1.4.2 充要条件-【创新教程】2026-2027学年高中数学必修第一册五维课堂同步复习（人教A版）

数学·必修第一册 此时U={3,5,6},A={3,6},满足CA={5}; 当m=一2时，|3一2m=7≠5， 此时U={3,5,6},A={6,7},不符合题意舍去. 综上，可知m=3. 1.4充分条件与必要条件 1.4.1充分条件与必要条件 课前预习学案 情境引入 提示(1)一定亮 (2)不一定，还可能是C开关闭合. 知识梳理 知识点一、1.→书充分必要充分必要 知识点二、(1)判定(2)性质 [思考] 1.提示：相同，都是p→4. 2.提示：这五种表述形式是等价的. 预习自测 1.A2.B 3.(1)中(2)→ 课堂互动学案 [例1][解](1)由于QR,所以p→g,所以力是q的充 分条件. (2)由于a<b,当b<0时，合>1；当6>0时，分<1，因 为中q,所以p不是g的充分条件. (3)由x>1可以推出x>1.因此p→g,所以p是q的充 分条件 (4)设A={a(a一2)(a一3)=0}，B={3},则BA.因 此力户q,所以力不是g的充分条件， (5)由三角形中大角对大边可知，若∠A>∠B,则BC> AC.因此，p→q,所以力是q的充分条件. [例2][解析](1)等腰梯形的两条对角线相等.因此，p →q,所以q是力的必要条件， (2)直角三角形不一定是等腰三角形. 因此p中q,所以g不是力的必要条件. （8)若一子周y是真命效 因此→q,所以q是p的必要条件， (4)命题“若关于x的方程ax十b=0(a,b∈R)有唯一解， 则a>0”为假命题，因此p中g,所以g不是p的必要 条件 [例3][解]由-a<x-1<a,得1-a<x<1十a, 依题意，得{x一1<x3}二{x1一a<x<1十a}, 所以-a≤1解得u≥2. 1+a≥3， 故使a>b恒成立的实数b的取值范围是{bb<2}. 变式训练 1.(1)A (2)解析：由题意得，MUN=N,所以“a∈M”→“a∈N”, 所以“a∈M”是“a∈N”的充分条件， 答案：充分 ·31 2.解：(1)该命题是真命题，p→q,所以g是力的必要条件， (2)因为∠a=60°32′，所以∠a的余角为90°-6032'= 2928. p→q,所以g是p的必要条件. (3)因为3十4<9，所以长分别为3cm、4cm和9cm的 三条线段不能组成三角形，所以p中q,所以g不是力的 必要条件， (4)两个偶数相乘仍是偶数： 所以p→q,所以g是力的必要条件. 3.解：(1)若2x+m<0是x<-1或x>3的充分条件 则只要{<-受}<-1，或x>31,即只需 -g≤-1，所以m≥2. 2 故存在实数m≥2，使2x十m<0是x<-1或x>3的充 分条件 (2)若2x十m<0是x<-1或x>3的必要条件，则只要 {<-1,或x>8{红<-受}这是不可能的. 故不存在实数m,使2x十m<0是x<-1或x>3的必 要条件， 随堂步步夯实 1.B 2.BD 3.(1)必要条件(2)充分条件4.充分 5.解：因为力是g的充分条件，但不是必要条件，所以p→g 但g中p,即{x|一2x10}是{x|1一mx1十m}的 真子集， 所以-m<-2, ,或-m≤-2， 解得m≥9. (1+m≥10 1+m>10, 所以实数m的取值范围为{mm≥9}. 1.4.2充要条件 课前预习学案 情境引入 提示 一般地，如果慨有p→q,又有q→，就记作： 台q, 知识梳理 知识点一、1.充分必要充要互为充要 [思考] 1.提示：正确.若p是g的充要条件，则力曰g,即力等价 于q: 2.提示：①p是g的充要条件说明力是条件，9是结论. ②力的充要条件是q说明q是条件，p是结论， 预习自测 1.D2.A3.充分不必要 课堂互动学案 [例1][解](1)由三角形中大角对大边可知，若A>B, 则a>b,即→g,反之，若a>b,则A>B即g→p. 