1.5.1 全称量词与存在量词-【创新教程】2026-2027学年高中数学必修第一册五维课堂同步复习（人教A版）

第一章集合与常用逻辑用语 1.5全称量祠与存在量祠 1.5.1全称量词与存在量词 课程标准 素养解读 1.了解命题的概念，能判断真假 用全称量词、存在量词梳理、表达学过的相 2.通过已知的数学实例，理解全称量词与存在量应数学内容，重点提升数学抽象、逻辑推理 词的意义 素养 课前。预习学案 [情境引入] [知识梳理] 在某个城市中有一位理发师，他的广告词 [知识点一] 命题的概念 是这样写的：“本人的理发技艺十分高超，誉满 可供真假判断的陈述语句 全城.我将为本城所有不给自己刮脸的人刮 脸，我也只给这些人刮脸.我对各位表示热诚 定个义 真命题 判断为真的语句 欢迎！”来找他刮脸的人络绎不绝，自然都是那 命题分类 假命题 些不给自己刮脸的人。可是，有一天，这位理 判断为假的语句 发师从镜子里看见自己的胡子长了，他本能地 [知识点二] 全称量词与存在量词 抓起了剃刀，他们说他能不能给他自己刮脸 全称量词 存在量词 呢？如果他不给自己刮脸，他就属于“不给自 己刮脸的人”，他就要给自己刮脸，而如果他给 存在一个、至少 量词 所有的、任意一个 自己刮脸呢？他又属于“给自己刮脸的人”，他 有一个 就不该给自己刮脸。 符号 这就是著名的“罗素理发师悖论”问题. [问题](1)文中理发师说：“我将给所有的不 2思考1.常见的全称量词、存在量词还有 给自己刮脸的人刮脸”.对“所有的”这一词语， 哪些？ 你还能用其他词语代替吗？ (2)上述词语都有什么含义？ [知识点三]全称量词命题与存在量词命题 1.定义和表示方法 全称量词命题 存在量词命题 含有 的命 含有 定义 题，叫做全称量词 的命题，叫做存 命题 在量词命题 ·23· 数学·必修第一册 续表 [预习自测] 1.将“x2+y2≥2xy对任意实数x恒成立”改 存在量词命题 写成符号形式为 全称量词命题“对 “存在M中的 M中任意一个x, A.Hx,y∈R,x2+y2≥2xy 表示 元素x.p(x)成 (x)成立”可用符 B.3x,y∈R,x2+y≥2xy 立”可用符号简 号简记为： C.Vx>0,y>0,x2+y2>2xy 记为： D.3x<0,y<0,x2+y2≥2xy 2.下列命题中，不是全称量词命题的是( 2.本质：全称量词的含义是“任意性”，存在量 A.任何一个实数乘以0都等于0 词的含义是“存在性” B.任意一个负数都比零小 3.应用：全称量词、存在量词是数学和日常生 C.每一个正方形都是矩形 活中使用频率很高的一种逻辑用语，数学中 D.一定存在没有最大值的二次函数 存在大量的全称量词命题和存在量词命题」 3.给出下列命题： ?思考2.全称量词命题中的“x,M与p(x)” (1)Hx∈R,x2>0: 表达的含义分别是什么？ (2)3x∈R,x2+x+1≤0； (3)3a∈CRQ,b∈CRQ,使得a十b∈Q, 其中真命题的个数为 课堂。互动学案 题型一全称量词命题与存在量词命题的说别] 规律方法 [例1]判断下列语句是全称量词命题，还是 判断一个语句是全称量词命题还是存在量 存在量词命题： 词命题的思路 (1)凸多边形的外角和等于360°； (2)有的平行四边形是菱形； 判命题 判断该语句是否为命题 (3)有一个数是素数也是合数； 看命题中是否含有量词或隐含量词， (4)菱形的对角线相互垂直. 看量词 判断量词或隐含量词是全称量词还 是存在量词 汇思路点拨]依据全称量词命题与存在量 词的概念判断 下结论 含有全称量词的命题称为全称量词命题 含有存在量词的命题称为存在量词命题 [提醒] 全称量词命题可能省略全称量词， 存在量词命题的存在量词一般不能省略. ◇[变式训练] 1.