4.4.2 第1课时 对数函较的图象与性质-【创新教程】2026-2027学年高中数学必修第一册五维课堂同步复习（人教A版）

第四章指数函数与对数函数 ● 随堂。步步夯实 1.(多选)下列给出的函数，其中是对数函数 的是 5.已知x)=log+ A.y=logx2(a>0且a≠1) 求份(》： B.y=log/s-1x C.y=log,W3(x>0且x≠1) (2求f2+/-202a D.y-logx (3)求f(a)+f(-a)的值，a∈(-1,1). 2.下列各组函数中，定义域相同的一组是 A.y=a'与y=logx(a>0,且a≠1) B.y-2lnx与y=lnx2 C.y=lgx与y=lg√元 D.y=x2与y=lgx2 3.f(x)= 2e-1,x<2, ,则f[f(2)]的 log3(x2-1),x≥2， 值为 @温馨提 4.函数f(x)=lg(x2-1)的定义域为 学习至此，请完成配套训练 4.4.2对数函数的图象与性质 第1课时对数函数的图象与性质 课程标准 素养解读 1.能用描点法或借助计算工具画出具体对数函数1.通过对数函数的图象培养直观想象素养 的图象 2.通过对数函数的性质提升数学建模和逻 2.探索并了解对数函数的单调性与特殊点 辑推理素养 课前。预习学案 [情境引入] [问题]我们能用研究指数函数的方法研究 历史上纳皮尔是当之无愧的“对数缔造 对数函数的图象和性质吗？ 者”，理应在数学史上享有这份殊荣.伟大的导 师恩格斯在他的著作《自然辩证法》中，曾经把 笛卡尔的坐标、纳皮尔的对数、牛顿和莱布尼 兹的微积分共同称为十七世纪的三大数学发 明.法国著名的数学家、天文学家拉普拉斯 (PierreSimonLaplace,l749-l827)曾说：对 数，可以缩短计算时间，“在实效上等于把天文 学家的寿命延长了许多倍” ·125· 数学·必修第一册 [知识梳理] [知识点二]反函数 [知识点一]对数函数的图象和性质 1.指数函数y=a'(a>0,且a≠1)和对数函数 1.对数函数y=logx(a>0,且a≠1)的图象 y=logx(a>0,且a≠1)互为反函数.两者 及性质 的 和 正好互换， 2.反函数的性质 a>1 0a1 (1)互为反函数的两个函数图象关于直线y= y=log x x对称 图 (2)反函数的定义域是原函数的值域，反函数 /41 y=log x 的值域是原函数的定义域 定义域为 ,值域为 ?思考2.函数y=log3x与y 3 互为反 图象都过定点 ,即 时， 函数吗？ 3.对数函数y=logx(a>0且a≠1)与y 质 当x>1时， 当x>1时， log±x(a>0且a≠1)有什么关系？ 当0<x<1时， 当0<x<1时， 在(0，十∞)上是 在(0，十∞)上是 2.本质：作出不同底数的对数函数在同一个坐 标系中的图象，观察这些图象的位置、公共 [预习自测] 点和变化趋势，它们的共性即对数函数的 性质. 1.已知实数a=lg5,b=(宁°c=1og,0.4, 3.应用：①比较大小；②求定义域、值域；③解 则a,b,c的大小关系为 不等式；④求参数的范围， A.b<c<a B.b<a<c 门思考1.底数a的取值与对数函数y= C.c<a<b D.c<b<a logx(a>0且a≠1)的图象有什么关系？ 2.若函数y=f(x)是函数y=a(a>0,且a≠ 1)的反函数且f(2)=1,则f(x)=（) A.log2x B C.logix D.2x-2 3.若某对数函数的图象过点(4,2)，则该对数 函数的解析式为 课堂。互动学案 题型一 对数函数的图象 A.c<d<1<a<b [例1](1)函数y=1ogx,y= B.1<d<c<a<6 y=log,x logix,y=logx,y=logax C.c<d<1<b<a 图象如图所示，则a,b,c,d y=log x D.d<c<1<a< y=log 的大小顺序是 汇思路点拨]根据对数函数的图象特点 判断 ·126· 第四章指数函数与对数函数 (2)函数f)=1ogx(0<a<1)的图象 续表 (3)根据对数函数图象判断底数大小的方法： 大致为 作直线y=1与所给图象相交，交点的横 坐标即为各个底数，根据在第一象限内， 自左向右，图象对应的对数函数的底数逐 渐变大，可比较底数的大小. 