3.2.2 第1课时 函数奇偶性的概念-【创新教程】2026-2027学年高中数学必修第一册五维课堂同步复习（人教A版）

数学·必修第一册 3.2.2奇偶性 第1课时 函数奇偶性的概念 课程标准 素养解读 1.结合具体函数，了解函数奇偶性的概念和几何意义 通过本节内容的学习，让学生结合实 2.能判断函数的奇偶性，能运用奇偶函数的图象特征例，利用图象抽象出函数性质，提升直 解决一些简单问题 观想象和逻辑推理素养 课前。预习学案 [情境引入] (2)奇函数的图象特征：奇函数的图象关于 在我们的日常生活中，可以观察到许多对 对称.反之，图象关于原点对称的 称现象，如图，六角形的雪花晶体、建筑物和它 函数一定是 函数 在水中的倒影… 思考1.如果函数f(x)具有奇偶性，那么 函数f(x)的定义域一定关于原点对称吗？ 2.若奇函数f(x)在x=0处有定义，则f(0) 的值是多少？ ① ② [问题1]上述材料中提到的图形对称指的 是“整个图形对称”还是“图形的部分”对称？ [问题2]哪个图形是轴对称图形？哪个图 [预习自测] 形是中心对称图形？ 1.下列函数为偶函数的是 A.f(x)=x4-1 [知识梳理] B.f(x)=x2(-1<x<3) [知识点] C.f(x)=x+元 1 1.偶函数的定义及图象特征 (1)偶函数的定义 Df)=2 一般地，设函数y=f(x)的定义域为I,如 果对I的任意一个x,都有 ,且 2.函数f(x)=-x的图象 x ,则称y=f(x)为偶函数 A.关于y轴对称 (2)偶函数的图象特征：偶函数的图象关于 B.关于直线y=x对称 对称.反之，图象关于y轴对称的 C.关于坐标原点对称 函数一定是 函数 D.关于直线y=一x对称 2.奇函数的定义及图象特征 3.下列图象表示的函数是奇函数的是 (1)奇函数的定义 是偶函数的是 (填序号) 般地，设函数y=f(x)的定义域为I,如 果对I内的任意一个x,都有 ,且 f(一x)=一f(x),则称y=f(x)为奇 小：积 函数. ·76. 第三章函数的概念与性质 课堂。互动学案 题型一 判断函数的奇偶性 规律方法 [例1]判断下列函数的奇偶性： 判断函数奇偶性的方法 (1)f(x)=x+ (1)定义法 2x 根据函数奇偶性的定义进行判断.步骤 (2)f(x)=x2-|x|+1; 如下： (3)fx)=- ①判断函数f(x)的定义域是否关于原 点对称.若不对称，则函数f(x)为非奇 思路点拨]根据奇偶性的定义进行 非偶函数，若对称，则进行下一步 判断. ②验证.f(-x)=-f(x)或f(-x) f(x). ③下结论.若f(一x)=一f(x),则 f(x)为奇函数； 若f(一x)=f(x),则f(x)为偶函数； 若f(一x)≠一f(x),且f(一x)≠ f(x),则f(x)为非奇非偶函数. (2)图象法 ①若f(x)图象关于原点对称，则f(x) 是奇函数 ②若f(x)图象关于y轴对称，则f(x) 是偶函数， ③若f(x)图象既关于原点对称，又关 于y轴对称，则f(x)既是奇函数，又是 偶函数， ④若f(x)的图象既不关于原点对称， 又不关于y轴对称，则f(x)既不是奇 函数也不是偶函数。 (3)性质法 ①偶函数的和、差、积、商（分母不为零） 仍为偶函数. ②奇函数的和、差仍为奇函数. ③奇（偶）数个奇函数的积、商（分母不 为零)为奇（偶）函数. ④一个奇函数与一个偶函数的积为奇 函数. ·77 数学·必修第一册 ◇[变式训练] 规律方法 1.