4.4.2 第2课时 对数函数的图象与性质的应用-【创新教程】2026-2027学年高中数学必修第一册五维课堂同步复习（人教A版）

第四章指数函数与对数函数 随堂。步步夯实 1.(多选)函数f(x)=log(x十e)的图象可能 3.已知a=√5，b=log34,c=log225,d 不过 ( log25,则a,b,c,d的大小关系为( A.第一象限 B.第二象限 A.b<a<d<c B.b<d<a<c C.第三象限 D.第四象限 C.d<b<a<c D.b<d<c<a 2.函数f(x)=log2|2.x-4|的图象为() 4.函数f(x)=log.(x+2)十3(a>0,且a≠1) 的图象恒过定点 5.已知函数f(x)=log号(ax2+2ax十1). (1)若f(x)的定义域为R,求实数a的取值 范围为 (2)若函数f(x)的值域为R,求实数a的取 值范围为 C温馨提 学习至此，请完成配套训练 第2课时 对数函数的图象与性质的应用 课程标准 素养解读 1.理解对数函数的单调性，并能利用单调性比较 1.通过对数函数性质的研究培养学生数学 大小、求最值或值域、解不等式 抽象和数学运算素养 2.初步掌握对数函数在生活中的应用 2.通过对数函数的应用提升数学建模素养 课前。预习学案 [情境引入] 续表 你能说出指数函数，对数函数的概念，图 a的范围 0<a<1 a>1 象与性质吗？它们有哪些共同点，哪些区别？ [知识梳理] 定义域 [知识点一]对数函数的图象及性质 值域 R 对数函数的图象及性质 性 a的范围 0<a<1 a>1 质 定点 ,即x=时y= x=1 x=1 y=log,x(a>1) (1,0) 在(0，十∞)上 在(0，+∞)上 图象 单调性 0/7(1,0)x 是 是 y=logx(0<a<1) 129 数学·必修第一册 [知识点二]复合函数单调性的判定方法 C.y=logaz2 设函数y=f(u),u=g(x)都是给定区间上 D.y=log (x+1) 的单调函数.若y=f(u),u=g(x)在给定区 2.函数y=1og(2一x一x2)的单调递增区 间上的单调性相同，则函数y=f[g(x)]是 间为 函数；若y=f(u),u=g(x)在给定区 间上的单调性相反.则函数y=f[g(x)]是 B（-8-易 函数 ( [预习自测] 1.下列各函数在(0,2)上是减函数的是( logsx,>0, 3.已知函数f(x) 则 A.y=log+(x2-4x+3) 2,x≤0， B.y=log2√x2-1 MH- 课堂。互动学案 题型一 利用对数函数单调性解不等式 规律方法 [例1]解下列不等式. 两类对数不等式的解法 (1)log2(2x+3)>log2(5x-6); 1.形如logf(x)<logg(x)的不等式. (2)log2a-)(x2-3x)>log2a-D(2x+6). (1)当0<a<1时，可转化为f(x)>g(x) 汇思路点拔]“解此类不等式的关键是根据 >0; 对数函数的单调性及对数的运算性质，将 (2)当a>1时，可转化为0<f(x)<g(x). 其转化为一般的代数不等式，若对数的底 2.形如logf(x)<b的不等式可变形为 数含有参数，需对底数的范围加以讨论 logaf(x)<b=loga. (1)当0<a<1时，可转化为f(x)>a; (2)当a>1时，可转化为0<f(x)<a ◇[变式训练] 1.)已知1og。>1,求a的取值范围； ·130· 第四章指数函数与对数函数 (2)已知loga.72x<1og.,(x-1),求x的取 规律方法 值范围 1.解决对数型复合函数的单调性问题的关 键：一是看底数是否大于1，当底数未明 确给出时，则应对底数是否大于1进行 讨论；二是运用复合函数的单调性法则 来判断其单调性；三是要注意其定义域 2.对数型复合函数一般可分为两类：一类 是对数函数为外函数，即y=logf(x) (a>0,且a≠1)型；另一类是对数函数 为内函数，即y=f(logx)(a>0,且 a≠1)型. 3.