2.2 第2课时 基本不等式的应用-【创新教程】2026-2027学年高中数学必修第一册五维课堂同步复习（人教A版）

第二章一元二次函数、方程和不等式 随堂。步步夯实 1.下列不等式成立的是 ( 4.若a>0,b>0.a+b=2.则下列不等式①ab≤1， A.abatb B.aba @a+<,@u+6≥2，④+古2对满 a C.a+b≥2√ab D.a+b≤2√ab 足条件的a,b恒成立的是 (填序号) 5.已知a>0,b>0,a+b=ab.求证： 2.(2025·北京卷)已知a>0,b>0,则 A.a2+62>2ab B1+11 〔1+01+是 C.a+b>√ab 3.已知a,b是不相等的正数，x=6十 ,y= 2 C温馨提污 √a+b,则x,y的大小关系是 学习至此，请完成配套训练 第2课时 基本不等式的应用 课程标准 素养解读 举提基木不等式0≤“士(a,b≥0.结合具体实倒，能用 通过学习基本不等式及其应用， 重点提升数学运算、逻辑推理、数 基本不等式解决简单的最大值或最小值问题 学建模素养 课前。预习学案 [情境引入] [知识梳理] (1)某养殖场要用100米的篱 [知识点] 笆围成一个矩形的鸡舍，怎样 1.用基本不等式求最值. 设计才能使鸡舍面积最大？ ①设x,y为正实数，若x十y=s(s为定值)， (2)某农场主想用篱笆围成一个10000平方 则当x=y=时，积xy有最大值为 米的矩形农场，怎样设计才能使所用篱笆最 ②设x,y为正实数，若xy=p(p为定值)， 省呢？ 则当x=y=√p时，和x十y有最小值 [问题]实例中两个问题的实质是什么？如 为 何求解？ 2.基本不等式求最值的条件 ①x,y必须是正数. ②求积xy的最大值时，应看和x+y是否 为定值；求和x十y的最小值时，应看积xy 是否为定值 ③等号成立的条件是否满足. ·43· 数学·必修第一册 [预习自测] 2.已知正数，y满足8+1=1，则c十2y的 y 1.若+1(x>1)在=：处取得最小值， x-1 最小值是 ( A.18 B.16 C.8 D.10 则t等于 ( 3.已知正数a,b满足ab=10,则a十b的最小 A.1+√2 B.2 C.3 D.4 值是 ● 课堂。 互动学案 题型一 利用基本不等式求最值 规律方法 [例)若x>0,求函数y=x+的最小 1.常数代换法求最值的方法步骤 常数代换法适用于求解条件最值问题， 值，并求此时x的值； 应用此种方法求解最值的基本步骤为： (2)设0<x<含，求函数y=4x(3-2x)的最 (1)根据已知条件或其变形确定定值（常数）. (2)把确定的定值（常数）变形为1. 大值； (3)把“1”的表达式与所求最值的表达式相 (3)已知x>2,求x+x-2的最小值. 乘或相除，进而构造和或积的形式. 思路点拨(1)直接应用基本不等式求 (4)利用基本不等式求解最值. 最值 2.含有多个变量的条件最值问题的解决 (2)y=4x(3-2x)=2[2x(3-2x)]. 方法 对含有多个变量的条件最值问题，若无 (3)x+2x-2+2+2. 4 法直接利用基本不等式求解，可尝试减 (4)利用基本不等式求最值，“一正、二定、 少变量的个数，即用其中一个变量表示 三相等”三个条件缺一不可. 另一个，再代入代数式中转化为只含有 一个变量的最值问题. 3.应用基本不等式求最值的原则 利用基本不等式求最值，必须按照“ 正，二定，三相等”的原则，即： (1)-正：特合基本不等式士≥5成立 的前提条件，a>0,b>0; (2)二定：化不等式的一边为定值； (3)三相等：必须存在取“=”号的条件，即 “=”号成立.以上三点缺一不可 4.基本不等式的常见变形 (1)a+b≥2√ab; (2)ab≤ ≤诗岁（关中a>0620 当且仅当a=b时等号成立)】 ·44· 第二章一元二次函数、方程和不等式 ◇[变式训练] 题型利用基本不等式解决实际问题 1.已知x>0,y>0,且2x+8y-xy=0.求： [例3]某房地产开发公司计划在一楼区内建造 (1)xy的最小值； 一个长方形公园ABCD,公园由长方形 (2)x+y的最小值. AB,C,D,的休闲区和环公园人行道（阴影部 分)组成.已知休闲区ABCD1的面积为 4000平方米，人行道的宽分别为4米和10米 (如图所示). 14米 工4米 10米 10米 题型二利用基本不等式求参数的值（范围）] (1)若设休闲区的长和宽的比 B C =x(x>1) [例2习已知a>0,>0,若不等式名+方≥ 求公园ABCD所占面积S关于x的函数解 析式； 2牛6恒成立，则m的最大值等于 ( (2)要使公园所占面积最小，则休闲区 A.10 B.9 C.8 D.7 AB,CD,的长和宽该如何设计？ [思路点拨]a>0,b>0时， [思路点拨了设出长和宽，列出面积公式. b2a+b 恒成立，等价于m≤(2+)侣+}包成 立，利用基本不等式求解. 规律方法 含参数不等式的求解策略 (1)观察题目特点，利用基本不等式确定相关 成立条件，从而得参数的值或取值范围 (2)在处理含参数的不等式恒成立问题时， 规律方法 往往将已知不等式看作关于参数的不 利用基本不等式解决实际问题的步骤 等式，体现了主元与次元的转化， 解实际问题时，首先审清题意，然后将实际问 (3)恒成立问题：若f(x)在区间D上存在 题转化为数学问题，再利用数学知识（函数及 最小值，则不等式f(x)>A在区间D 不等式性质等)解决问题.用基本不等式解决 上恒成立台f(x)mim>A;若f(x)在区间 此类问题时，应按如下步骤进行： D上存在最大值，则不等式f(x)<B在 (1)先理解题意，设变量.设变量时一般把要 区间D上恒成立台f(x)ax<B. 求最大值或最小值的变量定为函数. ◇[变式训练] (2)建立相应的函数关系式.把实际问题抽象 2.（多选)已知正实数x,y满足x十2y=2,若 为函数的最大值或最小值问题. 不等式3x2-2m2xy+6y2+2x+4y>0恒 (3)在定义域内，求出函数的最大值或最 成立，则实数m的值可以为 () 小值 A.-4 B.-2 C.1 D.3 (4)正确写出答案， ·45· 数学·必修第一册 ⊙[变式训练] (2)求该设备的年平均盈利额的最大值（年 3.某企业2026年年初花费64万元购进一台 平均盈利额=盈利总额÷使用年数). 新的设备，并立即投入使用，该设备使用后， 每年的总收入预计为30万元，设备使用x (x∈N)年后该设备的维修保养费用为 x2+4x万元，盈利总额为y万元. (1)求y关于x的函数关系式； 随堂。步步夯实 1.已知>-2，则x+,2的最小值为（) 厂多少天购买一次面粉，才能使平均每天所 支付的总费用最少？ A-号 B.-1 C.2 D.0 2.某公司租地建仓库，每月土地占用费y1与 仓库到车站的距离成反比，而每月库存货物 的运费y2与到车站的距离成正比.如果在 距离车站10千米处建仓库，这两项费用y 和y2分别为2万元和8万元，那么要使这 两项费用之和最小，仓库应建在离车站 () A.5千米处 B.4千米处 C.3千米处 D.2千米处 3.已知a>0,b>0,3a+b=2ab,则a+b的最 小值为 4.若对任意>0,22+3x+ ≤a恒成立.则a 的取值范围是 5.某食品厂定期购买面粉，已知该厂每天需用 面粉6吨，每吨面粉的价格为1800元，面 粉的保管费及其他费用为平均每吨每天3 C温馨提 学习至此，请完成配套训练 元，购买面粉每次需支付运费900元.求该 ·46·所以（台+台-）+（后+后-）+（侣+冬-）>3， mbtc-atatc-b+atb-c>3. a b c 变式训练 1A国为>>0，所以治危=瓜V画 ≤十6 2 a+6 2(a2+6) 4 @-史，备且仪当 4 a=b时，等号成立， ≤<产 2 2.D[对于A,若a=-1,b=1,则名+号=-2，故A错 误；对于B,因为(a-b)2≥0，所以a+b≥2ab,所以 ++2a≥a*(告学) ≥ab,当且仅当a=b时取 4 等号，故B错误；对于C,若a=-1,b=一1，则a+b= -2<2√Tab=2,故C错误：对于D,因为(a十b)2≥0， 所以a+b+2ab≥0，即a+b≥-2ab,当且仅当a= 一b时取等号，故D正确.] 3.证明：x>0,y>0,x十2y=1, (+2)+）=（+2生)+) (3+)+)18+(偿+)≥1+2②·哥 =25,当且仅当=号，即y=x=2时，等号成立， “(+)+)）≥25. 随堂步步夯实 1.A2.C 3.x<y 4.①③④ 5.证明：因为a>0,b>0,所以ab=a十b≥2√ab,当且仅当 a=b=2时取等号，即有ab≥4，于是得 (+）+)=1+2+6+品=1+由+ ab ab 2+品≤2+片=是所以+)+岩）号成立. 第2课时基本不等式的应用 课前预习学案 情境引入 提示这两个都是求最值问题，第一个问题是矩形周长 一定，即长x与宽y的和一定，求xy的最大值，xy≤ (告）=25=625，当且仅当=y=25时取等号，即 鸡合为正方形，长与宽各为25米时鸡舍面积最大.第二 个问题是矩形面积一定，求矩形长x与宽y之和最小 值，x+y≥2√xy=2W√10000=200，当且仅当x=y= 100时取等号，即当农场为正方形，边长为100米时，所 用篱笆最省。 ·31 参考答案 知识梳理 知识点、1.2√p 预习自测 1.B2.A3.210 课堂互动学案 [例1][解](1)，x>0, 当且仅当x=即x=4,x=2时取等号 “函数y=x十4(x>0)在x=2时取得最小值4. (2)0<<是3-2a>0 ∴.y=4.x(3-2x)=2[2x(3-2x)] ≤22x+(8-221=9 2 21 当且仅当2x=3-2,即x=子时，学号成主. :是∈02) 画数y=4r(3-2)(0<<号)的最大值为号. (3)x>2,.x-2>0, x十 x-2 ≥2-2+2=6 当且仅当x-2=4 -2' 即2=4时，学号成立∴十2的最小值为6 [例2][解析]因为a>0,b>0,所以2a+b>0, 所以要使2+名>6血成主， 只需m≤2a+6(径+b)拉成立. 而2a+》(侣+古）4+积+2+1≥5+4=0，音且 仅当a=b时，等号成立，所以m≤9. [答案]B [例3][解](1)设休闲区的宽为a米，则长为a.x米，由 ax=4000,得a=20V 则S=(a+8)(ax+20)=a2x+(8x+20)a+160 -4000+(8x+20).20yD+160 a =80√10(2√元+5)+4160(x>1). x (2)因为80√0(2元+5)+4160≥80√10× x 2,2F×2+4160=1600+4160=5760,当且仅当 2=5,即r=2.5时，等号成立，此时a=40,ax= 100,所以要使公园所占面积最小，休闲区ABC1D1应 设计为长100米，宽40米. 数学·必修第一册 变式训练 1.解：(1)xy=2x+8y≥2/16.xy,当且仅当2x=8y, 即x=16,y=4时等号成立， .xy≥8，.xy≥64， xy的最小值为64. (2)由2x+8y=xy,得2+8=1， y t +y=+0(仔+）10+号+婴≥10+8 y =18, 当且仅当2=8y yx 即x=12,y=6时等号成立， ∴x十y的最小值为18. 2.BC[由题可得m<3x+6+2x+4恒成立. 2zy (x+2y)2=4=2x+4y, m<3x+6y+2z+4y=3x2+6y+(x+2) 2xy 2xy 4x2+10y+4zy=2x+5y+2, 2xy 6号+芝≥2层变=2而，自且收事2=5， 即x=4而-10-8-2而时取等号， 3 3 则m<2√10+2≈8.] 3.解：(1)根据题意，y=30x一64-(x+4x) =-x2+26x-64, 故y关于x的函数关系式为y=一x+26x-64(x∈N”). (2)由(1)知盈利总额y=-x2+26.x-64(x∈N), 则年平均盈利额W=一x十26x一64 到w=8-(+兰）国为+4≥2一夏-16（当 且仅当x=8时取等号)，所以W26一16=10万元， 故该设备使用8年后年平均盈利颜取得最大值，最大值 为10万元. 随堂步步夯实 1.D2.A 3.2+√3 4{au≥5} 5,解：设该厂每x天购买一次面粉.其购买量为6x吨. 由题意可知，面粉的保管费及其他费用为 3×[6x+6(x-1)+6(x-2)+…+6×1]=9x(x+1) 设平均每天所支付的总费用为y1元， 则=1[9x(x+1)+900]+6×1800=9z+900+ x 10809≥2√9x 90+10809=10989(元)， x 当且仅当9x=,即x=10时，等号成立， 所以该厂每10天购买一次面粉，才能使平均每天所支付 的总费用最少 ·31 2.3二次函数与一元二次方程、不等式 第1课时 一元二次不等式的解法 课前预习学案 知识梳理 知识点一、l.一个22.a.x+bx+c>0a.x+bx十c<0 知识点二、ax2十bx十c=0 知识点三、{xx<x1,或x>x} {≠-}Ra x1<x<x2}00 [思考] 1.提示：不是，一元二次不等式一定为整式不等式 2.提示：不可以，若a=0,就不是二次不等式了， 3.提示：不是，二次函数y=a.x2十bx十c的零点是方程 a.x2+bx十c=0的根. 4提示R女=会} 预习自测 1.D2.C3.{x|x>3,或x<-1} 课堂互动学案 [例1][解](1)4=49>0，方程2x2+5.x-3=0的两根 为x1=-3,x2=2, 1 作出函数y=2x2+5x-3的图象，如图①所示. 由图可得原不等式的解集为{x-3<<名。 AY (2)原不等式等价于3x2-6.x十2≥0.△=12>0，解方程 3x-6x+2=0,得，=35，x,-3+5 31 3 作出函数y=3x2一6x十2的图象，如图②所示，由图可 得原不等式的解集为 {e3或≥3} 3 (3)△=0，.方程4x2十4x十1=0 1 有两个相等的实根x1=x2=一 2 作出函数y=4x2十4x十1的图象如 图③所示. 10 由图可得原不等式的解集为 ③ {≠-方eR} (4)原不等式可化为x一6x十100， △=一4<0， ∴.方程x一6.x+10=0无实根， ∴.原不等式的解集为⑦」 8