第三章 函数的概念与性质 章末归纳提升-【创新教程】2026-2027学年高中数学必修第一册五维课堂同步复习（人教A版）

数学·必修第一册 由千<丘，得0<x<16. .当投入资金大于16千万元时，生产A芯片的毛收入 更大：当投入资金等于16千万元时，生产A,B芯片的毛 收入相等；当投入资金小于16千万元时，生产B芯片的 毛收入更大」 (3)由题知投入x千万元生产B芯片，则投入(40一x)千 万元资金生产A芯片，公司所获净利润f(x)=40一工+ 厅-2=-十反-2y+9,故当匠=2，即x=4千万元 时，公司所获净利润最大，最大净利润为9千万元， 变式训练 1.D[设从甲仓库调往A县的车辆数为x,则从甲仓库调 往B县的车辆数为12一x,从乙仓库调往A县的车辆数 为10一x,从乙仓库调往B县的车辆数为6一(10一x)= x-4. 设总费用为y,则y=40x+80×(12-x)+30×(10-x) +50×(x一4)=1060一20x(4≤x10,x∈N),要使总 费用y最少，则需x最大，所以当x=10时，总费用y最 少，为860元.] 2.解析：设每个提价x元(x≥0，x∈N),利润为y元. 每天销售总额为(10+x)(100一10x)元， 进货总额8(100-10x)元，显然100-10x>0,即x<10, 则y=(10+x)(100-10x)-8(100-10.x) =(2十x)(100-10x) =-10(x-4)2+360(0≤x<10,x∈N). 当x=4时，y取得最大值，此时销售单价应为14元，最 大利润为360元。 所以当售价定为14元时，可使每天所赚的利润最大，最 大利润为360元. 3.解：(1)依题意，生产x辆新样式单车的总成本为(20000+ 10x)元， 则y=厂zx+300x-2000,0<x≤400且z∈N (60000-100x,x>400且x∈N (2)当0<x≤400时，y=一7（x一300)+25000， 则当x=300时，ymx=25000: 当x>400时，y=60000-100x单调递减， 则y<60000-100×400=20000, 所以当产量为300辆时，自行车厂生产新样式单车的利 润最大，最大利润为25000元. 4.解：(1)由题意，得R=kr(k是大于0的常数) (2)由r=3cm,R=400cm3/s,得k·3=400, k=00.流量R的函数解析式为R=00.r 81 81 8R=82 当r=5cm时，R=×5≈3086(cm/8. 随堂步步夯实 1.C2.B3.3604.125 ·39 5.解：(1)当0<t≤10时，f(t)=-t+24t+100是增函数， 当20<t≤40时，f(t)=一7t+380是减函数，且f(10)= f(20)=240,所以讲课开始10min,学生的注意力最集 中，能持续10min. (2)因为f(5)=195,f(25)=205, 所以讲课开始后25min比讲课开始后5min学生的注 意力更集中， (3)当0<t≤10时，令f(t)=-t+24t+100=180,得t =4, 当20<t≤40时，令f(t)=一7t+380=180,得t≈ 28.57, 又28.57-4=24.57>24， 所以经过适当的安排，老师可以在学生达到所需要的状 态下讲完这道题目， 章末归纳提升 归纳提升 [例1】[解析](1)由题意知-1>0， 解得x<1且 13x-1≠0， ≠分即f)的定义城是（合）U(合) (2)由y=f(x一1)的定义域是[-1,2]，则x-1∈ [-2,1],即f(x)的定义域是[-2,1]，令-2≤1-3x≤1， 解得0≤x≤1，即y=f1-3x)的定义城为[0,1]. [答案](1)D(2)C [例2][解析](1)f(x)=x2-1(x≥-1)(2)x2+x 十1[(1)法一（换元法）令t=√x一1，t≥一1，则x= (t+1),所以f(t)=(t+1)2-2(t+1)=t-1(t≥-1)， 所以函数的解析式为f(.x)=x2一1(x≥一1). 法二（配凑法）f(E-1)=x-2√元 =x-2√元+1-1=（元-1）2-1. 