1.5.1 全称量词与存在量词-【创新教程】2026-2027学年高中数学必修第一册五维课堂课时作业（人教A版）

一章集合与常用逻辑用语 课时作业乡 数课时 1.5全称量词与存在量词 学作业 1.5.1 全称量词与存在量词 纠错空间 基础过关 7.下列命题中，是全称量词命题的是 》 1.给出四个命题：①末位数是偶数的整数 ;是存在量词命题的是 能被2整除；②有的菱形是正方形：③存 ①正方形的四条边相等； 在实数x,x>0;④对于任意实数x,2x十1 ②有两个角相等的三角形是等腰三 是奇数.下列说法正确的是 角形； A.四个命题都是真命题 ③正数的平方根不等于0： ④至少有一个正整数是偶数 B.①②是全称量词命题 C.②③是存在量词命题 8.已知命题p:“Hx≥3，使得2x-1≥m”是真 D.四个命题中有两个假命题 命题，则实数m的取值范围是 2.下列是存在量词命题且是真命题的是 9.若“3x∈R,ax+2xo十a<0”为真命 题，则实数a的取值范围是 ( A.Hx∈R,x2>0 10.用量词符号“H”“”表述下列命题： B.]x∈Z,x2>2 (1)凸n边形的外角和等于2π. C.Hx∈N,x2∈N (2)有一个有理数x0满足z=3. D.3xy∈R,x2+y2<0 (3)对任意角a,都有sina+c0s2a=1. 3.下列命题既是存在量词命题，又是真命 方法总结 题的是 ( ) A.Hx∈R,x2-3x+5>0 B.任意两个无理数之和仍是无理数 C.]x∈R,x2-3x+√2>0 D.至少存在两个质数的平方是偶数 4.“对x∈R,关于x的不等式f(x)>0有 解”等价于 A.3x。∈R,使得f(x。)>0成立 B.]x∈R,使得f(xo)≤0成立 C.Hx∈R,f(x)>0成立 D.Hx∈R,f(x)≤0成立 5.(多选)下列命题是“]x∈R,x2>3”的 表述方法的有 ( A.有一个x∈R,使得x2>3成立 B.对有些x∈R,使得x2>3成立 C.任选一个x∈R,都有x>3成立 D.至少有一个x∈R,使得x2>3成立 6.(多选)下列存在量词命题中，是真命题 的是 ( A.3x∈Z,x2-2x-3=0 B.至少有一个x∈Z,使x能同时被2 和3整除 C.3x∈R,lx|<0 D.有些自然数是偶数 ·259· 世数学 必修第一册 11.判断下列命题是否为全称量词命题或 能力提升 》 空 存在量词命题，若是，用符号表示，并 间 12.对任意实数x,不等式2x>m(x2+1) 判断其真假， 纠错空间 恒成立，求实数m的取值范围， (1)存在x,y为正实数，使x2+y2=0; (2)对所有的实数a,b,方程ax+b=0 都有唯一解； (8存在实数，俊得，一十12 年年年年年年手年年年年年年年年 。。。。。。。 方法总结 13.若Hm∈R,函数f(x)=m.x+x-m-a +十+++0t++士+。士士+ 的图象和x轴恒有公共点，求实数a 的取值范围 。。,, 小4”144”卡+4.14◆44 44440440年44年4 ·260·由x十m≥1，得x≥1一m,所以B={xx≥1一m}. 因为“x∈A”是“x∈B”的充分条件，所以A二B, 所以1一m≤品解得m≥子或m≤-是， .7 3 4 故实数m的取植范国是{mm≤-是，或m≥} 13.解：由x-x-2>0,解得x>2,或x<-1, 令A={x|x>2,或x<一1}， 由4z+p<0,得B={zz<-个， 当BEA时，即-是≤-1，即≥4 此时x<-卫≤-1→x2-x-2>0, 4 .当≥4时，4x十p<0是x2一x一2>0的充分条件. 1.4.2充要条件 1.C2.C3.A4.B 5.AB[由已知得p→r,q→r,r→s,s→q,由此得r→q且g →r,A正确，C不正确；p→q,B正确：r→s且s→r,D不 正确，门 6.BC[关于x的方程x2-|x十a-1=0有四个不等实 数根， ①若x>0,则方程x2-x十a一1=0有两正根，分别设为 x1x2, 4=1-4(a-1)>0, 则有)x1十x2>0, （x1x2>0 △=1-4(a-1)>0, 即x1十x2=1, 解得1<a<4 .5 （x1x2=a-1>0, ②若x<0,则方程x2+x十a一1=0有两负根，分别设为 △=1-4(a-1)>0, 西x4,则有工十z,=-1<0,解得1<a<号，综上， （x3x:=a-1>0, 实餐a的取值范因是{al1<a<号}门 7.解析：由x<1,得-1<x<1,而{x|0<x<1}手{x|一1 <x<1},{x|一1<x<0}丢{x一1<x<1},所以0<x <1和一1<x<0都可作为x<1的一个充分不必要条 件.