2.3 第1课时 一元二次不等式的解法-【创新教程】2026-2027学年高中数学必修第一册五维课堂同步复习（人教A版）

第二章一元二次函数、方程和不等式 2.3二次函数与一元二次方程、不等式 第1课时一元二次不等式的解法 课程标准 素养解读 1.理解一元二次方程、一元二次不等式与二次函数的关系 通过求一元二次方程的解集及根 2.掌握图象法解一元二次不等式 与系数关系的应用，提升逻辑推 3.会对含参数的一元二次不等式分类讨论 理和数学运算素养 课前。预习学案 [情境引入] [知识点二]二次函数的零点 利用恒等式的变形，推导一元二次方程根与系 般地，对于二次函数y=ax2十bx十c(a≠0)， 数的关系如下 我们把使 的实数x叫做二次函 设一元二次方程a.x2+bx+c=0(a≠0)，两根 数y=ax2十bx+c的零点. 为x1,x2, 2思考3.二次函数y=a.x2+bx十c的零点 令a.x2+bx十c=a(x-x1)(x-x2)=ax2-a 是点吗？ (x1+x2)x十ax1x2, 6 -a(x1十x2), x1十x2= a 知识点三]二次函数与一元二次方程、不等 axx2 x1X2= 式的解的对应关系 [知识梳理] 1.对应关系 [知识点一] 一元二次不等式 △>0 △=0 △<0 1.一般地，我们把只含有 未知数，并且 未知数的最高次数是 的不等式，称为 y=ax2+ bx+c(a 一元二次不等式 0)的图象 2.一元二次不等式的一般形式是 或 (其中a,b,c均为常数，a≠0). 有两个不相 有两个相等 ax+bx+c 2思考1，不等式+2>0是一元二次不等 等的实数根 的实数根 没有实 =0(a>0) i(< 1=x2= 数根 式吗？ 的根 x2) b 2a 2.一元二次不等式的一般形式中“a≠0”可以 省略吗？ ax+bx+c >0(a>0) 的解集 ax2+bx+c 0(a>0) 的解集 47· 数学·必修第一册 2.本质：一元二次方程、一元二次不等式是一 [预习自测灯 元二次函数y=ax2+bx十c(a≠0)的特殊 1.不等式-2x2+x十3<0的解集是( 情况，它们之间是一种包含关系，也就是当 A.{xx<-1} B.> y=0时，函数y=ax2+bx十c(a≠0)就转化 为方程，当y>0或y<0时，就转化为一元 Ca-1<<}D{z<-1,或x> 二次不等式. 2.下面四个不等式中解集为R的是() 3.应用：①解一元二次不等式；②已知一元二 A.-x2+x+1≥0 次不等式的解集求参数. B.x2-2√5x+5>0 2思考4.当△=0时，不等式ax2+bx十c≥0 C.x2+6.x+10>0 (a>0)与a.x2+bx+c≤0(a>0)的解集分 D.2x2-3x+4<0 别是什么？ 3.若二次函数y=a.x2十bx十c(a<0)的图象 与x轴的两个交点为（一1,0）和(3,0)，则不 等式a.x2+bx+c<0的解集是 课堂。互动学案 题型一 一 元二次不等式的解法 规律方法 [例1]解下列不等式： 一元二次不等式的两种解法 (1)2x2+5.x-3<0; (1)图象法：一般地，当a>0时，解形如 (2)-3.x2+6x≤2； (3)4x2+4x+1>0; ax2+bx+c>0(或≥0)或ax2+bx+G (4)-x2+6x-10>0. <0(或≤0)的一元二次不等式，一般 汇思路点拔了先求对应方程的解，再依据 可分为三步： 二次函数的图象写出不等式的解集， ①确定对应方程ax2十bx十c=0的解； ②画出对应函数y=a.x2十bx十c的图象； ③由图象得出不等式的解集. 