 1—5 D B A B C 6-10 A C B D D 填空题 11、 12、 2 13、 4 14、 15、b<a<c 16、-1 17、 ①②③ 16、（Ⅰ）当时，， 因为是等比数列，所以. 又因为，所以； （Ⅱ）由（Ⅰ）可知， 因为，且，{ 或者} 所以是以为首项，为公比的等比数列； . 19、【详解】（1）因为底面是菱形，所以是中点， 因为E是棱PA的中点，所以， 又因为平面PCD, 平面PCD, 所以平面PCD. （2）因为，是的中点，所以, 因为平面平面,平面平面, 平面， 所以平面，因为平面，所以， 又，所以两两垂直， 以为原点建立空间直角坐标系, 因为菱形的边长为2， 所以, 所以设 所以， 设为平面的一个法向量， 由得所以 取，所以， 因为平面，所以平面的一个法向量为, 平面PAC与平面PCD的夹角的余弦值为, 所以，所以 所以，所以，因为，所以，所以. 所以线段OP的长为. 20、【详解】（1）因为，， 所以， 所以，， 所以，曲线在点处的切线方程，即． （2）函数的定义域为， 所以，， 所以，当时，在上恒成立，函数在上单调递增， 当时，时，，单调递减；时，，单调递增， 综上，当时，增区间为，无减区间； 当时， 减区间为，增区间为. （3）由（2）知，当时，在上单调递减，在单调递增. 所以， 因为，得， 所以，当时，，单调递减，当时，，单调递增， 所以，， 因为和有相同的最小值， 所以，即， 令，， 令，， 所以，当时，，单调递减，当时，，单调递增， 所以，即， 所以，在上单调递增， 因为， 所以，等价于 即的值为. 21、【详解】（1）在中，由及正弦定理，得， 而，则，解得，又， 所以. （2）选择条件①：，而，余弦函数在上单调递减， 则，，与矛盾，因此不存在. 选择条件②：，由（1）及余弦定理，， 得，解得，，经检验存在且唯一确定， 所以的面积. 选择条件③：CD为AB边上的高，且，则， 由（1）及余弦定理，， 得，解得，，经检验存在且唯一确定， 所以的面积. 22、　(1)f(x)=xln(x+1)-ax2的定义域为{x|x>-1}. 因为f(0)=0ln(0+1)-a·02=0, 因为f´(x)=ln(x+1)+-2ax,所以f´(0)=ln(0+1)+-2a·0=0, 所以切线的方程为y=0. (2)令g(x)=f´(x)=ln(x+1)+-2ax(x>-1), 则g´(x)=+-2a. 因为x>-1且a<0, 所以g´(x)>0在(-1,+∞)上恒成立, 所以f´(x)在(-1,+∞)上单调递增,且f´(0)=0, 所以x, f´(x), f(x)在区间(-1,+∞)的变化情况如下表: x (-1,0) 0 (0,+∞) f´(x) - 0 + f(x) ↘ 极小值 ↗ 所以当x=0时, f(x)取得极小值,问题得证. (3)当a≤0或a=1时,函数f(x)有一个零点; 当a>0且a≠1时,函数f(x)有两个零点. 23、解：（Ⅰ）满足条件的答案有4组：分别为 ； ； ； ． ……… 3分 （Ⅱ）记等差数列的公差为， 由，，， 得，则. …………… 5分 由=，得. …………… 6分 因为，且和均为各项互不相等的项数列， 所以， …………… 7分 所以，即. 所以公差. …………… 8分 不妨设公差，则. 而只能由和得到，去除两端的数后只能由和得到……以此类推，于是总为定值. …………… 10分 （Ⅲ）由题意，数列中有个不同的整数， 所以的值大于或等于，当且仅当数列为个连续整数时取得等号. 当为偶数时，若存在数列，使得，则. 由为偶数，知为奇数，则不可能为. 这与矛盾， 所以当为偶数时，. …………… 12分 且当为偶数时，如果数列； 数列； 那么数列； 此时满足. …………… 13分 当为奇数时， 如果数列； 数列； 那么数列； 此时. 综上，当为偶数时，最小值为；当为奇数时，最小值为. …………… 15分 学科网（北京）股份有限公司 $2025一2026学年第二学期高二年级数学学科期中考试试卷 一、选择题：共10小题，每小题4分，共40分在每小题的四个选项中，选出 符合题目要求的一项. 1、在复平面内，复数z=(1+)i,则z的共轭复数z对应的点的坐标是() (A)(1,1) (B)(1,-1) (C)(-1,1) (D)(-1,-1) 2、点P在曲线y=x3一x+2上，设曲线在点P处切线的倾斜角为a,则角α的取值范围() (A)0, (B)0,)u[）C.(0,)u(, D. 3、在平面直角坐标系xOy中，角a以Ox为始边，终边与单位圆⊙0交于点P,且cos= 一子点P在该单位圆上按逆时针方向做圆周运动到达点Q.若经过的圆弧P贝的长为 乏则点Q的横坐标为( ) (A)- 4 (B)5 4 (c)- (D) 4、设函数f(x)=lnx的导函数为f'(x),则( (A)f'(3)<f'(2)<f(3)-f(2) (B)f'(3)<f(3)-f(2)<f(2) (C)f'(2)<f'(3)<f(3)-f(2) (D)f'(2)<f(3)-f(2)<f'(3) 5、如图，在三棱锥A-BCD中，△ABC和△ABD是边长为2的等边三角形， 平面ABC⊥平面ABD,则CD=() (A)V2 (B)2 (C)6 (D)2V2 6、如图，战国时期的标准度量衡“环权”，包括木质秤杆、两个 铜盘和九枚铜环权，为等臂衡秤式样，其中铜环权类似于砝码， 可用于测量物体质量.