精品解析：重庆市九龙坡区2025届高三下学期5月学业质量调研抽测(第三次)数学试题

高 2025 届学业质量调研抽测(第三次) 数学试题 (数学试题卷共 6 页， 共 19 个小题， 考试时间 120 分钟， 满分 150 分) 注意事项: 1. 答题前，先将自己的姓名、准考证号、考场号、座位号填写在试卷和答题卡上，并将准考证号条形码粘贴在答题卡上的指定位置. 2. 选择题的作答:每小题选出答案后，用 2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑. 写在试卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效. 3. 填空题和解答题的作答:用黑色签字笔直接答在答题卡上对应的答题区域内. 写在试卷、 草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效. 4. 考试结束后， 请将本试卷和答题卡一并上交. 一、选择题:本大题共 8 小题，每小题 5 分，共 40 分. 在每小题给出的四个选项中，只有一 个选项是正确的. 请把正确的选项填涂在答题卡相应的位置上. 1. 已知复数 ，则 （ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】先求复数的共轭复数，利用复数的乘法运算即可求解. 【详解】由题意有，所以， 故选：C. 2. 若直线 与圆 相切，则实数 的值为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】先得出圆的圆心和半径，由圆心到直线的距离等于半径列方程即可求解. 【详解】圆即的圆心坐标为，半径为， 若直线 与圆 相切， 则，解得. 故选：B. 3. 已知集合 ，若 ，则实数 的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】解不等式求得，由已知可得，进而可求实数 的取值范围. 【详解】由，可得，解得， 所以，由，可得， 又，所以， 所以实数 的取值范围是. 故选：A. 4. 已知函数 是定义在 上的奇函数，当 时， ，且 ，则 （ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】先由赋值法求得，进一步求得的值，然后由奇函数的性质即可求解. 【详解】当 时， ，所以令，得， 又因为，所以 在中，令，解得， 又因为函数 是定义在 上的奇函数， 故所求为. 故选：D. 5. 如图，矩形 中， ，将 沿 翻折，得到三棱锥 ( 是 在翻折后的对应点)，则三棱锥 体积的最大值为（ ） A. B. C. 8 D. 16 【答案】C 【解析】 【分析】由题意可得，当平面平面时，三棱锥 体积的最大，然后结合锥体的体积公式代入计算，即可得到结果. 【详解】由条件可得， 且， 设点到的距离为，由等面积法可得， 即，则， 由图知，当平面平面时，三棱锥 体积的最大， 此时三棱锥的高为， 则体积为. 故选：C 6. 已知抛物线的焦点为，准线为为上位于第一象限的点，垂直于点为等边三角形，过的中点作直线，交轴于点，则直线的方程为（） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据题意可得，轴，进而可求各线段的长和各点的坐标，进而可求直线的方程. 【详解】设抛物线的准线与轴的焦点为，此时， 因为抛物线的焦点为等边三角形， 所以轴，所以， 因为，所以， 所以，此时， 所以， 因为，所以 的倾斜角为 所以， 可得直线的方程为， 即． 故选：． 7. “ 142857 ” 这一串数字被称为走马灯数，是世界上著名的几个数之一，当 142857 与 1 至 6 中任意 1 个数字相乘时，乘积仍然由1，4，2，8，5，7这 6 个数字组成. 若从 1，4，2，8，5，7这 6 个数字中任选 4 个数字组成无重复数字的四位数，则在这些组成的四位数中， 大于 5700 的偶数个数是（ ） A. 66 B. 75 C. 78 D. 90 【答案】B 【解析】 【分析】按千位数分别是5，7，8进行分类讨论即可. 