4.2.1 指数函数的概念-【创新教程】2026-2027学年高中数学必修第一册五维课堂同步复习（人教A版）

数学·必修第一册 变式训练 1.解析：1)原式=(0.1)+()疗-【()]十 [(号)]=0.1+3-（径）'+（传） =10+9-8+27=314 7 2)原式=0.4)-1+[（受）广] +(0.12) =0.41-1+号+0.1=3.1 2.ABC[因为a十a1=4,所以a>0,对于A,因为 (a立十a立)2=a十a1+2=6,所以a立十a立=√6，故 A正确：对于B,因为(a十a1)2=a2+a2+2=16,所以 a2+a=14,故B正确；对于C,a3+a3=(a十a1)(a +a2-1)=4×13=52,故C正确：对于D,因为(a al)2=a2+a2-2=12,所以a-a1=士2V5,故D 错误.门 3解析：由题意，第n次操作后溶液的浓度为(-之)：令 (侵)广<0验证可得m≥4 所以至少应倒4次后才能使酒精的浓度低于10% 答案：4 随堂步步夯实 1.D2.B 3.1 4.3 5.解：(1)原式= ()+10+()-3+装=号 100+号-3+=10m. 48 (2)原式=a·6 =[a-·b]÷(a1-·b-1)专 =(ab)÷(a量b是)吉 =(a号·b)÷(a量b)=a号-tb品量=a青b寸. 4.2指数函数 4.2.1指数函数的概念 课前预习学案 情境引入 提示：第x次折叠后对应的层数y=2(x∈N"),对折后 的面积s=(合)广x∈N) 这两个函数解析式的共同特征：(1)幂的形式；(2)暴的 底数是一个大于0且不等于1的常数；(3)暴的指数是一 个变量」 知识梳理 知识点一、a自变量R 知识点二、(1)N(1+p)(x∈N) [思考] 1.提示：①如果a=0,当x>0时，a恒等于0，没有研究的 必要；当x≤0时，a无意义 ·3 ②如果a<0,例如y=(-4),这时对于x=2,车 11 该函数无意义 ③如果a=1,则y=12是一个常量，没有研究的价值 为了避免上述各种情况，所以规定a>0,且a≠1. 2.提示：指数函数解析式的3个特征：①底数a为大于0且 不等于1的常数；②自变量x的位置在指数上，且x的 系数是1：③a2的系数是1. 预习自测 1.D 2.C 3.ABD 课堂互动学案 [例1][解](1)y=10符合定义，是指数函数. (2)y=10+中指数是x十1而非x,不是指数函数. (3)y=一4中系数为一1而非1，不是指数函数， (4)y=x中底数和指数均是自变量x,不符合指数函数 定义，不是指数函数 (5)y=x中底数是自变量，不是指数函数. [例2][解析](1)由指数函数的概念，得a一5a十7=1 且6一2a=0,解得a=3. （2)设f)=d(a>0a≠1.所以a=合，所以a=号， 2 所以f(x) ( [答案](1)B e图 [例3][解析]设初始覆盖面积为a,x天后的覆盖面积 为y=a·2,荷叶20天可以完全长满荷塘水面，当荷叶 刚好魔盖水面面积的6时，可得。·2”·6 ·16=a·2, 26=2。,解得x=16. 故当荷叶附好爱盖水面面积的5时，奇叶已生长了 16天. [答案]C 变式训练 1.解：(1)为指数函数 (2)中底数不是常数，故不是指数函数 (3)是一1与指数函数3的乘积. (4)中底数一30，故不是指数函数. 2.(1)C[由指数函数的定义知： a-3a+3=1 {a>0且a≠1a=2(a=1舍去).] (2)解析：设f(x)=a(a>0,a≠1)，将，点(2,9)的坐标代 入，得a=9,解得a=3或a=一3（舍去），所以f(x)= 3,所以-1D=子 答案：日 3.B[2026年的耕地面积为m·[(1-10%)而]= 0.92.] 随堂步步夯实 1.ACD2.D3.①④⑦4.4 a2-5a+5=1, 5.