因此，力是q的充要条件， (2)由x>1可以推出x>1即p→q: 由x>1,得x<-1或x>1,不一定有x>1即q力b. 因此，p是g的充分不必要条件。 】 (3)由(a一2)(a一3)=0可以推出a=2或a=3,不一定 有a=3即p力q: 由a=3可以得出(a一2)(a一3)=0即g→p. 因此力是g的必要不充分条件， (4)由于a<b,当b0时，云>1：当b>0时，分<1，故 若a<b,不一定有分<1，当a>0,b>0,分<1时，可以 推出a<b: 当a<0,b<0,分<1时，可以推出a>6. 因此力是9的既不充分也不必要条件， [例2】[解]设p:0<m<39:方程m-2x十3=0 有两个同号不相等实根. (1)充分性（→q): 因为0<m<号，所以4=4-12m>0, 所以一元二次方程mx2一2x十3=0有两个不等的实根. 设方程的两根为x1,x2, 当0<m<号时， +=品>0且=是>0， 故方程m.x2一2x十3=0有两个同号且不相等的实根. (2)必要性(q→p): 若方程mx2一2x十3=0有两个同号且不相等的实根. 则有4=4-12m>0, (x1x2>0, 所以0<m<子 即方程m.x2一2x十3=0有两个同号且不相等的实根→0 ∠m<3 综上可知，方程m.x2-2x十3=0有两个同号且不相等的 实根的充要条件是0<m<3 [例3][解]p:x∈{x-2≤x≤10}， q:x∈{x1-m≤x≤1+m. 因为p是？的必要不充分条件， 所以q是p的充分不必要条件， 即{x|1一mx≤1十m}{x-2x≤10}， 故有{-m之2或-m>-2. 1+m<10.1+m10, 解得m≤3.又1一m<1十，所以m>0, 所以实数m的取值范围为{m0<m3}. 变式训练 1.解：(1)因为由x≠0推不出x+|x|>0, 如x=一1时，x十|x|=0,所以p力q, 所以p不是q的充要条件. (2)由|a-b=|a|+1b|,两边平方得a2-2ab+b =a+2 ab+b,ab=-ab, 得ab≤0，即“|a-b=|a+|b”等价于“ab≤0”. 所以p中q,所以力不是g的充要条件. ·31 参考答案 (3)当x1=一1，x=一4时，x1十x2=一5， 而一1，一4不是方程x2十5x一6=0的两根.所以q肀p, 所以p不是g的充要条件。 (4)由A二B,得A∩B=A:反过来，由A∩B=A,且(A∩ B)二B,得A二B,因此“A二B”是“A∩B=A”成立的充要 条件，即力是q的充要条件. 2.证明：充分性： 若a十b=1, 则a2+b一a-b+2ab=(a+b)2-(a+b)=1-1=0, 即充分性成立， 必要性： 若a2+b-a十b+2ab=0, 则(a+b)-(a+b)=(a+b)(a+b-1)=0. .a+b≠0，.a+b-1=0, 即a十b=1,必要性成立， 综上，a+b-a-b十2ab=0成立的充要条件是a十b =1. 3.解：(1)M∩P={x5<x≤8}的充要条件是-3≤a≤5， 所以实数a的取值范围是{a|一3a5}. (2)显然，满足-3≤a≤5的数中任取一个a的值都是M ∩P={x5<x≤8}的一个充分不必要条件，则取a=5. (答案不唯一) (3)由(1)知M∩P={x5<x≤8}的充要条件是{a|-3 ≤a≤5}，要求实数a的取值范围，使它成为M∩P={xl 5<x≤8}的一个必要不充分条件，即求一个集合，满足 {a一3a5}是该集合的真子集，那么{aa≤5}是所 求的一个必要不充分条件，（答案不唯一） 随堂步步夯实 1.B2.B 3.必要不充分 4.{aa<1} 5.解：充分性：，ac<0,.一元二次方程ax十bx十c=0的 判别式△=b-4ac>0, ∴方程一定有两个不等实根，分别设为x1,x2,则x1x2= C<0,.