河北石家庄精英中学2025-2026学年高一下学期第二次调研考试数学试题

石家庄精英中学2025~2026学年第一学期第二次调研考试 高一数学 全卷满分150分，考试时间120分钟。 注意事项： 1.答题前，先将自已的姓名、准考证号填写在试卷和答题卡上，并将条形码粘贴在 答题卡上的指定位置。 2.请按题号顺序在答题卡上各题目的答题区域内作答，写在试卷、草稿纸和答题卡 上的非答题区域均无效。 3.选择题用2B铅笔在答题卡上把所选答案的标号涂黑；非选择题用黑色签字笔在 答题卡上作答；字体工整，笔迹清楚。 4.考试结束后，请将试卷和答题卡一并上交。 5.本卷主要考查内容：必修第二册。 一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分在每小题给出的四个选项中，只有一项是 符合题目要求的. 1.已知A(1,3),B(4,-1),下列与AB方向相同的是( ) A.(-3,4) B(-3,3) C.(6,-8) D.(-6,8) 2.已知i为虚数单位，则2026=() A.-1 B.1 C.-i D.i 3如图，在三棱台ABC-AB,C中，截去三棱锥A-AB,C,则剩余部分是() A B Ae---- 凶B A.三棱锥 B.三棱台 C.四棱锥 D.三棱柱 4.设a,B是两个不同的平面，∩B=1,m是异于1的一条直线，则“m‖l”是“m‖B且m‖a”的() A.必要不充分条件 B.充分不必要条件 C.充分必要条件 D.既不充分也不必要条件 5.已知圆锥的侧面展开图是一个半径为2的半圆，则圆锥的体积为() A.3元 B.2π C.3π D.re 3 6.若a,b是异面直线，下列四个命题中正确的是() A.过不在a,b上任一点P,必可作直线与a,b都平行 B.过不在a,b上任一点P,必可作直线与a,b都相交 C.过不在a,b上任一点P,必可作平面与a,b都平行 D.过a可以并且只可以作一个平面与b平行 【高一数学第1页（共4页）】 7.祖暅是我国南北朝时期伟大的数学家祖暅原理用现代语言可以描述为“夹在两个平行平面之间的 两个几何体，被平行于这两个平面的任意平面所截，如果截得的面积总相等，那么这两个几何体的 体积相等”.例如，可以用祖暅原理推导半球的体积公式，如图，底面半径和高都为R的圆柱与半径 为R的半球放置在同一底平面上，然后在圆柱内挖去一个半径为R,高为R的圆锥后得到一个新的 几何体，用任何一个平行于底面的平面α去截这两个几何体时，所截得的截面面积总相等.证明半球 的体积和新几何体的体积相等，若用平行于半球底面的平面α去截半径为R的半球，且球心到平面α 的距离为三R,则平面α与半球底面之间的几何体的体积是() A. R 24 B.2 C.SR D.75元R 12 12 8如图，已知用斜二测画法画出的△ABC的直观图是边长为2的正三角形，则原图中边BC在x轴上 的射影长度为() A A. B.5+号 C.5+1 D.3 二、多项选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分在每小题给出的选项中，有多项符合题目 要求全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分 9.若复数1+i是方程x2+ax+b=0的一个根，其中a,b∈R,则下列正确的是（) A.a=-1 B.a=-2 C.b=2 D.b=-2 10.下列命题正确的是() A.棱柱的侧面一定是平行四边形 B.用一个平面去截圆锥，底面与截面之间的部分组成的几何体叫圆台 C.空间中任意三点可以确定唯一平面 D.过平面外一点有且只有一个平面与该平面平行 11.已知复数2，在复平面内对应的向量0Z。=(4,-3),则下列关于复数z。的说法正确的是() A.z=4-3iB.2。的虚部为-3iC.|z。=5D.复数z满足|z-z。=1,则|z的最大值为6 12.如图，在直三棱柱ABC-AB,C中，D,G,E分别为所在棱的中点，AB=4AF,三棱柱 ABC-AB,C挖去两个三棱锥A-EFG,B-BCD后所得的几何体记为Q,则() A.EG与BC为异面直线B.2有13条棱C.2有7个顶点D.平面BCD‖平面EFG 【高一数学第2页（共4页）】 三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分. 13.