4.2.2 第2课时 指数函数的图象与性质的应用-【创新教程】2026-2027学年高中数学必修第一册五维课堂同步复习（人教A版）

数学·必修第一册 (3)由指数函数的性质知1.5.3>1.5°=1， 而0.82<0.8°=1， .1.5°.3>0.82. 随堂步步夯实 1.A 2.C 3.9 4(0,) 5.解：(1)由x一5≠0，得x≠5， 故y=2户的定义域为{x|x∈R,且x≠5. 又0.即2六1 故y=2-的值域为{yy>0,且y≠1}. (2)要使函数有意义，则一|x≥0，解得x=0. 所以函数y= 的定义域为{xx=0 -Iz 因为=0，所以（号） 即画数y=(号)】 的值城为{yly=1. 第2课时 指数函数的图象与性质的应用 课前预习学案 情境引入 提示：y=2. 知识梳理 知识点一R(0,十∞)(0,1)增函数减函数 预习自测 1.C2.A3.2 课堂互动学案 [例1](1)[解]①当0<a<1时，y=a为减函数， 则-5x<+7:屏得>-名 ②当a>1时，y=a为增函数， 则-5>+7K-名 当a>1时x∈(0，-合)月 (2)解]由x)<g),得3<10-号 即(3)2-10×3+9<0. 设t=3>0,故有t-10t+9<0,1<t9, 即1<3<9，∴.0<x<2. [例2][解]令u=-2x,则原函教支为y=(兮)： u=x2-2x=(x-1)2-1在(-0∞，1]上递减，在(1，十o 上递增，又“y=(行)在(-0，+∞)上递减， 24 ∴=(3) 在(-∞，1]上递增，在(1，十∞) 递减。 u=x2-2x=(x-1)2-1≥-1， 0< (合)≤()'=3. 原函数的值域为(0,3]. 2+2,x≥-2， [例3][解](1)，y ) +2 x<-2. y=2+2(x≥一2)的图象可由y=2的图象向左平移 2个单位，再我取≥-2的海分得到y=(合 x十2 (x< -2)的图象可由y= 的图象向左平移2个单位， 再截取x<一2的部分得到..函数y=2+的图象 如图. 个2+2 -2-1 (2)由图象可知其单调递增区间为[一2，十0)；单调递 减区间为(-0，-2]. [例4][解](1)依题意，对一切x∈R有fx)=f(-x), 即g+g=十ae e ae 所以(a-日)（侵-e）0对-切xeR恒成立 由此可得a-1=0,即a2=1. a 又因为a>0,所以a=1. (2)证明：由加，九)=e+任取∈0+o 且x1<x2,则 f(x1)-f(x2)=ei-e'+ 11 el e? =ea-)(e1-1） =(s-e1).1-ct e+2 由x1>0,x2>0,x1<x2: 得x1十x2>0,e?-e1>0,l-e1+:<0, 所以f(x1)一f(x2)<0,即f(x)在(0，+∞）上是增 函数. [例5][解](1)1年后该城市人口总数为： y=100+100×1.2%=100×(1+1.2%): 2年后该城市人口总数为： y=100×(1+1.2%)+100×(1+1.2%)×1.2% =100×(1+1.2%): 3年后该城市人口总数为：y=100×(1+1.2%)3; … x年后该城市人口总数为：y=100×(1+1.2%) (2)10年后该城市人口总数为：y=100×(1十1.2%)1 =100×1.012°≈112.7（万人）. 398· 变式训练 1.解析：（合） =(21)2-=22- ·原不等式等价于22-≤2 :y=2是R上的增函数，2一x≤x, x2十x-2≥0，即x≤-2或x≥1， .原不等式的解集是{xx≥1，或x≤-2. 答案：{xx≥1，或x≤一2} 2.解：令u=2x-x2,则u=-(x-1)2+1≤1，定义域为R, 故u在（一∞，1）上是增函数，在(1，十∞)上是减函数，又 y=(合)广为减西数，所以根据复合函最的“同增并减” r- 得=（） 在(-∞，1)上是减函数，在(1，十∞)上 是培画数，所以（）≥（合）=，放画最y r- 的值城为[分，十∞)，单调递增区同为(1，十 ∞)，单调递减区间为（一∞，1）， 3.