第一章 集合与常用逻辑用语 章末归纳提升-【创新教程】2026-2027学年高中数学必修第一册五维课堂同步复习（人教A版）

第一章集合与常用逻辑用语 章末归纳提升 [网络构建] 元素与集合关系一 属于∈，不属于 确定性 集合的含义 集合中元素的特性 互异性 列举法 集合的表示 描述法 无序性 图示法 子集 ACB 集 集合间的 包含 合 真子集一AB 基本关系 相等 A=B 并集 AUB={xx∈A,或x∈B} 集合的运算 交集 A∩B={x|x∈A,且x∈B} 补集 CA={x|x∈U,且xA} 充要条件 判定定理 常 充分条件与 必要条件 性质定理 用 必要条件 逻 充要条件 数学定义 辑 全称量词 用 全称量词与 全称量词 全称量词命题 命题和存 语 存在量词 存在量词 存在量词命题 在量词命 题的否定 [归纳提升门 题型一 集合的基本概念 (2)已知集合A={0,1,2},则集合B={x一 与集合中的元素有关的问题的求解策略 y|x∈A,y∈A}中元素的个数是 () (1)确定集合的元素是什么，即集合是数集、点 A.1 B.3 C.5 D.9 集还是其它集合 (2)看这些元素满足什么限制条件 ◇[变式训练] (3)根据限制条件列式求参数的值或确定集合 1.（1)设集合A={x|x2一3x十2=0}，则满足 中元素的个数时，要注意检验集合是否满足元 AUB={0,1,2}的集合B的个数是() 素的互异性」 [例1](1)设集合A={1,2,4},集合B={x A.1 B.3 C.4 D.6 x=a十b,a∈A,b∈A},则集合B中元素的 (2)已知集合M={1,m十2，m2+4},且5∈ 个数是 () M,则m的值为 A.4 B.5 C.6 D.7 ·31· 数学·必修第一册 题型三】 集合的基本关系 ②若A∩C≠0，求a的取值范围. 集合与集合之间的关系是包含和相等的关 系，判断两集合之间的关系，可从元素特征 入手，并注意代表元素。 [例2](1)已知集合A={xx-3.x+2=0,x∈ R},B={x|0<x<5,x∈N},则满足条件A二C 二B的集合C的个数为 () A.1 B.2 C.3 D.4 (2)设A={1,4,2x},若B={1,x},若BCA, 则x= ⊙[变式训练] (3)已知集合A={x-2≤x≤7}，B={x|m+1 3.(1)已知集合A={1,2,3,4},B={yy=3.x-2, <x<2m一1}，若B二A,则实数m的取值范围 x∈A},则A∩B= 是 A.{1} B.{4} ◇[变式训练] C.{1,3} D.{1,4} 2.已知集合A={2,3},B={xm.x-6=0},若B (2)已知全集U={1,2,3,4,5},集合A= 二A,则实数m等于 ( ) {1,3,4},集合B={2,4},则(CA)UB= A.3 B.2 C.2或3 D.0或2或3 A.{2,4,5} B.{1,3,4} 题型 集合的基本运算 C.{1,2,4》 D.{2,3,4,5》 集合的基本运算是指集合间的交、并、补这三 题型四全称量词命题与存在量词命题 种常见的运算，在运算过程中往往由于运算能 已知含量词的命题真假求参数的取值范围， 力差或考虑不全面而出现错误，不等式解集之 实质上是对命题意义的考查.解决此类问 间的包含关系通常用数轴法，而用列举法表示 题，一定要辨清参数，恰当选取主元，合理确 的集合运算常用维恩图法，运算时特别注意对 定解题思路.解决此类问题的关键是根据含 ⑦的讨论，不要遗漏！ 量词命题的真假转化为相关数学知识，利用 [例3](1)设集合A={1,2,4},B={xx2-4x+ 函数、方程、不等式等知识求解参数的取值 m=0}.若A∩B={1},则B= ( 范围，解题过程中要注意变量取值范围的 A.{1,-3} B.{1,0》 限制， C.{1,3} D.