3.2.2 第1课时 函数奇偶性的概念-【创新教程】2026-2027学年高中数学必修第一册五维课堂课时作业（人教A版）

第三章函数的概念与性质 课时作业 数课时 3.2.2奇偶性 学作业 第1课时 函数奇偶性的概念 纠错空间 基础过关 》 A.这个函数有两个单调递增区间 1.已知函数f(x)=a.x2+bx+3a+b是定 B.这个函数有三个单调递减区间 义域为[a一1,2a]的偶函数，则a十b的 C.这个函数在其定义域内有最大值7 值是 D.这个函数在其定义域内有最小值一7 7.已知f(x),g(x)分别是定义在R上的 A.0 C.1 D.-1 偶函数和奇函数，且f(x)十g(x)= 2.下列说法正确的是 ( x2-x,则f(1)-g(1)= A.偶函数的图象一定与y轴相交 8.已知定义在R上的函数f(x) B.若奇函数y=f(x)在x=0处有定 x√x2+2+1(k为常数).若f(2026) 义，则f(0)=0 =-2024,则f(-2026)= C.奇函数y=f(x)的图象一定过原点 9.已知y=f(x)是定义在R上的奇函数 D.图象过原点的奇函数必是单调函数 给出下列函数：①y=f(|x|);②y 3.已知a,b,c,d∈R,函数f(x)=ax3+ f(-x);③y=xf(x);④y=f(x)+x, bx2+cx+d,x∈[a,c]是奇函数，则 其中的奇函数为 ,偶函数为 f(1)的值 ( ) (填序号) 方法总结 A.随a,b,c,d的取值而变化 10.判断下列函数的奇偶性： B.只与a的取值有关 (1)f(x)=2-|x|; C.与a和c的取值都有关 (2)f(x)=√x2-1+√1-x: D.为0 4.函数f(x)= x+|x-4 (3)f(x)= 1x+1,x>0, {-x+1,x<0. √/9-x A.是奇函数 B.是偶函数 C.是非奇非偶函数 D.既是奇函数又是偶函数 5.(多选)已知函数f(x)=|3一x|,构造 函数g(x)=f(x)一f(一x),则下列关 于函数g(x)的说法正确的是( ) A.g(x)-g(一x)是偶函数 B.g(x)十g(-x)是偶函数 C.g(x)|g(x)川是奇函数 D.g(x)g(x|)是奇函数 6.(多选)已知定义在区 间[一7,7]上的一个 偶函数，它在[0,7]上 的图象如图，则下列 说法正确的是() ·283· 世数学 必修第一册 11.已知函数f(x)(x∈R)是奇函数，且当 13.(1)已知函数f(x),x∈R,若对于任意 空 间 x>0时，f(x)=2x-1,求函数f(x) 实数a,b都有f(a+b)=f(a)十f(b). 的解析式. 求证：f(x)为奇函数； 纠错空间 (2)已知函数f(x),x∈R.若对于任意实 数x1x2,都有fx1十x2)十f(x1一x2)= 2f(x1)·f(x2).求证：f(x)为偶函数. 4 0号月号月+49号+年+4+94 年年年年年年手年年年年年年年年 方法总结 十。。十。。。。， 能力提升 》 12.某5G通信编码的极化码技术方案基 于矩阵的乘法，如(c1c2)=(a1a2) b11b12 ,其中c1=a1b11十a2b21c2 b21 b22 =a1b12十a2b22.已知定义在R上不恒 为0的函数f(x),对任意a,b∈R,有 (y y2)= (f(a) f(6))X 7-1 b+1 且满足f(ab)=y十y2,则 a-11 ( A.f(0)=0 B.f(-1)=1 C.f(x)是偶函数 D.f(x)是奇函数 ·284·数学·必修第一册 因为mm=>0,所以只需要△=(a+a)2-4a2>0曰 a a<一3或a>1, m+n-ata_atl a 所以n-m=√(m+n)-4m 日吾√3日）+写湖含。=8 时因加有提大位] 13.解：1)由画教fx)=+满足了0)=0，f1)=号， z'+a 0+b 可得0+a 0 1+b1 解得6=0， a=4, 1'+a5 则)=千 f(x)在[一2,2]上单调递增，证明如下： 任取x1x2∈[-2,2]，且x1<x2,则f(x1)-f(x2)= T2 1(x+4)-x2(xi+4) xi+4 x+4 (.x1+4)(x+4) =（z-x)(4-x1x) (x+4)(x+4): 由-2≤x1<x,≤2，可得x1x2<4, 又x1-x2<0,xi+4>0,x2+4>0, 则)4-)<0，即x,)<f), (x1+4)(x+4) 所以f(x)在[-2,2]上单调递增. (2)对任意的x1∈[-2,2]，由f(x)在[-2,2]上单调 递增， 可得-2)≤f,)≤2).