3.对数型函数图象恒过定点问题 解决此类问题的根据是对任意的a>0,且 a≠1，都有log,1=0.例如，解答函数y=m 十log.f(x)(a>0,且a≠1)的图象恒过定 点问题时，只需令f(x)=1求出x,即得定 思路点拨了“先化简，再判断 点(x,m). 规律方法 ⊙[变式训练] 1.函数y=logx(a>0且a≠1)的底数变 化对图象位置的影响 1.(多选)函数fx)=lg〔+的图象可 以为 y=logzx y=log,t a大(a>1) y=log a小(0<a<1) y=logix 观察图象，注意变化规律： 上下比较：在直线x=1的右侧，a>1时，a 越大，图象向右越靠近x轴，0<a<1时，a 越小，图象向右越靠近x轴。 左右比较：比较图象与y=1的交点，交 点的横坐标越大，对应的对数函数的底 数越大 题型二】 利用对数的单调性比较大小 2.有关对数型函数图象问题的应用技巧 [例2]比较下列各组数的大小： (1)求函数y=m十logf(x)(a>0,且a≠1) (1)log2元与log20.9; 的图象过定点时，只需令f(x)=1求 (2)l0g20.3与l1og0.20.3; 出x,即得定点为(x,m). (3)log25与log35. (2)给出函数解析式判断函数的图象，应 思路点拔丁“利用对数函数的单调性 首先考虑函数对应的基本初等函数 判断· 是哪一种；其次找出函数图象的特殊 点，判断函数的基本性质、定义域、单 调性以及奇偶性等；最后综合上述几 个方面将图象选出，解决此类题目常 采用排除法。 127· 数学·必修第一册 规律方法 题型 求函数的值域问题 比较对数值大小时常用的4种方法 [例3](1)函数f(x)=1og2(3+1)的值域 (1)若底数为同一常数，则可由对数函数的 为 单调性直接进行比较. 3,x∈(-o∞，-1)， (2)函数y= 的值域为 (2)若底数为同一字母，则根据底数对对数 log2x,x∈[1，+oo) 函数单调性的影响，对底数进行分类 讨论. A.(0,3) B.[0,3 (3)若底数不同，真数相同，则可以先用换 C.(-∞，3 D.[0,+∞) 底公式化为同底后，再进行比较，也可 [思路点拔了“先求定义域，再根据对数函 以利用顺时针方向底数增大画出对数 数的单调性求值域 函数的图象，再进行比较 规律方法 (4)若底数与真数都不同，则常借助1,0等 求形如y=logf(x)(a>0.且a≠1)的复 中间量进行比较。 合函数的值域的步骤 ◇[变式训练] (1)分解成y=log.u,u=f(x)两个函数； 2.比较下列各组数的大小： (2)求f(x)的定义域； 11og号与1og9； (3)求u的取值范围； (4)利用y=logu的单调性求解 (2)log:3与1og3; ◇[变式训练] (3)log2与log3. 3.求下列函数的值域： (1)y=log2(x2+4): (2)y=1og号(3+2x-x2). ·128· 第四章指数函数与对数函数 随堂。步步夯实 1.(多选)函数f(x)=log(x十e)的图象可能 3.已知a=√5，b=log34,c=log225,d 不过 ( log25,则a,b,c,d的大小关系为( A.第一象限 B.第二象限 A.b<a<d<c B.b<d<a<c C.第三象限 D.第四象限 C.d<b<a<c D.b<d<c<a 2.函数f(x)=log2|2.x-4|的图象为() 4.函数f(x)=log.(x+2)十3(a>0,且a≠1) 的图象恒过定点 5.已知函数f(x)=log号(ax2+2ax十1). (1)若f(x)的定义域为R,求实数a的取值 范围为 (2)若函数f(x)的值域为R,求实数a的取 值范围为 C温馨提 学习至此，请完成配套训练 第2课时 对数函数的图象与性质的应用 课程标准 素养解读 1.