判断下列函数的奇偶性： 巧用奇偶性作函数图象的步骤 (1)f(x)=2-1x; （1)确定函数的奇偶性. (2)f(x)= 3x (2)作出函数在[0，+∞)（或（一∞，0]）上 x2+3 对应的图象， (3)根据奇（偶）函数关于原点(y轴)对称 得出在（一∞，0]（或[0，十∞）)上对应 的函数图象. ⊙[变式训练] 2.已知奇函数f(x)的定义 域为[-5,5]，且在区间 [0,5]上的图象如图所示. -5-20 题型二 奇偶函数的图象应用 (1)画出在区间[一5,0] [例2]已知函数y=f(x)是定义在R上的偶 上的图象 函数，且当x≤0时，f(x)=x2十2x.现已画 (2)写出使f(x)<0的x的取值范围. 出函数f(x)在y轴左侧的图象，如图所示. 0 12 (1)请补出完整函数y=f(x)的图象。 (2)根据图象写出函数y=f(x)的递增 区间. 题型三 利用函数的奇偶性求参数 (3)根据图象写出使y=f(x)<0的x的取 [例3](1)若函数f(x)=a.x2+bx+3a十b是 值范围 偶函数，定义域为[a一1,2a],则a= 汇思路点拨]根据奇偶函数图象的特点补 b= 全图形 (2)已知函数f(x)=a.x2+2x是奇函数，则 实数a [思路点拨] 依据奇偶函数的定义求解， 规律方法 利用奇偶性求参数的常见类型 (1)定义域含参数：奇偶函数f(x)的定义 域为[a,b],根据定义域关于原点对称， 利用a十b=0求参数. (2)解析式含参数：根据f(一x)=一f(x) 或f(一x)=f(x)列式，比较系数利用 待定系数法求解， ·78· 第三章函数的概念与性质 ⊙[变式训练] -x2+x,x>0, 4.已知函数f(x)= 是奇函 3.设函数f()=+1)(c+心为奇函数，则 {a.x2+x,x<0 2 数，则a= a= 随堂步步夯实 1.下列图象表示的函数中具有奇偶性的是 4.设奇函数f(x)的定义域为[-6,6]，当x∈ [0,6]时f(x)的图象如图所示，不等式f(x) <0的解集用区间表示为 y 6 5求证：两数)=+的图象关于y轴 D 对称. 2.若函数f(x)(f(x)≠0)为奇函数，则必有 A.f(x)f(-x)>0 B.f(x)f(-x)<0 C.f(x)<f(-x) D.f(x)>f(-x) 3.已知函数f(x)是定义在区间[a-1,2a]上 @温馨提弱 的奇函数，则实数a的值为 学习至此，请完成配套训练 第2课时 函数奇偶性的应用 课程标准 素养解读 1.通过函数奇偶性的应用，熟悉转化、对称等思考方法，提 1.掌握函数奇偶性的简单应用 升逻辑推理素养 2.了解函数图象的对称轴、对称 2.通过函数图象的对称轴、对称中心条件，提升直观想象和 中心满足的条件 数学抽象素养 课前。预习学案 [情境引入] [问题2] 就图(1)而言，函数在区间（一∞， [问题1]图(1)和图(2)分别是偶函数和奇 一2]与[2，+∞)上的单调性是否相同？就图 函数的一部分图象，你能结合奇偶函数图象的 (2)而言，函数在区间[-号0与〔0，]上的 特征画出相应图象的另一部分吗？ 单调性是否相同？ ·79·数学·必修第一册 3.解：(1)f(x)是二次函数，且f(0)=f(2), .f(x)图象的对称轴为直线x=1. 又f(x)的最小值为1..设f(x)=k(x一1)2十1(k≠0). 文f(0)=3,.k=2 .f(x)=2(x-1)2+1=2x2-4x+3. (2)要使f(x)在区间[2a,a+1]上不单调， 1 则2a<1<a+1,解得0<a<2 故实数。