因为√-1≥-1，所以函数的解析式为 f(x)=x-1(x≥-1). (2)法一由已知条件得f(0)=1, 又f(.x-y)=f(x)-y(2x-y+1), 令y=x,则f(x-y)=f(0) =f(x)-x(2x-x+1)=1, 所以f(x)=x2+x+1. 法二令x=0,得 f(0-y)=f(0)-y(-y+1), 即f(-y)=1-y(-y+1), 将-y用x代换得f(x)=x+x十1.] [例3][解析]当0<a<1时，a+1>1, f(a)=√a,f(a+1)=2(a+1-1)=2a, f(a)=f(a+1), 1 .a=2a,解得a=4 /(日）=f4)=2×(4-1D=6. [答案]C 2 [例4](1)[解析]D[因为y=f(x)是偶函数，且在 (-∞，0]上是增函数，所以y=f(x)在[0，十∞)上是减 函数，由f(a)≤f(2),得f(|al)≤f(2),所以，|a≥2， 得a≤-2或a≥2，故选D.] (2)[解]①证明：Hx1<x2<-2, 2(x1-x2） 则)-f)=十2222 因为(x1+2)(x2+2)>0,x1-x2<0, 所以f(x1)<f(x,), 所以f(x)在(-∞，一2)内单调递增. ②H1<x1<x2,则 f(x1)-f(x2)= z1-a z:-a a(x2-x1) =(x,-a)(x-a) 因为a>0,x2-x1>0, 所以要使f(x)一f(x)>0, 只需(x1一a)(x2一a)>0恒成立，所以a≤l. 综上所述，a的取值范围是(0,1]. [例5][解](1)由f(x)为 偶函数可知，其图象关于y 轴对称，如图所示，作出已知 图象关于y轴对称的图象， 即得该函数的完整图象。由 木Q2 图可知，函数f(x)在（一o, f=2 一1)上单调递减，在（一1,0） 上单调递增，在(0,1)上单调递减，在(1，十○)上单调递 增，所以函数f(x)的增区间是（一1,0），(1，十∞). (2)由题意知，当x≤0时，f(x)的最小值为f(一1)= (一1)2+2×（一1）=一1.由偶函数的性质可得f(x)≥ 一1，即函数的值域为[-1，十∞). [例6][解](1)由已知A型零件需要生产4500个，B 型零件需要生产1500个，加工B型零件的工人有(214 一x)名，单位时间内每名工人加工B型零件3k个. 所以g(.x)=4500=900 5kx kx' 500 h(x)= 1500 3k(214-x)k(214-x): 则g(x)-h(x)=900 500 =200.963-7x kxk(214-x)kx(214-x)1 因为0<x<214,且x∈N,k∈N,所以当0<x137 时，g(x)>h(x), 当137<x<214时，g(x)<h(x). r900 ,0<x≤137， ka 所以f(x)= 其中x∈N. k(214-x),137<<214, 500 (2)因为当0<x137时，f(x)为减函数，当137<x< 214时，f(x)为增函数，且f187=900.(214-138)k f(138)137k 500 =9X76 137×5 <1,所以当x=137时(x)的值最小，即安排 137名工人加工A型零件，77名工人加工B型零件时， 完成总任务所需时间最少， ·39 参考答案 变式训练 1.B[对于A选项，令x2十2>2，可得x≠0，所以函数 f(x2十2)的定义域为{x|x≠0}，故A错误；对于B选 项，因为f(x)的值域为R,.x+2≥2，即x2+2可取遍 (2,十©∞)内的所有数，所以f(z2十2)的值域为R,可得 函数f(x2+2)-2的值域也为R,故B正确；对于C选 项，令x2+2x十3=(x+1)+2>2,得x≠-1，所以函 数f(x2+2x十3)的定义战为{xx≠一1}，故C错误；对 于D选项，函数ff(z)的定义战为>2： f(.x)>2 的解集， 故函数f(f(x))的定义域不为R,故D错误.] 2.解析：(1)令x十1=t, 则x=t-1, 因为f(x十1)=x一5x十4， 所以f(t)=(t-1)2-5(t-1)+4=t-7t+10, 所以f(x)=x2-7.x+10. (2)设二次函数的解析式为f(x)=ax+bx十c(a≠0)， ,c=1, ,a=1, 由题意得Ja+b十c=2,解得b=0,故f(x)=x2+1. (4a+2b+c=5, (c=1, (3)令t=x一1，则x=t十1，t∈R, 原式变为3f(t)+2f(-t)=2(t+1), ⊙ 以-t代替t,①式变为3f(-t)+2f(t)=2(1-t),② 由D@消去-得)=2z+号 故Ka)=2x+号 答案：(1)x2-7x+10 (2)f(x)=x2+1 8)fx)=2x+号 3.