{1,5} [例4幻判断下列命题是全称量词命题还是存在 (2)已知集合A={x2≤x<7},B={x|3<x< 量词命题，判断真假，并写出它们的否定： 10},C={xlx<a}. (1)空集是任何一个非空集合的真子集： ①求AUB,(CRA)∩B; (2)Vx∈R,4x2>2x-1+3x2; ·32· 第一章集合与常用逻辑用语 (3)3x∈{-2，-1,0,1,2}，x-2<2: ◇[变式训练] (4)Ha,b∈R,方程a.x+b=0恰有一解. 5.已知命题：3x∈R,ax2+2x-1=0为假 命题，设实数a的取值集合为A,集合B= {x|3m<x<m+2},若 ,求实数m 的取值范围 在①“x∈A”是“x∈B”的必要不充分条件； ②“x∈B”是“x∈CRA”的充分条件；③B∩ (C.A)=心这三个条件中任选一个，补充 到本题的横线处，并按照你的选择求解 问题 ◇[变式训练] 注：若选择多个条件分别解答，按第一解答 4.(1)命题“存在一个无理数，它的平方是有理数” 计分. 的否定是 A.任意一个有理数，它的平方是有理数 B.任意一个无理数，它的平方不是有理数 C.存在一个有理数，它的平方是有理数 D.存在一个无理数，它的平方不是有理数 (2)(多选题)在下列命题中，真命题有( A.]x∈R,x2+x+3=0 BY:EQ,女++1是有理数 题型亢 集合的实际应用 数学建模是对现实问题进行数学抽象，用数 C.3x,y∈Z,使3x-2y=10 学语言表达问题、用数学方法构建模型解决 D.Hx∈R,x2>|xl 问题的素养，主要表现在：发现和提出问题， 建立和求解模型，检验和完善模型，分析和 题型五 充分条件与必要条件 解决问题，在本章主要表现在集合的实际应 充要条件是数学的重要概念之一，在数学中有 用问题中。 着非常广泛的应用，在高考中有着较高的考查 [例6]某班有36名同学参加数学、物理、化学课 外探究小组，每名同学至多参加两个小组，已 频率，其特点是以高中数学的其他知识为载体 知参加数学、物理、化学小组的人数分别为26， 考查充分条件、必要条件、充要条件的判断 15,13同时参加数学和物理小组的有6人，同 [例5]若a,b都是实数，试从①ab=0;②a+b 时参加物理和化学小组的有4人，则同时参加 =0;③a(a2+b2)=0;④ab>0中选出满足 数学和化学小组的有 人 ◇[变式训练] 下列条件的式子，用序号填空： 6.2026年文汇高中学生运动会，某班62名学生 (1)使a,b都为0的必要条件是 中有一半的学生没有参加比赛，参加比赛的学 (2)使a,b都不为0的充分条件是 生中，参加田赛的有16人，参加径赛的有23 (3)使a,b至少有一个为0的充要条件是 人，则田赛和径赛都参加的学生人数为() A.7 B.8 C.10 D.12 ·33·(4)该命题省略了量词“所有的”，该命题是全称量词命 题，它的否定：有的正数的绝对值不是它本身.这是一个 假命题. [例2][解](1)该命题的否定：任意分数都是有理数， 这是一个真命题. (2)该命题的否定：x,y∈Z,3x一4y≠20，当x=4,y= 一2时，3x一4y=20.因此这是一个假命题. (3)该命题的否定：在实数范围内，所有的一元二次方程 都有解，这是一个假命题. (4)该命题的否定：所有梯形的对角线不相等，如等腰梯 形的对角线相等，因此这是一个假命题， [例3][解析]方法一：由题意，知命题“对任意实数x, 使x+a.x十1≥0”是真命题，故△=a2-4X1×1≤0，解 得一2a2. 方法二：由题意，知命题“存在实数x,使x2十ax十1<0 是假命题.若命题“存在实数x,使x2十a.x十1<0”是真 命题，则△=a-4×1×1>0,解得a>2或a<-2,所求 实数a的取值范围是{a-2≤a≤2}. [答案]{a|-2a2} 变式训练 1.解：(1)其否定为：存在一个平行四边形，它的对边不都 平行. (2)其否定为：存在一个圆不是轴对称图形， (3)其否定为：3a,b∈R,使方程ax=b的解不唯一或不 存在. (4)其否定为：存在被5整除的整数，末位不是0. 2.解析：①命题的否定是“不存在一个实数，它的绝对值是 正数”，即“所有实数的绝对值都不是正数”，它为假 命题. ②命题的否定是“没有一个平行四边形是菱形”，即“每 一个平行四边形都不是菱形”.