对于函数y=logf(x),如果定义域 为D. 题型求对数函数的单调区间 [例2]求函数f(x)=log,(2x2-3x一2)的单 y=logaf (x) y=logaf (x) 调区间. 的增区间 的减区间 汇思路点拨了判断复合函数的单调性时， 定义域内 定义域内f(x) 一定要在定义域内进行，如果含有参数，有 a>1 f(x)的单调 的单调增区间 时还要对参数进行分类讨论， 减区间 定义域内 定义域内f(x) 0<a<1 f(x)的单调 的单调减区间 增区间 ◇[变式训练] 2.求函数f(x)=log(x2一2x一3)的单调 区间. ·131· 数学·必修第一册 题型与对数函数有关的函数的综合问题] ⊙[变式训练] [例3]已知函数f(x)=log.(1十3x)一log.(1 3.已知函数f(x)=log2x的图象与函数g(x) -3x)(a>0,a≠1). 的图象关于直线y=x对称. (1)求f(x)的定义域； (1)求函数g(x)的解析式； (2)判断f(x)的奇偶性并给予证明； (2)若G(x)=g2(x)-2g(x)+2,F(x)= (3)求关于x的不等式f(x)<0的解集. f(x2-a.x+1). 汇思路点拨]对数型函数的定义域须满足 (i)求G(x)的值域； 对数式有意义。 (i)若对于Hx1∈[1，+∞)，3x2∈R,使 得F(x1)≥G(x2)恒成立，求所有满足条件 的a的取值范围. 规律方法 (1)指数函数、对数函数都是非奇非偶函 数，但并不妨碍它们与其他函数复合成 奇函数（或偶函数）. (2)含对数式的函数奇偶性判断，一般用 f(x)士f(一x)=0来判断，运算相对 简单 随堂。步步夯实 1.若1og,号<1(a>0,且a≠1)，则实数a的 2.设a>1,函数f(x)=logx在区间[a,2a] 取值范围为 上的最大值与最小值之差为2，则a (信 () A.√2 B.2 C.2√2 D.4 B(侍+ 3.函数y=2-log5(x十1)在区间[0,2]上的 最大值为 ,最小值为 4.函数f(x)=log(2x+1)的单调增区间是 ..jU.+ ·132· 第四章指数函数与对数函数 5.根据函数f(x)=log2x的图象与性质解决 (2)求y=l1og2(2x-1)在x∈[1,14]上的 以下问题 最值. (1)若f(a)>f(2),求a的取值范围； C温馨提污 学习至此，请完成配套训练 4.4.3不同函数的增长差异 课程标准 素养解读 1.对几种常见增长类型的函数的增长状况进行比较，初 通过函数模型的应用提升数学建模 步体会它们的增长差异性 和逻辑推理素养 2.了解函数模型的广泛应用 课前。预习学案 [情境引入] [知识梳理] 函数=2x与y=2x有几个交点，x在什么 [知识点] 三种常见函数模型的增长差异 范围下，2>2x会恒成立？ y=kx(k>0》 y=ar(a>1) y=logar(a>1） y=2x 在(0，十∞) 上的增减性 y=2 随x增大逐渐 随x增大逐渐 图象的变 一条直线 近似与 近似与 012 化趋势 平行 平行 (1)y=a(a>1)随着x的增大，y增长速度 ,即使k的值远远大于a的值，y= a2(a>1)的增长速度最终都会大大超过 的增长速度 增长速度 (2)y=logar(a>1)随着x的增大，y增长速 度 ,不论a的值比k的值大多少，在 一定范围内，logx可能会大于kx,但由于 logax的增长慢于kx的增长，因此总会存在 个x0,当x>x0时，恒有 ·133·数学·必修第一册 随堂步步夯实 1.AD2.A3.D4.(-1,3) f)在(2，+0)上为减画数，在(0，一）上为增 5.解析：(1)定义域为R即真数恒大于0，则a=0或 函数 a>0'解得a∈[01D. 