4.1.1 n次方根与分数指数幂-【创新教程】2026-2027学年高中数学必修第一册五维课堂同步复习（人教A版）

第四章指数函数与对数函数 第四章 指数函数与对数函数 4.1指数 4.1.1n次方根与分数指数幂 课程标准 素养解读 1.通过运用根式的性质应用提升 1.通过对有理数指数幂a”(a>0,且a≠1，m,n为整数，且 数学抽象和数学运算素养 >0)含义的认识，了解指数幂的拓展过程 2.通过学习指数幂的运算性质， 2.掌握指数幂的运算性质 提升逻辑推理及数学运算素养 课前。预习学案 [情境引入] 2.a的n次方根的表示 公元前五世纪，古希腊 a的n次方根 有一个数学学派名叫毕达 n的奇偶性 a的取值范围 的表示符号 哥拉斯学派，其学派中的一 n为奇数 a a∈R 个成员希帕索斯考虑了一 个问题：边长为1的正方形 n为偶数 土a [0,+o∞) 其对角线长度是多少呢？ 3.根式 他发现这一长度既不能用整数，也不能用分数 式子a叫做根式，这里n叫做 来表示，希帕索斯的发现导致了数学史上第一 a叫做 [知识点二]根式的性质 个无理数√2的诞生. 1.6= (n∈N,且n>1). [问题]根据初中所学知识，思考一下边长为 2.(a)”= (n∈N*,且n>1). 1的正方形的对角线长是如何计算出来的呢？ 3.a"= (n为大于1的奇数) Ja"- a≥0 (n为大于1的 a<0 偶数). 2思考1.正数a的n次方根一定有两个吗？ 2.(a)”与a"中的字母a的取值范围是否 [知识梳理] 一样？ [知识点一]方根与根式的定义 1.a的n次方根定义 如果 ,那么x叫做a的n次方根， 其中n>1,且n∈N*. ·95· 数学·必修第一册 [知识点三]分数指数幂的意义(a>0,m,n [预习自测] ∈N*,且n>1) 1.一8的值是 正分数指数幂 -am A.2 B.-2 C.士2 D.-8 负分数指数幂 a 2.下列说法： 0的正分数指数幂等于 ①81的运算结果是士3； 0的分数指数幂 0,0的负分数指数幂没 有意义 ②16是4次方根是2； [知识点四] 有理数指数幂的运算性质(a> ③当n为大于1的偶数时，a只有当a≥0 0,b>0,r,s∈Q) 时才有意义； (1)a'a=a+.(2)(a)=ar.(3)(ab)'=a'b'. ④当n为大于1的奇数时，Wa对任意a∈R ?思考3.为什么分数指数幂的底数规 都有意义. 定a>0? 正确的个数为 4.同底数幂相除。÷a,同次的指数相除号 A.4 B.3 分别等于什么？ C.2 D.1 6-3+01西的值等于 3 课堂。互动学案 题型二 n次方根的概念 ⊙[变式训练] [例1](1)16的平方根为 ,-27的5 1.有下列说法： 次方根为 ①9-27=3； (2)已知x=6,则x= ②16的4次方根是士2； (3)若x一2有意义，则实数x的取值范围 ③/81=土3； 是 ④√(x+y)=|x+y: 汇思路点拨 依a的n次方根的定义判断 求解. ⑤若x<2,则x-2)8+(x-2)3 规律方法 =2-√2. (1)正数的偶次方根有两个且互为相反数， 其中正确的是 (填正确说法的 任意实数的奇次方根只有一个。 序号) (2)根式Wa的符号由根指数n的奇偶性及 题型 莉用根式的性质花简写求值 被开方数a的符号共同确定：①当n为 [例2]求下列各式的值： 偶数时，"a为非负实数；②当n为奇数 (1)(3-π)； 时，a的符号与a的符号一致， (2)Wx2-2xy十y+(y-x)7. ·96· 第四章指数函数与对数函数 思路点拨 题型 根式与分数指数幕的互花 利用Wa”= n为奇数， [例3]用根式或分数指数幂表示下列各式： ,要注意n为 奇数还是偶数及a的正负. ba>0:au>0W0a≥0a (a>0). 汇思路点拨了“依据根式与分数指数幂的转 化规律求解。 规律方法 当n为奇数时，V=a;当n为偶数时，Va” =|a|,本题中要注意n的奇偶性对式子 的值的影响，做到理解，并能熟练应用. ⊙[变式训练] 2.求下列各式的值： (1)9(-8)+3-); (2)(a-b)5+9(b-a)5(b>a): (3)(1+2)3+√(1-2). 规律方法 根式与分数指数幂互化的规律 (1)根指数化为分数指数的分母，被开方 数（式）的指数化为分数指数的分子. (2)在具体计算时，通常会把根式转化成分 数指数幂的形式，然后利用有理数指数 幂的运算性质解题。 ·97 数学·必修第一册 ⊙[变式训练] 规律方法 3.