理解对数函数的单调性，并能利用单调性比较 1.通过对数函数性质的研究培养学生数学 大小、求最值或值域、解不等式 抽象和数学运算素养 2.初步掌握对数函数在生活中的应用 2.通过对数函数的应用提升数学建模素养 课前。预习学案 [情境引入] 续表 你能说出指数函数，对数函数的概念，图 a的范围 0<a<1 a>1 象与性质吗？它们有哪些共同点，哪些区别？ [知识梳理] 定义域 [知识点一]对数函数的图象及性质 值域 R 对数函数的图象及性质 性 a的范围 0<a<1 a>1 质 定点 ,即x=时y= x=1 x=1 y=log,x(a>1) (1,0) 在(0，十∞)上 在(0，+∞)上 图象 单调性 0/7(1,0)x 是 是 y=logx(0<a<1) 1294.4.2对数函数的图象与性质 第1课时对数函数的图象与性质 课前预习学案 情境引入 提示：研究指数函数和对数函数的方法是相同的， 知识梳理 知识点一、1.(0，+∞)R(1,0)x=1y=0y>0 y<0y<0y>0增函数减函数 知识点二、1.定义域值域 [思考] 1.提示：底数a与1的大小关系决定了对数函数图象的“升 降”：当a>1时，对数函数的图象“上升”；当0<a<1时， 对数函数的图象“下降”， 2.提示：不是，同底数的指数函数与对数函数互为反函数 3.提示：在同一坐标系内，y=log。x(a>0且a≠1)的图象 与y=log⊥x(a>0且a≠1)的图象关于x轴（即直线y =0)对称. 预习自测 1.D 2.A 3.y=log2x 课堂互动学案 [例1][解析](1)在图中作出直线y=1,则1=logx1, 1=log6x2,1=logx3,1=log4x4,解得1=a,x2=b,x =c,x,=d,由图可知x,>x1>1>x,>x3,即c<d<1< a<b,故选A. (2)在1ogx中x>0)=孟logx=logx(0<a<1) 故选B. [答案](1)A(2)B [例2][解](1)：函数y=logx在(0，+∞)上是增函 数，π>0.9，.log8r>log0.9. (2)由于log0.3<1og21=0,log。.20.3>log.21=0, ∴.log20.3<logo.20.3. (3)函数y=log2x和y= y y=logx 1ogx的图象如图所示，当x y=log x >1时，y=ogx的图象在y 0M1 =logx的图象上方.这里x =5,.log25>log:5. [例3][解析](1)f(x)的定义域为R. 因为3>0，所以3+1>1. 因为y=log2x在(0，十∞)上单调递增， 所以1og2(3+1)>log21=0. 即f(x)的值域为(0，十). (2)x<-1时，0<3<31=3 1 x≥1时，log2x≥log21=0. 所以函数的值城为(0，子)U[0,十∞)=[0，十∞). [答案](1)(0，十∞)(2)D ·40 参考答案 变式训练 1.ACD[由题意得函数f(x)=og(+)的定义城 为(-+e） ①当4>1时，函数f(x)单调递增，且0<<1，又f(0) =1og(0+）=10g.日=-1，故A满足题意，B不满 足题意， ②当0<a<1时，函数f(x)单调递减，且>1， 又f-1)=log(-1+a）片 当1<<2时，f(-1)=log(-1+日)>g1=0. 故C满足题意；当工=2时，f(-1)=l0g a (1+日)=1og1=0,故D满足题意.门 2.解：(1)y=log头x在(0，十∞)上递减， 又为<号 所以1og4手>log号 6 (2)法-：log号3-log13=g3-g3 1g2 1g30g-lg2》 “y=gg是塔西载lg言<g合<0<g3. ∴.log号3-log+3<0,∴.log号3<log+3. 法二：因为在x∈(1，十∞) 上，y=logx的图象在y= 3 og号x图象的上方，所以 0 log3<log3. y=log1 (3)当a>1时，y=logx为 y=logix 增函数，所以log2<log。