解：当-3≤x<一1时，函数f(x)的图象是一条线段（右 端点除外)， 设f(x)=ax+b(a≠0).将点(-3,1)，(-1，-2)代入， 3 可得-3a+b=1, a=- 2 解得 1-a+b=-2, 7 b=一2 可得f()=-3x 2x-2 当-1≤x<1时，可设f(x)=cx十d(c≠0)，将点(-1，一2)， 1,1)代入上式可求得c=子，d=-之 21 f(z)=3,1 2x-2 当1≤x<2时，f(x)=1. 综上所述， 2-2,-3≤x<-1, 37 1,1≤x<2. 03 数学·必修第一册 解：1：画资)=岁乳定义在(-1，上的寺画数， .f(0)=0,.b=0, 又f1)=合即骨合a=1 :f)千女（经拾脸特合题意》. (2)证明任取x1x2∈(-1,1)，且x1<x2, 那么f(x)-(x:)=十x1+ =十x2g--xi (1+x)(1+x) (x1-x2)(1-x1x2) (1+x)(1+x)1 -1<x1<x2<1∴x1-x<0, 1-x1x2>0,1+x>0,1+x>0, ∴.f(x1)-f(xg)<0,即f(x1)<f(xg), .f(x)在(-1,1)上是增函数. (3)f(2t-1)+f(t-1)<0, ∴.f(2t-1)<-f(t-1), 又由已知)千家是(-1上的寺画数， ∴.f(2t-1)<f(1-t). :f)=千是(-1，)上的增高数， 2t-1<1-t, 1<21-1<1…0<2 -1<1-t<1 即t的取值范国为(0,3) 2 5.(1)D[因为a>b>c且a+b+c=0,所以a>0,c<0, f(1)=0,则可知开口向上，排除A、C,然后根据f(0)= c<0,可知函数图象与y轴的交点在x轴下方.] (2)解：①函数的定义域为R,关于原点对称， f(-x)=(-x)-2|-x=x2-2|xl. 则f(-x)=f(x), 所以f(x)是偶函数. 图象关于y轴对称. ②f(x)=x-2|x =2-2x=(x-1)-1,x≥0. 1x2+2x=(x+1)2-1,x<0. 画出图象如图所示， -2\-10Λ -1 根据图象知，函数f(x)的最小值是一1.单调递增区间是 [-1,0],[1,十∞)；单调递减区间是(-0，-1]，[0,1]. 6.解：（1)由于市场价y随上市时间x的增大先减小后 增大， 而模型①为单调函数，不符合题意， 故选择二次函数模型②， ·3 设f(x)=a.x2+bx十c(a≠0)，由表中数据可知 /a+b+c=5, a=1, 4a+2b+c=2, 解得 -6 36a+6b+c=10, (c=10, .f(x)=x-6.x+10(x≥0)， (2)由(1)知，f(x)=x2一6x+10=(x-3)+1, .当x=3时，黑山谷纪念邮票市场价最低，最低为 1元， 故黑山谷纪念邮票上市第3天时市场价最低，最低的价 格为1元. 第四章指数函数与对数函数 4.1指数 4.1.1n次方根与分数指数幂 课前预习学案 情境引入 提示：根据勾股定理正方形的对角线长为√个十1 =√2. 知识梳理 知识点一、1.x”=a3.根指数被开方数 知识点二、l.02.a3.a|aa-a 知识点三、子 1 [思考] 1.提示：不一定.当n为偶数时，正数a的n次方根有两个， 且互为相反数；当n为奇数时，正数a的n次方根只有一 个且仍为正数。 2.提示：取值范围不同，式子(a)”中隐含a是有意义的，若n 为偶数，则a≥0，若n为奇数，a∈R;式子Va中，a∈R. 3.提示：①当a<0时，若n为偶数，m为奇数，则a册，a号 无意义： ②当a=0时，a°无意义. 4提示：①a÷a=a一，@号-（号） 预习自测 1B2.C3.2 3 课堂互动学案 [例1][解析](1)，（±4）2=16， .16的平方根为士4.-27的5次方根为/一27. (2)x2=6,x=6. (3)要使/x-2有意义， 则需x-2≥0，即x≥2. 