由于菱形是平行四边形， 因此命题的否定是假命题 ③命题的否定是“Hx,y∈Z,W2x十y≠3”.当x=0,y=3 时，W2x十y=3,因此命题的否定是假命题. 3.解：(1)因为p:Hx∈{xx≥1}，a-2x≤0， 所以7p:3x∈{x|x≥1}，a-2x>0. 因为g:3x∈{x1x≤3}，x十a≥0， 所以q:x∈{x1≤x≤3}，x十a<0. (2)因为p:Hx∈{xx≥1}，a-2x2≤0，所以a≤2x2, 又x≥1，所以2x2≥2，故a2 因此命题p为真命题时，a≤2. 命题q:3x∈{x|1≤x≤3}，x十a≥0， 即3x∈{x|1x≤3}，a≥-x, 又-3≤-x≤-1，故a≥-3， 因此命题g为真命题时，a≥一3. 综上，当两个命题都是真命题时，实数a的取值范围为 {a-3a2}. 随堂步步夯实 1.D2.D 3.3x,∈R-2>0或。-2=0. 4.是 ·31 参考答案 5.解：(1)由于命题：“Vx∈B,x∈A”是真命题， 所以B二A,B≠⑦， ,m+1≤2m-1, 所以m十1≥一2，解得2≤m≤3. 2m-15, (2)g为真，则A∩B≠， 因为B≠⑦，所以m≥2. ,m+1≤5， 所以2m-1≥-2，解得2≤m≤4. （m≥2. 章末归纳提升 归纳提升 [例1][解析](1)：a∈A,b∈A,x=a十b,所以x=2, 3,4,5,6,8,.B中有6个元素，故选C. (2)当x=0,y=0时，x一y=0;当x=0,y=1时，x-y= -1;当x=0,y=2时，x一y=一2；当x=1y=0时，x一 y=1;当x=1,y=1时，x一y=0;当x=1,y=2时，x一3y =一1；当x=2,y=0时，x-y=2:当x=2y=1时，x y=1;当x=2,y=2时，x一y=0.根据集合中元素的互 异性知，B中元素有0，一1，一2,1,2，共5个 [答案](1)C(2)C [例2][解析](1)用列举法表示集合A,B,根据集合关 系求出集合C的个数，由x一3x十2=0得x=1或x= 2,.A={1,2}.由题意知B={1,2,3,4},.满足条件的 C可为{1,2}，{1,2,3}，{1,2,4}，{1,2,3,4}，共4个. (2)由B二A,则x2=4或x2=2x.当x2=4时，x=士2， 但x=2时，2x=4,这与集合元素的互异性相矛盾；当x =2x时，x=0或x=2(舍)， 综上所述，x=一2或x=0. (3)当B=⑦时，有m+1≥2m一1，则m≤2. 当B≠⑦时，若B二A,如图」 -2m+10 2m-17x ,m+1≥-2， 则2m-1≤7，解得2<m≤4. (m+1<2m-1, 综上，m的取值范围为{mm4}. [答案](1)D(2)0或-2(3){mm≤4} [例3][解析](1)由A∩B=1}得1∈B, 所以m=3,B={1,3}. [答案]C (2)[解]①因为A={x|2x7},B={x3x<10}, 所以AUB={x2≤x<10}. 因为A={x2≤x<7}, 所以CRA={xx<2,或x≥7}， 则(CRA)∩B={x7≤x<10}. ②因为A={x|2≤x<7},C={xx<a,且A∩C≠⑦， 所以a>2, 所以a的取值范围是{aa>2}. [例4幻[解](1)该命题是全称量词命题，是真命题.该 命题的否定：存在一个非空集合，空集不是该集合的真 子集， 3 数学·必修第一册 (2)该命题是全称量词命题，是假命题. 因为4x2-(2x-1+3x2)=x2-2x+1=(x-1)≥0， 所以当x=1时，4x=2x-1+3x2. 该命题的否定：3x∈R,4x2≤2x-1十3.x2. (3)该命题是存在量词命题，是真命题. 因为当x=1时，|x一2=1<2. 该命题的否定：x∈{-2，-1,0,1,2}，x-2≥2. (4)该命题是全称量词命题，是假命题.