2.2 第1课时 基本不等式-【创新教程】2026-2027学年高中数学必修第一册五维课堂同步复习（人教A版）

数学·必修第一册 随堂。步步夯实 1.若-1<a<<1,则下列各式中恒成立的是 4.若-1<x<2,0<y<3,则2x-y的取值范 ( 围为 A.-2<a-B<0 B.-2<a-B<-1 C.-1<a-B<0 5.如果a>b>0,<d<0,f<0,证明：a D.-1<a-B<1 2.已知a>b,不等式：①a2>6;②1>1 a bi >6 ③1>上成立的个数是 a-b a ( A.0 B.1 C.2 D.3 3.给出下列结论： ①若a<b,则ac2<bc2; ②若。<名<0，则u>: ③若a>b,c>d,则a-c>b-d; ④若a>b,c>d,则ac>bd. @温馨提 其中正确的结论的序号是 学习至此，请完成配套训练 2.2基本不等式 第1课时 基本不等式 课程标准 素养解读 草指基本不等式“士一a(a,b都是正数).能用 通过学习基本不等式及其简单应用，重点 基本不等式解决问题 培养数学运算、逻辑推理素养 课前。预习学案 [情境引入] CD小于或等于圆的半径，可得出什么样的不 (1)对Ha、b∈R.a2+b2与 等关系？ 2ab的大小如何？ (2)在图中，AB是圆的直径， 点C是AB上一点，AC=a, BC=b.过点C作垂直于AB的弦DE,连接 AD,BD.可得到CD=瓜，AB=安，由 ·40· 第二章一元二次函数、方程和不等式 [知识梳理] (2)如果和x+y等于定值s(和为定值)，那么当 [知识点一]重要不等式与基本不等式 时，积xy有最大值. 1.重要不等式 Va,b∈R,有 ,当且仅当a=b 2思考3.x十1上的最小值是2吗？ 时，等号成立 2.基本不等式 如果>0，b>0,有<士中，当且仅当 时，等号成立. 其中，“士叫做正数a,6的 [预习自测] √ab叫 1.(多选)下列结论正确的是 ( 做正数a,b的 A.对于任意a,b∈R,a2+b2≥2ab,a+b≥ 基本不等式表明：两个正数的算术平均数 2√ab均成立 它们的几何平均数 B.若a,b同号，则2+分≥2 a 2思考1.基本不等式中的a,b只能是具体 C.若a>0.≥0，则uh<“士恒成立 的某个数吗？ 2.基本不等式成立的条件“a,b>0”能省略 D.若a>0,b>0,且a≠b,则a十b>2√ab 吗？请举例说明. 2.已知实数a,b,则“ab≥0”是“a十b≥2√ab”的 A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 [知识点二]基本不等式与最值 C.充要条件 已知x,y都是正数，则 D.既不充分也不必要条件 (1)如果积xy等于定值p(积为定值)，那么当 3.不等式(x-2y)十2)之≥2成立的前提条 时，和x十y有最小值 件为 课堂。互动学亲 题型三 利用基本不等式比较大小 规律方法 利用基本等式比较实数大小的注意事项 [例1]设0<a<b,则下列不等式中正确的是 (1)利用基本不等式比较大小，常常要注意 ( ) 观察其形式（和与积）， (2)利用基本不等式时，一定要注意条件是 A.a<b<√ab<a+b 2 B.a<√ab<a+b<b 否满足a>0,b>0. ⊙[变式训练] C.a</ab<b<atb 2 D.√ab<a<ab<b 1.已知。>06>0，则生a6, la2+b 2ab 2'a+b [思路点拨] 当a>0,b>0时，ab≥ 中最大的是 la2+62 A B.√ab √ab,当且仅当a=b时取等号，注意等号成 C.b 2ab 立的条件 2 ·41· 数学·必修第一册 题型二利用基本不等式判断不等式的成立 汇思路点拨“利用基本不等式证明不等式， [例2](1)下列不等式中正确的是 注意等号成立的条件 A.a+4≥4 B.a2+b2≥4ab a C.ab≥a+b 2 D+有 (2)给出下列条件：①ab>0;②ab<0;③a>0,b >0:@a<0<0,其中能使会+名≥2成立 的条件有 ( A.1个 B.2个 规律方法 利用基本不等式证明不等式的注意事项 C.3个 D.4个 (1)策略：从已证不等式和问题的已知条件出 思路点拨了“根据基本不等式成立的条件 发，借助不等式的性质和有关定理，经过 判断 逐步的逻辑推理，最后转化为所求问题， 其特征是以“已知”看“可知”，逐步推向 规律方法 “未知” 不等式a2+b≥2ab与a+b≥√ab的比较 (2)注意事项： (1)两个不等式。2+62≥2a6与≥ad ①多次使用基本不等式时，要注意等号能 2 否成立； 成立的条件是不同的.前者要求a,b是 ②累加法是不等式证明中的一种常用方 实数即可，而后者要求a,b都是正实数 法，在证明不等式时注意使用条件； (实际上后者只要a≥0，b≥0即可). ③对不能直接使用基本不等式的证明可 (2)两个不等式。+6≥2山形“士产≥函 重新组合，形成基本不等式模型再使用. ◇[变式训练] 都是带有等号的不等式，都是“当且仅 3.已知x>0,y>0,x+2y=1, 当a=b时，等号成立” 证明+0+≥2 ◇[变式训练] 2.下列不等式恒成立的是 A.6+≥2 B.ab≥ "a'b C.a+b≥2√Tab D.a2+b2≥-2ab 题型利用基本不等式证明不等式 [例3](1)证明不等式a2+b2+c2≥ab+bc十ca; (2)已知a,b,c是全不相等的正实数，求证： btc-ajatc-bjatb-c>3. a b ·42· 第二章一元二次函数、方程和不等式 随堂。步步夯实 1.下列不等式成立的是 ( 4.若a>0,b>0.a+b=2.则下列不等式①ab≤1， A.abatb B.aba @a+<,@u+6≥2，④+古2对满 a C.a+b≥2√ab D.a+b≤2√ab 足条件的a,b恒成立的是 (填序号) 5.已知a>0,b>0,a+b=ab.求证： 2.(2025·北京卷)已知a>0,b>0,则 A.a2+62>2ab B1+11 〔1+01+是 C.a+b>√ab 3.已知a,b是不相等的正数，x=6十 ,y= 2 C温馨提污 √a+b,则x,y的大小关系是 学习至此，请完成配套训练 第2课时 基本不等式的应用 课程标准 素养解读 举提基木不等式0≤“士(a,b≥0.结合具体实倒，能用 通过学习基本不等式及其应用， 重点提升数学运算、逻辑推理、数 基本不等式解决简单的最大值或最小值问题 学建模素养 课前。预习学案 [情境引入] [知识梳理] (1)某养殖场要用100米的篱 [知识点] 笆围成一个矩形的鸡舍，怎样 1.用基本不等式求最值. 设计才能使鸡舍面积最大？ ①设x,y为正实数，若x十y=s(s为定值)， (2)某农场主想用篱笆围成一个10000平方 则当x=y=时，积xy有最大值为 米的矩形农场，怎样设计才能使所用篱笆最 ②设x,y为正实数，若xy=p(p为定值)， 省呢？ 则当x=y=√p时，和x十y有最小值 [问题]实例中两个问题的实质是什么？如 为 何求解？ 2.基本不等式求最值的条件 ①x,y必须是正数. ②求积xy的最大值时，应看和x+y是否 为定值；求和x十y的最小值时，应看积xy 是否为定值 ③等号成立的条件是否满足. ·43·数学·必修第一册 >0,b<0:对于B项，当a>0b<0时，有分<0<1，故B 项错；对于C项，当a=10,b=3时，虽有10+1>3+2， 但1<2，故C项错：对于D项，当a=一1，b=一2时， 有（一1）X(-1)>(一2)×7，但一17，故D项错. [答案]A [例2][证明]因为bc-ad≥0，所以bc≥ad, 所以bc+bd≥ad+bd,即b(c+d)≥d(a+b). 又M>0,两边同除以d得，吉≤吉兰 d [例3][解]：3<b<4,∴.-4<-b<-3. .1-4<a-b<6-3,即-3<a-b<3. <<分…<号<号 .1a6 即<号<2.综上a-6的取值范周为a--3Ca- K3,号的取值范国为{号子<云<2}： 变式训练 1.解析：(1)当a=3,b=2,c=1时，a=b+c,且ac<b,故 A,C错误；因为a>b>0,a>c>0,所以a>bc,故B错 误；ab+bc-(b+ac)=(b-c)(a-b)>0,故D正确. 2)对于A,取a三-3，b=2,则>方，故错误：对 B,由>0，号>名得a>6,故正确：对于C阳-号 =b+bm-ab-am=m(b-a b(6+m) b(6+m ,由b>a>0,m>0,得 服0，所以胖合t正确对子D由<d 得一c>一d,又a>b,所以a一c>b一d,故正确. 答案：(1)D(2)BCD 2.证明：'cd<0,.-c>-d>0. 又a>b>0,∴.a-c>b-d>0, 则(a-c)>(b-d)>0, 即1 1 (a-c)2(b-d)2 e e 又e<0ac)>b-d) 3.解：1<a4,2<b8,.22a8,63b24. .8<2b+3b32. .2<b<8,.-8<-b<-2. 又∴.1<a<4,∴.1+(-8)<a+(-b)<4十(-2)， 即-7<a-b<2. 故2a十3b的取值范围是82a十3b<32,a一b的取值范 围是-7<a-b<2. 随堂步步夯实 1.A2.A3.② 4.{2x-yl-5<2x-y<4} 5.证明：因为c<d<0,所以一c>一d>0, 又因为ab0,所以a一c>b一d>0. 不等式的两边同乘a-c)(b-d) 1>0, 得 又因为f0,所以，-日即6女 ·31 2.2基本不等式 第1课时基本不等式 课前预习学案 情境引入 提示：(1)a2+b≥2ab(2)√ab≤a十b 2 知识梳理 知识点一、1.a2+b≥2ab2.a=b算术平均数几何平 均数不小于 知识点二、(1)x=y2√p(2)x=y [思考] 1.提示：a,b既可以是具体的某个数，也可以是代数式 2.提示：不能，知一3)(-型≥√-3》x(-D是不成 2 立的 3提示：当x>0时，x士的最小值是2 当<0时，江十上没有最小值. x 预习自测 1.BD2.B3.x>2y 课堂互动学案 [例1门[解析]法一：0<a<b,a<a十b<b,排除 2 A,C两项」 又√ab-a=√a(b-√a)>0,即√ab>a,排除D项，故 选B. 法二取a=2,b=8,则Vab=4,a十5=5，所以a<√ab 2 <atb<b. 2 [答案]B [例2][解析](1)a<0,则a+4≥4不成立，故A错： a a=1,b=1,a2+b<4ab,故B错；a=4,b=16,则√ab< a十b,故C错.由基本不等式可知D项正确. 2 (2)当兰，号均为正数时，名十号≥2，放只须a,6同号 a'b 即可，.①③④均可以. [答案](1)D(2)C [例3][证明](1)a2+b≥2ab, b2+c2≥2bc, c2+a2≥2ac. ∴.2(a2+b+c2)≥2(ab+bc+ca)(当且仅当a=b=c取 等号) .∴.a2+b2+c2≥ab+bc+ca. (2)因为a,b,c全不相等， 所以与合与，与全不相等， 所以+>2+>2，+ ,￡+6>2. 三成相加得，++合+号++名>6， a c c 6 所以（台+台-）+（后+后-）+（侣+冬-）>3， mbtc-atatc-b+atb-c>3. a b c 变式训练 1A国为>>0，所以治危=瓜V画 ≤十6 2 a+6 2(a2+6) 4 @-史，备且仪当 4 a=b时，等号成立， ≤<产 2 2.D[对于A,若a=-1,b=1,则名+号=-2，故A错 误；对于B,因为(a-b)2≥0，所以a+b≥2ab,所以 ++2a≥a*(告学) ≥ab,当且仅当a=b时取 4 等号，故B错误；对于C,若a=-1,b=一1，则a+b= -2<2√Tab=2,故C错误：对于D,因为(a十b)2≥0， 所以a+b+2ab≥0，即a+b≥-2ab,当且仅当a= 一b时取等号，故D正确.] 3.证明：x>0,y>0,x十2y=1, (+2)+）=（+2生)+) (3+)+)18+(偿+)≥1+2②·哥 =25,当且仅当=号，即y=x=2时，等号成立， “(+)+)）≥25. 随堂步步夯实 1.A2.C 3.x<y 4.①③④ 5.证明：因为a>0,b>0,所以ab=a十b≥2√ab,当且仅当 a=b=2时取等号，即有ab≥4，于是得 (+）+)=1+2+6+品=1+由+ ab ab 2+品≤2+片=是所以+)+岩）号成立. 第2课时基本不等式的应用 课前预习学案 情境引入 提示这两个都是求最值问题，第一个问题是矩形周长 一定，即长x与宽y的和一定，求xy的最大值，xy≤ (告）=25=625，当且仅当=y=25时取等号，即 鸡合为正方形，长与宽各为25米时鸡舍面积最大.第二 个问题是矩形面积一定，求矩形长x与宽y之和最小 值，x+y≥2√xy=2W√10000=200，当且仅当x=y= 100时取等号，即当农场为正方形，边长为100米时，所 用篱笆最省。 ·31 参考答案 知识梳理 知识点、1.2√p 预习自测 1.B2.A3.210 课堂互动学案 [例1][解](1)，x>0, 当且仅当x=即x=4,x=2时取等号 “函数y=x十4(x>0)在x=2时取得最小值4. (2)0<<是3-2a>0 ∴.y=4.x(3-2x)=2[2x(3-2x)] ≤22x+(8-221=9 2 21 当且仅当2x=3-2,即x=子时，学号成主. :是∈02) 画数y=4r(3-2)(0<<号)的最大值为号. (3)x>2,.x-2>0, x十 x-2 ≥2-2+2=6 当且仅当x-2=4 -2' 即2=4时，学号成立∴十2的最小值为6 [例2][解析]因为a>0,b>0,所以2a+b>0, 所以要使2+名>6血成主， 只需m≤2a+6(径+b)拉成立. 而2a+》(侣+古）4+积+2+1≥5+4=0，音且 仅当a=b时，等号成立，所以m≤9. [答案]B [例3][解](1)设休闲区的宽为a米，则长为a.x米，由 ax=4000,得a=20V 则S=(a+8)(ax+20)=a2x+(8x+20)a+160 -4000+(8x+20).20yD+160 a =80√10(2√元+5)+4160(x>1). x (2)因为80√0(2元+5)+4160≥80√10× x 2,2F×2+4160=1600+4160=5760,当且仅当 2=5,即r=2.5时，等号成立，此时a=40,ax= 100,所以要使公园所占面积最小，休闲区ABC1D1应 设计为长100米，宽40米.