因此实数x的取值范围是[2，十∞). [答案](1)士4一27(2)W6(3)[2,+∞) [例2][解](1)：3-π<0，.√3-)=|3-x=π-3. (2)原式=√/(x-y)+y-x=|x-y+y-x 当x≥y时，原式=x一y十y一x=0: 当x<y时，原式=y-x十y-x=2(y-x) 即原式=0，x≥y, 72(y-x),x<y.第三章函数的概念与性质 章末归纳提升 [网络构建] 定义域→自变量x的取值范围 →概念 对应关系 值域→函数值构成的集合 列表法：列出自变量与对应函数值的表格来表 →一次函数模型的应用 示函数关系的方法 →表示方法 图象法：用函数图象来表示函数的方法 二次函数模型的应用 解析法：用代数式（或解析式）来表示函数的方法 函数的 →反比例函数模型的应用 概念与 增函数→x1>x2→f(x1)>f(.x2) 函数的 性质 →单调性 减函数→x1>x2→f(x1)<f(x2) 应用 幂函数模型的应用 基本性质 奇函数 f(-x)=-f(.x) 奇偶数 →“对勾”函数模型的应用 偶函数→f(-x)=f(x) 最大值 →分段函数模型的应用 最值 →最小值 →图表型函数的应用 定义：y=x(a∈R) →幂函数 五个具体幂函数的图象和性质 幂函数的图象和性质 [归纳提升] 题型一 求函数的定义域 (2)已知函数y=f(x一1)的定义域是 求函数定义域的类型与方法 [一1,2]，则y=f(1-3x)的定义域为 (1)已给出函数解析式：函数的定义域是使解 析式有意义的自变量的取值集合. (2)实际问题；求函数的定义域既要考虑解析 a[-小 B.5 式有意义，还应考虑使实际问题有意义. C.[0,1] (3)复合函数问题 [-] ①若f(x)的定义域为[a,b],f[g(x)]的定 ◇[变式训练] 义域应由a≤g(x)≤b解出； 1.已知函数f(x)的定义域为(2，十∞)，值域 ②若f[g(x)]的定义域为[a,b],则f(x) 为R,则 () 的定义域为g(x)在[a,b]上的值域. A.函数f(x2+2)的定义域为R 注意：①f(x)中的x与f[g(x)]中的g(x) B.函数f(x2+2)一2的值域为R 地位相同； C.函数f(x2+2x+3)的定义域和值域都 ②定义域所指永远是自变量x的范围， 是R [例1](1)函数f(x)= 2x3+(3x-1)°的 √/1-x D.函数f(f(x))的定义域和值域都是R 定义域为 题型三 求函数的解析式 A( 合 求函数解析式的题型与相应的解法 c〔》 D（-,}U( (1)已知形如f[g(x)]的解析式，求f(x)的解 析式，使用换元法或配凑法。 。91· 数学·必修第一册 (2)已知函数的类型（往往是一次函数或二次 ◇[变式训练] 函数)，使用待定系数法 3.根据如图所示的函数 (3)含f(x)与f(-x)或f(x)与f(),使用 f(x)的图象，写出函数 的解析式 解方程组法 (4)已知一个区间的解析式，求另一个区间的 解析式，可用奇偶性转移法， [例2](1)已知f(√元-1)=x-2√：，则f(x) 的解析式为 (2)设f(x)是定义在R上的函数，且满足 题型四 函数的单调性与奇偶性 f(0)=1,并且Hx,y∈R,都有f(x-y)= 函数单调性与奇偶性应用的常见题型 f(x)-y(2x-y十1)，则f(x)= (1)用定义判断或证明函数的单调性和奇 ◇[变式训练] 偶性 2.(1)已知f(x+1)=x2-5.x+4,则f(.x)= (2)利用函数的单调性和奇偶性求单调区间， (3)利用函数的单调性和奇偶性比较大小，解 (2)已知二次函数f(x)满足f(0)=1,f(1) 不等式 =2,f(2)=5,则该二次函数的解析式为 (4)利用函数的单调性和奇偶性求参数的取值 范围 (3)若3f(x-1)+2f(1-x)=2x,则f(x) [例4](1)已知函数y=f(x)是R上的偶函 的解析式为 数，且在(-∞，0]上是增函数，若f(a)≤ 题型 分段函数 f(2),则实数a的取值范围是 () 1.求分段函数的函数值的方法：先确定要求值 A.a≤2 B.a≥-2 的自变量的取值属于哪一段区间，然后代入 C.-2≤a≤2 D.a≤-2或a≥2 该段的解析式求值.当出现f[f(a)]的形式 (2)已知f(x)=x(x≠a). 