3.3 幂函数-【创新教程】2026-2027学年高中数学必修第一册五维课堂同步复习（人教A版）

数学·必修第一册 随堂。步步夯实 1.设f(x)是定义在R上的一个函数，则函数 4.函数f(x)是定义域为R的偶函数，当x>0 F(x)=f(x)-f(-x)在R上一定() 时，f(x)=一x十1，则当x<0时，f(x)的表 A.是奇函数 达式为 B.是偶函数 5.若定义域为R的偶函数f(x)在[0，十∞)上 C.既是奇函数又是偶函数 是增函数，且f(1)=0,求不等式f(x)≥0 D.既不是奇函数又不是偶函数 的解集. 2.函数f(x)是定义在实数集上的偶函数，且在 [0,+∞)上增函数，f(3)<f(2a十1)，则a 的取值范围是 () A.a>1 B.a<-2 C.a>1或a<-2D.-1<a<2 3.设f(x)是R上的偶函数，且在[0，十∞)上 单调递增，则f(一2)，f(一π)，f(3)的大小 顺序是 （) A.f(-π)>f(3)>f(-2) B.f(-π)>f(-2)>f(3) C.f(3)>f(-2)>f(-π) C温馨提污 D.f(3)>f(-π)>f(-2) 学习至此，请完成配套训练 3.3 幂函数 课程标准 素养解读 1.通过实例，了解幂函数的概念 2.结合函数y=xy=x2、y=x、y=x、y=1的图象，了解它们的变化情 通过幂函数的图象 及性质提升直观想 况及性质 象和数学抽象素养 3.会利用幂函数解决一些问题 课前。预习学案 ● [情境引入] 大约到15世纪，人们才意识到要用一个 数学史上很早就借 缩写的方式来表示若干个相同数的乘积.直到 用“幂”字，起先用于表示面 17世纪才开始出现在幂的符号中将指数与底 积，后来扩充为表示平方或 数分开来表示的趋势. 立方.1859年中国清末大 1636年苏格兰人休姆(Hume)引进了一 数学家李善兰(1811~ 种较好的记法，他用罗马数字表示指数，写在 1882)译成《代微积拾级》 底数的右上角，如“A4”写作“AN”,这种记法与 一书，创设了不少数学专 现在相比较，除了数字采用罗马数字外，其余 有名词，如函数、极限、微分、积分等，并把 完全一样.一年以后，法国数学家笛卡儿将其 “Power'”这个词译为“幂”.这样“幂”就转译为 进行了改进，把罗马数字改用阿拉伯数字，成 若千个相同数之积. 了今天的样子. ·82· 第三章函数的概念与性质 [问题]f(x)=x,f(x)=x2,f(x)=1以前 (1)本质：幂函数的图象是函数的图形表示，幂 函数的性质是根据函数图象总结得到的， 叫什么函数，它们有什么共同特征？ (2)应用：①求定义域；②求值域；③比较大小： ④求单调区间. [知识梳理] ?思考2.通过5个幂函数图象的观察，哪个 [知识点一]幂函数的概念 象限一定有幂函数的图象？哪个象限一定 般地，函数 叫做幂函数，其 没有幂函数的图象？ 中 是自变量， 是常数 3.当a>0时，幂函数y=x“的图象在第一象 2思考1.如何判断一个函数是幂函数？ 限内有什么共同特征？ [知识点二] 幂函数的图象和性质 幂函数 y y=r2 y=r3 U= y=t 预习自测] 1.下列函数中，不是幂函数的是 图象 A.y=π B.y=x3 C.y=√x D.y= (-o,0)U x 定义域 R [0,+∞) (0,+o∞) 2.下列命题中，不正确的是 (-，0)U 值域 R [0,+∞) R [0,+∞) A.幂函数y=x1是奇函数 (0,十o∞) 奇偶性 奇函数 偶函数 奇函数 非奇非偶函数 奇函数 B.幂函数y=x是偶函数 x∈[0，十o∞， x∈(0，+∞) C.幂函数y=x既是奇函数，又是偶函数 在R上 在R上的 [0,+∞)上 单调性 D.y=x既不是奇函数又不是偶函数 是增函数 x∈(-o∞，0] 增函数 增函数 x∈(-o,0 是 3.已知幂函数f(x)的图象过点(3,2)，则f(x) 定点 (1,1) 课堂。