对于a<0的一元二次不等式，可以直 接采取类似a>0时的解题步骤求解； 也可以先把它化成二次项系数为正的 一元二次不等式，再求解， (2)代数法：将所给不等式化为一般式后借 助分解因式或配方求解，当p<q时，若 (x-p)(x-q)>0,则x>q或x<p; 若(x一p)(x一q)<0,则p<x<q.有 口诀如下“大于取两边，小于取中间” ·48· 第二章一元二次函数、方程和不等式 ⊙[变式训练] ⊙[变式训练] 1.解下列不等式： 2.解关于x的不等式x2+(1-a)x-a<0. (1)x2-x-6>0; (2)25.x2-10x+1>0; (3)-2x2+x+1<0. 题型二含参数的二元三次不等式的解法 [例2]解关于x的不等式a.x2-(a十1)x十1 0 思路点拨]分a=0和a≠0两种情况 讨论 题型三 三个三次”关系的应用 [例3](1)（多选）已知关于x的一元二次不 等式a.x2+bx+c≥0的解集为{x|x≤-2 或x≥1}，则 () A.b>0且c<0 B.4a+2b+c=0 C.不等式bx+c>0的解集为{x|x>2》 D.不等式cx2一bx+a<0的解集 为-1<} 规律方法 (2)若不等式a.x2+bx+2>0的解集是{x 含参数的一元二次不等式的解法 讨论二次 二次项若含有参数应讨论是等于0，小于0， -号<r<},则u+b= 项系数 还是大于0，然后将不等式转化为二次项系 数为正的形式 汇思路点拨] 设-元二次方程a.x2+bx+ 判断方程 判断方程的根的个数，讨论判别式△与0 根的个数 的关系 c=0(a≠0)的两个根为x1,x2,则x1十x2 确定无根时可直接写出解集，确定方程有 6 写出解集 两个根时，要讨论两根的大小关系，从而 21x2= 确定解集形式 a a ·49· 数学·必修第一册 规律方法 ⊙[变式训练] 一元二次不等式解集逆向应用问题的解法及步骤 3.若关于x的不等式ax2+bx十c>0的解集 (1)求解方法： 为{x|一3<x<4},求关于x的不等式 由已知不等式的解可转化为一元二次 bx2+2a.x-c-3b<0的解集. 方程的两根，从而由根与系数的关系， 找出系数a,b,c之间的关系，写出不等 式的解集. (2)求解步骤： 第一步：审结论—明确解题方向 如要解cx2十bx十a<0,首先确定c的 符号，最好能确定a,b,c的值. 第二步：审条件—挖掘题目信息 利用一元二次方程的根与一元二次不 等式的解集的关系列出关于a,b,c的 方程组，用a表示b,c. 第三步：建联系—找解题突破口 由给定不等式的解集形式→确定关于a, b,c的方程组→用a表示b,c→代入所求 不等式→求解cx2十bx十a<0的解集. 随堂。步步夯实 1.集合A={x-2≤x≤2，B={xx2-5x- 4.方程x2+(m一3)x+m=0有两个实根，则 6≤0}，则(CRA)UB= 实数m的取值范围是 A.{xx<-2或x>2} B.{x2<x≤6》 5.解关于x的不等式ax2+(2a-1)x-2<0. C.{xx<-2或x≥-1} D.{x|2≤x≤3 2.（多选)关于x的不等式mx2-a.x一1>0(m >0)的解集不可能是 () A{<-1,或>} B.R c{-}<} D.0 3.已知集合A={x1<x<2},B={x|x2 2a.x十a2-1<0},若A二B,则实数a的取值 C温馨提西 学习至此，请完成配套训练 范围是 第2课时 一元二次不等式解法的应用 课程标准 素养解读 1.会解简单的分式不等式 通过求方程组解集，提 2.通过三个“二次间的关系”解简单一元二次不等式恒成立问题 升数学运算、数学抽象 3.能够从实际生活和生产中抽象出一元二次不等式的模型，并加以 和逻辑推理素养 求解 ·50·数学·必修第一册 变式训练 1.解：(1)xy=2x+8y≥2/16.xy,当且仅当2x=8y, 即x=16,y=4时等号成立， .xy≥8，.xy≥64， xy的最小值为64. (2)由2x+8y=xy,得2+8=1， y t +y=+0(仔+）10+号+婴≥10+8 y =18, 当且仅当2=8y yx 即x=12,y=6时等号成立， ∴x十y的最小值为18. 2.BC[由题可得m<3x+6+2x+4恒成立. 2zy (x+2y)2=4=2x+4y, m<3x+6y+2z+4y=3x2+6y+(x+2) 2xy 2xy 4x2+10y+4zy=2x+5y+2, 2xy 6号+芝≥2层变=2而，自且收事2=5， 即x=4而-10-8-2而时取等号， 3 3 则m<2√10+2≈8.] 3.解：(1)根据题意，y=30x一64-(x+4x) =-x2+26x-64, 故y关于x的函数关系式为y=一x+26x-64(x∈N”). (2)由(1)知盈利总额y=-x2+26.x-64(x∈N), 则年平均盈利额W=一x十26x一64 到w=8-(+兰）国为+4≥2一夏-16（当 且仅当x=8时取等号)，所以W26一16=10万元， 故该设备使用8年后年平均盈利颜取得最大值，最大值 为10万元. 随堂步步夯实 1.D2.A 3.2+√3 4{au≥5} 5,解：设该厂每x天购买一次面粉.其购买量为6x吨. 由题意可知，面粉的保管费及其他费用为 3×[6x+6(x-1)+6(x-2)+…+6×1]=9x(x+1) 设平均每天所支付的总费用为y1元， 则=1[9x(x+1)+900]+6×1800=9z+900+ x 10809≥2√9x 90+10809=10989(元)， x 当且仅当9x=,即x=10时，等号成立， 所以该厂每10天购买一次面粉，才能使平均每天所支付 的总费用最少 ·31 2.3二次函数与一元二次方程、不等式 第1课时 一元二次不等式的解法 课前预习学案 知识梳理 知识点一、l.一个22.a.x+bx+c>0a.x+bx十c<0 知识点二、ax2十bx十c=0 知识点三、{xx<x1,或x>x} {≠-}Ra x1<x<x2}00 [思考] 1.提示：不是，一元二次不等式一定为整式不等式 2.提示：不可以，若a=0,就不是二次不等式了， 3.提示：不是，二次函数y=a.x2十bx十c的零点是方程 a.x2+bx十c=0的根. 4提示R女=会} 预习自测 1.D2.C3.{x|x>3,或x<-1} 课堂互动学案 [例1][解](1)4=49>0，方程2x2+5.x-3=0的两根 为x1=-3,x2=2, 1 作出函数y=2x2+5x-3的图象，如图①所示. 由图可得原不等式的解集为{x-3<<名。 AY (2)原不等式等价于3x2-6.x十2≥0.△=12>0，解方程 3x-6x+2=0,得，=35，x,-3+5 31 3 作出函数y=3x2一6x十2的图象，如图②所示，由图可 得原不等式的解集为 {e3或≥3} 3 (3)△=0，.方程4x2十4x十1=0 1 有两个相等的实根x1=x2=一 2 作出函数y=4x2十4x十1的图象如 图③所示. 10 由图可得原不等式的解集为 ③ {≠-方eR} (4)原不等式可化为x一6x十100， △=一4<0， ∴.方程x一6.x+10=0无实根， ∴.原不等式的解集为⑦」 8 [例2][解]①当a=0时，原不等式即为一x十1<0，解得 x>1. ②当a<0时，原不等式化为(-日)）x-1)>0,解得x <或x>1 圆当u>0时，原不等式化为(2-)x-1)<0. 若a=1,即1=1时，不等式无解； a 若a>1,即1<1时，解得<<1： a a 若0<a<1,即1>1时，解得1<< a a 综上可知，当a<0时，不等式的解集 为{<日成>} 当a=0时，不等式的解集为{x|x>1}: 当0Ka<1时，不等式的解集为{1<日}： 当a=1时，不等式的解集为心； 当a>1时，不等式的解集为 {<x<1} [例3][解析](1)依题意可得方程a.x2+bx十c=0的 根为x=一2或x=1,且a>0, 所以 2+1=- a'即b=a,c=-2a. -2×1=￡， 对于A,由a>0可得b=a>0,c=一2a<0,故A正确； 对于B,易知4a十2b+c=4a>0,故B错误；对于C,不等 式bx十c>0,即a.x-2a>0,可得x>2,所以不等式bx十 c>0的解集为{x|x>2},故C正确：对于D,不等式 cx2-bx十a<0,即-2a.x2-ax+a<0,即2x2+x-1> 0,所以(2x-1D(+1D>0,解得x>号或<-1，脚不 等式c-6虹+a<0的解集为{<-1成>号} 故D错误」 (2)由已知得， ar+br+2=0的解为-分，号，且a<0. ∫=-+g 解得=-12， 1 {b=-2, ∴.a+b=-14. [答案](2)-14(1)AC 变式训练 1.解：(1)方程x2-x一6=0的两根为x1=一2，x2=3,结 合二次函数y=x一x一6的图象知x一x一6>0的解 集为{xx>3,或x<-2}. 1 (2)方程25x2-10x+1=0的两相等实根，z=x=方， 结合二次函数y=25.x-10x十1的图象知25x2-10x十1 >≥0的解桑为{≠号} ·31 参考答案 (3)方法一：方程-2.x2十x+1=0的 解为x1=一 2,x=1,函数y= 2x2十x十1的图象是开口向下的抛物 线，与工轴的文点为（-20）和 (1,0),如图， 观察因象知不等式的解集为{z<-是，或>l} 方法二：在不等式两边同乘一1，可得 2x2-x-1>0,方程2x2-x-1=0的 1 解为x=-2x,=1:画出函数)= 10 2x2一x一1的图象如图所示. 观察图象，可得原不等式的解案为{<一子或>}， 2.解：方程x2十(1-a)x-a=0的解为x1=1,x2=a,函 数y=x2+(1一a)x一a的图象开口向上，则当a<-1 时，原不等式解集为{xa<x<-l}: 当a=一1时，原不等式解集为⑦： 当a>一1时，原不等式解集为{x一1<x<a}. 3.解析：，a.x2+bx十c>0的解集为{x-3<x<4}, ∴.a<0且-3和4是一元二次方程a.x2+bx十c=0的 两根， -3+4=-b tb=一a ,解得 -3×4=台 c=-12a ∴.不等式bx2+2a.x-c-3b<0 可化为-a.x+2a.x+15a<0, 即x2-2x-15<0, ∴.-3<x5, ∴.所求不等式的解集为{x|一3<x<5. 随堂步步夯实 1.C 2.BCD 3.{a|1≤a2} 4.m1或m≥9 5.解：原不等式即为(a.x-1)(x+2)<0. ①当a=0时，一x-2<0,解得x>一2，故不等式的解集 为{xx>-2}; @当a>0时， ->一2，解原不等式可得一2<x< 1.