重庆市2026届高三下学期5月联合诊断检测数学试题

数学 数学共4页，满分150分.时间120分钟. 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1.在数组1,2,2,4,5中加入3,6两个数之后，不变的统计量是 A.平均数 B.中位数 C.众数 D.方差 2.已知复数31=1+2i,z2=2-i,则31乙2= A.4+31 B.3+4i C.4-3i D.3-4i 3.已知集合A={xx2-x-2>0},B={xr>1或-1<x<0},则AnB= A.(-0,0) B.(-0,0)U1,+0)C.1,+w) D.(2,+0) 4.已知a,b∈R,则“a<b”是“a3<b3”的 A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充要条件 D.既不充分也不必要条件 5.已知双曲线C:￡-y =1(a>0,b>0)的离心率e=3,焦点到渐近线的距离为a,则实数元的值为 a2 b2 A.v B.② C.2√2 D.V10 4 2 6.已知数列{an}的前n项和Sn=14n-n2(n∈N),若a,ak+1<0,则k的值为 A.6 B.7 C.8 D.14 7.若f()= 4+0是奇函数，则f()的值域为 4-1 A.(-0,0)U(0,+0) B.(-0,-1)U(1,+0) C.(-0,-2)U(2,+∞) D.(-2,-1)U1,2) 8. 在平面中， AB=AE=3,AC=4,且AB.AC=0,若AD=Q+)AB+Q-)AC,则DE的最 小值为 9 A.5 B.2 号 D.3 第1页共10页 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对 得6分，部分选对得部分分，有选错得0分. 9.一个不透明的袋子中装有10个球，其中6个白球，4个红球，除颜色外其他都相同，现甲、乙、丙三人依 次从袋中不放回摸出一个球，则 2 A,甲摸到红球的概率为 B.乙摸到红球的概率为 5 C.甲、乙都摸到红球的概率为2 5 D.乙、丙都摸到红球的概率为} 1 10.己知函数f(x)=Sinx- 则 A.f(x+)=f(x) B.f)≤f(受 C.f()在区间(0，乃上单调递减 D.f)在区间（区，五上单调递减 6 321 11.己知a,b均为正实数，且a+2b=2,则 A.a2+4b2≤2 B.20+4≥4 C.1og2a+1og2b≤-1 D.(tana-1)(tan 2b-1)<2 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分 12,在(2家'展开式中，常数项的值为 13.已知三棱锥P-ABC的顶点均在球O的球面上，若PA=PC=AC=√2，AB=BC=1,PB=√3，则 球O的表面积为· 14.己知抛物线C:y°=2px(p>O)的焦点为F,过点F且斜率为正数的直线l与抛物线C相交于A,B两 点，与抛物线C的准线相交于点D,若AF=3FB,DB=2BF,则实数入= 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤 15.(13分) 在△ABC中，a,b,c分别为内角A,B,C的对边，已知a>b,a2+b2-c2=4coSC,a+b=4. (1)求a,b: (2)若△ABC的周长为7，求△ABC的面积. 第2页共10页 16.(15分) 在正三棱柱ABC-AB,C中，已知AB=2,AA=1,D,E,D,E分别是棱AC,BC,ACBC1的 中点. D (1)证明：平面C,DE∥平面ABE,D1: (2)求平面C,DE与平面ABED夹角的余弦值. D 17.(15分) 已知数列{an}满足a1=3,对n≥2且n∈N,an-2an-1=2-n. (1)证明：数列{an+1-an-1}是等比数列； (2)设b,会，求数列仫}的前n项和S: 18.（17分) 已知椭圆E: 顶点连线的斜率之积为一4： (1)求椭圆E的标准方程： (2)若A,B,C为椭圆上不重合的三点，且△ABC的外接圆圆心为M(1,O), (i)求△ABC外接圆半径的取值范围； (ii)求△ABC面积的最大值. 第3页共10页 19.(17分) 调和级数在工程学、物理学和计算数学中都有广泛的运用·欧拉证明了调和级数 1+十十.+1十1-1nn+y+8,其中y被称为欧拉常数，8为误差.当n足够大时，我们近似的认为 23 n-1 n 1++++1+1 ,+二≈lnn+y,在本题中，调和级数均取这个近似值. 23 n-1 n (1)证明：当x∈(0,1)时，x,<n1+)<x: x+1 (2)利用(1)证明y∈(0,1)； (3)某公司因为业务拓展，临时举行一次面试，每一个人面试完后，必须当场决定是否留用该面试者.如 果不聘用，面试者会马上转去其它公司.假设每个面试者的水平均不相同，为了选出其中最好的两人， 面试官决定采用以下策略：选择前k(化>2)个候选人作为观察期，记录其中最佳者（记为A).