3. 当0<a<1时，y=logx为减函数，所以log2>log.3. 3.解：(1)设u=x2十4≥4. 而y=log2u是增函数，y=log24=2. .函数y=log4(x2+4)的值域为[2，十∞). (2)y=log号(3+2x-x2), 设t=3十2x-x2=-(x-1)2十4. 令t>0.-1<x<3. 0<t4. 又y=logt为减函数. .y≥log54=-2 .函数y=log号(3+2z-x2)的值域为[-2，十∞). 数学·必修第一册 随堂步步夯实 1.AD2.A3.D4.(-1,3) f)在(2，+0)上为减画数，在(0，-）上为增 5.解析：(1)定义域为R即真数恒大于0，则a=0或 函数 a>0'解得a∈[01. 综上，由①②可知，当a>1时，f(x)的单调增区间为 △<0， (2,十∞)，单调减区间为 (2)值域为R即真数能取遍(0，十∞)，故a=0或 (a>0'解得a∈[1，十oo). 当0<a<1时，f(x)的单调增区间为(-oo,- 2 ),单调 4≥0， 减区间为(2，十∞) 答案：(1)[0,1)(2)[1，+∞) [例3][解](1)因为函数f(x)=log。(1+3x) 第2课时对数函数的图象与性质的应用 -log.(1-3.x), 课前预习学案 所以{十3之0解得 1 知识梳理 1-3.x>0, 3 ∠x<31 知识点一、(0，十∞)(1,0)10减函数增函数 知识点二、增减 所以西数✉)的定义城为（言吉）】 预习自测 (2)f(x)为奇函数，证明如下； 1.D2.D3.4 由)得岛数fx)的定义城为（子号）关于原点 对称， 课堂互动学案 2x+3>0, 因为函数f(x)=log.(1+3.x)-log。(1-3x), 所以f(-x)=log.(1-3.x)-log.(1+3.x) [例1][解](1)原不等式等价于 5.x-6>0, =-[log.(1+3.x)-log.(1-3.x]=-f(x), (2x+3>5.x-6, 所以函数f(x)为奇函数， 解得6 <x<3, (3)根据题意，log(1十3x)-log(1-3.x)<0, 所以原不等式的解集为号<<3} 即log(1+3.x)<log.(1-3.x), 1+3x>0, (2)当a>1时，2a-1>1, 当a>1时，有 1-3x>0, 得-<<0 x2-3x>0, (1+3.x<1-3x, 原不等式等价于2x十6>0， (x2-3.x>2x+6, 此时不等式的解集为（言0）少： 即/2+6>0， 1+3x>0, {x2-5.x-6>0, 当0<a<1时，有1-3x>0, 解得0<< 解得-3<x<-1或x>6. 1+3.x>1-3x 当2<a<1时，0<2a-1<1. 此时不等式的解集为(0，宁） x2-3x>0, 即-3x>0, 综上，当>1时，原不等式的解案为（合0）： 原不等式等价于)2x十6>0， (x2-3x<2x+6, {x2-5.z-6<0, 当0<a<1时，原不等式的解集为(0，号)】月 解得-1<x<0或3<x<6, 变式训练 综上可知，当a>1时，原不等式的解集为{x|一3<x< 1.解：1)由1og.合>1得1log。子>1oga. -1,或>6.当弓<a<1时，原不等式的解集为 ①当a>1时，有a<2: 1 {x-1<x<0,或3<x<6. [例2][解]由2x2-3x一2>0得函数f(x)的定义战 此时无解。 为{>2成<-号} ②当0<a<1时，有2<a, ①a>1时，t=2x2-3z-2在(2，+c∞)上为增函数， 从而2<a<1, 在(0，-号)上为减函数， a的取值范周是（合） f)在(2.+o)上为增画数，在(0,2)上为减 (2):函数y=log.7x在(0，十∞)上为减函数， 函数. ∴.由log.,2.x<1og.,(x-1) ②0<a<1时，t=2x-3x-2在(2，十∞)上为增函数， 2x>0, 得x-1>0,解得x>1. 在(-0，-合)上为减画数， (2x>x-1, ·404·