判断下列命题是全称量词命题还是存在量 词命题 (1)矩形有一个外接圆. (2)非负实数有两个平方根； ·24 第一章集合与常用逻辑用语 (3)有一对实数(x,y),使2x-y十1<0 规律方法 成立 全称量词命题与存在量词命题的 真假判断的技巧 (1)要判定一个全称量词命题是真命题，必 须对限定集合M中的每个元素x验证 p(x)成立；但要判定全称量词命题是 假命题，只要能举出集合M中的一个 x,使得(x)不成立即可. (2)要判定一个存在量词命题是真命题，只 要在限定集合M中，能找到一个x使 题型二全称量词命题、存在量词命题的真假判断 p(x)成立即可；否则，这个存在量词命 题就是假命题， [例2]判断下列命题的真假： ◇[变式训练] (1)3x∈Z,x3<1; 2.用符号“H”与“]”表示下面含有量词的命 (2)存在一个四边形不是平行四边形； 题并判断其真假： (3)在平面直角坐标系中，任意有序实数对 (1)自然数的平方大于零； (x,y)都对应一点P. (2)存在一对整数x0yo,使2x0+4y=3; (3)存在一个无理数，它的立方有理数. [思路点拨]依命题真假的判断方法作出 结论， 题型全称量词命题、存在量词命题的应用] [例3](1)已知集合A={x|1≤x≤2，若命 题“Hx∈A,一次函数y=x十m的图象在x 轴上方”是真命题，则实数m的取值范围是 (2)若命题“了x∈R,使得方程a.x2+2x-1 =0成立”是真命题，求实数a的取值范围. ·25· 数学·必修第一册 思路点拨]“(1)VxEA={x1≤x≤2) ⊙[变式训练] 在一次函数y=x十m的图象，在x轴的上 3.(1)已知对任意的x∈{x|1≤x≤3}，都有m 方，则1十m>0. ≥x,求实数m的取值范围； (2)由题意，分a=0和a≠0两种情况讨论 (2)已知存在实数x∈{x1≤x≤3}，使m≥x, 求实数m的取值范围. 规律方法 利用含量词的命题的真假求参数的取值范围 (1)含参数的全称量词命题为真时，常与不 等式恒成立有关，可根据有关代数恒等 式（如x2≥0），确定参数的取值范围. (2)含参数的存在量词命题为真时，常转化 为方程或不等式有解问题来处理，可借 助根的判别式等知识解决. ● 随堂。步步夯实 -● 1.下列命题中，是真命题的是 4.已知命题“3x∈R,2x2+(a-1)x+号≤0"是 A.]x∈R,x2+x+3=0 B.Hx∈R,x2+x+2>0 假命题，则实数a的取值范围是 C.Hx∈R,x2>lxl 5.是香存在整数m,使得命题“Vx≥-，-5 D.已知集合A={a|a=2n},B={b|b= <3-4m<x+1”是真命题？若存在，求出 3m},则对于任意的n,m∈N*,都有A∩ m的值；若不存在，请说明理由. B=0 2.下列命题中是全称量词命题并且是真命题 的是 A.3x>1,x2-2x-3=0 B.若2x为偶数，则x∈N C.所有菱形的四条边都相等 D.π是无理数 3.下列存在量词命题是真命题的序号是 ①有些不相似的三角形面积相等； ②存在实数x,使x2+2<0: ③存在实数a,使函数y=a.x+b的值随x的 增大而增大； @温馨提 ④有一个实数的倒数是它本身， 学习至此，请完成配套训练 ·26·(3)由(a一2)(a一3)=0可以推出a=2或a=3,不一定 有a=3即p力q: 由a=3可以得出(a一2)(a一3)=0即g→p. 因此力是g的必要不充分条件， (4)由于a<b,当b0时，云>1：当b>0时，分<1，故 若a<b,不一定有分<1，当a>0,b>0,分<1时，可以 推出a<b: 当a<0,b<0,分<1时，可以推出a>6. 因此力是9的既不充分也不必要条件， [例2】[解]设p:0<m<39:方程m-2x十3=0 有两个同号不相等实根. (1)充分性（→q): 因为0<m<号，所以4=4-12m>0, 所以一元二次方程mx2一2x十3=0有两个不等的实根. 