的取位范国是(@，） (3)由(1)知，y=f(x)图象的对称轴为直线x=1, 若t≥1，则y=f(x)在[t,t+2]上单调递增， ymin=212-41+3; 若t十2≤1，即t≤-1，则y=f(x)在[t,t十2]上单调递 减，ymm=f(t+2)=2t+4t+3; 若t<1<t十2，即-1<t<1,则ymm=f(1)=1. 综上，当t≥1时，ymim=2t-4t+3; 当一1<t长1时，ymim=1: 当t≤-1时，ynin=2t+4t+3. 4.解：设售价为x元，利润为y元，单个涨价(x一50)元，销 量减少10(x-50)个，销量为500-10(x-50)=(1000 -10x)个，则y=(.x-40)(1000-10x)=-10(x-70) +90009000. 故当x=70时，ymax=9000. 即售价为70元时，利润最大值为9000元： 随堂步步夯实 1.C2.D3.(-1.3)4.20 5.解：任取2x1<x25, 则f)-fx)气)2D 因为2x1<x2≤5， 所以x1-x2<0,x2-1>0,x1-1>0. 所以f(x2)-f(x1)<0. 即f(x2)<f(x1). 所以fx)=号在区同[26]上是单调减函数. 所以fe=2)=2号=2 fx)m=f(5)=52气=4 55 3.2.2奇偶性 第1课时函数奇偶性的概念 课前预习学案 情境引入 1.提示：整个图形对称. 2.提示：①是轴对称图形，②既是轴对称图形，又是中心 对称图形 知识梳理 知识点、1.(1)一x∈If(一x)=f(x)(2)y轴偶 2.(1)-x∈1(2)原点奇 ·3 [思考] 1.提示：定义域一定关于原点对称.由函数奇偶性的定义 知，若x在定义域内，则一x一定也在定义域内（若一工 不在定义城内，则f(一x)无意义)，因此，具有奇偶性的 函数的定义域必关于原，点对称 2.提示：由于函数f(x)是奇函数，则f(一x)=一f(x),又 函数f(x)在x=0处有意义，于是f(0)=f(一0)= 一f(0),即2f(0)=0,所以f(0)=0. 预习自测 1.A2.C3.②④①③ 课堂互动学案 [例1][解](1)f(x)的定义域为(-∞，0)U(0,十o), 关于原点对称， 又-)=-+-（+动)- f(x)是奇函数. (2)f(x)的定义城为R,关于原点对称， 又f(-x)=(-x)2-|-x|+1=x-|x+1=f(x), .f(x)是偶函数. (3)函数f(x)的定义城为{xx≠1}，显然不关于原点对 称，f(x)是非奇非偶函数， [例2][解](1)由题意作出函数图象如图： y 1 2 0 -2-1/1人2 (2)据图可知，单调递增区间为（一1,0），(1，十○) (3)据图可知，使f(x)<0的x的取值范围为（一2,0）U (0,2). 「例3]「解析](1)因为偶函数的定义域关于原，点对称， 所以a-1=一2a,解得a=3 1 又画教)=子：十红十6十1为二次函数，结合隔画 数图象的特点，易得b=0」 (2)由奇函数定义有f(-x)十f(x)=0,得a(-x)2+2(-x) +a.x2+2x=2a.x2=0,故a=0. [答案10片 0(2)0 变式训练 1.解：(1)函数f(x)的定义域为R,关于原点对称， 又f(-x)=2-|-x|=2-|x=f(x), ∴.f(x)为偶函数」 (2)f(x)的定义域是R, 3(-x) 3x 又“f(-)=2)+3+3 =-f(x), f(x)是奇函数. 8 2.解：(1)因为函数fx)是奇函数，所以y=f(x)在[-5,5]上 的图象关于原，点对称.由y=f(x)在[0,5]上的图象，可 知它在[-5,0]上的图象，如图所示 y 5* (2)由图象知，使f(x)<0的x的取值范围为（一2,0）U (2,5). 3.