下列根式与分数指数幂的互化错误的是 (1)幂的运算的常规方法 ( ①化负指数幂为正指数幂； A.Yaa-ai(a-0) ②化根式为分数指数幂； B.x÷=-x(x>0) ③化小数为分数进行运算. (2)分数指数幂及根式化简结果的具体 要求 利用分数指数幂进行根式计算时，结 D.[9(-x)]=x(x>0) 果可化为根式形式或保留分数指数幂 题型四 分数指数幕的综合运算 的形式，不强求统一用什么形式，但结 [例4](1)化简：√xy2y可·y·(xy) 果不能既有根式又有分数指数幂，也 (xy≠0)： 不能同时含有分母和负指数 2i计算2+二+1,0-5.8. ⊙[变式训练] 22-1 4.计算下列各式： 思路点拔]先化根式为分数指数幂，再 利用分数指数幂的运算性质计算、化简 11-6-+》 (2)（-)+2r- (x>1): √(x+2x)2.√1-x) 3)（5红)·〔) 〔-吾y}>0. ·98· 第四章指数函数与对数函数 随堂。步步夯实 1.化简工的结果是 ③Wa-a+可a≤》： A.-√-x B.√ (4)W2-2xy十y7+(y-x). C.-/ D.√-x 2.下列等式成立的是 A.x=-(x≠0) B.-3)=9-3 C.√x3+y=(x+y) D.丽=3 3.根式a√一a化成分数指数幂是 4计算2}-(-9.6-3 +0.1- 5.化简与求值： (1)-5): ©温馨提污 (2)-9); 学习至此，请完成配套训练 4.1.2 无理数指数幂及其运算性质 课程标准 素养解读 1.通过对实数指数幂a“(a>0,且a≠1，a∈R) 1.通过实数指数幂的意义提升数学抽象素养 含义的认识，了解指数幂的拓展过程 2.通过实数指数幂的运算性质提升逻辑推理 2.掌握实数指数幂的运算性质 和数学运算素养 课前。预习学案 [情境引入] [知识梳理 当生物体死亡后，它机体内原有的碳14 [知识点一]无理数指数幂 会按确定的规律衰减，大约每经过5730年衰 无理数指数幂a(a>0,a是无理数)是一个 减为原来的一半，这个时间称为“半衰期”，据 实数 此规律，人们获得了生物体内碳14含量与死 2思考1.为什么规定底数a>0? 亡年数1的关系.力= 产 ·99·数学·必修第一册 解：1：画资)=岁乳定义在(-1，上的寺画数， .f(0)=0,.b=0, 又f1)=合即骨合a=1 :f)千女（经拾脸特合题意》. (2)证明任取x1x2∈(-1,1)，且x1<x2, 那么f(x)-(x:)=十x1+ =十x2g--xi (1+x)(1+x) (x1-x2)(1-x1x2) (1+x)(1+x)1 -1<x1<x2<1∴x1-x<0, 1-x1x2>0,1+x>0,1+x>0, ∴.f(x1)-f(xg)<0,即f(x1)<f(xg), .f(x)在(-1,1)上是增函数. (3)f(2t-1)+f(t-1)<0, ∴.f(2t-1)<-f(t-1), 又由已知)千家是(-1上的寺画数， ∴.f(2t-1)<f(1-t). :f)=千是(-1，)上的增高数， 2t-1<1-t, 1<21-1<1…0<2 -1<1-t<1 即t的取值范国为(0,3) 2 5.(1)D[因为a>b>c且a+b+c=0,所以a>0,c<0, f(1)=0,则可知开口向上，排除A、C,然后根据f(0)= c<0,可知函数图象与y轴的交点在x轴下方.] (2)解：①函数的定义域为R,关于原点对称， f(-x)=(-x)-2|-x=x2-2|xl. 则f(-x)=f(x), 所以f(x)是偶函数. 图象关于y轴对称. ②f(x)=x-2|x =2-2x=(x-1)-1,x≥0. 1x2+2x=(x+1)2-1,x<0. 画出图象如图所示， -2\-10Λ -1 根据图象知，函数f(x)的最小值是一1.单调递增区间是 [-1,0],[1,十∞)；单调递减区间是(-0，-1]，[0,1]. 6.解：（1)由于市场价y随上市时间x的增大先减小后 增大， 而模型①为单调函数，不符合题意， 故选择二次函数模型②， ·3 设f(x)=a.x2+bx十c(a≠0)，由表中数据可知 /a+b+c=5, a=1, 4a+2b+c=2, 解得 -6 36a+6b+c=10, (c=10, .f(x)=x-6.x+10(x≥0)， (2)由(1)知，f(x)=x2一6x+10=(x-3)+1, .当x=3时，黑山谷纪念邮票市场价最低，最低为 1元， 故黑山谷纪念邮票上市第3天时市场价最低，最低的价 格为1元. 第四章指数函数与对数函数 4.1指数 4.1.1n次方根与分数指数幂 课前预习学案 情境引入 提示：根据勾股定理正方形的对角线长为√个十1 =√2. 知识梳理 知识点一、1.x”=a3.根指数被开方数 知识点二、l.02.a3.a|aa-a 知识点三、子 1 [思考] 1.