第三节　等式性质与不等式性质课件-2027届高考数学一轮复习

第三节 第一章　集合、常用逻辑用语与不等式 等式性质与不等式性质 1.两个实数比较大小的方法 作差法(a,b∈R). > = < 2.等式的性质 性质1　对称性:如果a=b,那么______; 性质2　传递性:如果a=b,b=c,那么_____; 性质3　可加(减)性:如果a=b,那么a±c=b±c; 性质4　可乘性:如果a=b,那么ac=bc; 性质5　可除性:如果a=b,c≠0,那么_____________. b=a a=c = 3.不等式的性质 性质1　对称性:a>b⇔______; 性质2　传递性:a>b,b>c⇒_______; 性质3　可加性:a>b⇔a+c>b+c; 性质4　可乘性:a>b,c>0⇒_______; a>b,c<0⇒_______; 性质5　同向可加性:a>b,c>d⇒____________; 性质6　同向同正可乘性:a>b>0,c>d>0⇒_______; 性质7　同正可乘方性:a>b>0⇒an>bn(n∈N,n≥2). b<a a>c ac>bc ac<bc a+c>b+d ac>bd 1.倒数性质 (1)a<0<b⇒<; (2)ab>0,a>b⇒<. 2.若a>b>0,m>0,则 (1)真分数的性质:<<(b-m>0),即真分数越加越大,越减越小. (2)假分数的性质:<<(b-m>0),即假分数越加越小,越减越大. 1.思考辨析(对的打“√”,错的打“×”) (1)两个实数a,b之间,有且只有a>b,a=b,a<b三种关系中的一种.(　　) (2)a>b⇔ac3>bc3.(　　) 由不等式的性质,ac3>bc3 a>b;反之,c≤0时,a>b ac3>bc3. 解析 (3)若>1,则a>b.(　　) (4)a=b⇔ac=bc.(　　) a=-3,b=-1,则>1,但a<b. 解析 由等式的性质,a=b⇒ac=bc;反之,c=0时,ac=bc a=b. 解析 2.(人A必一P43T8改编)已知非零实数a,b满足a<b,则下列不等式中一定成立的是(　　) A.ln a<ln b B.> C.a2<b2 D.a3<b3 对于A,当a<b<0时,不等式无意义,故A错误;对于B,当a<0<b时,<,故B错误;对于C,当a<b<0时,a2>b2,故C错误;对于D,当a<b时,a3<b3成立,故D正确. 解析 3.(人A必一P43习题8题改编)设a,b,c∈R,且a>b,则下列不等式成立的是(　　) A.ac>bc B.< C.a2>b2 D.a+c>b+c 对于选项A,当c≤0时,不等式ac>bc不成立,故A不正确.对于选项B,当a>0,b<0时,不等式<不成立,故B不正确.对于选项C,当a=-1,b=-2时,不等式a2>b2不成立,故C不正确.选项D正确,故选D. 解析 4.(苏教必一P53例3改编)设M=x2+y2+1,N=2(x+y-1),则M与N的大小关系为______. M-N=x2+y2+1-2x-2y+2=(x-1)2+(y-1)2+1>0.故M>N. 解析 M>N 5.(人A必一P43T5改编)已知2<a<3,-2<b<-1,则a+2b的取值范围为_____________. 因为-2<b<-1,所以-4<2b<-2,又2<a<3,所以-2<a+2b<1. 解析 (-2,1) 【例1】　(1)若a=x2+y2,b=4|y|-5,则(　　) A.a<b B.a≤b C.a>b D.a≥b 考点一 数(式)的大小比较 因为a-b=x2+y2-(4|y|-5)=x2+y2-4|y|+5=x2+(|y|-2)2+1>0,所以a>b.故选C. 解析 (2)若实数m,n,p满足m=4,n=5,p=,则(　　) A.p<m<n B.p<n<m C.m<p<n D.n<p<m 因为实数m,n,p满足m=4,n=5,p=,所以==<1,所以m<n;又==>1,所以m>p;所以p<m<n.故选A. 解析 比较大小的常用方法 1.作差法:①作差;②变形;③定号;④得出结论. 2.作商法:①作商;②变形;③判断商与1的大小关系;④得出结论. 3.构造函数,利用函数的单调性比较大小. 【训练1】　(1)已知M=x2-x+3,N=x+2,则M与N大小关系是(　　) A.M>N B.M<N C.M≥N D.M≤N 因为M-N=x2-x+3-(x+2)=x2-2x+1=(x-1)2≥0,所以M≥N.故选C. 解析 (2)若a=20.4,b=30.25,c=log0.70.5,则a,b,c的大小关系为(　　) A.a<b<c B.b<a<c C.b<c<a D.c<a<b 因为函数y=2x在R上单调递增,所以a=20.4<20.5=.又== ==>1,所以b<a<.