【详解】若千位数字是5，则百位数字只能是7或8，故共有（个）； 若千位数字是7，则共有（个）； 若千位数字是8，则共有（个）． 故符合条件的四位数共有（个）． 故选：B. 8. 在 中，角 所对的边分别为 ，已知 , ，若 ，则 的最小值为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据正余弦定理化简已知条件得，即可求得，由向量模的运算法则得，结合数量积定义及运算律，利用基本不等式求解最值即可. 【详解】因为，所以由正弦定理得， 即，由余弦定理得，又，所以， 由知， 所以 ，当且仅当即时等号成立， 所以线段长度的最小值为. 故选：D 二、选择题:本大题共 3 小题，每小题 6 分，共 18 分. 在每小题给出的四个选项中，有多 项符合题目要求. 全部选对得 6 分， 选对但不全的得部分分， 有选错的得 0 分. 9. 某班在一次模拟测试后， 随机抽取 9 名学生的成绩作为样本， 这 9 名学生的成绩分别为 ，则下列说法正确的是（ ） A. 估计这次该班的测试成绩的平均分为 80 B. 样本的平均数和中位数相同 C. 从样本中任取两人的成绩，这两人的成绩均大于平均分的概率为 D. 当样本中加入 80 形成新样本时， 新样本的方差比原样本的方差小 【答案】ABD 【解析】 【分析】利用平均数的定义计算可判断A；利用中位数的定义计算可判断B；利用古典概型概率公式可求得对概率判断C；由平均成绩不变，利用方差的定义可判断D. 【详解】对于A，样本的平均分为，用样本估计总体，所以估计这次考试全班成绩的平均分为80，故A正确； 对于B，这9名学生的成绩的中位数为80，所以样本的平均数和中位数相同，故B正确; 对于C，9名学生中成绩均大于平均分的有4名，所以从样本中任取两人的成绩，这两人的成绩均大于平均分的概率为，故C错误; 对于D，设原样本的方差为，样本中加入80形成新样本时，平均数不变，还是80，则新样本的方差为，所以新样本的方差比原样本的方差小，故D正确. 故选:ABD. 10. 已知函数 ，则（ ） A. 为 的一个周期 B. 的图象关于点 对称 C. 在 上单调递增 D. 的值域为 【答案】ABC 【解析】 【分析】根据降幂公式化简函数，利用函数的周期性和对称性定义，判断A和B；再对函数进行求导，判断C；通过消元换元，将函数化成求二次函数的值域，判断D即可. 【详解】因为所以， 对于A，，A正确； 对于B，，B正确； 对于C，， 当时，，则， 即，即在 上单调递增.故C正确； 对于D，令，则， ， 令，则，且， ， 令，则，则 当时，取得最大值3，故，此时，，故D错误. 故选：ABC. 11. 在平面直角坐标系 中，点 是椭圆 的左焦点， 分别是 的左、右顶点，直线 与椭圆 相交于 两点，则（ ） A. 若直线 经过点 ，则 的最小值为 1 B. 若线段 的中点坐标为 ，则直线 的斜率为 C. 若直线 经过坐标原点，则 D. 若点 在椭圆 上(点 与 不重合)，且 ，则 【答案】ACD 【解析】 【分析】对A，过左焦点的弦长最小值为通径长；对B，利用中点弦斜率点差法可求；对C，利用椭圆对称性可得，根据基本不等式即可求解；对D，通过角度关系得到斜率的关系，再与椭圆方程联立可求点，利用可求. 【详解】对A， 过左焦点的弦长最小值为通径长，此时，代入，解得，，故A正确； 对B，设，在椭圆上， 则，，两式相减得， ∵ 的中点坐标为 ，∴， ∴，故B错误； 对C， 直线 经过坐标原点，椭圆 ，，， 由椭圆对称性，所以， ， 当且仅当，，故C正确； 对D， 设，根据对称性不妨取点在第一象限， ，， ∵， ∴， 即，整理得， 又，代入得，解得， ∴，， ， 故D正确， 故选：ACD 三、填空题: 本大题共 3 小题， 每小题 5 分， 共 15 分. 12. 已知 ，则 _____. 【答案】##0.5 【解析】 【分析】由指数的运算性质即可得解. 【详解】由题意，所以. 故答案为： 13. 设 ，已知 ，则 _____. 【答案】##0.96 【解析】 【分析】根据弦切互化可得，进而代入余弦的差角公式可得，根据同角关系即可结合二倍角公式求解. 【详解】可得， 又， 故， 由于，所以，结合，所以， 故， 故答案为： 14. 