2.3 第2课时 一元二次不等式解法的应用-【创新教程】2026-2027学年高中数学必修第一册五维课堂同步复习（人教A版）

数学·必修第一册 规律方法 ⊙[变式训练] 一元二次不等式解集逆向应用问题的解法及步骤 3.若关于x的不等式ax2+bx十c>0的解集 (1)求解方法： 为{x|一3<x<4},求关于x的不等式 由已知不等式的解可转化为一元二次 bx2+2a.x-c-3b<0的解集. 方程的两根，从而由根与系数的关系， 找出系数a,b,c之间的关系，写出不等 式的解集. (2)求解步骤： 第一步：审结论—明确解题方向 如要解cx2十bx十a<0,首先确定c的 符号，最好能确定a,b,c的值. 第二步：审条件—挖掘题目信息 利用一元二次方程的根与一元二次不 等式的解集的关系列出关于a,b,c的 方程组，用a表示b,c. 第三步：建联系—找解题突破口 由给定不等式的解集形式→确定关于a, b,c的方程组→用a表示b,c→代入所求 不等式→求解cx2十bx十a<0的解集. 随堂。步步夯实 1.集合A={x-2≤x≤2，B={xx2-5x- 4.方程x2+(m一3)x+m=0有两个实根，则 6≤0}，则(CRA)UB= 实数m的取值范围是 A.{xx<-2或x>2} B.{x2<x≤6》 5.解关于x的不等式ax2+(2a-1)x-2<0. C.{xx<-2或x≥-1} D.{x|2≤x≤3 2.（多选)关于x的不等式mx2-a.x一1>0(m >0)的解集不可能是 () A{<-1,或>} B.R c{-}<} D.0 3.已知集合A={x1<x<2},B={x|x2 2a.x十a2-1<0},若A二B,则实数a的取值 C温馨提西 学习至此，请完成配套训练 范围是 第2课时 一元二次不等式解法的应用 课程标准 素养解读 1.会解简单的分式不等式 通过求方程组解集，提 2.通过三个“二次间的关系”解简单一元二次不等式恒成立问题 升数学运算、数学抽象 3.能够从实际生活和生产中抽象出一元二次不等式的模型，并加以 和逻辑推理素养 求解 ·50· 第二章一元二次函数、方程和不等式 课前。预习学案 [情境引入] [知识点二]一元二次不等式恒成立的情况 不等式>1与x<1等价吗？>1的解集 (1)a.x2+bx+c>0(a≠0)恒成立台 4<0 应是什么？ (2)ax2+bx+c≤0(a≠0)恒成立台 /a<0 A≤0 [预习自测] 1不$式号0的解架为 A.{x|x>1》 B.{x|x<-2》 [知识梳理] C.{x|-2<x<1}D.{x|x<-2,或x>1} [知识点一] 一般的分式不等式的同解变形 2.若集合A={x|-1≤2x+1≤3}，B={x 法则 x-2≤0}，则A∩B= () (1)f(2> 8(x) A.{x|-1≤x<0}B.{x|0<x≤1} (2)f）≤0 C.{x|0≤x≤2} D.{x|0≤x≤1》 8(x) 3.(2025·上海卷)不等式}<0的解集为 (3)f(x x-3 ≥a台fx)-ag≥0. g(z g(x) 课堂。互动学案 题型一 解简单的分式不等式 规律方法 [例1]解不等式： 解分式不等式的策略 >0:21 (1对于形如fC>0(<0)的不等式可等价 g(x) [思路点拨](0>09(-2 转化为f(x)g(x)>0(<0)来解决；对于形 g需≥0（≤0）的不华式可等价转化为 如fx) 6)(x-1)>0. (2)2”1>1=318<09(3x-2)(4x f(x)·g(x)≥0（≤0） 来解决。 3-4x 4x-3 (g(x)≠0 3)<0. (2)对于不等号右边不为零的较复杂的分 式不等式，先移项再通分（不要去分 母)，使之转化为不等号右边为零，然后 再用上述方法求解。 ⊙[变式训练] 1.(1)若关于x的不等式ax-b>0的解集为 (xx>1,则关于x的不等式4x+0的 x-2 解集为 ·51 数学·必修第一册 A.{x|x<-2或x>1》 ⊙[变式训练] B.{x|1<x<2} 2.如图所示，将一矩形花 N C.{x|x<-1或x>2)》 坛ABCD扩建成一个 D D.{x|-2<x<-1} 更大的矩形花坛 (2)关于x的不等式>0的解集为 AMPN,要求B在AM上，D在AV上，且对 {xx<一1，或x>4},则实数a= 角线MN过点C,已知AB=3米，AD=2米. 题型二元二次不等式的实际应用 (1)要使矩形AMPN的面积大于32平方 [例2]某摩托车生产企业，上年度生产摩托 米，则DN的长应在什么范围？ 车的投入成本为1万元/辆，出厂价为1.2 (2)当DV的长为多少时，矩形花坛AMPN 万元/辆，年销售量为1000辆.本年度为适 的面积最小？并求出最小值 应市场需求，计划提高产品档次，适度增加 投入成本.若每辆车投入成本增加的比例为 x(0<x<1),则出厂价相应的提高比例为 0.75x,同时预计年销售量增加的比例为 0.6x.已知年利润=（出厂价一投入成本）× 年销售量. (1)写出本年度预计的年利润y与投入成本 增加的比例x的关系式； (2)为使本年度的年利润比上年度有所增加， 问投入成本增加的比例x应在什么范围内？ 汇思路点拨了“年利润=（出广价一投入成 本)×年销售量.所以y=一60x2+20x十 200(0<x<1)解不等式， 题型二元二次不等式的恒成立问题 [例3]已知函数y=m,x2+mx+(m一1)的值恒 为负值，求m的取值范围. [思路点拨]讨论m=0和m≠0两种情况. 规律方法 解不等式应用题的步骤 读 阅读理解、认真审题，把握问题中的关键量，找准 不等关系 建 将文字语言转化为符号语言，用不等式表示不等 关系，建立相应的数学模型 解 解不等式，得到数学结论，要注意数学模型中元素 的实际意义 答 回归实际问题，将数学结论还原为实际问题的结果 ·52· 第二章一元二次函数、方程和不等式 规律方法 [提醒]当不等式ax+bx+c>0未说明为 一元二次不等式在R上的恒成立问题 一元二次不等式时，对任意实数x∈R恒成 (1)①一元二次不等式ax2+bx+c>0,对任 立时满足的条件为 、,或/a=b=0, a>0, 1a>0, △<0\c>0. 意实数x∈R恒成立的条件是 0△<0 (2)在给定区间上的恒成立问题 ②一元二次不等式a.x2十bx十c≥0，对任 ①a>0时，a.x2+bx+c<0在x∈{xa≤x 意实数x∈R恒成立的条件是“>0， ≤β}上恒成立台y=a.x2十bx十c在x=,x △≤0； =B时的函数值同时小于0.②a<0时， ③一元二次不等式ax2+bx+c<0,对任 a.x2+bx十c>0在x∈{xa≤x≤3}上恒成 意实数x∈R恒成立的条件是 1a0, 立台y=a.x2十bx十c在x=a,x=B时的函 △<0： 数值同时大于0. ④一元二次不等式a.x2+bx十c≤0，对任 ⊙[变式训练] a0 意实数x∈R恒成立的条件是 3.若/1≤x≤4，不等式x2-(a+2)x+4≥-a △≤0 1恒成立，则实数a的取值范围为 随堂。步步夯实 1.(2025·全国二卷)不等式二>2的解集 5.爱护环境，从点滴做起，让我 们共同守护祖国美丽的蓝天 是 绿水.某施工单位在对一个长800m,宽600 A.{x|-2≤x≤1》 B.{xx≤-2》 m的草坪进行绿化时，是这样想的：中间为 C.{x|-2≤x<1} D.(lx>1) 矩形绿草坪，四周是等宽的花坛，如图所示， 2.2026年12月20日，将迎来澳门回归祖国 若要保证绿草坪的面积不小于总面积的二 27周年，为了迎接这一历史性时刻，某商店 分之一，试确定花坛宽度的取值范围. 购进一批澳门回归27周年纪念章，每枚的 最低售价为15元，若每枚按最低售价销售， 每天能卖出45枚，每枚售价每提高1元，日 销售量将减少3枚，为了使这批纪念章每天 获得600元以上的销售收入，则这批纪念章 的销售单价x(单位：元)的取值范围是 ( ) A.{x10<x<20} B.{x|15≤x<20}》 C.{x|16<x<20} D.{x|15≤x<25》 3.若关于x的不等式ax2-6.x+a2<0的非空 解集为{x1<x<m},则m= 4.若关于x的不等式是kx2-6kx+k+8≥0 @温馨提 在R上恒成立，则实数k的取值范围是 学习至此，请完成配套训练 ·53·数学·必修第一册 综上所述，当a<一 时，原不等式的解集 1 为<-2>日} 当a=一 时，原不等式的解条为{xz≠一21， 当一 2<口<0时，原不等式的解集 为{<合或>-2： 当a=0时，原不等式的解集为{x|x>一2}； 当Q>0时，原不等式的解集为{z -<} 第2课时 一元二次不等式解法的应用 课前预习学案 情境引入 提示：不等价；{xl0<x<1} 知识梳理 知识点一、(1)0台f(x)·g(x)>0(2)f(x)·g(x)≤0 g(x)≠0 预习自测 1.C2.B3.(1,3) 课堂互动学案 [例1][解](1)原不等式等价于 -00 (x-1<0 解得x>3或-2<x<1. 原不等式的解集为{xx>3,或一2<x<1}. (2)原不等式可化为-1>0，即号<0，等价于 4x-3 (3x-2)(4x-3)0, 号<< 原不等式的解集为{号<<是} [例2][解](1)由题意，得y=[1.2×(1+0.75x)-1× (1+x)]×1000×(1+0.6.x)(0<x<1),整理得y= -60x2+20x+200(0<x<1). (2)要保证本年度的利润比上年度有所增加，当且仅 当y-(1.2-1)X1000>0, 0<x<1, 即{厂60x2+20x>0, 10<x<1, 解不等式组，得0<<宁， 所以为保证本年度的年利润比上年度有所增加，投入成 本增加的此例x的范固为{红0<<号} [例3][解]函数y=m.x+m.x+(m一1)的值恒为负 值，即不等式m.x+十mx+(m-1)<0对一切实数x都成 立，于是 ①当m=0时，一1<0恒成立： ②当m≠0时，要使其恒成立， 则有∫m<0, 解得m<0. ”1△=m2-4m(m-1)<0, 综上，m的取值范围为{mm≤0}. ·3 变式训练 1.解析：(1)因为关于x的不等式ax一b>0的解集为{x|x >1,所以a=6>0,片以不等式安0学价于昌 x-2 >0,即(x十1)(x-2)>0,解得x<一1或x>2.所以关 于x的不等式岁0的解集为<-1或>2. (2)2>0a(+10x-a>0. 又因为原不等式的解集为{xx<一1，或x>4}, 所以(x十1)(x一4)>0，所以a=4. 答案：(1)C(2)4 2.解：(1)设DN=x米(x>0),BM=y米(y>0),则由 △NDC与△NAM相似得 千23些理得y= 矩形AMPN的面积S=AN·AM=(x十2)· (3+)即s=3x+2+12. 当S>32时，得3x+12+12>32, 整里得3x-2)(x-6)>0,解得>6或x<号， 又x>0,所以DN的长的范围为 {知0K<号或>} (2)x>0时，3x+12≥232.里=12， x 当且仅当3x=12,即x=2时等号成立. x 所以S≥12+12=24， 所以当DN的长为2米时，矩形花坛AMPN的面积最 小，最小值为24平方米. 3.解析：H1≤x≤4，不等式x2-(a十2)x十4≥-a-1恒 成立，即V1≤x≤4，a(.x-1)≤x2-2x十5恒成立. ①当x=1时，不等式为0≤4恒成立，此时a∈R: ②当1<≤4时，a≤t-22+5=z-1十4 x一1 -1 1<x4,.0<x一13， -1+≥2√-10·2气=4（当且仅当x-1 4 一与，即x=3时取等号). 4 a≤4. 综上，实数a的取值范围为{aa≤4. 答案：{aa≤4} 随堂步步夯实 1.C2.B 3.2 4.{k0k1} 5.解：设花坛的宽度为xm, 则草坪的长为(800一2x)m,宽为(600一2x)m, 根器题毫得(80-2x·(60-2x)≥号×800×60， 整理得x2一700x十60000≥0， 30 参考答案 解不等式得x≥600（舍去）或x≤100， 2a+b=1, 由题意知x>0,所以0<x100 a4 当且仅当， b=4a,即 时等号成立 当x在(0,100]之间取值时，绿草坪的面积不小于总面 (a-b, \b2 积的二分之一。 1 章末归纳提升 a 2的最小值为8 归纳提升 [例1][解析](1)因为c<a.且ac<0,所以c<0,a>0. (2a+答=1.2a+后=2. A成立，因为c<b,所以ac<ab,即ab>ac 又a是正数，b也是正数， B成立，因为b<a,b-a<0, ∴y=a√1+b=Wa·(1+6) 所以c(b-a)>0. C不一定成立，当b=0时，cb<ab不成立. =2·2m1+6)≤2.2a+,1+b √2 2 2 D成立，因为c<a,所以a-c>0, 所以ac(a-c)<0. =厄 (2),x2+6.x+10=(x+3)2+1>0, r2a=1+b, a= .原不等式的解集为心.] 2 当且仅当十名三，即 。时， (3)因为-2<b<-1,所以1<-b<2. 又因为2<a<3,所以2<-ab<6, a>0,b>0, 6= 所以-6<ab<-2. y=a+6有接大值E. 因为-2<b<-1,所以1<b<4. 因为2a<8,所以日<<分 [答案]182)厄 所以}<在<2. [例4][解]y<-m十5恒成立. 3 a 即m(x2-x+1)-6<0恒成立， 所以ab的取值范国为一6<ab<一2，。的取值范国为 :-x+1=(-）+是>0， 1<6<2. 又m(x2-x+1)-6<0, 3 a [答案](1)C(2)A .m2+1 6 [例2][解](1)原不等式等价于 (z2+2x-1>-1, 6 6 y= 在1x3上的最小 {x2+2x-1≤2， x2-x+1 即/+2>0， (-)+ ① {x2+2x-3≤0， ② 值为号只高m<号即可。 由①得x(x+2)>0, 所以x<一2或x>0: m的取位范阔为{mm<号} 由②得(x+3)(x一1)0， [例5] [解]y=112 所以3x1. (2x+1×2）+96 将①②的解集在数轴上表示出来，如图. (e+19×3）+10×160=320×(+2）+1600≥ 开 26240. 求其交集得原不等式的解集为{x一3≤x<一2，或0<x 此时，2=256，即=16时，取得最小值. ≤1}. 最小值为26240元. (2)当m=0时，-3<0恒成立，解集为R. 变式训练 当m≠0时，二次项系数m>0,△=16m>0,不等式化 1.(1)解析：AD[因为a>1,所以<1，所以A正确；若 为(m.x十3)(mx一1)<0. 当>0时，解集为{-品<} a+c>6,可令a=1,c=1.6=-1,则有日>方故B错 当<0时，解为{品<-品} 1 误：对于C,可取a=之则u<,故C错误：因为ar> [例3][解析](1)：a>0,b>0,且2a+b=1, bc,所以c2>0,所以a>b,故D正确.] a b.4a=8, =4++≥4+2·号 =,b+6-Q a b ·381