设方程的两根为x1,x2, 当0<m<号时， +=品>0且=是>0， 故方程m.x2一2x十3=0有两个同号且不相等的实根. (2)必要性(q→p): 若方程mx2一2x十3=0有两个同号且不相等的实根. 则有4=4-12m>0, (x1x2>0, 所以0<m<子 即方程m.x2一2x十3=0有两个同号且不相等的实根→0 ∠m<3 综上可知，方程m.x2-2x十3=0有两个同号且不相等的 实根的充要条件是0<m<3 [例3][解]p:x∈{x-2≤x≤10}， q:x∈{x1-m≤x≤1+m. 因为p是？的必要不充分条件， 所以q是p的充分不必要条件， 即{x|1一mx≤1十m}{x-2x≤10}， 故有{-m之2或-m>-2. 1+m<10.1+m10, 解得m≤3.又1一m<1十，所以m>0, 所以实数m的取值范围为{m0<m3}. 变式训练 1.解：(1)因为由x≠0推不出x+|x|>0, 如x=一1时，x十|x|=0,所以p力q, 所以p不是q的充要条件. (2)由|a-b=|a|+1b|,两边平方得a2-2ab+b =a+2 ab+b,ab=-ab, 得ab≤0，即“|a-b=|a+|b”等价于“ab≤0”. 所以p中q,所以力不是g的充要条件. ·31 参考答案 (3)当x1=一1，x=一4时，x1十x2=一5， 而一1，一4不是方程x2十5x一6=0的两根.所以q肀p, 所以p不是g的充要条件。 (4)由A二B,得A∩B=A:反过来，由A∩B=A,且(A∩ B)二B,得A二B,因此“A二B”是“A∩B=A”成立的充要 条件，即力是q的充要条件. 2.证明：充分性： 若a十b=1, 则a2+b一a-b+2ab=(a+b)2-(a+b)=1-1=0, 即充分性成立， 必要性： 若a2+b-a十b+2ab=0, 则(a+b)-(a+b)=(a+b)(a+b-1)=0. .a+b≠0，.a+b-1=0, 即a十b=1,必要性成立， 综上，a+b-a-b十2ab=0成立的充要条件是a十b =1. 3.解：(1)M∩P={x5<x≤8}的充要条件是-3≤a≤5， 所以实数a的取值范围是{a|一3a5}. (2)显然，满足-3≤a≤5的数中任取一个a的值都是M ∩P={x5<x≤8}的一个充分不必要条件，则取a=5. (答案不唯一) (3)由(1)知M∩P={x5<x≤8}的充要条件是{a|-3 ≤a≤5}，要求实数a的取值范围，使它成为M∩P={xl 5<x≤8}的一个必要不充分条件，即求一个集合，满足 {a一3a5}是该集合的真子集，那么{aa≤5}是所 求的一个必要不充分条件，（答案不唯一） 随堂步步夯实 1.B2.B 3.必要不充分 4.{aa<1} 5.解：充分性：，ac<0,.一元二次方程ax十bx十c=0的 判别式△=b-4ac>0, ∴方程一定有两个不等实根，分别设为x1,x2,则x1x2= C<0,.方程的两根异号，即方程ax2+bx十c=0有一 正根和一负根】 必要性：·一元二次方程ax2十bx十c=0有一正根和一 负根，分别设为x1,x2,则由一元二次方程根与系数的关 系，得A=6-4ac>0且工x=<0,解得ac<0. 综上可知，一元二次方程a.x2十bx十c=0有一正根和一 负根的充要条件是ac<0. 1.5全称量词与存在量词 1.5.1全称量词与存在量词 课前预习学案 情境引入 (1)提示：任意一个，全部，每个. (2)提示：表示某个范围的整体或全部， 数学·必修第一册 知识梳理 知识点二、3 知识点三、1.全称量词存在量词Hx∈M,(x) 3x∈M,b(x) [思考] 1.提示：常见的全称量词还有“一切”“每一个”“任给”“凡 是”等， 常见的存在量词还有“有些”“有一个”“对某些”“有 的”等 2.