甲同学有 3 本故事书和 1 本科普书，乙同学有 1 本故事书和 3 本科普书，若甲、乙两位同学各取出 本书进行交换，记交换后甲同学有故事书的本数为 的均值为 ，则 _____. 【答案】4 【解析】 【分析】由时，的可能取值为2，3，4，时，的可能取值为0，1，2，分别求得概率，再利用期望公式求解. 【详解】当时，的可能取值为2，3，4， 则， ，所以； 当时，的可能取值为0，1，2， 则， ，所以； 则， 故答案为：4 四、解答题:本大题共 5 小题，共 77 分. 解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15. 已知函数. （1）当时，求函数的极值; （2）设有两个不同的零点，求的取值范围. 【答案】（1）的极小值为的极大值为 （2） 【解析】 【分析】（1）利用导数研究的单调性，进而可求的极值； （2）求出的方程，由可得，转化为函数图象有两个不同的交点即可. 【小问1详解】 当时，， ， 由得：，由得：或， 当时，单调递增，当和时，单调递减， 的极小值为的极大值为． 【小问2详解】 ， 令，则， 记，则， 当时，，当时，， 在单调递增，在单调递减， 且， 又当时恒成立， 要使有两个零点，则与图象有两个交点， ，解得：． 16. 在科技飞速发展的今天， 人工智能领域迎来革命性的突破， 各种 AI 的人工智能大模型拥有强大的解决问题的能力. 某机构分别用 两种人工智能大模型进行对比研究，检验这两种大模型在答题时哪种更可靠， 从某知识领域随机选取 180 个问题进行分组回答， 其中 人工智能大模型回答 100 个问题，有 91 个正确; 人工智能大模型回答剩下的 80 个问题， 有 65 个正确. （1）完成下列 列联表，并根据小概率值 的独立性检验，能否认为人工智能大模型的选择与回答正确有关? 回答正确 回答错误 合计 人工智能大模型 人工智能大模型 合计 （2）将频率视为概率，用 人工智能大模型随机回答该知识领域的 道题目， 且各题回答正确与否， 相互之间没有影响. 记其中恰有 2 个问题回答错误的概率为 ，求 取得最大值时 的值. 参考公式及参考数据: . 0.15 0.10 0.05 0.010 2.072 2.706 3.841 6.635 【答案】（1）答案见解析； （2） 【解析】 【分析】（1）根据题意得到列联表；利用公式求得，结合附表即可得到结论； （2）根据题意得出独立事件概率公式列式，再作商计算判断单调性即可求解. 【小问1详解】 回答正确 回答错误 合计 A人工智能大模型 91 9 100 B人工智能大模型 65 15 80 合计 156 24 180 零假设：人工智能大模型的选择和回答正确无关， ， 故根据小概率值的独立性检验，推断不成立， 故可以判断人工智能大模型的选择和回答正确有关； 【小问2详解】 由题意，A人工智能大模型回答题目正确的概率为， 恰有 2 个问题回答错误的概率为 ， ， 所以，当时，，当时，， 所以，， 所以 取得最大值时. 17. 如图，已知四棱台 的上、下底面分别是边长为 2 和 4 的正方形， ，且 底面 ，点 分别在棱 上. （1）若 是 的中点，证明: ； （2）若 平面 ，求二面角 的余弦值. 【答案】（1）证明见解析 （2） 【解析】 【分析】（1）建立空间直角坐标系，求解向量的坐标，根据向量的垂直即可求解. （2）根据线面平行可根据向量的垂直关系求解，进而求解平面法向量，利用法向量的夹角即可求解. 【小问1详解】 以为坐标原点，所在直线分别为轴建立空间直角坐标系， 则，，，， 设，其中，， 若是的中点，则，， ，∴， ∴，即． 【小问2详解】 因为，，， ，则，故， 设，其中，， 由于平面 的法向量为， 故，故， 因此, 则，, 设平面的一个法向量为， 故，取，则， 由于平面的一个法向量为 故, 结合图形可知二面角的平面角为锐角， ∴二面角的余弦值为． 18. 已知 分别为双曲线 的左、右焦点， 关于双曲线 的一条渐近线 的对称点 在 上. （1）求双曲线 的离心率； （2）若 ，双曲线 的左、右顶点分别为 ，过左顶点 作实轴的垂线交渐近线 于点 ，过 作直线分别交双曲线 的左、右两支于 两点，直线 分别交 于 两点. 证明: 四边形 为平行四边形. 