复数z=cos交-isin二的辐角主值为 6 14某校研究性学习小组想要测量某塔的高度，现选取与塔底D在同一个水平面内的两个测量基点A 与B,现测得∠DAB=75°，∠ABD=60°，AB=48米，在点A处测得塔顶C的仰角为30°，则塔 高CD为 米。 15.正六棱台上、下底面边长分别是2cm和6cm,侧棱长是5cm,则它的体积是 16.如图，在长方体ABCD-AB,CD中，AB=3,AD=2,AA=1,E是棱CD上的一个动点，过 A,E,C三点的平面截长方体ABCD-AB,C,D,所得截面的周长的最小值为 D 四、解答题：本题共6小题，共70分解答应写出必要的文字说明、证明过程及演算步骤 17.（10分)已知z1=1-i,22=2-i,在复平面内，复数+z2,1-22,22对应的点分别为A,B,C. (1)求cos∠ABC; (2)已知四点A,B,C,D组成平行四边形ABCD,求点D的坐标. 18.(12分)如图，在四棱锥P-ABCD中，AB⊥AD,AD∥BC,AD=3,DE=2EP,AB=V5,BC- 点P到平面ABCD的距离为3， (1)求证：PB∥平面ACE; (2)求三棱锥P-ACE的体积」 P B 19.（12分)一个圆锥的底面半径为2，高为6，在圆锥内部有一个高为x的内接圆柱 （1)求该圆锥的表面积S; (2)用x表示圆柱的轴截面面积S,当x为何值时，求S最大值 【高一数学第3页（共4页）】 20.(本小题满分12分) 在△ABC中，内角A,B,C的对边分别为a,b,c,若2 acosA=ccosB+-bcosC,且c=2. (1)求角A; (2)若点D为线段BC上的一点，且BC=2CD,AD=√3，求△ABC的面积. 21.（12分)如图，正四棱锥S-ABCD,P为侧棱SD上的点，且SP=3PD. (1)记平面SAB⌒平面SCD=I,证明：I|CD; (2)侧棱SC上是否存在一点E,使得BE川平面PAC若存在，求S距的值，若不存在，试说明理 EC 由 S A2 B C 22.(12分)由复数的三角形式，若0Z,=r(cos8+isin8),OZ2=5(cos0,+isin8), 则r(cos0+isin)(cos02+isin02)=r[cos(0+g2)+isin(g+02)】.其几何意义是把向量Oz,绕点 0按逆时针方向旋转角82（如果82<0，就要把OZ绕点O按顺时针方向旋转角102)，再把它的模 变为原来的5倍请根据所学知识，回答下列问题. (1)在平面直角坐标系xOy中，点P(x,y)绕坐标原点O逆时针旋转角0至点P'(x',y), (x'=xcos0-ysine, 证明：点的旋转坐标公式 y'=xsin+ycos0. (2)已知单位圆以坐标原点O为圆心，点A为该圆上一动点，点P(2,0),以PA为边作等边△PAQ, 且2在边AP的上方，求线段O2长度的最大值. 【高一数学第4页（共4页）】 石家庄精英中学2025~2026学年第二次调研考试 高一数学答案 1. C【解析】 2. A【解析】.故选A. 3.C【解析】在三棱台中,截去三棱锥后得到的是四棱锥,故选C. 4.A【解析】当时，，是异于直线的一条直线，可能在平面内或者平面内，故不能推出且，所以充分性不成立； 当且时，过直线作平面与平面，平面相交，交线分别为，， ，，.，，，，，，， 即必要性成立，故“”是“且”的必要不充分条件.故选A. 5.D【解析】设圆锥底面半径为，高为，母线长为，则. 底面周长，所以. 所以圆锥的体积为.故选D. 6. D【解析】如图，，是异面直线，设不在，上的任意一点为.假设过点可作直线，，则.这与已知，是异面直线相矛盾.所以假设不成立， 即不存在过点的直线与，都平行.故A错误; 若点或，则不能够作直线与，都相交，故B错误； 若点或，则不能够作平面与，都平行，故C错误； 在直线上取，点，过，分别作直线，与直线平行，，可确定平面， 即平行于，此时在平面上.故选D. 7. C【解析】根据题意可得平面与半球底面之间的几何体的体积为 底面半径为，高为的圆柱的体积减去底面半径为，高为的圆锥的体积， 故所求何体的体积为.故选C.　 8.C【解析】由题意，过点作，交轴于点，还原后的图形如图. 