因为{x-1<x<1}{x|x<1},{x|-1<x<1} {xx>一1}，所以x1和x>一1均可作为x<1的一 个必要不充分条件。 答案：②③①⑤ 8.解析：由题意知2x一3>a恒成立，2x一3≥0，.a0. 答案：a<0 9.解析：A∩B=台Ja+2≤4， 台0a2 1a-2≥-2， 答案：0≤a≤2 10.解：设方程x一mx十2m一3=0的两根分别为x1,z2, △0 ,△≥0 由题意知x1>1台(x1-1)+(x2-1)>0 (x2>1（(x1-1)(x2-1)>0 ,△≥0 ,m2-4(2m-3)≥0 →x1+x2>2 台》m>2 (x1x2-(x1+x2)+1>0(2m-3-m+1>0 9m≥6. 即使方程有两个大于1的实根的充要条件为m≥6， 11.证明：充分性：如果xy≥0，则有xy=0和xy>0两种情 况，当xy=0时，不妨设x=0,得|x十y=|y,|x|十 y|=y,.等式成立. 当xy>0,即x>0,y>0或x0,y<0时. ·4 参考答案 又当x>0,y>0时， |x十y=x+y,x|+|y=x十y,∴.等式成立 当x<0,y<0时，|x+y=-(x+y), |x|+y|=-x-y=一(x十y),.等式成立. 总之，当xy≥0时，x十y川=|x|+|y川成立. 必要性：若|x十y=|x+|y且x,y∈R, 得|x+y2=(x+|y), 即x+2xy+y=x+y2+2x|·lyl, .xy=xy,.xy≥0. 综上可知，xy≥0是等式x十y=|x十|y成立的充要 条件， 12.A[要求P∈A∩(C,B)的充要条件，应从充分性、必 要性两方面入手。 (1)CB={(x,y)川x+y-n>0, A∩(CB)={(x,y)lz+y-n>0,且2x-y+m>0}, 由P∈An(GB)知，5-之0：即m>-1,m<5. 11+m>0, 所以m>-1,n<5是P(2,3)∈A∩(CuB)的必要条件. 8多m>-1长5时年g气 {y≥3. 即P(2,3)∈A∩(CB),所以m>-1,n<5是P(2,3) ∈A∩(CuB)的充分条件，选A.] 13.解：(1)若“x∈A”是“x∈B”成立的必要条件，则B是A 的子集，故a十2<3，解得a1. 所以实数a的取值范围是{a|a<1}. (2)若“x∈A”是“x∈B”成立的必要不充分条件，则B 是A的真子集，故a十2<3，解得a<1. 所以实数a的取值范围是{aa<1}. (3)若“x∈CRA”是“x∈B”成立的充分条件，则CA 是B的子集， 易知CRA={xla≤xa十2}，所以a≥3 所以实数a的取值范围是{aa≥3} (4)若“x∈CRA”是“x∈B”成立的充分不必要条件，则 CRA是B的真子集. 因为CRA={xa≤x≤a十2}，所以a≥3. 所以实数a的取值范围是{a|a≥3}. 1.5全称量词与存在量词 1.5.1全称量词与存在量词 1.C2.B3.C4.A 5.ABD[C选项是全称量词命题，A,B,D选项符合 题意.门 6.ABD[A中，x=-1时，满足x2-2x-3=0,所以A是 真命题：B中，6能同时被2和3整除，所以B是真命题； D中，2既是自然数又是偶数，所以D是真命题；C中，因 为所有实数的绝对值非负，所以C是假命题，故 选ABD.] 7解析：①可表述为“每一个正方形的四条边都相等”，是 全称量词命题；②是全称量词命题，即“几是有两个角相 等的三角形都是等腰三角形”；③可表述为“所有正数的 平方根都不等于0”，是全称量词命题；④是存在量词 命题. 答案：①②③④ 8.解析：x≥3，.2x-1≥5，∴.m5. 答案：{mm≤5} 9,解析：当a≤0时命题为真；当a>0时命题为真，必使△ =4-4a>0,即-1<a<1,.a<1. 答案：a<1 10.解析：(1)Hx∈{x|x是凸n边形}，x的外角和是2π， (2)3x。∈Q,x=3, (3)VaER,sin'a+cos'a=1. 数学·必修第一册 11.解：(1)存在量词命题，用符号表示为“3x,y为正实数， 使x十y=0”,是假命题. (2)全称量词命题，用符号表示为“Ha,b∈R,方程ax十 b=0都有唯一解”，是假命题. (3)存在量词命题，用特号表示为“了x∈R,7-x十 2”,是假命题. 12.解：不等式2x>m(x十1)恒成立，即：不等式mx一2x 十m<0恒成立. (1)当=0时，不等式可化为一2x<0,显然不恒成立， 不合题意， (2)当m≠0时，要使不等式m.x2一2x十m<0恒成立， 则∫m≤0， 解得<一1. (4-4m2<0, 综上可知，所求实数m的取值范围是{mm<一1}. 13.