解：函数的定义域为R,令t=2,x∈R时，t∈(0，十∞). y=(2)-2×2+5=f-2t+5=(t-1)2+4,t∈(0，+c∞). 当t≥1时，2≥1，x≥0；当0<t≤1时，0<2≤1，x≤0. 故函数y=4一2×2+5，在（一∞，0）上单调递减，在 (0,十∞)上单调递增. 4.解：(1)y=12-21= 2-2(x≥1)'的图象如下图. 2-2(x<1) 3 43-2-10123 由图象可得函数y=|2一2的递增区间为[1，十∞)，递 减区间为(-∞，1]. (x≥0)， (2)y=2 (2） 的图象如下图 (2(x<0) y -2-1012 由图象可得函数y=2的递增区间为（一∞，0]，递减 区间为[0，十o). 5.解：(1)因为f(x)= 二一2十也是定义在R上的奇函数，所 2+1+a 以f(0)= 1+b=0,即6=1，所以f(x)= 一2+1，所 2+a 2+1+a1 以-f)=2+卫-D三1十a·解得a2。 4十a 成=3b=1,删了-名整检整，符合凝意。 ·39 参考答案 -2+1_1+1 (2)由1)知fx)=2+2-2+2+1f(x)在R 上单调递减」 证明：任取x1,x∈R,x<x,则f(x)-f(x:)=一2 21（十22器+D由指 1 22-251 数函数单调性可知22>21，即22-21>0，故f(x1) -f(x2)>0,即f(x1)>f(x2),所以f(x)在R上单 调递减. (3)因为f(x)是R上的奇函数，所以f(2kt+kt)十f(t -kt2+1)<0=f(2kt2+kt)<-f(kt-kt2+1)=f(-kt +kt-1). 因为f(x)在R上单调递减，所以2kt十kt>一kt十kt一1， 即kt十2kt+1>0,从而对任意的t∈R,kt十2kt+1>0恒成 立. 当k=0时，不等式kt十2kt十1>0恒成立，满足题意：当 k≠0时，欲使对任意的t∈R,kt十2kt十1>0恒成立，只 需/>0， 解得0<k<]. 1△=4k-4k<0, 综上所述，实数k的取值范围为[0,1). 6.ACD[由题图可知，函数y=a的图象经过点(1,3)，即 a=3,则a=3,y=3,.3+1-3=2×3不是常数. 由y=3可知蓝藻每个月的面积是上个月面积的3倍， 则每个月的增长率为200%，A正确，B错误；当t=4时， y=3=81>80,C正确；若蓝藻面积蔓延到2m,4m, 8m所经过的时间分别是t1,t2,t3,则31=2,3=4， 3g=8,.(3)=31·3,则t1十t=2t2,D正确.] 7.解：(1)设年产量为y,年数为x,则y=a(1十p%), 定义域为{x0≤x≤m,且x∈N'}. (2)y=a(1+p%)=4a,解得p=100. 随堂步步夯实 1.B 2.BD 1 3.2 4.0<a<号 -x-4z+3 5.解：(1)当a=-1时，f(x)= 令g(x)=-x2-4x+3=-(x十2)2+7，由于g(x)在 （-2,+∞)上递减，y= (合)在R上是减画教，所以 f(x)在(-2，十o)上是增函数，即f(x)的单调增区间是 (-2,十∞). (2)令h(x)=ax2-4z+3,f(x)= ) ,由于f(x) 有最大值3，所以h(x)应有最小值一1；因此必有 12a-16=-1, 解得a=1,即当f(x)有最大值3时，a 4a 的值为1. 9数学·必修第一册 第2课时 指数函数的图象与性质的应用 课程标准 素养解读 1.能利用指数函数的单调性解不等式、比较1.通过指数函数的性质培养学生逻辑推理和数 大小、求最值 学运算素养 2.掌握指数函数在实际生活中的简单应用 2.通过学习指数函数的应用提升数学建模素养 课前。预习学案 [情境引入] 知识点二] 函数图象的平移 “红色代码”被认为史上破坏性极强的计 1.平移变换 算机病毒之一，具有快速自我复制能力，它可 h>0,右移 y=f(x)- <0左移y=f(x-h). 