解：由题意可知a>0, (a≠1， ,a=4或a=1, 即a>0, 所以a=4. (a≠1， 4.2.2指数函数的图象与性质 第1课时 指数函数的图象与性质 课前预习学案 情境引入 提示：设折后每一个图形的面积为y,则y= 知识梳理 知识点、1.(0，+∞)(0,1) [思考] 1. 底数 x的范围 y的范围 x>0 y>1 a>1 x<0 0y<1 x>0 0<y1 0<a<] x<0 y>1 2.提示：关于y轴对称 3.提示：指数函数的图象只能出现在第一、二象限，不可能 出现在第三、四象限」 4.提示：底数口与1的大小关系决定了指数函数图象的 “升”与“降”a当a>1时，指数函数的图象是“上升”的； 当0<a<1时，指数函数的图象是“下降”的. 预习自测 1.D2.B3.1<a<2 课堂互动学案 [例1][解析](1)可先分为两类，③④的底数一定大于 1,①②的底数一定小于1，然后再由③④比较c,d的大 小，由①②比较，b的大小.当指数函数的底数大于1 时，图象上升，且当底数越大，图象向上越靠近y轴：当 底数大于0小于1时，图象下降，且当底数越小，图象越 靠近x轴，故选B. (2)令x-1=0,得x=1.y=a°十1=2，∴.过定点(1,2). [答案](1)B(2)D [例2][解](1)x应满足x一4≠0，x≠4， .定义城为{xx≠4，x∈R}. “702六≠1， y=2京的值域为{yy>0,且y≠1}. (2)定义域为R |x≥0，y= (号)=（受）（受）=1 .此函数的值域为[1，十o), ·3 参考答案 (3)由题意知1 (2)≥0 (合)广1-() ∴.x≥0， .定义域为{xx≥0，x∈R}. x≥0(3)≤1. :(合)广>00<(2)≤1.0≤1-（合）<1. ∴0≤y<1,.此函数的值域为[0,1). [例3][解] (1)考察画数y-(日)0<号<1， ·函数y=(得)广在(-0，+∞)上是减函戴. 又-0.24>- }()“<() (2)考画数=()：0<<1. 函数y= ()在(-，+∞)止是减函载。 (3)先考察函数y=0.8.0<0.8<1, .函数y=0.8在(-∞，十0∞)上是减函数 又-2<0，∴0.82>0.8=1. 再考察函教y=()厂 在(-∞，十∞)上是增函数. ”-<0()<()=1 上可知68>（） 变式训练 1.(1)B[y=a十b的图象是由指数函数 y=a(a>0)向下平移|b单位得到，如 图，故选B.] (2)A[当x=1时，f(1)=a°+3=4， 所以P(1,4).故选A.] 2.解析：令1-2≥0，.2≤1 .x≤0. 定义域为(-，0]. .2>0,.1-2<1. .y=√1-2的值城为[0,1). 答案：(-∞，0][0,1) 3.解：(1)函数y=1.5在R上是增函数，2.5<3.2， .1.52.i<1.53.2 (2)指数函数y= () 与y= (最)广的图象（如图，由国知 (品)>() 07第四章指数函数与对数函数 4.2指数菡数 4.2.1指数函数的概念 课程标准 素养解读 1.通过指数函数模型的认识提升数学建 1.通过具体实例，了解指数函数模型的实际背景 模和数学抽象素养 2.理解指数函数的概念和意义，能借助计算器或计 2.通过理解指数函数的意义，提升数学 算机画出指数函数的图象 直观和数学运算素养 课前。预习学案 [情境引入] 拒思考1.为什么指数函数的底数a>0,且a 拿一张报纸，将这张报纸连续对折，折叠 ≠1？ 次数x与对应的层数y间、折叠次数x与对折 2.指数函数的解析式有什么特征？ 后的面积S(设原面积为1)之间的对应关系见 下表： 折叠次数x对应层数y 对折后的面积S [知识点二]指数增长模型 x=1 y=2=2 (1)定义：设原有量为V,每次的增长率为p, 经过x次增长，该量增长到y,则y x=2 y=4=22 = x=3 y=8=23 1 s=8 (2)应用：刻画指数增长或衰减变化规律. [预习自测] … …… …… 1.下列是指数函数的是 [问题]对应的层数y与折叠次数x间存在 A.y=-3 B.y=2x2-1 怎样的函数关系？