在后续 候选人中，选择第一个比A更优的候选人（记为B),并继续寻找第二个比A更优者（记为C).如果 找到满足条件的B,C,则录取B,C,剩下的候选者不再进行面试.如果后续候选人中没有比A更好 的两个人，则招聘失败.已知有30个候选人来参加面试，估计k取多少时，招聘到最优秀的两个人的 概率最大？（参考数据：-139<m号<-1.38，-126<1m2<-1.25) 4 7 第4页共10页 数学参考答案 一、选择题： 1 6 个 P C A D C B B A 1题解析：显然众数不变，计算平均数，中位数，方差均发生变化， 2题解析：z132=(1+2i)(2-i)=4+3i 3题解析：因为A={xx2-x-2>0}=(←0，-10U(2,+0),所以A∩B=(2,+0). 4题解析：y=x3是增函数，故a<b曰a3<b,所以“a<b”是“a3<b3”的充要条件 5题解析：双曲线的焦点到渐近线的距离为b=2a→力=元，故e V1+2=3,解得1=2√2 a 6题解析：由Sn=14n-n2可得a,=15-21,则aa+1<0→(2k-15)2k-13)<0,所以k=7. 7题解折：由/0是奇面数即f)+f代)=0.所以a-l.别f)=1手子值城为(-mDU几网 8题解折：由题意有AB1AC,由D=0+)(2A+Q,刀2AC)可知，令2AB=A证，2AC=AG, 2 2 则点0与F,G其线1D兰0正H正-D4而-正上兰-3号 二、选择题： 9 10 11 ABC BC BC 恩解析：甲、乙、丙依次从袋中不放回的摸出一个球，则每个人摸到红球的概率D三0=，AB正确，甲乙 二 都摸到红球的概率p 10x95,C正确：乙丙都摸到红球的概率为6×4×3+4x3x2 4×32 10×9×8 5,D 错误 10短解折：fx+刊anGx+)Hsnx+f),A错误：由了网的图象是s)=in图象向下平 移}，再将x轴下半部分翻折上去，即可得到f()的图象，由图象可知，f)最大值在x=2kx-刀 2 处取得，所以f()≤f(成立，B正确；f()在(0，马单调递减，C正确；在（乙，上单调递 6 62 增，D错误. 1题解析：4+46≥a+2)=2,当且仅当a=2b=1时等号成立，A错误： 2 第5页共10页 2”+22b≥2√2226=2√2a+2b=4,当且仅当a=2b=1时等号成立，B正确： 因为a+2b≥2√2ab,可得ab≤2，所以1og,a+1g,b=1og,(ab)≤-1，当且仅当a=2b=1时 等号成立，C正确； 由a+2b=2,得tan(a+2b=tan2<tan3元=-l,所以ana+ta2b 3 1-tan atan 2b 1 1-tan atan 2b>0,tan a+tan 2b<tan atan 2b-1,tan atan 2b-tan a-tan 2b>1, (tana-1)(tan2b-1)>2,所以D错误. 三、填空题： 12.60 13.3元 14.2 题解折：通项为=C2)(=C()2X,常数项时大=4，此时工三 1B题解析：由题意有PB=BA+PA=BC2+PC2,所以PB为该三棱锥的外接球直径，即外接球半径r= 2 表面积S=4πr2=3π. 14题解析：如图，分别过A,B作准线的垂线交准线于点A,B, 则有BB BF,AA曰AFI,由AF=3FB,所以有 BB1 A43 B1 即BD、1 DA3·所以 D=2,即DB=2BF,所以元=2 E 四、解答题： 15.(13分) 解：（1)自余弦定理c0sC=。+B-C与条件a+b2-c2=4o8C, 2ab ①若cosC≠0，可得ab=2, 由a+b=4且a>b解得，a=2+√2，b=2-√2： ②若cosC=0,a2+b2=c2,则a,b的值不唯一： …5分 (2)①当cosC≠0时，由(1)及a+b+c=7,得c=3, sinc= 以cosC=a+二C=3、 4 …10分 此时△A8C的面积S=)abinC-万 4 第6页共10页 ②当cosC=0时，则有a2+b2=9,有ab=7 此时△ABC的面积S=专ab=4 7 …13分 (备注：若此题只考虑了①不扣分) 16.(15分) 解：(1)在矩形BCCB,中，E,E分别为BC,BC的中点，所以BE/1EC1, 在△ABC中，DE/1AB,在△AB,C中，DE,/1AB,因为AB/IAB,所以DE/IDE, 因为DE,EC1是平面C1DE内的两条相交直线，DE,BE1是平面ABE,D,内的两相交直线， 所以平面C,DE//平面ABE,D: …6分 (2)以AB中点O为坐标原点，AB方向为x轴正方向建立如图所示的空间直角坐标系， 0,A-1,00,c0,V3.0,B40D,C0,V3,,E(￥ D所-Qa0.2G=(号5)，设￥面CDE法商=为m-小. D m:DE=0「x=0 mG=0{-+5y+2z=0'取m=0,2-⑤). 