以由1个变成2个，2个变成4个，…，复制 >0,上移 y=f(x)- x次后，你知道所得病毒的个数y与x的函数 <0,下移y=f(x)十k. 2.对称变换 关系式是什么，你了解此函数的性质吗？ y=f(.x)轴 y=-f(x). y=f(x)y轴， y=f(-x). y=f(x)直线=8y=f(2a-). y=f(原点y=-f-. 保留y轴右边图象，并 y=f(x)- 作其关于y轴对称图象 去掉原y轴左边图象 y=f(|x). [知识梳理] [知识点一] 保留x轴上方图象 指数函数的图象和性质 y=f(x)- 把x轴下方图象翻折上去y=|f(x)儿. a的范围 a>1 0<a<1 [预习自测] 1.当x∈[-1,1]时，函数f(x)=3x-2的取 Y=0 值范围是 () 图象 01) (0,1) B.[-1,1] y=1 A[ 0 c D.[0,1] 定义域 2.函数y=2+1的图象是 值域 性 过定点 质 手 单调性 在R上是 在R上是 3.函数y=a(a>0,且a≠1)在[0,1]上的最 奇偶性 非奇非偶函数 大值与最小值的和为3，则a= 110· 第四章指数函数与对数函数 课堂。互动学案 题型一 解含指数型不等式 题型二 指数型函数的单调性 [例1](1)如果a5r>a+7(a>0,a≠1)，求x 例2]判断f(x) 1 的单调性，并求 的取值范围 汇思路点拨了“分0<a<1和a>1两种情 其值域 况讨论. 汇思路点拨] 令u= 一2x,则y 1) 2 与u=x2一2x的单调性相反， (2)设)=3，gx)=10-是如果fx) <g(x),那么x的取值范围是多少？ [思路点拨]令t=3,整体代换，转化为 二次函数范围问题 规律方法 函数y=a(a>0,a≠1)的单调性的处 理技巧 (1)关于指数型函数y=a)(a>0,且a≠1) 的单调性由两点决定，一是底数a>1 规律方法 还是0<a<1;二是f(x)的单调性，它 指数型不等式的解法 由两个函数y=a“,u=f(x)复合而成. (1)指数型不等式a)>a(a>0,且a (2)求复合函数的单调区间，首先求出函数 的定义域，然后把函数分解成y= ≠1)的解法： f(u),u=p(x),通过考查f(u)和o(x) 当a>1时，f(x)>g(x): 的单调性，求出y二f((x)的单调性. 当0<a<1时，f(x)<g(x). ◇[变式训练] (2)如果不等式的形式不是同底指数式的 形式，要首先进行变形将不等式两边的 2.已知函数f(x)= ,求f(x)的值域 底数进行统一，此时常用到以下结论：1 与单调区间. =a°(a>0,且a≠1)，ax=(1)r(a> 0,且a≠1)等 ◇[变式训练] 1.不等式 ≤2的解集为 ·111· 数学·必修第一册 3.求函数y=4”-2×2+5的单调区间. 题型四 指数函数性质的综合应用问题 [例4]设a>0,f(x)=g+是定义在R上 a 的偶函数 (1)求a的值； (2)证明：f(x)在(0，十∞)上是增函数， 题型】 指数函数图象的应用 [例3]已知函数y=2+2 [思路点拨]“利用等式f(一x)=f(x)恒 成立确定a的值，利用单调性的定义证明 (1)画出该函数的图象； (2)由图象指出其单调区间， 是增函数 汇思路点拨]“先去掉解析式中的绝对值， 再利用平移变换作图. 规律方法 1.形如y=f(a)(a>0,且a≠1)的函数的 单调性的求法 规律方法 (1)定义法.即“取值—作差—一变形 作函数图象的方法一般有：一是列表、描 一定号”.其中，在定号过程中需要 点、连线法作图象；二是利用已知函数图象 作平移、对称等变换得到，函数图象形象直 用到指数函数的单调性. 观，只要能作出函数的图象，便可由图象求 (2)利用复合函数的单调性的规律来判断. 出函数的单调性、最值、值域、奇偶性等 2.由指数函数构成的复合函数的值域求法 性质。 一般用换元法即可，但应注意在变量的 ◇[变式训练] 值域和指数函数的单调性的双重作用 4.画出下列函数的图象并根据图象求单调 下，函数值域的变化情况. 