解析：，f(x)为奇函数，.f(一x)=一f(x), 即-x+1)(-x+a=-(x+1D(z+a） 一x 显然x≠0，整理得x2-(a十1)x十a=x2+(a+1).x十a, 故a+1=0,得a=一1. 答案：一1 4.解析：因为f(x)为奇函数，所以f(一1)+f(1)=0, 即(a一1)+(-1十1)=0，故a=1. 答案：1 随堂步步夯实 1.B2.B 1 3.3 4.(-6,-3)U(0,3) 5.证明：f(x)的定义域为{xx≠0}，关于原点对称 又-=(-+=+字=， .函数y=f(x)为偶函数， 故品数fx)=+之的周象关于y轴对称。 第2课时函数奇偶性的应用 课前预习学案 情境引入 1.提示偶函数的图象关于y轴对称，奇函数的图象关 于原点对称. 2.提示(1)单调性相反，(2)单调性相同. 知识梳理 知识点、1.(1)增函数相同(2)减函数相反3.(1)T (2)(a,b) 「思考 1.提示：不是偶函数，因为只有自身的图象关于y轴对称 的函数才是偶函数， 2提示y=马=1十马对称中心为11》 预习自测 1.D2.D3.f(1)<f(-2)<f(-3) 课堂互动学案 [例1][解]，f(x)是定义在R上的奇函数， .f(-x)=-f(x). :当x<0时，一x>0, .f(x)=-f(-x)=-[(-x)2+3(一x)-1] =-x2+3x十1. ·38 参考答案 又：奇函数f(x)在原点有意义，f(0)=0. x2+3x-1,x>0, .f(x)= 0, x=0, -x2+3x+1,x<0. [例2][解](1)由f(1-a)+f(1-a)<0, 得f(1-a)<-f(1-a). y=f(x)在[-1,1]上是奇函数， ∴.-f(1-a)=f(a-1), ∴.f(1-a2)<f(a-1). 又，f(x)在[-1,1]上单调递减， -1≤1-a≤1， ,0≤a≤2， ∴.-1≤1-a≤1，解得0≤a≤2， （1-a2>a-1, (-2<a<1. ∴0≤a<1,.实数a的取值范围是[0,1). (2)·函数f(x)是偶函数， ∴f(x)=f(lx|). ∴.f(1-m)=f(11-ml),f(m)=f(m). -21-m2, 原不等式等价于 }-2≤m≤2解得-1≤m<2: 1 11-ml>|m, “实教m的取值范因是【-1，）) [例3][解](1)由函数f(x)是定义在（一2,2）上的奇 函数，可知f(0)=合=0，即6=0，则f()= 2 .x+2 由f(1)=1 +25,解得a= 2 则f(x)= ，工一=2红，经检验f(x)为奇函教，满 +2中 1 足题意，故a=2b=0. (2)函数f(x)在区间（一2,2）上单调递增，证明如下： 南1)可得f)=纤任取1，∈(-2.2》. 且x1<x2, 2x1 2x2 则f(x1)一f(x2)= x+4x+4 =2x（z+4)-2x(x+4) (x+4)(x+4) 2(x2-x1)(x1x2-4) (xi+4)(z+4)· 因为-2<x1<22<2,所以x2-x1>0,x1x2-4<0, 所以f(x1)-f(.x2)<0,即f(x1)<f(x2), 因此函数f(x)在区间（一2,2）上单调递增。 (3)因为函数f(x)是定义在（一2,2）上的奇函数， 所以由f(m2-1)+f(-5m-5)>0,得f(m2-1)> -f(-5m-5),即f(m-1)>f(5m+5), 由(2)知函数f(x)在区间（一2,2）上单调递增， -2<m2-1<2, 所以 -2<-5m-5<2,解得-子<m<-1. m2-1>5m+5, 故所求不等式的解集为（一了，一1）