即-≤fx)≤ 则)[-2,2]上的值该A-【] 函数y=kx2十2kx十1(k≠0)图象的对称轴为直线x= -1, 当k>0时，g(x)=kz+2kx+1在[-1,2]上单调 递增， 值域B=[-k+1,8k+1], k>0, 1 由题意可得A二B,则 一k十1≤- 8+1≥ 解得≥号： 当k<0时，g(x)=kx2+2kx+1在[-1,2]上单调 递减， 值域B=[8k+1,一k+1], rk<0, 由题意可得A二B,则 8+1-子 +1≥， 解得k≤一32 5 综上.实数k的取值范图为(，品]U[子+∞） 3.2.2奇偶性 第1课时函数奇偶性的概念 1.B2.B3.D4.B 5.BCD[因为f(x)=|3-x|,所以g(x)=|3-x|-|3+ x|,显然g(x)的定义域为R,且g(-x)=|3十x一|3- x=一g(x),故g(x)是奇函数. 对于A,因为g(1)=f(1)-f(-1)=-2,g(-1)= f(-1)-f(1)=2,所以g(1)-g(-1)=-4≠4=g( 1)一g(1),所以g(x)一g(一x)不是偶函数，A错误；对 于B,因为g(-x)+g(x)=g(x)+g(-x),所以g(x)+ g(一x)是偶函数，B正确；对于C,因为g(一x)|g(一x)川 =-g(x)·|-g(x)|=-g(x)|g(x),所以g(x)| g(x)是奇函数，C正确；对于D,因为g(-x)g(|-x) =一g(x)g(|x),所以g(x)g(|x)是奇函数，D正确.] 6.BC[根据偶函数在[0,7门上的图象及其对称性，作出其 在[一7,7」上的图象，如图所示，由图象可知这个函数有 三个单调递增区间，有三个单调递减区间，在其定义域 内有最大值7，最小值不是一7.故选B、C.] -7-3.50357x 2 7.解析：因为f(x)十g(x)=x一x,所以f(一1)+g(一1) =(-1)2-(-1)=2. 因为f(x),g(x)分别是定义在R上的偶函数和奇函数， 所以(-1)=f(1),g(-1)=-g(1),因此由f(-1)+ g(-1)=2.可得f(1)-g(1)=2. 答案：2 8.解析：设g(x)=kx√x+2,则g(一x)=k(一x) √(-x)+2=一kx√x十2=一g(x),且定义域为R, ∴g(x)是奇函数，f(-x)=-g（x)十1，与f(x)= g(x)+1相加得f(x)+f(-x)=2, ∴.f(-2026)=2-f(2026)=2-(-2024)=2026. 答案：2026 9.解析：f(一x)=f(x),.①为偶函数；f(一x) =一f(x),令g(x)=一f(x),则g(一x)=一f(一x)= f(x)=一g(x),∴.②为奇函数；令F(x)=xf(x),则 F(-x)=(-x)f(-x)=xf(x)=F(x),故③是偶函 数；令h(x)=f(x)十x,则h(一x)=f(一x)一x= 一f(x)一x=一h(x),故④是奇函数. 答案：②④①③ 10.解：(1)函数f(x)的定义域为R,关于原，点对称， 又f(一x)=2-|一x|=2-|x=f(x), .f(x)为偶函数. (2),函数f(x)的定义域为{一1,1}，关于原点对称，且 f(x)=0,又，'f(一x)=一f(x),f(一x)=f(x), f(x)既是奇函数又是偶函数. (3)f(x)的定义域是(-∞，0)U(0,+∞)，关于原，点 对称 当x>0时，一x<0, f(-x）=1一（一x)=1十x=f(x): 当x<0时，一x>0, f(-x)=1十(-x)=1-x=f(x). 综上可知，对于x∈（一0,0）U(0,十∞)，都有f(一x) =f(x),f(x)为偶函数. 11.解：当x<0,一x0, ∴.f(-x)=2(-x)一1=-2x-1. 又，f(x)是奇函数，.f(一x)=一f(x), ∴.f(x)=2x十1.又f(x)(x∈R)是奇函数， 8 .f(一0)=一f(0),即f(0)=0. 2x-1,x>0. .所求函数的解析式为f(x)= 0,x=0, (2x+1,x<0. 12.AD[根据定义可得y1=f(a)×(-1)+f(b)×(a 1),y2=f(a)×(b+1)+f(b)×1,f(ab)=y+y= -f(a)+(a-1)·f(b)+(b+1)×f(a)+f(b)= bf(a)+af(b).令a=b=0,则f(0)=0,A正确；令a= b=1,则f(1)=f(1)十f(1),得f(1)=0,令=b= -1,则f(1)=-f(-1)-f(-1),得f(-1)=0,B错 误；令a=x,b=-1,则f(-x)=-f(x)十xf(-1),即 f(一x)=一f(x),又定义域为R,所以f(x)是奇函数， 故C错误，D正确.