【答案】（1） （2）证明见解析 【解析】 【分析】（1）根据点到直线的距离公式可得，结合双曲线的定义即可求解，即可利用离心率公式求解， （2）联立直线与双曲线方程可得韦达定理，即可根据两点求解直线，联立与渐近线方程可得坐标，即可根据向量的坐标运算，代入韦达定理可证明得解. 【小问1详解】 连接, 由于关于直线对称，又，所以， 到直线的距离为， 因此，故， 由双曲线定义可得，故， 因此离心率为， 【小问2详解】 当时，则，故双曲线的方程为， ，直线，故， 由题意可知直线有斜率，故设， 联立与可得， 设，则， 则直线，联立与方程可得， 解得，，所以, 同理可得, ,, ， 所以，即， 因此，因此, 故四边形 为平行四边形. 19. 已知数列的前项和为 . （1）求数列的通项公式; （2）若无穷的非常数数列 同时满足两个性质: ①对于中任意两项 ，在中都存在一项，使得 ; ②对于中任意一项 ，在中都存在两项 ，使得 . 则称数列为数列. (i)判断数列是否为数列，并说明理由； (ii)若数列是数列且为单调递增数列，证明:数列是等差数列. 【答案】（1）； （2）（i）是数列；（ii）证明见解析. 【解析】 【分析】（1）变形得，再利用累乘法得，最后降次作差即可； （2）（i）计算得，则其满足性质①，再分析其满足性质②即可； （ii）首先利用性质②：取，则得到即成等差数列，再利用性质①，取，得到数列中必然存在一项的值为．最后证明即可. 【小问1详解】 由得， 即， ， 累乘得：， ，又符合式子， 所以， 当时，， 又符合上式，所以． 【小问2详解】 （i）因为， ，所以具有性质①， 因为， 具有性质②． 数列是数列． （ii）是单调递增数列． 首先利用性质②：取，此时， 由数列的单调性可知， ，故， 此时必有，即， 即成等差数列，不妨设． 利用性质①：取， 则， 即数列中必然存在一项的值为． 下面证明， 若，则由数列的单调性可知． 在性质②中，取，则，从而，则． 若，则，与假设矛盾； 若，则，与假设矛盾； 若，则，与数列的单调性矛盾． 故不存在满足题意的正整数，，可见不成立，从而， 同理可得为等差数列． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 高 2025 届学业质量调研抽测(第三次) 数学试题 (数学试题卷共 6 页， 共 19 个小题， 考试时间 120 分钟， 满分 150 分) 注意事项: 1. 答题前，先将自己的姓名、准考证号、考场号、座位号填写在试卷和答题卡上，并将准考证号条形码粘贴在答题卡上的指定位置. 2. 选择题的作答:每小题选出答案后，用 2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑. 写在试卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效. 3. 填空题和解答题的作答:用黑色签字笔直接答在答题卡上对应的答题区域内. 写在试卷、 草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效. 4. 考试结束后， 请将本试卷和答题卡一并上交. 一、选择题:本大题共 8 小题，每小题 5 分，共 40 分. 在每小题给出的四个选项中，只有一 个选项是正确的. 请把正确的选项填涂在答题卡相应的位置上. 1. 已知复数 ，则 （ ） A. B. C. D. 2. 若直线 与圆 相切，则实数 的值为（ ） A. B. C. D. 3. 已知集合 ，若 ，则实数 的取值范围是（ ） A. B. C. D. 4. 已知函数 是定义在 上的奇函数，当 时， ，且 ，则 （ ） A. B. C. D. 5. 如图，矩形 中， ，将 沿 翻折，得到三棱锥 ( 是 在翻折后的对应点)，则三棱锥 体积的最大值为（ ） A. B. C. 8 D. 16 6. 已知抛物线的焦点为，准线为为上位于第一象限的点，垂直于点为等边三角形，过的中点作直线，交轴于点，则直线的方程为（） A. B. C. D. 7. “ 142857 ” 这一串数字被称为走马灯数，是世界上著名的几个数之一，当 142857 与 1 至 6 中任意 1 个数字相乘时，乘积仍然由1，4，2，8，5，7这 6 个数字组成. 