此 时原不等式的解集为{-2<<日}： ③当 <a<0时，<-2，解原不等式可得<成 >-2,此时，原不等式的解案为{红<日或>-2}： @当a=一合时，原不等式即为-(x+2)<0,解得 ≠一2，此时，原不等式的解集为{xx≠一2}； 同当a<-2时，日>-2，解原不等式可得2<-2或x >日，此时，原不等式的解集为{<-2或>} 9 数学·必修第一册 综上所述，当a<一 时，原不等式的解集 1 为<-2>日} 当a=一 时，原不等式的解条为{xz≠一21， 当一 2<口<0时，原不等式的解集 为{<合或>-2： 当a=0时，原不等式的解集为{x|x>一2}； 当Q>0时，原不等式的解集为{z -<} 第2课时 一元二次不等式解法的应用 课前预习学案 情境引入 提示：不等价；{xl0<x<1} 知识梳理 知识点一、(1)0台f(x)·g(x)>0(2)f(x)·g(x)≤0 g(x)≠0 预习自测 1.C2.B3.(1,3) 课堂互动学案 [例1][解](1)原不等式等价于 -00 (x-1<0 解得x>3或-2<x<1. 原不等式的解集为{xx>3,或一2<x<1}. (2)原不等式可化为-1>0，即号<0，等价于 4x-3 (3x-2)(4x-3)0, 号<< 原不等式的解集为{号<<是} [例2][解](1)由题意，得y=[1.2×(1+0.75x)-1× (1+x)]×1000×(1+0.6.x)(0<x<1),整理得y= -60x2+20x+200(0<x<1). (2)要保证本年度的利润比上年度有所增加，当且仅 当y-(1.2-1)X1000>0, 0<x<1, 即{厂60x2+20x>0, 10<x<1, 解不等式组，得0<<宁， 所以为保证本年度的年利润比上年度有所增加，投入成 本增加的此例x的范固为{红0<<号} [例3][解]函数y=m.x+m.x+(m一1)的值恒为负 值，即不等式m.x+十mx+(m-1)<0对一切实数x都成 立，于是 ①当m=0时，一1<0恒成立： ②当m≠0时，要使其恒成立， 则有∫m<0, 解得m<0. ”1△=m2-4m(m-1)<0, 综上，m的取值范围为{mm≤0}. ·3 变式训练 1.解析：(1)因为关于x的不等式ax一b>0的解集为{x|x >1,所以a=6>0,片以不等式安0学价于昌 x-2 >0,即(x十1)(x-2)>0,解得x<一1或x>2.所以关 于x的不等式岁0的解集为<-1或>2. (2)2>0a(+10x-a>0. 又因为原不等式的解集为{xx<一1，或x>4}, 所以(x十1)(x一4)>0，所以a=4. 答案：(1)C(2)4 2.解：(1)设DN=x米(x>0),BM=y米(y>0),则由 △NDC与△NAM相似得 千23些理得y= 矩形AMPN的面积S=AN·AM=(x十2)· (3+)即s=3x+2+12. 当S>32时，得3x+12+12>32, 整里得3x-2)(x-6)>0,解得>6或x<号， 又x>0,所以DN的长的范围为 {知0K<号或>} (2)x>0时，3x+12≥232.里=12， x 当且仅当3x=12,即x=2时等号成立. x 所以S≥12+12=24， 所以当DN的长为2米时，矩形花坛AMPN的面积最 小，最小值为24平方米. 3.解析：H1≤x≤4，不等式x2-(a十2)x十4≥-a-1恒 成立，即V1≤x≤4，a(.x-1)≤x2-2x十5恒成立. ①当x=1时，不等式为0≤4恒成立，此时a∈R: ②当1<≤4时，a≤t-22+5=z-1十4 x一1 -1 1<x4,.0<x一13， -1+≥2√-10·2气=4（当且仅当x-1 4 一与，即x=3时取等号). 4 a≤4. 综上，实数a的取值范围为{aa≤4. 答案：{aa≤4} 随堂步步夯实 1.C2.B 3.2 4.{k0k1} 5.解：设花坛的宽度为xm, 则草坪的长为(800一2x)m,宽为(600一2x)m, 根器题毫得(80-2x·(60-2x)≥号×800×60， 整理得x2一700x十60000≥0， 30