互动学案 题型一 幕函数的概念 规律方法 [例1]函数f(.x)=(m2-m-1)xm+m-8是幂 1.判断一个函数是否为幂函数的方法 函数，且当x∈(0，+∞)时，f(x)是增函数， 判断一个函数是否为幂函数的依据 求f(x)的解析式. 是该函数是否为y=x“(α为常数)的形 汇思路点拨]可根据幂函数的定义形式列 式，即函数的解析式为一个幂的形式，且 需满足：(1)指数为常数；(2)底数为自变 方程求出m,再由单调性确定m. 量；(3)系数为1. 2.求幂函数解析式的依据及常用方法 ①依据 若一个函数为幂函数，则该函数应具备 幂函数解析式所具备的特征，这是解决 与幂函数有关问题的隐含条件. ·83· 数学·必修第一册 ②常用方法 ⊙[变式训练] 设幂函数解析式为f(x)=x“,根据条件 2.给定一组函数解析式：①y=x;②y=x; 求出a. ③y=x;④y=x音；⑤y=x;⑥y=x方； ◇[变式训练] ⑦y=x,及图中的一组函数图象.请把图 1.已知幂函数f(x)=x-+4(k∈Z)是偶函 象对应的解析式序号填在图象下面的括 数，且在(0，十∞)上单调递增 号内。 (1)求函数f(x)的解析式； (2)解不等式f(3x+2)>f(1-2x). 题型二 幕函数阁象及其应角 [例2】点(2.2)与点（-2，-}分别在幂函 数f(x)、g(x)的图象上，问当x为何值时， 有①f(x)>g(x);②f(x)=g(x);③f(x) <g(x). 题型 幂函数性质及其应用 [例3]比较下面各组数的大小： [思路点拨] 根据题意求出f(x),g(x) → 画出f(x)、g(x)图象→ }与 根据图象分别确定x取值 2()与(》。 思路点拔了用幂函数的单调性判断. 规律方法 解决幂函数图象问题应把握的两个原则 (1)依据图象高低判断幂指数大小，相关结 论为：(0,1)上，指数越大，幂函数图象 越靠近x轴（简记为指大图低）；在(1， 十∞)上，指数越大，幂函数图象越远离 x轴（简记为指大图高）. (2)依据图象确定幂指数α与0,1的大小 关系，即根据幂函数在第一象限内的图 象（类似于y=x1或y=x或y=x3) 来判断， ·84· 第三章函数的概念与性质 规律方法 ⊙[变式训练] (1)利用幂函数单调性比较大小的三种基 3.比较幂值大小： 本方法 ①3和3.1-： 直 当幂指数相同时，可直接利用 幂函数的单调性来比较 @-8和-（）： 三 @()利}： 种 转 当幂指数不同时，可以先转化 为相同幂指数，再运用单调性 ④4.1,3.8音和(-1.9) 法 比较大小 当底数不同且幂指数也不同 中间 而不能运用单调性比较大小 时，可选取适当的中间值与 法 两数分别比较，从而达到比 较大小的目的 (2)利用幂函数单调性比较大小时要注意 的问题 比较大小的两个实数必须在同一函数 的同一单调区间内，否则无法比较大小 随堂。步步夯实 1.下列幂函数中①y=x1;②y=x;③y=x; 4.已知函数f(x)=(m一2)xm是幂函数，若 ④y=x2;⑤y=x3,其中在定义域内为增函 f(+3)十f(9-8)≤0，则实数的最大 数的个数为 ) 值是 A.2 B.3 C.4 D.5 5.已知函数f(x)=(m2+2m)·xm+m1,m为 2.直线y=1,y=x,x=1 y x=1 y=x 何值时，函数f(x)是：（1)正比例函数； 及幂函数y=x1的图 ④ (2)反比例函数；(3)幂函数 象将直角坐标系第一 ⑤ ② y=1 象限分为8个部分（如 ① 0⑦⑧ Y=x 图所示)，那么幂函数y =x言的图象在第一象限中经过 A.③⑦ B.③⑧ C.④⑦ D.①⑤ 3.已知幂函数f(x)=x“的部分对应值如表： 2 f(x) 2 @温馨提西 学习至此，请完成配套训练 则f(x)的单调递增区间是 ·85·数学·必修第一册 变式训练 1.