提示：元素x可以表示实数、方程、函数、不等式，也可以 表示几何图形、相应的集合M是这些元素的某一特定的 范围，(x)表示集合M的所有元素满足的性质，也可以 用g(x),r(x)等符号表示， 预习自测 1.A2.D3.1 课堂互动学案 [例1][解析](2)(3)的存在量词“有的”“有一个”为存 在量词命题，(1)(4)是省略了全称量词的全称量词 命题， [例2][解](1)因为-1∈Z,且(-1)3=-1<1，所以 “]x∈Z,x3<1”是真命题. (2)真命题，如梯形」 (3)由有序实数对与平面直角坐标系中的点的对应关系 知，它是真命题. [例3](1)[解析]当1≤x2时，1十m≤x十m2十 m,因为一次函数y=x十m的图象在x轴上方，所以1十 m>0,即m>-1,所以实数m的取值范围是{mm>一1}. [答案]{mm>一1} (2)[解]由题意得，关于x的方程a.x2+2x-1=0有 实数根，当a=0时，方程为2x一1=0，显然有实数根，满 足题意；当a≠0时，△=4十4a≥0，解得a≥-1，且a≠0. 综上知，实数a的取值范围是{aa≥一l}. 变式训练 1.解：(1)可以改写为“所有的矩形都有一个外接圆”，是全 称量词命题 (2)可以改写为“所有的非负实数都有两个平方根”，是 全称量词命题. (3)可以改写为“3x∈R,y∈R,使2x一y十1<0成立”， 是存在量词命题. 2.解：(1)Hx∈N,x>0,因为0也是自然数，0的平方是0.所 以，全称量词命题“自然数的平方大于零”是假命题. (2)3xy∈Z,2x0+4y=3.由2x0+4yg=3,得x0+ 2。=是，若%∈乙，则。十2。电是签数，不可能等 于号，所以，存在量词命题“存在一对整数0，使2 十4y=3”是假命题. (3)]x。∈{无理数}，x∈Q,5是无理数，(3)3=3是有 理数. 所以，存在量词命题“存在一个无理数，它的立方是有理 数”是真命题 ·31 3.解：(1)由于对任意的x∈{x1x3}都有m≥x,故只 需m大于或等于x的最大值，即m≥3. (2)由于存在实数x∈{x|1x3},使m≥x,故只需m 大于或等于x的最小值，即m≥1. 随堂步步夯实 1.B2.C3.①③④ 4.{a-1<a<3} 5.解析：假设存在整数m,使得命题“Vx≥一】 ,-5<3 4m<x十1”是真命题. 因为当x≥-上时，x+1≥ 4 4 所以-5<3-4m<是，解得品<m<2。 又m为整数，所以m=1, 故存在整数m=1,使得命题“Vx≥-子，-5<3-4m< x十1”是真命题」 1.5.2全称量词命题与存在量词命题的否定 课前预习学案 情境引入 提示探险家应该说“我将被五马分尸” 如果土人首领将探险家五马分尸，那就说明探险家说的 就是真话，而说真话应该被烧死； 如果土人首领将探险家烧死，那就说明探险家说的就是 假话，而说假话应该被五马分尸， 所以，土人首领怎么处置探险家都不行，只能让他活着， [思考] 1.提示：不唯一，如“所有的菱形都是平行四边形”，它的否 定是“并不是所有的菱形都是平行四边形”，也可以是 “有些菱形不是平行四边形” 2.提示：对于含有一个量词的命题，容易知道它是全称量 词命题或存在量词命题.一般地，省略了量词的命题是 全称量词命题，可加上“所有的”或“对任意”，它的否定 是存在量词命题 预习自测 1.3x。∈R,x。-2+|x。-4|3 2.D3.D 课堂互动学案 [例1][解](1)该命题的否定：了x∈R, 1-（e-）>1 因为VxR(e-）≥0 所以-(-号）≤0， 1-(一2)<1恒成立，所以这是一个假命题， (2)该命题的否定：至少存在一个正方形不是矩形，假 命题. (3)该命题的否定：至少存在一个x∈Z,x2的个位数等 于3，因为0=0,12=1,22=4,32=9,4=16,52=25：6 =36,72=49,82=64,92=81,…,所以这是一个假 命题 2