解：(1)当m=0时，f(x）=x一a与x轴恒相交，所以a ∈R; (2)当m≠0时，二次函数f(x)=mx2十x一m一a的图 象和x轴恒有公共点的充要条件是△'=1十4m(m十a) ≥0恒成立，即4m2十4am十1≥0恒成立， 又4m2十4am十1≥0是一个关于m的二次不等式，恒 成立的充要条件是△=(4a)一160，解得一1a≤1. 由(1)(2)同时成立，故实数a的取值范围为{a|一l≤a 1}. 1.5.2全称量词命题和存在量词命题的否定 1.D2.B3.B4.C 5.AC「命题的否定是全称量词命题，即原命题为存在量 词命题，故排除B.再根据命题的否定为真命题，即原命 题为假命题.又D为真命题，故选A、C,」 6.ABD[A.该命题等价于所有无理数都是实数，为真命 题；B.显然为真命题：C.显然不成立，为假命题；D.取x=1, 能使x2一x十1=1是整数，为真命题.] 7.解析：对任意x>3,x>a恒成立，即大于3的数恒大于a,所 以a的取值范围是{aa3}. 答案：{aa≤3} 8.解析：因为3x∈B,x∈A为假命题，所以Hx∈B,x任A 为真命题，所以A∩B=⑦且B≠② 所以2m<m+1:或2m<m+1解得m≤-2.即实数 、{m+1≤-1{2m≥4， m的取值范围为{mm≤一2}. 答案：{mm≤-2} 9.解析：因为p(1)是假命题，所以1十2一m≤0，解得m≥3. 又因为p(2)是真命题，所以4十4一m>0,解得m<8,故 实数m的取值范围是{m3≤m<8}:若p(1)是真命题， (2)是假命题，则+2-m≥0， 4+4-m<0, 解得{≤3无解. lm>8, 答案：{m3≤m<8} 10.解：(1)命题的否定：3x∈R,x0,因为x=0时，0=0 所以命题的否定为真命题. (2)命题的否定：x∈R,x≠1.因为x=1时，x=1, 所以命题的否定为假命题. (3)命题的否定：Hx∈R,x不是方程x-3x十2=0的 根.因为x=1时，12一3×1十2=0，即x=1为方程的 根，所以命题的否定为假命题， (4)命题的否定：存在一个等腰梯形的对角线不垂直。 命题的否定为真命题， ·4 11.解：(1)命题p的否定：对任意实数x,有x一a0且 x-b>0. (2)要使命题力的否定为真，需要使不等式组 2一a≤0'的解集不为空集，通过画数轴（图略）可看 (x-b>0 出，a、b应满足的条件是b<a. 12.解：由力为真命题，a≤x2对H1≤x≤2恒成立， 得a1;① 由g为真命题，即x2+2ax十2一a=0有实根， 得△=4a-4(2-a)≥0， 即a≥1或a-2.② 对①②求交集，可得{aa≤一2或a=1}. 综上，所求实数a的取值范围为{aa≤一2或a=l}. 13.解：(1)不等式m十f(x)>0可化为m>一f(x),即m -x2+2x-5=-(x-1)2-4,要使m>-(x-1)-4 对于任意x∈恒成立，只需m>一4即可，故存在实数 m使不等式m十f(x)>0对于任意x∈R恒成立，此时 需m>一4. (2)不等式m-f(x。)>0可化为m>f(x).若存在一 个实数x,使不等式m>f(x)成立，只需m>f(x)in, 又f(x)=(x-1)十4，则f(x)mn=4,所以m>4. 所以所求实数m的取值范围是{mm>4}. 第二章一元二次函数、方程和不等式 2.1等式性质与不等式性质 第1课时不等关系与不等式 1.C2.D3.A4.A 5.BCD[x-1-(1-y)=x十y一2，无法判断它与0的大 小关系，任取特殊值x=2,y=一1得x一1一(1一y)<0,故 选项A中不等式不一定成立；x一1一(y-1)=x一y>0,故 选项B中不等式成立；x一y一(1一y)=x一1>0，故选项 C中不等式成立；1-x-(y-x)=1一y>0,故选项D中 不等式成立.故选B、C、D. 6.B[变甜了，意味着含糖量大了，即浓度高了.门 7.解析：(x+5)(.x+7)-(x+6)2=x+12x+35-(x+ 12x+36)=-1<0,所以(x+5)(x+7)<(x+6). 答案：(x十5)(x+7)<(x+6) |a-b-a-a=[a·a-(-b)·b]-[a· 8.解析：6a-bb b-(-a)·b]=a2+b-2ab=(a-b)2. a≠b,∴.(a-b)2>0. a -a -(x-1)≤0. 解折：中存白十子-2号 -1=(x-x+1) 1+x -[x-+之 <0, 1+x 答案：1女≤号<1 x 10.解：设A,B两种蛋糕分别制作x,y个，根据题意，应有 如下的不等关系： ①制作A,B两种蛋糕需要的面粉不超过1000g,用不 等式表示为150x+200y≤1000： 8