解：当x<0时，一x>0, f(-x)=(-x)-2(-x)+3=x2+2x+3,由于f(x) 是偶函数，故f(.x)=f(-x),所以f(x)=x十2x十3， 即当x<0时，f(x)=x2+2x十3. 2.(1)C[因为奇函数f(x)在[2,5]上有最小值6，所以可 设a∈[2,5]，有f(a)=6,由奇函数的性质，f(x)在 [-5,-2]上必有最大值，且最大值为f(-a)=-f(a) =-6.] (2)C[因为函数f(x)的定义域为R,且f(-x)=x十 |x=f(x),故函数f(x)为定义域R上的偶函数. 又当x>0时，f(x)=x2十x在(0，十∞)上单调递增， 所以由f(1-a)≤f(a), 可得1-a≤la,即1-a)<a,解得a≥号] 3.解：1)：a>b,.a-b>0,由题意得f@)+f-b2>0, a-b :f(a)+f(-b)>0. 又f(x)是定义在R上的奇函数，.f(一b)=一f(b), ∴.f(a)-f(b)>0,即f(a)>f(b). (2)由(1)知f(x)为R上的增函数，：f(1+m)+f(3 2m)≥0，∴.f(1+m)≥-f(3-2m),即f(1+m)≥f(2m -3),∴.1十m≥2m-3,解得m≤4. ∴.实数m的取值范围为(-∞，4]. 随堂步步夯实 1.A2.C3.A 4.f(x)=x+1 5.解：若定义城为R的偶函数f(x)在[0，十∞)上是增函数， 则f(x)在（一o,0]上是减函数，且f(一x)=f(x),因为f(1) =0,所以f(一1)=f(1)=0,综上当x≤一1或x≥1时， f(x≥0，即f(x)≥0的解集为{xx≤-1，或x≥1}. 3.3幂函数 课前预习学案 情境引入 提示：正比例函数、二次函数、反比例函数 知识梳理 知识点一y=xxa 知识点二、增函数减函数减函数减函数 [思考] 1,提示：幂函数解析式的结构特征 ①指数为常数： ②底数是自变量，自变量的系数为1： ③幂x的系数为1： ④只有1项. 2.提示：第一象限一定有幂函数的图象，第四象限一定没有幂 函数的图象 3.提示：图象都是从左向右逐渐上升. 预习自测 1.A2.C3.xg2 课堂互动学案 [例1门[解]根据暴函数定义得，m一m一1=1， 解得m=2或m=一1， ·39 当m=2时，f(x)=x3在(0，十o)上是增函数； 当m=-1时，f(x)=x3在(0，十∞)上是减函数，不合要 求.故f(x)=x3. [例2][解]设f(x)=x°，g(x)=x, 则2y=2.(-2y=-3, ∴.a=2,B=-1. .f()=g()=. 分别作出它们的图象如图所示， 由图象可知， ①当x∈(-o,0)U(1,+c∞)时，f(x)>g(x); ②当x=1时，f(x)=g(x)； ③当x∈(0,1)时，f(x)<g(x) [例3][解](1)：幂函数y=x在(0，十∞)上是单调递增 的号>（）“>≥（信） (2)幂函数y=x在（一∞，0）上是单调递减的， 又-号<-是（号）>() 变式训练 1,解：(1)因为f(x)是暴函数，且在(0，十∞)上单调递增， 所以3k一k2+4>0,解得一1k4,又k∈Z,所以k=0,1,2 或3. 又f(x)是偶函数，所以3k一k+4是偶数，所以k=0,1,2或 3,此时3k-k+4=4或6，所以f(x)=x或f(x)=x. (2)由(1)中偶函数f(x)在(0，十∞)上单调递增，可将f(3x +2)>f(1-2x)化为f(|3x+2|)>f(11一2x|),即|3x+ 2>1-2,解得x<-3或>-行 所以原不等式的解集是(-0，-3)U(号十∞）】 2.解析：根据幂函数的图象特征确定相应的图象.由第一、 二、三个图象在第一象限的图象特征可知a<0,而第一 个图象关于原点对称，则为奇函数：第二个图象关于y 轴对称，则为偶函数；第三个图象在y轴左侧无图象，即 在（一©○，0）上无意义，因而这三个图象下方小括号内应 分别填⑥④③，由第四、五、六个图象在第一象限的图象 特征可知0<a<1,而第四个图象关于y轴对称，则为偶 函数；第五个图象关于原点对称，则为奇函数；第六个图 象在y轴左侧无图象，即函数在（一∞，0）上无意义，因 而这三个图象下方小括号内应分别填②⑦①.