综上，由①②可知，当a>1时，f(x)的单调增区间为 {A<0, (2,十©∞)，单调减区间为 (2)值城为R即真数能取遍(0，+©o),故a=0或 (a>0,解得a∈[1，+oo). 当0<a<1时，f(x)的单调增区间为(-oo,- 2 ),单调 14≥0， 减区间为(2，十∞) 答案：(1)[0,1)(2)[1，+∞) [例3][解](1)因为函数f(x)=log。(1+3x) 第2课时对数函数的图象与性质的应用 -log。(1-3.x), 课前预习学案 所以1+3>0， 得 1 知识梳理 11-3x>0, ∠x<31 知识点一、(0，十∞)(1,0)10减函数增函数 知识点二、增减 所以西数✉)的定义城为（言吉）】 预习自测 (2)f(x)为奇函数，证明如下； 1.D2.D3.4 由)得岛数f)的定义城为（子号）关于原点 对称， 课堂互动学案 因为函数f(x)=log.(1+3x)-log.(1-3x), 2x+3>0, 所以f(-x)=log.(1-3x)-log.(1+3x) [例1][解](1)原不等式等价于 5x-6>0, =-[log.(1+3.x)-log.(1-3.x]=-f(x), (2x+3>5.x-6, 所以函数f(x)为奇函数. 解得 <x<3, (3)根据题意，log.(1+3x)-log(1-3x)<0, 所以原不等式的解集为号<<} 即log(1+3.x)<log.(1-3.x), 1+3x>0, (2)当a>1时，2a-1>1, 当a>1时，有 1-3x>0, 得-<<0， x2-3x>0, (1+3.x<1-3x, 原不等式等价于2x十6>0， (x2-3x>2x+6, 此时不等式的解集为（一言0少： 即/2+6>0. 1十3x>0, {x2-5x-6>0, 当0<a<1时，有1-3x>0, 解得0<< 解得-3<x<-1或x>6. 1+3x>1-3x 当2<a<1时，0<2a-1<1. 此时不等式的解集为(0，合) x2-3x>0. 综上，当心>1时，原不等式的解案为（合0小 原不等式等价于)2x十6>0， -3x>0. (x2-3x<2x+6, {x2-5.x-6<0, 当0<a<1时，原不等式的解集为(0，号)】 解得-1<x<0或3<x<6, 变式训练 综上可知，当a>1时，原不等式的解集为{x|一3<x< 1.解：1)由1og.合>1得1log。子>1oga. -1,或>6.当弓<a<1时，原不等式的解集为 {x-1<x<0,或3<x<6. ①当a>1时，有a<2: 1 [例2][解]由2x-3x一2>0得函数f(x)的定义域 此时无解。 为{>2或K-号} ②当0<a<1时，有2<a, ①a>1时，t=2x2-3z-2在(2，+c∞)上为增函数， 从而2<a<1, 在(0-号)上为减函数， a的取值龙园是（合）片 x)在(2，十0)上为增画数，在(0，合)上为减 (2):函数y=log.7x在(0，十∞)上为减函数， 函数. ∴.由log.,2x<1og。.,(x-1) ②0<a<1时，t=2x2-3x-2在(2，十c∞)上为增函数， 2x>0, 得x-1>0,解得x>1. 在(0，)上为减画数， (2x>x-1, ·404· 参考答案 2.解：设t=x2-2x-3>0,得x>3或x<-1,由于t=(x [思考] 一1)一4在(3，十∞)上单调递增，在（一∞，-1）上单调 1.提示：有，还有指数衰减. 递减，又y=log1t在定义域内单调递减，因而函数f(x) 2.提示：当底数小于1时，对数函数的递减速度越来越慢， =log4(x-2x-3)的单调递增区间为（一∞，一1），单 3.提示：当a>1,n>0时，由y=a,y=x”,y=logx的增 调递减区间为(3，十). 长速度，存在x。,当x>x。时，三个函数的图象由上到下 3.解：(1)由题意知，f(x)=log2x与g(x)互为反函数， 依次为指数，幂，对数，故一定有a>x”>log。x. 