3.2.1 第2课时 函数的最大值，最小值-【创新教程】2026-2027学年高中数学必修第一册五维课堂同步复习（人教A版）

3.函数y=x2一2x的单调递减区间是 ,单调递增区间是 4.已知函数f(x)为定义在区间[一1,1]上的增函 数，则满足f(x)<f 12 的实数x的取值范围 为 第2课时 函岁 课程标准 1.理解函数的最大（最小）值及几何意义 2.利用单调性求最值、比较大小、解不等式 ● 课前6 [情境引入] 观察下列两个函数的图象，回答有关问题： Y=-x Y- 图① 图② (1)比较两个函数的图象，它们是否都有最 高点？ (2)通过观察图①你能发现什么？ [知识梳理] [知识点一]函数的最大值与最小值 最大值 最小值 般地，设函数y=f(x)的定义域为 I,如果存在实数M满足：Hx∈I, 条件 都有 f(x) M f(x)M 3xo∈I,使得 第三章函数的概念与性质 5.用定义法证明：函数f(x)=x3+x在R上 是增函数 C温馨提西 学习至此，请完成配套训练 的最大值、最小值 素养解读 在运用函数单调性充要条件过程中， 提升数学运算和逻辑推理素养 预习学案 续表 最大值 最小值 称M是函数y= 称M是函数y= 结论 f(x)的最大值 (x)的最小值 几何 f(x)图象上最 f(x)图象上最低 意义 高点的 点的 2思考 如果函数f(x)对于定义域内的任 意x都满足f(x)≤M,那么M一定是函 数f(x)的最大值吗？ 知识点二]对函数最大（小）值的理解 (1)注意对“存在”一词的理解.M首先是一个 函数值，它是值域中的一个元素.如f(x) =一x2(x∈R)的最大值为0，有f(0)=0. (2)对于定义域内全部元素，都有f(x)≤M成 立，“任意”是说每一个值都满足不等式。 (3)两条缺一不可，若只有(1)，M不一定是最 大（小）值.如f(x)=一x2(x∈R),对任意 x∈R,都有f(x)≤1成立，但1不是其最 大值，否则大于零的任意实数都是最大值 了，故不能只有(1).同样，只有(2)时，M 71 数学·必修第一册 也不一定是最大（小)值，最大（小）值的核 心就是不等式f(x)≤M(f(x)≥M),故不 能只有(2). [预习自测] 1.函数f(x)在[一2,2]上的图 象如图所示，则此函数的最小 值、最大值分别是 ) A.f(-2),0 B.0,2 C.f(-2),2 D.f(2),2 课堂。 题型一 图象法求函数的最值 [例1]求函数y=|x+1|一|x一2|的最大值 和最小值， 汇思路点拨]去掉绝对值，转化为分段函 数，再作出函数图象，由图象求最值， 规律方法 (1)利用函数图象求最值是求函数最值的 常用方法.这种方法以函数最值的几何 意义为依据，对较为简单的且图象易作 出的函数求最值较常用. (2)分段函数的最大值为各段上最大值的 最大者，最小值为各段上最小值的最小 者，故求分段函数的最大或最小值，应 先求各段上的最值，再比较即得函数的 最大、最小值 2.函数y=一x+1在区间 22]上的最大 值是 A- B.-1 C.2 D.3 3.函数f(x)=1在[1，b](b>1)上的最小值 2 是，则6= 互动学案 ◇[变式训练] 1.画出函数f(x) 2xe-0. 的 x2+2x-1,x∈[0，+o∞) 图象，并写出函数的单调区间及函数的最 小值. 题型三 利用函数单调性求最值 [例2]1)若0<1≤，则f)=}-1的最小 值是 A.-2 B.15 C.2 D.0 (2)利用单调性定义证明函数f(x)=x十 在[1,2]上的单调性并求其最值. [思路点拔](1)函数f()=-t的图 象不易作出.可判断其在所给区间上的单 调性来求最小值. (2)可考虑利用函数单调性来求函数最值， 即先判断函数的单调性，再求最值. 规律方法 (1)利用单调性求最值的一般步骤 ①判断函数的单调性. ②利用单调性写出最值. (2)利用单调性求最值的三个常用结论 ①如果函数f(x)在区间[a,b]上是增 (减)函数，则f(x)在区间[a,b]的左、 右端点处分别取得最小（大）值和最大 (小)值 ②如果函数f(x)在区间(a,b]上是增 函数，在区间[b,c)上是减函数，则函数 f(x)在区间(a,c)上有最大值f(b) ③如果函数f(x)在区间(a,b]上是减 函数，在区间[b,c)上是增函数，则函数 f(x)在区间(a,c)上有最小值f(b). ⊙[变式训练] 第三章函数的概念与性质 1 2.已知函数f(x)-z+x[1,2], (1)判断并证明函数f(x)的单调性； (2)求函数f(x)的最大值与最小值. 题型】 三次函数的最值 [例3]求f(x)=x2-2ax-1在区间[0,2]上 的最大值和最小值 思路点拨了“解答本题可先求出f(x)的 对称轴x=a,然后就a与区间[0,2]的关 系进行讨论，分别求出f(x)的最大值和最 小值 73· 数学·必修第一册 规律方法 (1)求函数在某区间上的最值，一般应先判 定函数在该区间上的单调性， (2)求二次函数的最值时，应判断它的开口方 向及对称轴与区间的关系.若含有字母， 要根据对称轴和区间的关系对字母进行 讨论，解题时要注意数形结合，本题是轴 动区间定.对于定轴动区间最值问题，同 样要就轴与区间的关系进行讨论， (3)二次函数在闭区间上的最值，如二次函 数f(x)=a(x-h)2+k(a>0)在区间 [m,n]上的最值可作如下讨论： 对称轴x=h与 最大值 最小值 [m,n]的位置关系 h<m f(n) f(m) h>n f(m) f(n) n≤h<m十n 2 f(n) f(h) n≤h≤n h=n十n 2 f(n)或f(n》 f(h) 十卫∠h≤n 2 f(m) f(h) ⊙[变式训练] 3.已知二次函数f(x)的最小值为1，且f(0) =f(2)=3. (1)求f(x)的解析式； (2)若f(x)在区间[2a,a+1]上不单调，求 实数a的取值范围； (3)若x∈[t,t+2],试求y=f(x)的最 小值. 题型四】 实际应用中的最值问题 [例4幻某公司生产一种电子仪器的固定成本为20000 元，每生产一台仪器需增加投入100元，已知总收 400x- 益满足函数：R(x) 其中 80000,x>400. x是仪器的月产量， (1)将利润表示为月产量的函数f(x); (2)当月产量为何值时，公司所获利润最大？ 最大利润为多少元？（总收益=总成本十 利润) 思路点拨」 7x2+300x-20000,0≤zx400 (1)fx) 60000-100x,.x>400. (2)分段分别求最值， 74· 规律方法 解实际应用问题的5个步骤 (1)审：审清题意，读懂题，找出各量之间的 关系. (2)设：从实际问题中抽象出数学模型，恰 当设出未知数. (3)列：根据已知条件列出正确的数量 关系 (4)解：转化为求函数的最值或解方程或解 不等式， (5)答：回归实际，明确答案，得出结论 随堂。 1.已知函数f(x)的定义域为R,有以下三种 说法：①若存在常数M,使得对任意x∈R, 有f(x)≤M,则M是f(x)的最大值；②若 存在x。∈R,使得对任意x∈R,有f(x)≤ f(xo),则f(xo)是f(x)的最大值；③若存 在x∈R,使得对任意x∈R,且x≠xo,有 f(x)≤f(x),则f(x。)是f(x)的最大值. 其中正确说法的个数为 A.0 B.1 C.2 D.3 2.已知函数y=x2-2x+3在闭区间[0，m]上 有最大值3，最小值2，则m的取值范围是 A.[1,+∞) B.[0,2] C.(-∞，-2] D.[1,2] 1 3.函数f(x) 的单调递减区间为 √/7+6.x-x 4.在如图所示的锐角三角形空地 中，欲建一个面积最大的内接矩 形花园（阴影部分），则其边长x 40m 为 m. 第三章函数的概念与性质 ◇[变式训练] 4.将进货单价为40元的商品按50元一个出 售时，能卖出500个，已知这种商品每涨价 1元，其销售量就减少10个，为得到最大利 润，售价应为多少元？最大利润为多少？ 步步夯实 5.求函数f()-乙在区间[2,5]上的最大 值与最小值. C温馨提污 学习至此，请完成配套训练 75数学·必修第一册 [例3][解析](1)B[:f(x)在(0，+∞)上是减函数， 3.解：：f(x)是定义在(0，十∞)上的减函数，且f(x)< 且d-a+1=(e-）+>>0 f(2x-3), x>0, a-a+D≤f(） 2z-3>0,解得8<<3. (2)因为函数f(x)在定义域（一1,1）上是减函数，且 x>2x-3, f(1-a)≤f(3a-2),所以-1<3a-2≤1-a<1,解得a :的取值龙国是（侵3 (合 ax十3，x1, 4.解析：(1)BCD [因为函数f(x) 2a-1 [答案] (合别 ,x>1 [例4][解]f(x)=x2+2(a-1)x十2 f-a<0, =[x+(a-1)]-(a-1)2+2, R上的减函数，所以有 2a-1>0, .此二次函数的对称轴为x=1一a. a·1+3≥2a-1 解得<a 1 ∴.f(x)的单调递减区间为（一∞，1一a]. f(x)在（一∞，4]上是减函数， <号，因光选项B,C,D特合题意，故连BCD.] ',对称轴x=1一a必须在直线x=4的右侧或与其 (2)当k=0时，f(x)=-2x-5,显然此函数在(-o,1] 重合 上单调递减； ∴.1-a≥4，解得a≤-3. 当k≠0时，函数f(x)图象的对称轴为直线x= 变式训练 1解：将点-1，-1八（合号）的坐标代入解析式 _32,要使函数f(x)在(-∞，1门上单调递减， 2k k>0, -a+b =-1 只需满足 1+1 3k-2≥1 解得0<k≤2 2k 得 2a+6 4 综上所述，实数的取值范围是[0，号] (合)+1 5 答案[引 解得=2·故f)= 2x b=0, +1 随堂步步夯实 (2)证明：任取x12∈（-1,1)，且x1<x2 1.ABC 2.C 3.(-0o,1][1,+o∞) 则f(x)-f(x)= 2x 24, zi+1 z+l 4【1,2) 2x1x+2x1-2x2x-2x2 (xi+1)(x+1) 5.证明：设x1x2是R上的任意两个实数，且x1<x2, 2x12(x-x1)-2(x2-x1)_2(x1x2-1)(x2-x1) 则f(x2)-f(x1)=(x十x2)-(x+x1) (x+1)(x+1) (xi+1)(x+1) =(x2-x1)(x+x2x1十x)+(x2-x1) 因为x1,x2∈(-1,1)，x1<x2, =(x2-x1)(x+x2x1十xi+1) 所以x1x2-1<0,x2-x1>0,x+1>0,x+1>0, 故f0)-f)=23）<0. =-西[+2)++1. (x+1)(x+1) 故f(x1)<f(x2), “(色+受）+是+1>02->0. 所以f(x)在(-1,1)上单调递增. ∴.f(x2)一f(x1)>0,即f(xg)>f(x1), -x3,(x≤1) .函数f(x)=x3十x在R上是增函数. 2.