当a≠0时，方程 ax十b=0才恰有一解，该命题的否定：3a,b∈R,方程 ax十b=0无解或至少有两解. [例5][解析]①ab=0台a=0或b=0,即a,b至少有一 个为0； ②a十b=0台a,b互为相反数，则a,b可能均为0，也可能 为一正数一负数： ③a(a+b)=0台a=0,b为任意实数； ④ab>0台 1a0或0· 1b>01b<0, 即a,b同为正数或同为 负数 综上可知：(1)使a,b都为0的必要条件是①②③： (2)使a,b都不为0的充分条件是④； (3)使a,b至少有一个为0的充要条件是①， [答案](1)①②③(2)④(3)① [例6][解析]设参加数学、物理、化学小组的人数构成 的集合分别为A,B,C,同时参加数学和化学小组的有x 人，由题意可得如图所示的Venn图. 以 B 26-6-89(15-46 国大 (13-4-x) 由全班共36名同学可得(26一6-x)十6十(15一4一6) +4+(13-4-x)+x=36, 解得x=8,即同时参加数学和化学小组的有8人 [答案]8 变式训练 1.解析：(1)C(2)3或1[(1)易知A=1,2},又AUB =(01,2},所以集合B可以是：{0}，{0,1}，{0,2}，{0， 1,2}. (2)当m十2=5时，m=3,M={1,5,13),符合题意； 当m+4=5时，m=1或m=-1,若m=1,则M={1, 3,5},符合题意；若m=一1，则m十2=1，不满足元素的 互异性，故m=3或1.] 2.D[当m=0时，方程mx一6=0无解，B=⑦，满足B二 A:当m≠0时，B=(6},因为BCA,所以6=2或6= 72 m m 3,解得m=3或m=2.] 3.(1)D[由题意得，B={1,4,7,10},所以A∩B={1, 4}.] (2)A[由题意知CuA={2,5},所以(CuA)UB=(2, 4,5},故选A.] ·31 4.(1)B[量词“存在”否定后为“任意”，结论“它的平方是 有理数”否定后为“它的平方不是有理数”故选B.] 2)C[A中，x+z+3=(e+2)+>0,故A是 假命题：B中∈Q,子x+宁+1一定是有理数，故B 是真命题；C中，x=4,y=1时，3x-2y=10成立，故C 是真命题；对于D,当x=0时，左边=右边=0，故D为 假命题.] 5.解：由命题p为假命题，可知7p:Hx∈R,ax十2x-1 ≠0为真命题. 当a=0时，Vx∈R,2.x-1≠0显然不成立； 当a≠0时，只需△=4十4a<0→a<一1. 综上，A={ala<-1}. 选①：“x∈A”是“x∈B”的必要不充分条件，则BA. 当B=心时，3m≥m十2→m≥1，满足要求； 当B≠时，3m<m十2解得m≤-3. m+2≤-1， 综上，实数m的取值范围是{mm≤-3或m≥1}. 选②：“x∈B”是“x∈CRA”的充分条件，则B二CRA,且 CRA={aa≥-1}. 当B=☑时，3m≥m十2→m≥1，满足要求： 当B≠②时，3m<m+2 3m≥-1， 解得-}≤m<1. 等上，实数m的取位范周是{mm≥吉} 选③：B∩(CRA)=0,又CRA={aa≥-1}， 则当B=财时，3m≥m十2→m≥1，满足要求： 当B≠时，3m<m+2, 1m+2≤-1， 解得m≤-3. 综上，实数m的取值范围是{mm≤一3或m>1} 6.B[由题可得参加比赛的学生共有31人，因为card(A UB)=card(A)十card(B)一card(A∩B),所以田赛和径 赛都参加的学生人数为16+23一31=8.故选B.] 第二章一元二次函数、方程和不等式 2.1等式性质与不等式性质 第1课时不等关系与不等式 课前预习学案 情境引入 提示指水支甜这一现象对应的不等武为公<牛，共 中a<b,c>0. 知识梳理 知识点一、1.不等关系2.><≥≤ 知识点二、a-b>0a-b<0a-b=0 [思考] l.提示：成立，不等式“a≤b”的含义是：或者“a<b”或者“a =b”,即当“a<b”与“a=b”一个成立时，该不等式就 成立 2.提示：是. 3.提示：台g的含义是：力可以推出q,g也可以推出p,即 p与q可以互推」