时，应从内到外依次求值。 x-a 2.已知分段函数的函数值，求自变量的值的方 ①若a=一2，试证明f(x)在（一∞，一2）内 法：先假设自变量的值在分段函数定义域的 单调递增； 各段上，然后求出相应自变量的值，切记要 ②若a>0且f(x)在(1，+∞)内单调递减， 检验 求a的取值范围. 3.在分段函数的前提下，求某条件下自变量的 取值范围的方法：先假设自变量的值在分段 函数定义域的各段上，然后求出在相应各段 定义域上自变量的取值范围，再求它们的并 集即可， [例3]设f(x)= 1x,0<x<1, .若f(a)= 2(x-1),x≥1. a+D.则 A.2 B.4 C.6 D.8 ·92· 第三章函数的概念与性质 ◇[变式训练] [例5]已知函数f(x)是定义 4卫知雨数）是定义在一1止 在R上的偶函数，且当x≤0 时，f(x)=x2+2x. 的奇函数，且f1)-分 (1)现已画出函数f(x)在y 轴左侧的图象，如图所示，请把函数f(x)的 (1)求f(x)的解析式； 图象补充完整，并根据图象写出函数f(x) (2)用定义法证明：f(x)在（一1,1）上是增 的增区间； 函数； (2)写出函数f(x)的值域. (3)若实数t满足f(2t-1)+f(t-1)<0, 求实数t的范围. ◇[变式训练] 5.(1)已知函数y=ax2+b.x十c,如果a>b>c 且a十b+c=0,则它的图象可能是() 题型五 函数的图象及应用 作函数图象的方法 (1)描点法 一求定义域；化简；列表、描点、 (2)对于函数f(x)=x2一2x. 连线. ①判断其奇偶性，并指出图象的对称性； (2)变换法 熟知函数的图象的平移、伸缩、 ②画此函数的图象，并指出单调区间和最 对称、翻转， 小值 ①平移，y=f(x)左加有 →y=f(x士h); y=f(x)上加下减 y=f(x)士k(其中h>0, k>0) ②对称：y=f(x)关于y轴对称y=f(一x); y=f(x)关于x轴对称y=一f(x); y=f(x)关于原点对称=y=一f(一x). 特别提醒：要利用单调性、奇偶性、对称性 简化作图. ·93· 数学·必修第一册 题型亢】 函数的应用 (2)怎样分组才能使完成总任务所需的时间 在本章中，数学建模主要体现在函数模型的 最少？ 应用中 在建立模型的过程中，要遵循以下基本 原则： (1)简化原则：建立模型，要对原型进行一定的 简化，抓主要因素、主变量，可通过一些假 设来减少系统中的变量个数，尽量建立较 简单的模型，即在建立模型时，应采用尽可 ⊙[变式训练] 能简单的数学工具，但又必须能反映现实 6.为纪念2025年成都世界科幻大会发行纪念 原型的本质特征和关系 邮票，从2025年8月1日起上市，经过市场 (2)可推算原则：建立的数学模型一定要有意 调查，得到该纪念邮票在一周内每1张的市 义，对其既能进行理论分析，又能计算和推 场价y(单位：元)与上市时间x(单位：天)的 理，且能推算出一些确定的结果.若建立的 数据如下： 数学模型在数学上是不可推算的，得不出 上市时间x天 2 6 确定的可以应用于原型的结果，那这个模 市场价y元 5 2 10 型就没有价值， (3)反映性原则：建立的模型必须真实地反映 (1)分析上表数据，说明黑山谷纪念邮票的 原型的特征和关系，即应与原型具有一定 市场价y(单位：元)与上市时间x(单位：天) 的“相似性”，所得模型的解应具有说明现 的变化关系，并判断y与x满足下列哪种函 实问题的功能，能回到具体研究对象中去 数关系：①一次函数；②二次函数，并求出函 解决问题。 数的解析式； [例6]某工厂有214名工人，现要生产1500 (2)利用你选取的函数，求黑山谷纪念邮票 件产品，每件产品由3个A型零件和1个B 市场价最低时的上市天数及最低的价格 型零件配套组成，每名工人加工5个A型 零件与3个B型零件所需的时间相同.现将 全部工人分成两组，分别加工A型零件与B 型零件，且同时开工.设加工A型零件的工 人有x名，单位时间内每名工人加工A型 零件5k(k∈N)个，加工完A型零件所需 的时间为g(x),加工完B型零件所需的时 间为h(x). (1)试比较g(x)与h(x)的大小，并写出完 成总任务所需时间的表达式； ·94·