门 13.证明：(1)令a=0,则f(b)=f(0)+f(b), .f(0)=0. 又令a=一x,b=x, 则f(0)=f(-x)+f(x). f(-x)=-f(x). f(x)是奇函数. (2)令x1=0,x2=x,得f(x)+f(-x)=2f0)f(x), ① 令x2=0,x1=x,得f(x)+f(x)=2f(0)f(x). ② 由①②得f(x)+f(-x)=f(x)十f(x), 即f(一x)=f(x). f(x)是偶函数. 第2课时函数奇偶性的应用 1.B2.A3.D4.D 5.CD[由①知f(x)为R上的偶函数， 由②知f(x)在(0，十o)上单调递增， 则f(一4)=f(4)>f(3).即f(3)< f(-4),故A错误：由f(m一1)< f2)得|m-1|<2,所以-1<m<3, 故B错误；画出f(x)的示意图如图所示，根据图象易得 2>0的解集为(-1,0)U(1,十∞)，C正确：由题意 知f(x)在（一o,0)上单调递减，在(0，十co)上单调递 增，所以f(x)mm=f(0),故存在M∈R且M≤f(0)满足 题意，故D正确.] 1 6.ABD[f(x)√1+xt√+元x∈R,f(-)= 1 x +立√十，故f(-x)=f),又f)的定义城 为R,所以函数f(x)是偶函数，A正确： 先研究x>0的情况， [f(x)]= 1 2.x 故f(x)√1++ 2 -+ 2x 令g(x)= 十，由对勾函数的性质，知当x∈(01)时， x g(x)单调递减，当x∈(1，十∞)时，g(x)单调递增，且 g(x)>0,所以f(x)在(0,1)上单调递增，在(1，十∞)上 单调递减，故B正确；由上述分析知x≥0时，f(x)在 x=1处取得最大值f(1)=√2，f(0)=1,且当x十∞ 时，f(x)1, 又由偶函数的对称性可得C错误，D正确，门 7.解析：利用奇函数图象关于原点对称，画出函数f(x)的 简图（图略），从图中容易看出x∈(-5,0)U(5,十∞). 答案：(-5,0)U(5,十∞) ·45 参考答案 8.解析：画简图（如图），f(一3)=f(3)=0,函数y=f(x) 在(-∞，0)上单调递增，在(0，十∞)上单调递减，) x <0即x与f(x)异号，故x∈(-3,0)U(3,十∞). y 答案：0(-3,0)U(3,+∞) 9.解析：因为函数f(x)为定义在R上的奇函数，所以f(0) =0.又f(x)在（一○，0）单调递减，且f(2)=0,画出函 数f(x)的大致图象如图(1)所示，则函数f(x一1)的大 致图象如图(2)所示 1 0 -210123x 23 1 (1) (2) 当x≤0时，要满足xf(x-1)≥0，则f(x一1)≤0， 得一1≤x0. 当x>0时，要满足xf(x一1)≥0，则f(x一1)≥0， 得1≤x≤3. 故满足xf(.x-1)≥0的x的取值范围是[-1,0]U[1,3]. 答案：[-1,0]U[1,3] 10.解：(1)证明：任取x1,x∈(-1,1)，且x1<x,则f(x1) 一x:)中年运 x1(1十x)-x2(1+x1)_（x1-x)(1-1x2) (1+x)(1十x) (1+xi)(1十x) 因为-1<x1<x2<1, 所以x1-x2<0,1-x1x2>0, (1+xi)(1+x)>0, 所以f(x1)一f(x2)<0,即f(x1)<f(x2) 所以函数f(x)在（一1,1）上是增函数. (2)由函数f(x)是定义在（一1,1）上的奇函数且f(t- 1)+f(t)<0,得f(t-1)<-f(t)=f(一t), 又由(1)可知函数f(x)在（一1,1）上是增函数，所以有 -1<t-1<1, -1<一1，→0<1<分.所以不￥式的解集 (t-1-t 是<<} 11,解：1)若函数f(x)=m十是R上的偶函教， 1+x 则f(-x)=f(x),即（二）+1=mx+1 1+(-x) 1+x9 解得m=0. (2)函数f(x)在（一○，0]上单调递增.理由如下： 由(1)知f(x)=1十2 1 设任意的x1x∈(-∞，0]，且x1<x2, 则f(x)-f(x:)=1十 1+x-1-x1 1+元=1+xi)(1+) =（x十x)(x2-x) (1+xi)(1+x) 因为x1<x2≤0，所以x2十x1<0,x2-x1>0,(1+x) ·(1+x)>0, 所以f(x1)<f(x2), 所以函数f(x)在（一o,0]上单调递增. 9