提示：不一定.当n为偶数时，正数a的n次方根有两个， 且互为相反数；当n为奇数时，正数a的n次方根只有一 个且仍为正数。 2.提示：取值范围不同，式子(a)”中隐含a是有意义的，若n 为偶数，则a≥0，若n为奇数，a∈R;式子Va中，a∈R. 3.提示：①当a<0时，若n为偶数，m为奇数，则a册，a号 无意义： ②当a=0时，a°无意义. 4提示：①a÷a=a一，@号-（号） 预习自测 1B2.C3.2 3 课堂互动学案 [例1][解析](1)，（±4）2=16， .16的平方根为士4.-27的5次方根为/一27. (2)x2=6,x=6. (3)要使/x-2有意义， 则需x-2≥0，即x≥2. 因此实数x的取值范围是[2，十∞). [答案](1)士4一27(2)W6(3)[2,+∞) [例2][解](1)：3-π<0，.√3-)=|3-x=π-3. (2)原式=√/(x-y)+y-x=|x-y+y-x 当x≥y时，原式=x一y十y一x=0: 当x<y时，原式=y-x十y-x=2(y-x) 即原式=0，x≥y, 72(y-x),x<y. [例3][解]a言=a(a>0):a=a(a>0):a= a号=a2: 1 =上-a(a>0Wai-a…a-af=a(a >0). [例4][解](1)原式=[.xy2·(xy1)]片·(xy)左· (xy)1=x方·y号|x方lyl右·|x支·ly-告 =={ x>0, {-1,x<0. (2)原式=+++1-2=2-3. √2'√2 变式训练 1.解析：当n是奇数时，负数的n次方根是一个负数，故 8一27=一3，①错误；16的4次方根有两个，为士2，② 正确；√8T=3,③错误；√(x十y)是正数，所以 √(x十y)=|x十y|,④正确.由题意知x-2<0,故 /x-2)+√x-√2)3=|x-2引+x-V2=2-x+x √2=2-√2，⑤正确. 答案：②④⑤ 2.解：(1)/-8)+√/(3-x) =-8+π-3=x-11. (2)/(a-b)+(b-a) =a-b+b-a=0. (3)√1+2)3+1-2) =1+√2+√2-1 =2√2. 3.B[对于A选项a石=a·a=a=（a)片 。a>0.放A至确：时于B遂项，号=（仕） 方>0，款n袋接：对于c行=寸·万 (>0.y>0,故C正确：对子D.[] (/T)是=(x后)÷=x(x>0),故D正确.门 解：1原式=(3)-1+（号）8-1+号-名 221 (2)因为x>1,所以1- >0,所以原式= x (x-1)+2(z-1=x克+2x（x-1)z=x +2x)1-)） (x立+2.x言)(x-1) (3)原式=[5×(-)×(-吾)月·x子号 4★=2。 随堂步步夯实 1.A2.D3.-(-a)410 ·39 参考答案 5.解：(1)-5)下=-5. (2)-9)严=81=3=3. (3:a≤21-2a≥0， .9/4a2-4a+1=/(2a-1)F=9/1-2a) =/1-2a. (4)原式=√(x-y)+y-x=|x-y+y-x. 当x≥y时，原式=x一y十y一x=0: 当x<y时，原式=y-x十y一x=2(y一x). √2-2xy+y+y-x) = 0,(x≥y), 2(y-x),(x<y). 4.1.2无理数指数幂及其运算性质 课前预习学案 知识梳理 知识点一、确定的 知识点二、(1)a+, (2)a” [思考] 1,提示：规定底数大于零是必要的，否则会出现（一1），就 无法确定是1还是一1， 2.提示： 正整数指幂) 0次指幂了自然数指数基) 负整数指数幂】整数指数幂 分数指数播】有理数指数幂] 实数指数基 无理数指数幂】 预习自测 1.C2.B3.6 课堂互动学案 [例[解]1)原式=1+×（号）-()=1 +日品-0 2原式=0.4-1+(-2)+2=号-1+言+日 洛 (3》原式=4u是·a号·6·6=若d6 100 =25 [例2][解](1)将a立+a专=√5两边平方， 得a+a1+2=5,即a+a1=3. (2)由a十a1=3,两边平方， 得a2十a2十2=9，所以a2十a2=7; (3)设y=a-a2,两边平方， 得y2=a十a4-2=(a2+a2)2-4=72-4=45, 所以y=士3√5，即a2-a2=±3√5. [例3][解析]由已知可知，要计算16384×32768，先 查第一行的对应数字，16384对应14,32768对应15，然 后再把第一行中的对应数字加起来：14+15=29，对应 第二行中的536870912. 所以有：16384×32768=536870912.故选C. [答案]C