在中，，又因为== 所以，故，故选C. 9.BC【解析】因为复数是方程的一个根， 所以复数是方程的另一个根，所以，且， 即，.故选BC. 10.AD【解析】对于A，棱柱的侧面一定是平行四边形，故A正确； 对于B，用一个平行于圆锥底面的平面去截圆锥，底面与截面之间的几何体叫圆台，故B错误； 对于C，空间中不在同一直线上的三点可以确定唯一的平面，故C错误； 对于D，过平面外一点有且只有一个平面与该平面平行，故D正确.故选AD. 11.ACD【解析】复数在复平面内对应的向量，则. 的虚部为，故A,C正确，B错误； 由复数满足，所以点的集合是以点为圆心，以1为半径的圆， 所以，故D正确.故选ACD. 12. ABD【解析】对于A，因为平面，平面且，平面， 所以与为异面直线，故A正确； 对于B，组成几何体的棱有，，，，，，，，， ，，，，共13条棱，故B正确； 对于C，几何体的顶点有，，，，，，，，共8个，故C错误； 对于D，如图，取的中点，连接，，. 因为，则是的中点. 又因为，，分别为,AC,AA1的中点，所以EFA1H，. 因为，，所以四边形为平行四边形，所以，则. 又因为平面，平面，所以平面. 易证，且，所以，则，故. 又因为平面，平面，所以平面. 又因为，EF，FG平面EFG.所以平面平面，故D正确.故选ABD. 13. 【解析】，. 14.24【解析】由题意，在中，，所以. 由正弦定理，得，即. 又因为在点处测得塔顶的仰角为，即，. 所以，即塔高为米. 15. 78【解析】由题意， 上、下底面面积分别为， 高为， 所以正六棱台的体积是. 16.6【解析】在长方体的棱上取一点，满足，连接，. 因为，，，所以，同理可证C1F=AE. 则四边形为平行四边形，且是过，，三点的平面截长方体所得截面. 则周长.将侧面与沿着展开，得侧面展开图如图. 当，，三点共线时，有最小值，. 17.解：（1）由题意，，，，--------1分 故，，，，--------3分 则， 即. --------5分 （2）因为四点，，，组成平行四边形，所以. 设，则，，， 即，解得，即．　--------10分 18.（1）证明：连接交于点，连接. ...................1分 因为，且，所以. 又因为，则，所以. ...............................3分 又平面，平面， 所以平面. .................................................6分 （2）解：因为DE＝2EP，所以, 所以 . ................................9分 所以. --------12分 19.解：（1）设圆锥的底面半径为，高为，母线长为，则，， ，--------2分 则圆锥的底面积为， 圆锥的侧面积为， 则圆锥的表面积. --------6分 （2）设圆柱的底面半径为，由三角形相似，得，解得. 则圆柱的轴截面面积为，--------10分 对称轴为，当时，.--------12分 20. 解：（1）由题意，.由正弦定理， 得，即. 因为，所以.所以，即.--------4分 （2）因为，AD=, --------6分 两边平方，得，-------8分 c=2，解得b=2. --------10分 所以的面积-------12分 21.（1）证明：在正四棱锥中，因为，平面，平面， 所以平面. --------2分 又因为平面，平面平面， 所以. --------4分 （2）解：在侧棱上存在一点，使平面，满足. --------6分 理由如下：连接交于点，并连接.所以为的中点，取. 又因为，所以. 过点作的平行线交于点，连接，,. 在△中，.因为平面，平面，所以平面. 又因为，平面，平面，所以平面. 又因为，BQ，QE平面BEQ，所以平面平面. 又因为平面，所以平面. 所以侧棱上存在一点，使得平面，且. -------12分 22. 解：（1）由复数乘法的几何意义， 得， 即， 所以 --------5分 （1） 根据图形的对称性，不妨设点在轴及上方. 设，，. 则将向量顺时针旋转得到向量. 由旋转坐标公式，得， 所以，--------8分 则 ， 所以当时，取得最大值3， 故线段长度的最大值为3. --------12分 【高二数学 第5页（共5页）】 学科网（北京）股份有限公司 $