把铜环权的质量从小到大排列后，前三项 成等差数列，后七项成公比为2的等比数列，其中质量最小的为 1铢，最大的为8两（古制1两=24铢），若某物体的质量恰为第3,5,8枚铜环权的质 量和，则该物体的质量为() (A)4两15铢(B)4两5铢 (C)3两15铢 (D)3两5铢 试卷第1页，共6页 7、已知m>0,n>0,直线y=三x+2n与曲线y=3nx-m+4相切，则2+的最小 值是() (A)4 B)3 (C)2 (D)1 8、在等比数列{an}中，am>0.则“a>a1”是“a+>a+3”的() A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充要条件 D.既不充分也不必要条件 9、己知A、B是圆O:x2+y2=4上两个动点，点P的坐标为(2,1)，若PA⊥PB,则 线段AB长度的最大值为( ) (A)3+√2 (B)2+N5 (C)3V2 (D)V5+5 10、对于无穷数列{an}和正整数k(k≥2)，若存在，n,…,n满足n<n2<…<ns且 a=0==,则称数列{a,}具有性质P.下列选项中错误的是（） nn, n (A)若an=n2,则数列{an}不具有性质 (B)若an=n-1+cos(r),则数列{an}具有性质Po2s (C)存在数列{a}和{b},使得{an}和{色}均不具有性质，且{a,+b,}具有性质P2s (D)若数列{an}和{b}均具有性质P2s,则{an+bn}具有性质P2s 二、填空题：共7小题，每小题4分，共28分 1、已知函数0)=，则f'(孕=一 12、在长方形ABCD中，|AB1=1,BE=,BC,且AB.AE=ADAE,则1AD=, AE.AC= 试卷第2页，共6页 13、已知双曲线荒一y2-1(m>0)的一条渐近线V3x+my=0，则双曲线的焦距为一 4、已知函数f)-c0s5sinx+cos)-?若)在区间a,孕上的最大值为 2则a 15、己知定义在R上的函数fx),其导函数为f'(x),当x>0,xf'(x)-f(x)<0, 若a=2f(1),b=f(2),c=4f月)，则a,b,c由小到大为 16、 设函数f(x)= x3+3ax,x≤1， 3x+a2,x>1. ①若f(x)有两个零点，则实数a的一个取值可以是 ②若f(x)是R上的增函数，则实数a的取值范围是 17、如图，在正方体ABCD-A,B,CD,中，IAB引=2，点E满足AE=xAB+yAD1 (0≤x≤1,0≤y≤1)，F为AB的中点，给出下列四个结论： ①若AEI=ICE引，则点E的轨迹的长度为2√3： D BI ②若CE⊥BD,则点E的轨迹的长度为√6： ③若1AE1+IBE1=6,则IEF1的最小值为2V2: ④若|AE引-|BE引=1，则EF1的最小值为1. B 其中正确结论的序号是一、 三、解答题 18、已知无穷等比数列{an}的前n项和为Sn=3n+b. (I)求b,a1的值； (Ⅱ)设cn=a2n+2n-1,n=1,2,3,…,求数列{cn}的前n项和Tn 试卷第3页，共6页 19、如图，在四棱锥P-ABCD中，底面是边长为2的菱形，AC交BD于点O,∠BAD=60°， PB=PD,点E是棱PA的中点，连接OE,OP. (I)求证：OE/平面PCD: (Ⅱ)若平面PBDL平面ABCD,平面PAC与平面PCD的夹角的余弦值√区 求线段 5 OP的长. A B 20、已知函数f(x)=ae'-x,g(x)=x-alnx(a∈R). (I)若a=1,求曲线y=f(x)在点(0，f(O)处的切线方程： (IⅡ)求g(x)的单调区间； (Ⅲ)若f(x)和g(x)有相同的最小值，求a的值. 试卷第4页，共6页 21、在△ABC中，bsinc=ccos(B-, (1)求∠B: (2)若b-c=2,并在条件①，条件②，条件③这三个条件中选择一个作为已知，使得△ ABC存在且唯一确定，求△ABC的面积. 条件①：c0sC= 条件②：a=8: 条件③：设CD为AB边上的高，CD=43. 注：如果选择的条件不符合要求，第(2)问得0分：如果选择多个符合要求的条件分别 解答，按第一个解答计分： 22、已知函数fx)=xlnx+1)-ar2. (1)当a=1时，求证：直线y=0是曲线y=f)的切线 (2)当a<0时，求证：函数fx)存在极小值： (3)直接写出函数fx)的零点个数 试卷第5页，共6页 23、设{an}和bn均为各项互不相等的W项数列，其中a,b:∈{1,2，…，N}, i=1,2,…,N.记数列C:c1,c2,…,cw,其中ck=ak-bk,k=1,2,…,N. (1)写出所有满足条件的数列{an}和bn},使得数列c:-1,-1,0,2: (2)若N=2024,C是公差不为0的等差数列，求证：a:+b:为定值； (3)若C为各项互不相等的数列，记C中最大的数为P,最小的数为Q,求P一Q的最小值. 试卷第6页，共6页