预习自测 所以g(x)=2. 1.A2.BD3.f(x)>g(x) (2)(i)由(1)知g(x)=2,则G(x)=g(x)-2g(x)+2 课堂互动学案 =(2-1)2+1≥1，当且仅当x=0时取等号， [例1门[解析]从题中表格可以看出，三个变量y1y, 所以G(x)的值域为[1，十∞). y,都是越来越大，但是增长速度不同，其中变量y的增 (i)因为Hx1∈[1，+∞)，3x∈R,使得F(x1)≥ 长速度最快，呈指数型函数变化，变量y的增长速度最 G(x,)恒成立， 慢，呈对数型函数变化， 所以F(x)min≥G(x)min. [答案]B 由(1)知G(x)≥1，则log(x2-a.x+1)≥1在[1，+co) [例2][解](1)C1对应的函数为g(x)=x3,C2对应的 上恒成立，则x2-ax-1≥0在[1，+∞)上恒成立， 函数为f(x)=2. 则a≤x-L (2)因为f1)>g(1),f2)<g(2),f(9)<g(9),f10)>g10), 所以1<x1<2,9<x2<10,所以x1<6<x2,2026>x2, 因为h(x)=工-】在[1，十c∞)上单调递增，所以九(x)m 从图象上可以看出当x1<x<x2时，f(x)<g(x), 所以f(6)<g(6): =h(1)=0,所以a≤0，所以a的取值范围为（一c0,0]. 当x>x时，f(x)>g(x),所以f(2026)>g(2026); 随堂步步夯实 又因为g(2026)>g(6), 1.C2.D 所以f(2026)>g(2026)>g(6)>f(6). 3.31 [例3][解]根据题意可列方程组 4（2+∞） /f(1)=a+b+c=100, /a=-5, f(2)=4a+2b+c=120,解得)b=35, 5.解：函数y=log2x的图象如图， (f(3)=9a+3b+c=130. (c=70. y y=f(x) 所以y=f(x)=-5.x+35x+70. 同理y=g(x)=-80×0.5+140. ② /12 再将x=4分别代入①式与②式得 f(4)=-5×4+35×4+70=130(t), g(4)=-80×0.5+140=135(t). (1)y=log2x是增函数，若f(a)>f(2), 与f(4)相比，g(4)在数值上更为接近第四个月的实际月 即log2a>log22, 产量，所以②式作为模拟函数比①式更好，故选用函数y 则a>2. =g(x)=pg十r作为模拟函数较好. ∴.a的取值范围为(2，十o). 变式训练 (2)1≤x≤14，.1≤2x-1≤27， 1.A「指数函数y=a,在a>1时呈爆炸式增长，并且随 .0≤log2(2x-1)≤1og27. a值的增大，增长速度越快.] .函数y=log(2x-1)在x∈[1,14]上的最小值为0，最 2.B[在同一坐标系中画出函数y 大值为log27. =log2x,y=x2,y=2的图象， 4.4.3不同函数的增长差异 在区间(2,4)内从上往下依次是 课前预习学案 y=xy=2,y=logx的图象， .2>2>log:t.] 情境引入 3.解：A种债券的收益是每100元 提示：(1)y=a(a>1)与y=kx(k>0)在区间[0，十∞) 一年到期收益3元：B种债券的 01234x 都单调递增。 (2)它们的增长速度不同，而且不在同一个“档次”上，随 半年利率为51.450，所以 50 着x的增大，y=口的增长速度越来越快，会超过并远远 大于y=x的增长速度 10元一年到期的本息和为100(+L,)】 因此，总会存在一个xo,当x>x。时，恒有a>kx 105.68(元)，收益为5.68元：C种债券的利率为 知识梳理 100,,10元-年期的本息和为10+1007） 97 知识点增函数增函数增函数y轴x轴越来 ≈103.09（元），收益为3.09元.通过以上分析，应购买B 越快y=kx(k>0)越来越慢logx<kx 种债券 ·405·