区间： 3.判定函数奇偶性要注意的问题 (1)y=|2-2|; (1)坚持“定义域优先”的原则：如果定义域 (2)y=2x. 不关于原点对称，可立刻判定此函数既 不是奇函数也不是偶函数. (2)正确利用变形技巧：分析f(x)和 f(一x)的关系，必要时可利用f(x)士 f(-x)=0来判定. (3)巧用图象的特征：在解答有图象信息的 选择、填空题时，可根据奇函数的图象 关于原点对称，偶函数的图象关于y轴 对称，进行快速判定， ·112 第四章指数函数与对数函数 ◇[变式训练] 规律方法 5.已知定义域为R的函数f(x)= 一2+b是 解决指数型函数应用题的流程 2+1十a (1)审题：理解题意，弄清楚关键字词和字 奇函数。 母的意义，从题意中提取信息 (1)求a,b的值； (2)建模：据已知条件，列出指数函数的关 (2)判断并证明函数f(x)的单调性； 系式 (3)若对任意的t∈R,不等式f(2kt+t)+ (3)解模：运用数学知识解决问题. f(kt一kt+1)<0恒成立，求实数k的取值 (4)回归：还原为实际问题，归纳得出结论. 范围 ⊙[变式训练] 6.（多选)如图，某湖泊蓝藻 y/m2 的面积y(单位：m2)与时 10 9 间t(单位：月)的关系满足 y=a,则下列说法正确 6 的是 ( ) 5 A.蓝藻面积每个月的增 题型五 指数型函数的实际应用 3 长率为200% 2 [例5]某城市现有人口总数为100万人，如果 1 B.蓝藻每个月增加的面 年自然增长率为1.2%，试解答下面的 01234月 积都相等 问题： C.第4个月时，蓝藻面积就会超过80m (1)写出该城市的人口总数y(万人)与年份 D.若蓝藻面积蔓延到2m,4m,8m2所经 x(年)的函数关系式； 过的时间分别是t1,t2,t3,则一定有2t2= (2)计算10年以后该城市人口总数（精确到 t1+ts 0.1万人) 7.某种产品的年产量为a,在今后m年内，计 (参考数据：1.012≈1.113,1.0121°≈1.127) 划使产量平均每年比上年增加%， [思路点拨了先列出关系式，再代入求解. (1)写出产量y随年数x变化的函数解 析式； (2)若使年产量两年内实现翻两番的目标， 求p. ·113· 数学·必修第一册 随堂⊙步步夯实 1.若函数f(x)=(1一2a)在实数集R上是 4.若直线y=2a与函数y=|a-1(a>0,且 减函数，则实数a的取值范围是 a≠1)的图象有两个交点，则a的取值范围 是 a侵+ o 1 -4x+3 5.已知函数f(x) c》 (1)若a=一1，求函数f(x)的单调递增 区间； 2.(多选)下列结论中，正确的是 (2)如果函数f(x)有最大值3，求实数a A.函数y=2-1是指数函数 的值 +2 B.函数y= 的单调递增区间是 3 (1,+∞) C.若a">a"(a>0,a≠1)，则m>n D.函数f(x)=a-2-3(a>0,a≠1)的图象 必过定点(2，一2) ⊙温馨提西 3若f化)2一十a是奇函数，则a 学习至此，请完成配套训练 4.3 对数 4.3.1对数的概念 课程标准 素养解读 1.通过实际问题，理解对数的概念 通过对对数概念的理解，培养学 2.利用对数、指数关系，求对数值 生数学抽象，逻辑推理素养 课前。预习学案 [情境引入] [知识梳理 某种细胞分裂时，由1个分裂成2个，2 [知识点一]对数的概念 个分裂成4个…以此类推.回答下列问题： 1.对数：一般地，如果a=N(a>0,且a≠1)， 1.1个这样的细胞分裂2次得到多少个细胞？ 那么x叫做 ,记作x= 分裂x次得到多少个细胞？ ,其中a叫做对数的 ,V叫做 2.分裂多少次可得到8个，16个呢？如何 求解？ 2.常用对数：通常将以 为底的对数叫做 3.若a=N,如何表示x呢？ 常用对数，并把log1oV记为 3.自然对数：在科学技术中常使用以无理数e= 2.71828…为底数的对数，以 为底的对 数称为自然对数，并且把logN记为 ·114·