最后一个 图象对应的暴指数大于1，故填⑤. 答案：⑥④③②⑦①⑤ 3,解析：①函数y=x在(0，十∞)上为减函数， 又3<3.1,3立>3.1 @-8子=-（日）广，画数y=子在0，十0)上为增函 日>古别()>（付） 从而一8量< (合) (号)=()·()=() 函数y=x音；在(0，十∞)上为减函数， 又号>音()<() ④4.1>1=1,0<3.8<1号=1，(-1.9)}<0 .(-1.9)<3.8言<(4.1). 随堂步步夯实 1.B2.D 3.[0,+∞) 4.6 5.解：1)若函数f()为正比例画数，则m十m-1=1, 1m+2m≠0， ∴.m=1. (2)若函数f(x)为反比例函数，则 jm+m-1=-1, 1m+2m≠0， .∴.m=-1, (3)若函数f(x)为暴函数，则m十2m=1, m=-1士√2. 3.4函数的应用（一） 课前预习学案 情境引入 提示1.建立函数模型.2.通过计算二次函数能更好地 反映该公司的年销量.3.2026年，该公司预销售60万辆 汽车 [思考] 提示：利用函数知识和函数观点解决实际问题时，一般 按以下几个步骤进行： (一)审题；（二）建模；（三）求模；（四）还原. 这些步骤用框图表示如图： 实际向题分析、联想、一建立函数模型 抽象、转化 问题 数学 解决 解答 实际问题结论 转译 数学问题结论 预习自测 1.D2.A3.159 课堂互动学案 [例1][解](1)设服装店购进A种T恤衫x件，购进B 种T恤衫y件 ·3 参考答案 由题意，得+y=120, 解得 2=80, 145x+60y=6000, y=40. (66-45)×80+(90-60)×40=2880(元). 答：全部售完获利2880元. (2)①：购进A种T恤衫m件， ∴.购进B种T恤衫(150-m)件. 由题意，得0<150-m≤21，∴.50≤m<150. 则W=(66-45-5)m+(90-60-10)(150-m) =-4m+3000, ∴.W与m的函数关系式为W=一4m+3000(50m<150). ②服装店第二次获利不能超过第一次获利， 理由如下：：W=-4m十3000(50≤m<150),-4<0, .W随m的增大而减小，当m=50时，W取最大值，最 大值为-4×50+3000=2800（元）. .2800<2880. 服装店第二次获利不能超过第一次获利 [例2][解](1)根据题意，可知当纪念品每套降价x元 时，每天可以多卖10x套， 则销售量y与x之间的函数解析式为y=10x十60. (2)根据题意，可知当纪念品每套降价x元时，售价为 (40一x)元，由(1)可知每天销售量为(10x十60)套， 则W=[(40-x)-30](10x+60)=10.x2+40x+600 =-10(x-2)2+640. .-10<0, .当x=2时，W取最大值为640 故售价为40一2=38元. 答：每套售价定为38元时，每天利润最大，最大利润是 640元. [例3][解](1)当0≤x≤8时，设y=入x,代入(8,6)， 得到A=是所以y=是(0<≤8) 当x≥8时，把(8,6)代入得到k=48, 3 所以y= 48 x,0≤x≤8， 2(x>8),所以y= >8 (2)当0≤x<8时，令子x=3,得2=4， 当x>8时，令48=3，得x=16, 所以空气中每立方米的含药量不低于3g时的持续时 间为16-4=12(min)>10,所以此次消毒有效. [例4][解](1)设投入资金x千万元，则生产A芯片的 毛收入y=子(x>0). 将(1,1)，(4,2)代入y=kx, 得=1， k=1, 1 {k4=2,a=2 生产B芯片的毛收入y=√E(x>0). (2)由子>丘，得x>16: 由平=反，得x=16: