2.1 第2课时 不等式的性质-【创新教程】2026-2027学年高中数学必修第一册五维课堂同步复习（人教A版）

预习自测 1.D2.D3.4.5t28000 课堂互动学案 [例1][解]设裁得500mm的钢管x根.裁得600mm 的钢管y根. 500x+600y≤4000， 3x≥y, 根据题意得： x≥0且x∈N. y≥0且y∈N. [例2][解](x2+y)(x-y)-(x2-y2)(x+y) =(z-y)(z2+y)-(z-y)(z+y)2 =(x-y)[(x+y2)-(x+y)] =(x-y)(-2xy) 由于x<y<0,所以x-y<0,-2xy<0, 所以(x-y)(-2xy)>0, 即(x+y)(x-y)>(x2-y2)(x+y). [[解答-。g-(台) 当u>6>0时，分>1，a-b>0, 则（后） >1,所以ab>ab; 当6>a>0时，0<分<1a-K0, 则（后） >1,所以ab>ab“; 当a=b>0时.（号）》 =1,所以ab=ab, 综上可知，ab≥ab“(当且仅当a=b时取等号) 变式训练 1.解：设租用大卡车x辆，农用车y辆， 根据题意，应满足如下的不等关系： ①两种车辆的总载重量应该不少于100t; ②运输成本之和不超过10000元： ③大卡车不能超过10辆： ④农用车不能超过20辆： ⑤x∈N,y∈N. 要同时满足以上不等关系，可以用下面的不等式组来 表示： r8x+2.5y≥100， r16x+5y≥200， 960x+360y10000, 24x+9y250, 即 0x≤10，x∈N, 0x≤10，x∈N, (0≤x≤20，y∈N, 0≤x≤20，y∈N. 2.解：：a3+b-(a2b+ab)=(a3-a2b)+(6-ab) =a2(a-b)+b(b-a) =(a-b)(a2-b)=(a-b)2(a+b). 当a-b=0,即a=b时，a3+b3=ab+ab: 当a一b≠0，即a≠b时， (a-b)2>0,a+b>0,a3+b3>ab+ab 综上所述，a3+b≥ab十ab 3.解：方法一（作差法） -(a+6) 后6+（会@}- a-b+ b-a a (a-6)(a-B)(a-B)'(a+B) √ab √ab ·31 参考答案 a>0,b>0,∴.a+b>0,ab>0,(a-√)≥0， :a-⑥6+D≥0.g+么>a+6 √ab b va 方法二（作商法）》 匠E_)+(W面)=a+历)(a+b-面 a+/b Vab(va+B) ab(wa+√b) -a+b-画-6-6+画=1+6-6≥1. √ab √ab √ab :a>0,b>0.4+4>0wWa+万>0， .么+g≥a+6 vab 随堂步步夯实 1.B 2.ACD 12x-y=84, 3 10xy, 11x-y>40, Lx∈N 4.a>c>b 5.解：(1)√x+I-√= 1 =,√E-√x-1 √x+I+ 1 √E+x-I :x+I+√>√E+√x-I>0, ∴.√x+I-√E<√E-√x-I. (2)(x3-2y3)-(xy2-2xy)=x3-xy2+2x2y-2y =x(x2-y)+2y(x2-y)=(x2-y2)(x+2y) =(x-y)(x+y)(x+2y). x>y>0,∴.x-y>0,x+y>0,x+2y>0, .(x3-2y)-(xy-2x2y)>0, 即x3-2y3>xy2-2x2y. 第2课时不等式的性质 课前预习学案 情境引入 1.提示x1=50+x3-55=xg-5,x2=x1-20+30= x1+10,x3=x2-35+30=x2-5. 2.提示由1知x1=x3-5,x2=x十5，则x1<x<x2· 知识梳理 知识点一、1.a=cb士c b c [思考] 1,提示：解方程过程中的去分母、移项、系数化为1的步骤 都是利用了等式的性质 2.提示：a+c>b+d成立，a-c>b-d不一定成立，但a- d>b-c成立. 3.提示：不一定，但当a>b>0,c>d>0时，一定成立. 预习自测 1.C2.AC3.< 课堂互动学案 [例1][解析]对于A项，因为 >6所以-> a b 0,即5>0.又a>b,所以b-a<0.所以ab<0,所以a ab 数学·必修第一册 >0,b<0:对于B项，当a>0b<0时，有分<0<1，故B 项错；对于C项，当a=10,b=3时，虽有10+1>3+2， 但1<2，故C项错：对于D项，当a=一1，b=一2时， 有（一1）X(-1)>(一2)×7，但一17，故D项错. [答案]A [例2][证明]因为bc-ad≥0，所以bc≥ad, 所以bc+bd≥ad+bd,即b(c+d)≥d(a+b). 又M>0,两边同除以d得，吉≤吉兰 d [例3][解]：3<b<4,∴.-4<-b<-3. .1-4<a-b<6-3,即-3<a-b<3. <<分…<号<号 .1a6 即<号<2.综上a-6的取值范周为a--3Ca- K3,号的取值范国为{号子<云<2}： 变式训练 1.解析：(1)当a=3,b=2,c=1时，a=b+c,且ac<b,故 A,C错误；因为a>b>0,a>c>0,所以a>bc,故B错 误；ab+bc-(b+ac)=(b-c)(a-b)>0,故D正确. 2)对于A,取a三-3，b=2,则>方，故错误：对 B,由>0，号>名得a>6,故正确：对于C阳-号 =b+bm-ab-am=m(b-a b(6+m) b(6+m ,由b>a>0,m>0,得 服0，所以胖合t正确对子D由<d 得一c>一d,又a>b,所以a一c>b一d,故正确. 答案：(1)D(2)BCD 2.证明：'cd<0,.-c>-d>0. 又a>b>0,∴.a-c>b-d>0, 则(a-c)>(b-d)>0, 即1 1 (a-c)2(b-d)2 e e 又e<0ac)>b-d) 3.解：1<a4,2<b8,.22a8,63b24. .8<2b+3b32. .2<b<8,.-8<-b<-2. 又∴.1<a<4,∴.1+(-8)<a+(-b)<4十(-2)， 即-7<a-b<2. 故2a十3b的取值范围是82a十3b<32,a一b的取值范 围是-7<a-b<2. 随堂步步夯实 1.A2.A3.② 4.{2x-yl-5<2x-y<4} 5.证明：因为c<d<0,所以一c>一d>0, 又因为ab0,所以a一c>b一d>0. 不等式的两边同乘a-c)(b-d) 1>0, 得 又因为f0,所以，-日即6女 ·31 2.2基本不等式 第1课时基本不等式 课前预习学案 情境引入 提示：(1)a2+b≥2ab(2)√ab≤a十b 2 知识梳理 知识点一、1.a2+b≥2ab2.a=b算术平均数几何平 均数不小于 知识点二、(1)x=y2√p(2)x=y [思考] 1.提示：a,b既可以是具体的某个数，也可以是代数式 2.提示：不能，知一3)(-型≥√-3》x(-D是不成 2 立的 3提示：当x>0时，x士的最小值是2 当<0时，江十上没有最小值. x 预习自测 1.BD2.B3.x>2y 课堂互动学案 [例1门[解析]法一：0<a<b,a<a十b<b,排除 2 A,C两项」 又√ab-a=√a(b-√a)>0,即√ab>a,排除D项，故 选B. 法二取a=2,b=8,则Vab=4,a十5=5，所以a<√ab 2 <atb<b. 2 [答案]B [例2][解析](1)a<0,则a+4≥4不成立，故A错： a a=1,b=1,a2+b<4ab,故B错；a=4,b=16,则√ab< a十b,故C错.由基本不等式可知D项正确. 2 (2)当兰，号均为正数时，名十号≥2，放只须a,6同号 a'b 即可，.①③④均可以. [答案](1)D(2)C [例3][证明](1)a2+b≥2ab, b2+c2≥2bc, c2+a2≥2ac. ∴.2(a2+b+c2)≥2(ab+bc+ca)(当且仅当a=b=c取 等号) .∴.a2+b2+c2≥ab+bc+ca. (2)因为a,b,c全不相等， 所以与合与，与全不相等， 所以+>2+>2，+ ,￡+6>2. 三成相加得，++合+号++名>6， a c c 6第二章一元二次函数、方程和不等式 3.某年夏天，我国遭受特大洪灾，灾区学生小 5.试比较下列各组式子的大小： 李家中经济发生困难，为帮助小李解决开学 (1)/x+I-√元与反-√x-I,其中x>1; 费用问题，小李所在班级学生（除小李外）决 (2)x3-2y3与xy2-2x2y,其中x>y>0. 定承担这笔费用.若每人承担12元人民币， 则多余84元；若每人承担10元，则不够；若 每人承担11元，又多出40元以上.设该班 (除小李外)共有x人，这笔开学费用共y 元，则x,y应满足的不等式组为 4.设a=2,b=7-5,c=√6-√2，则a,b,c 的大小关系是 C温馨提西 学习至此，请完成配套训练 第2课时 不等式的性质 课程标准 素养解读 通过用不等式（组）表示实际问题的不等关系、 1.掌握不等式的性质及各自成立的条件 不等式的性质提升数学抽象素养.通过作差法、 2.能利用不等式的性质比较大小或证明不 运用不等式的性质解决问题、提升数学运算素 等式 养和逻辑推理素养 课前。预习学案 [情境引入] [知识梳理] 如图为某三盆路口 [知识点一]等式的性质 交通环道的简化模型，在 1.等式的性质 某高峰时段，单位时间进 性质1 如果a=b,那么b=a 出路口A,B,C的机动车 性质2 如果a=b,b=c,那么 辆如图所示，图中x1,x2, 性质3 如果a=b,那么a士c= x?分别表示该时段单位时间通过路段AB, 性质4 如果a=b,那么ac=bc BC,CA的机动车辆数（假设：单位时间内，在 性质5 如果a=b,c≠0，那么a= 上述路段中，同一路段上驶入与驶出车辆数 相等). 2.本质：性质1,2反映了相等关系自身的特 [问题1]你能用x3,x1,x2分别表示出x1, 性，性质3,4,5是从运算角度提出的，反映 x2,x3吗？ 了等式在运算中保持的不变性， [问题2]你能判断出x1,x2,x3的大小吗？ 3.应用：处理等式运算过程中的依据 ?思考1.想一想，以前我们用等式基本性质 解决过哪些问题？ ·37 数学·必修第一册 [知识点二] 不等式的性质 ②思考2.若a>b,c>d,那么a十c>b+d成 1.不等式的性质 立吗？a->b-d呢？ 别名 性质内容 注意 3.若a>b,c>d,那么ac>bd成立吗？ 性质1 对称性 a>b台b<a 可逆 性质2 传递性 a>b,b>c→a>c 不可逆 a>b台a十c>b+c 性质3 可加性 可逆 a+b>c=→a>c-b [预习自测] a>b,c>0→ac>bc 性质4 可乘性 的符号 1.已知a+b>0,b<0,那么a,b,-a,-b的大 a>b,c<0→ac<bc 小关系是 ) 同向可 性质5 a>b,c>d→a+c>b+d 同向 A.a>b>-b>-a B.a>-6>-a>b 加性 C.a>-6>6>-a D.a>b>-a>-6 同向同正 同向 性质6 a>b>0,c>d>0→ac>bd 2.(多选)下列不等式中不成立的是() 可乘性 同正 A.若a>b>0,则a2>bc a>b>0→a">b"(n∈N, 性质7可乘方性 同正 B.若a>b>0,则a2>b n≥1) C.