对折后的面积S与折叠的 C.y=a"+l D.y=t 次数x间呢？你得到的两个函数解析式有什 2.若函数y=(2a-1)(x是自变量)是指数函 么共同特征？ 数，则a的取值范围是 ( A.a>0,且a≠1 B.a≥0，且a≠1 ca>且a≠l Da≥ 3.(多选)设指数函数f(x)=a'(a>0,且a≠1)， 则下列等式中正确的是 A.f(x+y)=f(x)f(y) [知识梳理] 知识点一]指数函数的概念 B. 般地，函数y= (a>0,且a≠1) 叫做指数函数，其中x是 ,定义域是 C.f()-f(x)-f(y) D.f(nx)=[f(x)]"(nEQ) ·103· 数学·必修第一册 课堂。互动学案 题型一 指数函数的概念 ◇[变式训练] [例1]下列函数中，哪些是指数函数？ 1.指出下列函数哪些是指数函数：(1)y=3. (1)y=10*;(2)y=10+1;(3)y=-4; (2)y=x2.(3)y=-3.(4)y=(-3). (4)y=xx;(5)y=x(a是常数). [思路点拨了依指数函数的概念判断 题型二 指数函数的解析式及其应用 [例2](1)函数y=(a2-5a+7)a+6-2a是 指数函数，则有 ( A.a=2或a=3 B.a=3 C.a=2 D.a>2且a≠3 (2)指数函数f(x)过点(2,2，则f(x) 汇思路点拨] 指数函数y=a(a>0且a ≠1)是一种形式函数」 规律方法 求指数函数解析式的步骤 (1)设指数函数的解析式为f(x)=a(a>0 且a≠1). 规律方法 (2)利用已知条件求底数a. 判断一个函数是否是指数函数，关键是看 (3)写出指数函数的解析式. 解析式是否符合a(a>o,a≠1)这一结构 ◇[变式训练] 形式.指数函数具有以下特征： 2.(1)函数f(x)=(a-3a+3)a是指数函 (1)底数a为大于0且不等于1的常数，不 数，则有 含有自变量x; A.a=1或a=2 B.a=1 (2)指数位置是自变量x,且x的系数是1； C.a=2 D.a>0且a≠1 (3)a的系数是1. (2)若指数函数f(x)的图象经过点(2,9)， 则f(一1)= 104· 第四章指数函数与对数函数 规律方法 题型三 函数模型y=ka"的实际应用 关于函数y=ka在实际问题中的应用 [例3]荷塘里，已知每一天荷叶覆盖水面的 (1)函数y=ka”是用来刻画指数增长或指数衰 减变化规律的非常有用的函数模型，一般当 面积是前一天的2倍，若荷叶20天可以完 >0时，若a>1,则刻画指数增长变化规律， 全长满荷塘水面，当荷叶刚好覆盖水面面积 若0<a<1,则刻画指数衰减变化规律. (2)解决此类问题可利用待定系数法，根据 的6时，荷叶已生长了 条件确定出解析式中的系数后，利用指 数运算解题 A.10天 B.15天 ◇[变式训练] C.16天 D.19天 3.为响应国家退耕还林的号召，某地的耕地面 积在最近50年内减少了10%.如果按此规 汇思路点拔]设初始覆盖面积为a,x天后 律，设2021年的耕地面积为m,则2026年 的覆盖面积为y=a·2.利用指数运算 的耕地面积为 A.(1-0.1250)m B.0.9m 求解. C.0.9250m D.(1-0.9)m 随堂。步步夯实 1.(多选)下列以x为自变量的函数中不是指 5.若函数y=(a2-5a十5)a是指数函数，求a 数函数的是 ( 的值 A.y=(-4)x B.y=λ（λ>1） C.y=-4 D.y=a+2(a>0且a≠1) 2.下列各函数中，是指数函数的是 ( A.y=(-3) B.y=-2026 C.y=3-1 1 D.y=2025) 3.下列函数是指数函数的有 (填 序号) ①y=4;②y=x;③y=-4;④y=π； ⑤y=4;⑥y=x;⑦y=(2a-1)r(a为常 数a>且a≠1》， x,x≥0 4.设函数f(x) 则ff(-4)] C温馨提污 学习至此，请完成配套训练 ·105