则 D B,设平面ABED的法向量为n=体y3 n-DE=0「x=0 m:函=0x-V5y+2z=0'取n=0,2,V 则 …12分 mT方所以平面CDE与平面A公ED夹角的余弦值为}.…5分 m.n I 1 所以cos<m,n>= 17.(15分) 解：(1)当n=2时，a2=2a1=6, 当n≥2时，an+1-2an=2-n，有(a1-2an)-(an-2an-1)=-1, 整理有a+1-an=2(an-an-1)-1,即有an+1-an-1=2(an-an-1-1), 由a,-a-1=2,所以a,2,所以数列a14.一-1是等比数列：6分 an-ar-1-1 (2)由(1)知，a+1-0n-1=2”,即a+1-a=2"+1, 当n≥2时，an-0n1=2-1+1,an-1-an-2=20-2+1，,a-4=2+1, 第7页共10页 相加有0.-4=2+2++21+0m-》20-2+0-)=2°+n-3, 1-2 所以有0，-2卡，当-1时他成立，从面么，-1卡是 …11分 s-n=2++, 222 ①x 2*1,② n1.1 0-®.2555+27++ 1 n 2n2n+1’ 整理有S,=n+2-n+2 …15分 2” 18.(17分) 解：(1)由题意得b=1,设P(x,y),短轴端点B(0,-1),B(0,1), 城=有史只-子州学护 则椭圆方程为 +y2=1; …4分 4 (2)(i)设△ABC的外接圆M:(x-1)2+y2=r2,题目转化为圆M与椭圆E有三个交点， 联立4+y1 ,可得3x2-8x+8-4r2=0,在x∈[-2,2]上有两个不等实根， (x-1)2+y2=r2 令f(x)=3x2-8x+8-4r2，由二次方程的实根分布可知： △=163r2-2)>0 f(2)≥0 停号不能同时成0，解得子r≤1.得re5: …10分 3 3 f(-2)≥0 (i)设圆M与椭圆E相交于点A,B,C,D,由对称性不妨设 XA=XB,XC=XD,yA=-yB:yc=-yD, 令t=V3r2-2由(i)知，te(0,1], 4-2t 4+2t 代AxB3,e6 3X=-=3 51，光-w含57， 显然AB>CD, 所以△ABC面积为S=y4(-x)=4V5+4-平， 第8页共10页 令80=号5+-761E(Q小，显然该适数在0】上单调港省， 当1=1时，取最大值g0=8V5,故△ABC面积的最大值为85 …17分 9 19.(17分) 解：()令f)=血+)-x,则f'(),士1=1+ --1=,二x,当x∈(0,1)时，f'(x)<0,即fw)在x∈(0,1) 上单调递减，故f(x)<f(O)=0,即ln(1+x)<x: …2分 令0h0-可÷e中0+ ,当x∈(0,1)时，8'(x)>0,即g(x)在x∈(0,1) 上单调递增，故8()>g(0)=0,即ln(1+)> +7 …4分 c2)令x=,由)得1<n1+,可得：上<1+)-nn<。 n n+1 （nn n+1 <hn-In(a-D<1 n h211,花可得， t+1<0m+D<1+5t+ 2+3+…+n+1 十十一， 23 n 由调和级数1++上+ +1+-1mnty可得，y>lhn+0-lnn>0, 23n-1n 11 由 1 ++二<nn,可得nn-1+y<lnn,得y<1,故y∈(0,1)： 23 …8分 n (3)我们不妨把n个人记为1,2,3，，，其中数字越大表示能力越强，下面列举出n,n-1被成功选出 的方法： ①若n和n-1分别在k+1和k+2位，则一定会被选出，pk+2= 1k C2 k ②若n和n-1一个在k+3位，一个在k+1到k+2位，则要求前面剩下的k+1个位置中的数，最大的 数在第1位到第k位，Pk+3= C,k C2k+1 ③若n和n-1一个在k+4位，一个在k+1到k+3位，则要求前面剩下的k+2个位置中的数，最大的 数在第1位到第k位，4-己k十2 最后，若n和n-1一个在n位，一个在k+1到n-1位，则要求前面剩下的n-2个位置中的数，最大的 数在第1位到第k位，Pn= Chk-L.k C n-2 2k1+2+…+m=k- 则招聘到最优秀的两个人的概率为P=P:+P+十+P.二n-kk+】 n-2 第9页共10页 1e喉》 n(n-1) 由调和级数可得， 中2+号f*a-2-h-=n是 益1快加 所以P= -会得P部1，a刘时 可得P=2x28, 0() ◆a0)-（+80,则0=2a+1-1+28,o-2h 11, ≤1<1，可得h()>0, 14 印e存上的运，号》-10,0=女10.散们=0座哈 上有且只有一个解。，故公(0在40 上的单调递减，在(，1)上单调递增，又H(1)=0,故(t)=0 在(（位内]上有唯根飞，可得在好4】 上的单调递增，在(4,1)上单调递减，h(t1)为函数h(t) 在行上的唯核大：执是发大。 4284 28 月h1+n(10呵号 h6+h》015,h写6+23<01I5,所a9>好， 放当？一子长一8时，界彩到缺护污的丙个人的横本技大 …17分 第10页共10页