若从 1，4，2，8，5，7这 6 个数字中任选 4 个数字组成无重复数字的四位数，则在这些组成的四位数中， 大于 5700 的偶数个数是（ ） A. 66 B. 75 C. 78 D. 90 8. 在 中，角 所对的边分别为 ，已知 , ，若 ，则 的最小值为（ ） A. B. C. D. 二、选择题:本大题共 3 小题，每小题 6 分，共 18 分. 在每小题给出的四个选项中，有多 项符合题目要求. 全部选对得 6 分， 选对但不全的得部分分， 有选错的得 0 分. 9. 某班在一次模拟测试后， 随机抽取 9 名学生的成绩作为样本， 这 9 名学生的成绩分别为 ，则下列说法正确的是（ ） A. 估计这次该班的测试成绩的平均分为 80 B. 样本的平均数和中位数相同 C. 从样本中任取两人的成绩，这两人的成绩均大于平均分的概率为 D. 当样本中加入 80 形成新样本时， 新样本的方差比原样本的方差小 10. 已知函数 ，则（ ） A. 为 的一个周期 B. 的图象关于点 对称 C. 在 上单调递增 D. 的值域为 11. 在平面直角坐标系 中，点 是椭圆 的左焦点， 分别是 的左、右顶点，直线 与椭圆 相交于 两点，则（ ） A. 若直线 经过点 ，则 的最小值为 1 B. 若线段 的中点坐标为 ，则直线 的斜率为 C. 若直线 经过坐标原点，则 D. 若点 在椭圆 上(点 与 不重合)，且 ，则 三、填空题: 本大题共 3 小题， 每小题 5 分， 共 15 分. 12. 已知 ，则 _____. 13. 设 ，已知 ，则 _____. 14. 甲同学有 3 本故事书和 1 本科普书，乙同学有 1 本故事书和 3 本科普书，若甲、乙两位同学各取出 本书进行交换，记交换后甲同学有故事书的本数为 的均值为 ，则 _____. 四、解答题:本大题共 5 小题，共 77 分. 解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15. 已知函数. （1）当时，求函数的极值; （2）设有两个不同的零点，求的取值范围. 16. 在科技飞速发展的今天， 人工智能领域迎来革命性的突破， 各种 AI 的人工智能大模型拥有强大的解决问题的能力. 某机构分别用 两种人工智能大模型进行对比研究，检验这两种大模型在答题时哪种更可靠， 从某知识领域随机选取 180 个问题进行分组回答， 其中 人工智能大模型回答 100 个问题，有 91 个正确; 人工智能大模型回答剩下的 80 个问题， 有 65 个正确. （1）完成下列 列联表，并根据小概率值 的独立性检验，能否认为人工智能大模型的选择与回答正确有关? 回答正确 回答错误 合计 人工智能大模型 人工智能大模型 合计 （2）将频率视为概率，用 人工智能大模型随机回答该知识领域的 道题目， 且各题回答正确与否， 相互之间没有影响. 记其中恰有 2 个问题回答错误的概率为 ，求 取得最大值时 的值. 参考公式及参考数据: . 0.15 0.10 0.05 0.010 2.072 2.706 3.841 6.635 17. 如图，已知四棱台 的上、下底面分别是边长为 2 和 4 的正方形， ，且 底面 ，点 分别在棱 上. （1）若 是 的中点，证明: ； （2）若 平面 ，求二面角 的余弦值. 18. 已知 分别为双曲线 的左、右焦点， 关于双曲线 的一条渐近线 的对称点 在 上. （1）求双曲线 的离心率； （2）若 ，双曲线 的左、右顶点分别为 ，过左顶点 作实轴的垂线交渐近线 于点 ，过 作直线分别交双曲线 的左、右两支于 两点，直线 分别交 于 两点. 证明: 四边形 为平行四边形. 19. 已知数列的前项和为 . （1）求数列的通项公式; （2）若无穷的非常数数列 同时满足两个性质: ①对于中任意两项 ，在中都存在一项，使得 ; ②对于中任意一项 ，在中都存在两项 ，使得 . 则称数列为数列. (i)判断数列是否为数列，并说明理由； (ii)若数列是数列且为单调递增数列，证明:数列是等差数列. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $