3.1.1 函数的概念-【创新教程】2026-2027学年高中数学必修第一册五维课堂同步复习（人教A版）

数学·必修第一册 =a-6(合-） =(a2-b2)a-b_(a-b)(a+b) ab ab 因为a>0,b>0,且a≠b, 所以(a-b)2>0,a十b>0,ab>0, 所以（借+名）一a+6>0, 2.解：)原不等式组可化为{二2或>0，即0<1< {-1<x<1, 所以原不等式组的解集为{x0<x<1 2)原不等式等价于8-2xx-3 1x2-3.x<18, 即7x-6≥0. 1x2-3x-18<0, 因式分解，得{x-3)(z+2)≥0， (x-6)(x+3)<0, 所以≤-2，或x≥3， -3<x<6, 所以-3<x≤-2或3≤x<6. 所以不等式的解集为{x|一3<x≤-2，或3≤x<6. 3.解：因为x>0,y>0,且x+2y=5, 所以是+号-古(x+2(2+)】 =专(3++) z y ≥3+ ,x+2y=5, 当且仅当}18y=2 y ”时学子我之 所以9+2的最小值为5，此时x=3,y=1. y 4.解：不等式x2十x>4x十p-3恒成立，即(x-1)p (x-4x+3)>0, 设y=(x-1)p十(x2-4.x+3)是以力为自变量的一 函数，则0≤≤4时y>0恒成立， 9 解得x>3或x<一1. ∴x的取值范围是{xx>3,或x<-1}. 5.解：1)旅题意y=100(-后)·100(+0）： 又售价不能低于成本价， 所以100(1-)-80≥0，解得x≤2， 所以y=f(x)=20(10-x)(50+8.x)(0≤x≤2). (2)20(10-x)(50+8.x)≥10260， 化荷琴：8x-30x十13C0,解得号<<号 又xE(x0≤≤21，所以x的取值范因为2<r≤2 第三章函数的概念与性质 3.1函数的概念及其表示 3.1.1 函数的概念 课前预习学案 情境引入 提示：物体下落的高度h(m)是所用时间t(s)的函数. 知识梳理 知识点一、l.非空的数集确定的任意唯一y=f(x),x ∈A 2.x的取值范围A3.函数值的集合{f(x)x∈A}子集 知识点二3.[a,十c∞)(a,+co)(-co,b](-o,b) 知识点三、1.定义域对应关系值域2.定义域对应 关系定义域对应关系 [思考] 1.提示：不一定.值域是集合B的子集，即{f(x)|x∈A} ≤B. 2.提示：不一定，可以是数表，也可以是图象。 3.提示：这种看法不对.符号y=f(x)是“y是x的函数”的 数学表示，应理解为x是自变量，它是关系所施加的对 象；f是对应关系，它可以是一个或几个解析式，可以是 图象、表格，也可以是文字描述：y是自变量的函数，当x 允许取某一具体值时，相应的y值为与该自变量值对应 的函数值.y=f(x)仅仅是函数符号，不表示“y等于f 与x的乘积”，在研究函数时，除用符号f(x)外，还常用 g(x),F(x),G(x)等来表示函数. 4,提示：f(x)与f(a)的区别与联系：f(a)表示当x=a时， 函数f(x)的值，是一个常量，而f(x)是自变量x的函 数，一般情况下，它是一个变量，f(a)是f(x)的一个特殊 值，如一次函数f(x)=3.x+4,当x=8时，f(8)=3× 8十4=28是一个常数. 5,提示：不是任何数集都能用区间表示，如集合{0}就不能 用区间表示 6.提示：“©∞”读作“无穷大”，是一个符号，不是数.以 “一∞”或“十∞”作为区间一端时，这一端必须是小 括号 7.提示：由函数的定义域和对应关系可以求出函数的值 域，所以判断两个函数是否是同一个函数，只看定义城 和对应关系即可 8.提示：不一定，如果对应关系不同，这两个函数一定不是 同一个函数 预习自测 1.A2.D3.③ 课堂互动学案 [例1][解](1)A中的任一元素按照对应关系y=|x,在 B中都有唯一确定的元素与之对应，故是集合A到集合B 的函数 (2)A中的元素0在B中没有对应元素，故不是集合A到 集合B的函数 382· (3)A中元素负数没有平方根，故在B中没有对应的元 素，且√工不一定是整数，故此对应关系不是集合A到集 合B的函数 (4)对于集合A中任意一个实数x,按照对应关系f:x→ y=1,在集合B中都有唯一一个确定的数1与它对应， 故是集合A到集合B的函数， [例2][解析] 序号 是否相等 原因 定义域不同，f(x)定义域为{xx ① 不等 ≠0}，g(x)定义城为R. 对应法则不同，f()=马 ② 不等 g(x)=√元 ③ 相等 定义域、对应关系都相同 ④ 不等 值域不同，f(x)≥0，g(x)∈R, ⑤ 相等 定义城、对应关系都相同 [答案] ③⑤ [例3][解](1)要使此函数有意义，应满足-1≥0·即 14-x≥0， 1x≤4，所以此函数的定义域是{x1x4}. (2)要使此函数有意义，则 +3≥0→≥-3 →x≥-3，且x≠-2 1x+2≠0{x≠-2 所以f(x)的定义城为{xx≥-3，且x≠一2}. [例4幻[解]1)f(2)=士=3. 2十241 (2)fx)==+21=1-1 x+2x+2 +2 又中01-中1， .f(x)≠1， 即函数值域是{yy∈R,且y≠1}. 变式训练 1.解析：(1)由函数的定义知，满足题意； (2)当x=0时，B中不存在元素与之对应，不满足题意； (3)当=0时，宁没有意义，不满足题意： (4)由函数的定义知，满足题意： (5)集合A不是数集，故不满足题意 答案：(1)(4) 2.解：(1)虽然表示自变量的字母不同，但定义域、对应关 系均相同，因而是相等函数 (2):f(x)的定义域为{x|x≥1}，而g(x)的定义域为 {xx≤一1，或x≥1}，两函数的定义城不同， f(x)与g(x)不是相等函数. 3.B[由题意得-2≤2x+1≤3，解得-多≤<1， 2 由x十1≠0，解得x≠-1，所以函教y=2红十卫的定 x+1 义城是[-号-](-1.门 ·38 参考答案 4.解：(1)因为x∈R,所以2x十1∈R,即函1以 数的值域为R. (2)配方：y=x2-4x+6=(x-2)+2, 因为x∈[1,5)，由图所示. 所以所求函数的值域为[2,11) 随堂步步夯实 2345 1.C 2.D 3.0(1,4) 4.{-1,1,3,5,7} 5,解：1周为)是 所以f(2)=}-2=-1 -1+23 因为g(x)=x2-1,所以g(3)=32-1=8. (2)旅题意知Kg3》=f8)=十8一号 91 K:a》=-+书-学4a 3.1.2函数的表示法 课前预习学案 情境引入 提示：图象法 [思考] 1.提示：并不是所有的函数都能用解析式表示；事实上，图 象法也不适用于所有函数，如D(x)= 0x∈Q, ;列 {1,x∈CRQ;' 表法虽在理论上适用于所有函数，但对于自变量有无数 个取值的情况，列表法只能表示函数的一个概况或 片段 2,提示：三种方法的优、缺点 一是简明、全面地概 解析沙优点括了交量间的关系，缺点 不够形象、直观，而 是利用解析式可求 且并不是所有函数 任一函数值 都有解析式 例我沙优点香赞盘務霸峡点 仅能表示自变量取 较少的有限值时的 数值 对应关系 只能近似求出自变 图象法优点 能形象直观地表示缺点 量的值所对应的函 函数的变化情况 而且有时误 差较大 3.提示：分段函数是一个函数，只不过不同范围上解析式 不同 4.提示：定义域为各段范围的并集：值域为各段上值域的 并集. 预习自测 1.C2.A3.f(x)=2x 课堂互动学案 [例1][解](1)列表法： x/台 1 2 5 y/元 3000 6000 9000 12000 15000 x/台 6 7 8 9 10 y/元 18000 21000 24000 27000 30000 3第三章函数的概念与性质 第三章 函数的概念与性质 3.1函数的概念及其表示 3.1.1函数的概念 课程标准 素养解读 1.在初中用变量之间的依赖关系描述函数的基础上，用集合语言和对应 1.通过对函数概念的理 关系刻画函数，建立完整的函数概念 解，提升数学抽象素养 2.体会集合语言和对应关系在刻画函数概念中的作用 2.通过求简单函数的定义 3.了解构成函数的要素及同一个函数的概念，能求简单函数的定义域和 域，提升数学运算素养 值域 ● 课前。预习学案 [情境引入] [问题] 物体下落的高度五(m)是所用时间 比萨斜塔是意大利的标志性建筑，更是世界 t(s)的函数吗？ 建筑史上的一大奇迹.比萨斜塔位于比萨城北面 的一个名字叫奇迹广场上.奇迹广场的大片草坪 上有一组宗教建筑，它们是比萨大教堂、洗礼堂、 比萨斜塔和墓园.它们的外墙面均为乳白色大理 石砌成，各自相对独立但又形成统一的罗马式建 筑风格.1987年12月，奇迹广场（包括大教堂、洗 礼堂、比萨斜塔和墓园)被联合国教科文组织列 入《世界文化遗产》.比萨斜塔位于大教堂后面右 [知识梳理] 侧，它从地面到塔顶高55米，直径16米，总重约 [知识点一]函数的概念 14453吨.塔身向东南方向倾斜，倾斜角度 3.99度. 1.函数的定义：设A、B是 ,如果 某物体从比萨斜塔的塔顶自由下落，物体下 按照某种 对应关系f,使对于集合 落的高度h(m)与所用时间t(s)的平方成正比，这 A中的 一个数x,在集合B中都有 个规律用数学式子可以描述为九=2，其中8 确定的数f(x)和它对应，那么就称 取9.8m/s2. f:A→B为从集合A到集合B的一个函数， 记作 2.函数的定义域：函数y=f(x)中，x是自变量， 叫做函数的定义域， 3.函数的值域：函数y=f(x)中，与x的值相对应 的y值叫做函数值， 叫做函 数的值域.显然，值域是集合B的 ·57 数学·必修第一册 2思考1.对于函数f:A→B,值域一定是集合 2.函数相等：由于函数的值域是由 和 B吗？为什么？ 确定的，如果两个函数的 相 2.对应关系f必须是一个解析式的形式吗？为 同，并且 完全一致，就称这两个函数 什么？ 相等. 3.有人认为“y=f(x)”表示的是“y等于f与x ?思考7.函数有定义域、对应关系和值域三要 的乘积”，这种看法对吗？ 4.f(x)与f(a)有何区别与联系？ 素，为什么判断两个函数是否是同一个函数， 只看定义域和对应关系？ 8.定义域和值域分别相同的两个函数是同一个 函数吗？ 知识点二]区间的概念 1.区间的概念：设a,b是两个实数，而且a<b. 定义 名称 符号 数轴表示 (r asr<b) 闭区间 La,b] [预习自测] (ra<x<b 开区间 (a,b) 。x 1.已知集合M={x0≤x≤2}，V={y0≤y≤2}， 那么下面的4个图形中，能表示从集合M到集 (x a<x<b) 左闭右开区间 Lab) 合N的函数图象的个数为 ( (r a<r<b 左开右闭区间 (a,b] 2.无穷区间表示 定义 及 r xza rr>a) (r xa) (<a 012x 012x 符号(-∞，+∞) a,十o∞) (a,+∞) (-∞，a] -∞，a) 图① 图② 3.特殊区间的表示 定义 区间 数轴表示 2外% {xlx≥a} 012 012x 图③ 图④ (xx>ar A.1 B.2 C.3 D.4 {x|x≤b} 2.函数f(x)= 2x2 +(2.x-1)°的定义域为 1-x xx<b) 6 纪思考5.区间是数集的另一种表示方法，那么 A(-,} 合 任何数集都能用区间表示吗？ c 6.“∞”是数吗？以“一∞”或“十∞”作为区间 ((合 端时，这一端可以是中括号吗？ 3.给出下列三组函数，其中表示同一个函数的是 (填序号). ①f)=8)=: [知识点三]函数三要素及函数相等 ②f(x)=2x+1,g(x)=2x-1: 1.函数三要素： 和 ③fa)=x,g(x)=9. ·58· 第三章函数的概念与性质 课堂。互动学案 题型一 函数概念的理解 例1]下列对应关系是否为A到B的函数？ ②f(x)=a 'g(x)= (1)A=R,B={x|x≥0}，f:x→y=|x|; ③f(x)=√+I·√1-x,g(x)=√1-x; (2)A=R,B=R,f:x→y=元 ④f(x)=√(x+3),g(x)=x十3； (3)A=R,B=Z,f:x→y=√x ⑤汽车匀速运动时，路程与时间的函数关系 (4)A=[-2,2,B={1},f:x→y=1. f(t)=80t(0≤t≤5)与一次函数g(x)= [思路点拨]依据函数的概念判断 80x(0≤x≤5). 其中表示相等函数的是 (填上 所有正确的序号). 汇思路点拔了判断是否为相等函数，关键 规律方法 是看对应关系和定义域是否一致， 1.判断对应关系是否为函数的2个条件 规律方法 (1)A,B必须是非空数集. (1)如何判断两个函数是否相等？ (2)A中任意一元素在B中有且只有一个元 ①判断定义域是否相等； 素与之对应 ②判断对应关系是否相等； 对应关系是“一对一”或“多对一”的是函 ③结论：如果①和②都肯定，则两个函 数关系，“一对多”的不是函数关系 数相等；如果①和②中有一个否定，则 2.根据图形判断是否为函数的方法 两个函数不等. (1)任取一条垂直于x轴的直线L. (2)判断两个函数是否相等的注意事项： (2)在定义域内平行移动直线U. ①如果两个函数的定义域和值域分别相 (3)若1与图形有且只有一个交点，则是函数； 若在定义域内没有交点或有两个或两个 同，那么这两个函数不一定相等，如f(x) 以上的交点，则不是函数 =x2+1与g(x)=|x十1|，两个函数的定 如图所示： 义域、值域分别相同，但它们的对应法则 不同，因此它们不是相等函数， ②因为函数是两个数集之间的对应关 不是函数图象不是函数图象是函数图象 系，所以至于用什么字母表示自变量、 1.有如下对应关系： 因变量和对应关系是无关紧要的， 如f(x)=3.x十4与f(t)=3t+4表示 A=0,2,B=0,1fx→ 相等的函数， (2)A={-2,0,2},B={4},f:x→x2; ◇[变式训练] 8A=k,B=20f一： 2.判断下列各组函数是否是相等函数. (1)f(x)=x2-x+1,g(t)=t2-t+1; (4)A=R,B=R,f:x→2x+1; (5)A={(x,y)|,y∈R},B=R,f:(x,y)→ (2)f(x)=-1·√x+1,g(x)=Wx2-1. x+y. 其中能构成从集合A到集合B的函数的有 (填序号) 题型二 判定函数相等 [例2]下列各组函数： ①f(x)=x-x ,g(x)=x-1: ·59· 数学·必修第一册 题型】 求函数的定艾域 [例3]求下列函数的定义域 cx十司的函数在 思路点拨]形如f(x)=ax十b (1)f(x)=√x-1·4-x+2; 求值域时，一般利用分离常数的方法，即在 分式的分子上构造出分母的形式以便分离 (2)f(x)=+3+1 +2 出常数来求值域， [思路点拨]求函数的定义域，就是求使 函数解析式有意义的自变量的取值范围， 规律方法 规律方法 求函数值域的原则及常用方法 定义域的求法 （1)原则：①先确定相应的定义域； (1)如果f(x)是整式，那么函数的定义域 ②再根据函数的具体形式及运算确定 是实数集R; 其值域. (2)如果f(x)是分式，那么函数的定义域 (2)常用方法： 是使分母不为0的实数的集合； ①观察法：对于一些比较简单的函数， (3)如果f(x)为偶次根式，那么函数的定 其值域可通过观察法得到. 义域是使根号内的式子大于或等于0 ②配方法：是求“二次函数”类值域的基 的实数的集合； 本方法. (4)如果f(x)是由几个部分的数学式子构 ③换元法：运用新元代换，将所给函数 成的，那么函数的定义域是使各部分式 化成值域易确定的函数，从而求得原函 子都有意义的实数的集合， 数的值域.对于f(x)=ax+b十√cx十d (5)如果函数有实际背景，那么除符合上述 (其中a,b,c,d为常数，且a≠0)型的 要求外，还要符合实际情况. 函数常用换元法 函数定义域要用集合或区间形式表示，这 ④分离常数法.此方法主要是针对有理 一点初学者易忽视 分式，即将有理分式转化为“反比例函 ⊙[变式训练] 数类”的形式，便于求值域 3.已知函数y=f(x)的定义域为[一2,3]，则 ◇[变式训练] 函数y= f2x十1D的定义域为 x+1 4.求下列函数的值域： a[- [--y-1 (1)y=2x+1; (2)y=x2-4x+6,x∈[1,5). C.[-3,7] D.[-3,-1)U(-1,7 题型四 函数值和函数的值域 [例4幻已知函数f(x)= x+2 (1)求f(2); (2)求函数f(x)的值域. ·60· 第三章函数的概念与性质 随堂。步步夯实 1.区间（一3,2]用集合可表示为 ( 4.已知函数f(x)=2x-3,x∈{x∈N1≤x≤5}， A.{-2,-1,0,1,2》 B.{x|-3<x<2} 则函数f(x)的值域为 C.{x-3<x≤2} D.{x|-3≤x2} 2.下列各组函数中，表示同一个函数的是( 5已知f)-+re.且x≠-Dge) A.y=x-2和y=2-4 =x2-1(x∈R) x+2 (1)求f(2),g(3)的值； B.y=x-1和y=√2-2x十1 (2)求f(g(3)的值及f(g(x)). C.f(x)=(x-2026)2和g(x)=(x+2 026)2 D.f(x)=@) 和g(x)= (√)2 3.如图，函数f(x)的图象 是折线段ABC,其中A, B,C三点的坐标分别为 (0,4),(2,0),(6,4),则 B 0 56 f(f(4))= ;不 @温馨提 等式f(x)<2的解集为 学习至此，请完成配套训练 3.1.2 函数的表示法 课程标准 素养解读 1.掌握函数的三种表示法：解析法、列表法、图象1.结合实例，经历函数三种表示法的抽象 法以及各自的优缺点 过程，体会三种表示法的作用，培养学生 2.在实际情境中，会根据不同的需要选择恰当的 的数学抽象素养 方法表示函数 2.结合实例，加深对分段函数概念的理解 3.通过具体实例，了解简单的分段函数，并能简单应用 及应用，提升逻辑推理、数学运算素养 课前。预习学案 [情境引入] 根据初中学习的知识，你能说出以上问题是什 如图，艾宾浩斯18 么法表示函数的吗？ 遗忘曲线告诉我们， 学习中的遗忘是有规 律的，遗忘的进程是器时天吴美买 不均衡的，记忆的最初阶段遗忘的速度很快， 后来就逐渐慢了，这条曲线表明了遗忘的发展 规律是“先快后慢”。 ·61·