解：f(x)= 的图象如图所示， {(x-2)2+3,(x>1) 第2课时函数的最大值、最小值 课前预习学案 情境引入 (1)提示：图①中函数y=一x2的图象上有一个最高点： 图②中函数y=一x的图象上没有最高点， (2)提示：对任意x∈R,都有f(x)≤f(0). 知识梳理 知识点一、≤≥f(z)=M纵坐标纵坐标 [思考] 由图可知，函数的单调递减区间为（一∞，1]和(1,2）；单 提示：不一定.如函数f(x)=一x≤1恒成立，但是1不 调增区间为「2，十©©). 是函数的最大值 ·386· 参考答案 预习自测 ②当0≤a<1时，由图②@可知， 1.C2.C3.4 f(x)mh=f(a)=-1-a2, 课堂互动学案 f(x)mx=f(2)=3-4a. [例1][解]y=1x+1-1x-2 ③当1≤a≤2时，由图③可知， ,3 (x≥2)， f(x)m=f(a)=-1-a, 2x-1（-1<x<2),作出函 f(x)mx=f(0)=-1. (-3(x≤-1). 5花 ④当a>2时，由图④可知， 数的图象，由图可知，y∈[一3,3]. f(x)mn=f(2)=3-4a,f(x)mx=f(0)=-1. 所以函数的最大值为3，最小值为 [例4][解](1)设月产量为x台，则总成本为20000 -3. +100x, [例2][解折]（1B[任取店∈(0】且<，则 x2+300x-20000,0≤x400, 从而f(x)= 2 a,)-fu,)-(G-)厂（居-） (60000-100x,x>400. (2)当0x400时， (-)厂-) f(x)=- 7(x-300)+25000 =在-(t-)=(t:-ti 、1+tt2 ∴.当x=300时，[f(x]m*=25000. t tz 当x>400时， 因为话∈(0专]且< f(x)=60000-100.x是减函数， 1+t2>0, f(x)<60000-100×400<25000. 故1：-t>0,1 .当x=300时，f(x)max=25000. 故f4)-f(4)>0,即f()>f4),故f)= 即每月生产300台仪器时利润最大，最大利润为 t 一t 25000元 在(0，]上为减函数，当1=子时，有最小值只故 变式训练 1.解：f(x)的图象如图所示， 选B.] (2)任取x1x∈[1,2]且x1<x2 湖)-)=+客 =(-5)+46-(4-)二4 1≤x1<x2≤2，x1-x2<0,1<x1x2<4, x1x2-4<0,∴f(x1)-f(x2)>0, f(x)的单调递增区间是（一○，0）和[0，十∞)，函数的最 即)>))=x+兰在[1,2]上是减通数。 小值为f(0)=一1. 从而函数的最大值是f(1)=1十4=5，最小值是 2.解：1)函数f(x)=中有在区间[1,2]上是减函数，证明 f(2)=2+2=4. 如下： [例3][解]f(x)=(x-a)2-1一a,对称轴为x=a. 任取x1x∈[1,2]且x1<x2, 则f(x)-f()=,1 1 ,十1-x1-1 1+1x+(z1+1)(x,+1 xg一T1 =(a1+1)(x+1) 因为x1x∈[1,2]且x1<x2, 所以x2-x1>0,x1+1>0,22+1>0, ② x2一x1 所以x,+D,+D>0 即f(x1)>f(x2), 所以八)=是[1,2]上的减函数. ③ ④ (2)由1)知x)=中市是[1,2]上的减函数， ①当a<0时，由图①可知， 所以f).m=f2)=合 f(x)mim=f(0)=-1, f(x)mx=f(2)=3-4a. fe）=f)=号. ·387· 数学·必修第一册 3.解：(1)，f(x)是二次函数，且f(0)=f(2), [思考] .f(x)图象的对称轴为直线x=1. 1.提示：定义域一定关于原点对称.