因为0.52=0.25<0.343,故0.5<=,y=log0.7x在(0,+∞)上单调递减,所以log0.70.5>log0.7=>,所以a<c,所以实数a,b,c的大小关系为b<a<c,故选B. 解析 【例2】　(1)已知x,y∈R,且x>y,则(　　) A.-<0 B.tan x-tan y>0 C.ln|x|-ln|y|>0 D.-<0 考点二 不等式的基本性质 对于A,令x=2,y=-1,则-=+1=>0,A错误;对于B,令x=π,y=0,则tan x-tan y=tanπ-tan 0=-1<0,B错误;对于C,令x=1,y=-2,则ln|x|-ln|y|=ln 1-ln 2=-ln 2<0,C错误;对于D,y=单调递减,则x>y时,-<0成立, D正确.故选D. 解析 (2)(多选题)已知0<b<a,a+b=1,则(　　) A.0<a< B.<b<1 C.ab<a2 D.0<a-b<1 A选项,由0<b<a,a+b=1可得0<1-a<a,解得<a<1,A错误;B选项,由0<b<a,a+b=1可得0<b<1-b,解得0<b<,B错误;C选项,由0<b<a可得0<a·b<a·a,即ab<a2,C正确;D选项,由a+b=1得b=1-a,则a-b=a-(1-a)=2a-1,由A知<a<1,则0<a-b<1,D正确;故选CD. 解析 判断不等式的常用方法 1.直接利用不等式的性质逐个验证,要特别注意前提条件. 2.利用特殊值排除错误选项. 3.利用函数的单调性,当直接利用不等式的性质不能比较大小时,可以利用指数、对数、幂函数等函数的单调性进行判断. 【训练2】　(1)设a,b∈R,则“a<b<0”是“>”的(　　) A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充要条件 D.既不充分也不必要条件 充分性:由a<b<0,可得-a>-b>0,则(-a)2>(-b)2>0,即a2>b2>0,两边同乘,可得<,不满足充分性;必要性:取特殊值a=1,b=2,满足>,但不满足a<b<0,不满足必要性,所以“a<b<0”是“>”的既不充分也不必要条件. 解析 (2)(多选题)若<<0,则(　　) A.|a|<|b| B.ac<bc C.>0 D.0<<1 由<<0,得c≠0.当c>0时,由<<0,得<<0,即b<a<0,可得0<<1;当c<0时,由<<0,得>>0,即b>a>0,所以0<<1,故A,D正确;由<<0,得-=<0,且a与b同号,即ab>0,所以c与b-a异号,即c与a-b同号,故C正确;由ac<bc,得(a-b)c<0,故B错误.故选ACD. 解析 【例3】　(1)(多选题)已知-1<a<5,-3<b<1,则下列结论正确的是(　　) A.-15<ab<5 B.-4<a+b<6 C.-2<a-b<8 D.-<<5 考点三 不等式性质的综合应用 因为-1<a<5,-3<b<1,所以-1<-b<3,对于A,当0≤a<5,0≤b<1时, 0≤ab<5;当0≤a<5,-3<b<0时,0<-b<3,则0≤-ab<15,即-15<ab≤0;当 -1<a<0,0≤b<1时,0<-a<1,则0≤-ab<1,即-1<ab≤0;当-1<a<0,-3<b<0时,0<-a<1,0<-b<3,则0<ab<3,综上,-15<ab<5,故A正确;对于B,-1-3= -4<a+b<5+1=6,故B正确;对于C,-1-1=-2<a-b<5+3=8,故C正确;对于D,当a=4,b=时,=8,故D错误. 解析 (2)(2026·重庆质检)已知a-b∈[5,27],a+b∈[6,30],则7a-5b的取值范围是(　　) A.[-24,192] B.[-24,252] C.[36,252] D.[36,192] 解析 利用不等式的性质求代数式的取值范围的注意点 (1)必须严格运用不等式的性质. (2)在多次运用不等式的性质时有可能扩大变量的取值范围,解决途径是先建立所求范围的整体与已知范围的整体的等量关系,然后通过“一次性”不等关系的运算求解范围. 【训练3】　(1)已知3<a<8,4<b<9,则的取值范围是________. 因为4<b<9,所以<<,又3<a<8,所以×3<<×8,即<<2. 解析 　 (2)已知2<a<3,-1<b<5,则a+2b的取值范围是_____________,ab的取值范围是_____________. 因为2<a<3,-1<b<5,所以-2<2b<10,所以0<a+2b<13;当-1<b<0时,0<-b<1,所以0<-ab<3,则-3<ab<0,当0<b<5时,0<ab<15,当b=0时,ab=0,综上,-3<ab<15. 解析 (0,13) (-3,15) 设7a-5b=m(a-b)+n(a+b)=(m+n)a-(m-n)b,所以所以7a-5b=6(a-b)+(a+b).又a-b∈[5,27],a+b∈[6,30],所以7a-5b=6(a-b)+(a+b)∈[36,192]. $