若a<b<0,则a2<ab<b2 2.本质：不等式的性质是由等式性质类比而得 D.若a<b<0,则上> 到的，是解决不等式问题的基本依据： 3.应用：判断证明不等式是否成立，解不等式 3.若a>6>0≥0，则} 填> 问题时的依据。 “<”或“=”) 课堂。互动学案 题型利用不等式的性质判断命题的真假] (2)解有关不等式选择题时，也可采用特殊 [例1]下列命题中一定正确的是 值法进行排除，注意取值一定要遵循如 下原则：一是满足题设条件；二是取值 A.若a>6且g则e>0,60 要简单，便于验证计算 ◇[变式训练] B若u>b,b≠0，则分>1 1.(1)已知a>b>c>0,则下列说法一定正确 C.若a>b,且a+c>b+d,则c>d 的是 () A.a>b+c B.a2<bc D.若a>b且ac>bd,则c>d C.acb2 D.ab+bc-b2+ac 汇思路点拨门根据不等式的性质逐 (2)(多选)下列说法中，正确的是() 判断 A.若a2>b,ab>0,则1< 规律方法 运用不等式的性质判断命题真假的技巧 且若号>2则a>6 (1)要注意不等式成立的条件，不要弱化条 C.若b>a>0,m>0,则a十m>4 b+mb 件，尤其是不能随意捏造性质， D.若a>b,c<d,则a-c>b-d ·38· 第二章一元二次函数、方程和不等式 题型二” 利用不等式的性质证明不等式一 题型用不等式性质求代数式的取值范围] [例2]若bc-ad≥0，bd>0,求证：a+b b [例3]已知1<a<6,3<4,求a-b,号的取值 <c+d 范围， d. 汇思路点拨]利用不等式的性质等价 思路点拨]uba+(-b),分=a 6,正 变形 确使用不等式的性质， 规律方法 (1)利用不等式性质对不等式的证明其实 质就是利用性质对不等式进行变形，变 规律方法 形要等价，同时要注意性质适用的前提 求代数式的取值范围的注意点 条件 求含字母的数（或式子）的取值范围时，一要 (2)用作差法证明不等式和用作差法比较 注意题设中的条件，二要正确使用不等式的 大小的方法原理一样，变形后判断符号 性质，尤其是两个同方向的不等式可加不可 时要注意充分利用题目中的条件 减，可乘（同正）不可除. ⊙[变式训练] ◇[变式训练] 2.若a>b>0,e<d<0,e<0,求证：ae 3.已知1<a<4,2<b<8,试求2a+3b与a-b 取值范围. -(-d ·39· 数学·必修第一册 随堂。步步夯实 1.若-1<a<<1,则下列各式中恒成立的是 4.若-1<x<2,0<y<3,则2x-y的取值范 ( 围为 A.-2<a-B<0 B.-2<a-B<-1 C.-1<a-B<0 5.如果a>b>0,<d<0,f<0,证明：a D.-1<a-B<1 2.已知a>b,不等式：①a2>6;②1>1 a bi >6 ③1>上成立的个数是 a-b a ( A.0 B.1 C.2 D.3 3.给出下列结论： ①若a<b,则ac2<bc2; ②若。<名<0，则u>: ③若a>b,c>d,则a-c>b-d; ④若a>b,c>d,则ac>bd. @温馨提 其中正确的结论的序号是 学习至此，请完成配套训练 2.2基本不等式 第1课时 基本不等式 课程标准 素养解读 草指基本不等式“士一a(a,b都是正数).能用 通过学习基本不等式及其简单应用，重点 基本不等式解决问题 培养数学运算、逻辑推理素养 课前。预习学案 [情境引入] CD小于或等于圆的半径，可得出什么样的不 (1)对Ha、b∈R.a2+b2与 等关系？ 2ab的大小如何？ (2)在图中，AB是圆的直径， 点C是AB上一点，AC=a, BC=b.过点C作垂直于AB的弦DE,连接 AD,BD.可得到CD=瓜，AB=安，由 ·40·