由函数奇偶性的定义 又f(x)的最小值为1..设f(x)=k(x一1)+1(k≠0). 知，若x在定义域内，则一x一定也在定义域内（若一x 又f(0)=3,∴.k=2 不在定义城内，则f(一x)无意义)，因此，具有奇偶性的 .f(x)=2(x-1)2+1=2x2-4x+3. 函数的定义域必关于原，点对称。 (2)要使f(x)在区间[2a,a+1]上不单调， 2.提示：由于函数f(x)是奇函数，则f(一x)=一f(x),又 则2a<1<a+1,解得0Ka< 函数f(x)在x=0处有意义，于是f(0)=f(一0)= 一f(0),即2f(0)=0,所以f(0)=0. 故实数。的取值范国是(0，）】 预习自测 (3)由(1)知，y=f(x)图象的对称轴为直线x=1, 1.A2.C3.②④①③ 若t≥1，则y=f(x在[t,t十2]上单调递增， 课堂互动学案 ymin=212-4t+3 [例1][解](1)f(x)的定义域为(-∞，0)U(0,十o), 若t十2≤1，即t≤-1，则y=f(x)在[t,t+2]上单调递 关于原点对称， 减，ym=f(t+2)=2t+4t+3; 若t<1<t十2，即-1<t1,则ymm=f(1)=1. 又K-)=-+名-（+)一 综上，当t≥1时，ymn=2r-4t+3: f(x)是奇函数. 当一1<t1时，ym=1: (2)f(x)的定义城为R,关于原，点对称， 当t≤-1时，ymn=2t+4t+3. 又f(-x)=(-x)2-|-x|+1=x-|xl+1=f(x), 4.解：设售价为x元，利润为y元，单个涨价(x一50)元，销 .f(x)是偶函数. 量减少10(x-50)个，销量为500-10(x-50)=(1000 (3)函数f(x)的定义域为{xx≠1}，显然不关于原点对 -10x)个，则y=(.x-40)(1000-10x)=-10(x-70) 称，f(x)是非奇非偶函数 +90009000. [例2][解](1)由题意作出函数图象如图： 故当x=70时，ymx=9000. 即售价为70元时，利润最大值为9000元. 随堂步步夯实 1.C2.D3.(-1,3)4.20 5.解：任取2≤x1<x2≤5， x1一xg 「则fx)=f八)=x,==(,-1)子 (2)据图可知，单调递增区间为（一1,0），(1，十c∞) 因为2≤x1<x2≤5， (3)据图可知，使f(x)<0的x的取值范围为（一2,0）U 所以x1-x2<0,x2-1>0,x1-1>0. (0,2). 所以f(x2)-f(x1)<0. [例3][解析](1)因为偶函数的定义域关于原点对称， 即f(x2)<f(x1) 所以f)=号气在区同[2,5]上是单调减函数. 所以a-1=-2a,解得a=3· 所以fe0=2)=2号=2 又画兼)=言+6征十6十1为二次画数，结合%西 数图象的特点，易得b=0】 f.=6)=高= (2)由奇函数定义有f(-x)十f(x)=0,得a(-x)+2(-x) 3.2.2奇偶性 +a.x2+2.x=2a.x2=0,故a=0. 第1课时函数奇偶性的概念 [答案]片020 课前预习学案 变式训练 情境引入 1.解：(1)，函数f(x)的定义战为R,关于原点对称， 1.提示：整个图形对称. 又f(-x)=2-|-xl=2-|x=f(.x), 2.提示：①是轴对称图形，②既是轴对称图形，又是中心 ∴f(x)为偶函数. 对称图形 (2)f(x)的定义域是R, 知识梳理 3(-x) 3x 知识点、1.(1)-x∈1f(-x)=f(x)(2)y轴偶 又：f-x)=x)2+3 x+3=-fx), 2.(1)-x∈1(2)原点奇 f(x)是奇函数. ·388·