方程的两根异号，即方程ax2+bx十c=0有一 正根和一负根】 必要性：·一元二次方程ax2十bx十c=0有一正根和一 负根，分别设为x1,x2,则由一元二次方程根与系数的关 系，得A=6-4ac>0且工x=<0,解得ac<0. 综上可知，一元二次方程a.x2十bx十c=0有一正根和一 负根的充要条件是ac<0. 1.5全称量词与存在量词 1.5.1全称量词与存在量词 课前预习学案 情境引入 (1)提示：任意一个，全部，每个. (2)提示：表示某个范围的整体或全部，第一章集合与常用逻辑用语 随堂。步步夯实 1.已知x∈R,则“x2=x十6”是“x=√Jx+6”的 4.“a=2”是“方程x2-4x十a=0有实根”的 ) 条件.（用“充分”“必要”填空） A.充分不必要条件 5.已知p:-2≤x≤10，q:1-m≤x≤1+m,且 B.必要不充分条件 饣是q的充分条件，但不是必要条件，求实 C.既充分又必要条件 数m的取值范围. D.既不充分也不必要条件 2.（多选)已知p:a=b,q:|a=|b,则下列说 法正确的是 ) A.q是p的充分不必要条件 B.p是q的充分不必要条件 C.q的必要不充分条件是p D.p的必要不充分条件是q 3.用充分条件、必要条件填空： (1)“a+b<0”是“a<0且b<0”的 (2)“x=2”是“x2-7x+10=0”的 1.4.2 充要条件 课程标准 素养解读 通过对典型数学命题的梳理，理解充要条针对充要条件问题，通过几个数学定义的研究比较， 件的意义，理解数学定义与充要条件的学生经历梳理知识，提炼定义，感悟思想的学习过程， 关系 提升逻辑推理素养与数学抽象素养 课前。预习学案 [情境引入] [知识梳理] 姚明大家都认识，他说过很多 [知识点]充要条件 很经典的话，其中有一句给我留下 1.一般地，如果既有p→q,又有q→p,就记作 了很深刻的印象，他说：“努力不一 台q.此时，我们说，p是g的 条 定成功，但放弃一定失败” 件，简称 条件 [问题]话语中有两组关键词：“努力”和“成 概括地说，如果p台q,那么p与q 功”；“放弃”和“失败”.每组中的两个词之间有 条件. 什么样的逻辑关系？ 2.若→q,但q力p,则称p是q的充分不必 要条件 3.若q→p,但p力q,则称p是q的必要不充 分条件 4.若pq,且q力p,则称p是q的既不充分 也不必要条件. ·19· 数学·必修第一册 5.本质：当原命题、逆命题都是真命题时，命题 [预习自测] 的条件和结论互为充要条件，是等价的， 1.以下选项中p是q的充要条件的是() 6.应用：充要条件是数学中非常重要的概念， A.p:3x+2>5,q:-2x-3>-5 应用充要条件可以从不同的角度来理解、刻 B.p:a>2,b<2,q:a>b 画很多数学内容 C.p:四边形的两条对角线互相垂直平分， 2思考1.若p是q的充要条件，则p和g是 q:四边形是正方形 D.p:a≠0，q:关于x的方程ax=1有唯一解 两个相互等价的命题，这种说法对吗？ 2.已知条件甲：0<x<5,条件乙：-3<x-2 2.“p是q的充要条件”与“p的充要条件是 <3,那么甲是乙的 q”的区别在哪里？ A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充要条件 D.既不充分也不必要条件 3.“m<}"是一元二次方程2十x+m=0有实 数解”的 条件（填“充要”“充分不必 要“必要不充分”或“既不充分也不必要”). 课堂。互动学案 题型一 充要条件的判断 规律方法 [例1]判断下列各题中p是q的什么条件. 充分条件、必要条件、充要条件的判断方法 (1)在△ABC中，p:A>B,q:a>b; (1)定义法（适用于较简单的命题） (2)p:x>1,q:x2>1; 若p→q,但q力p,则p是q的充分而 (3)p:(a-2)(a-3)=0,q:a=3; 不必要条件； .a<1. (A)p:a-b,q: 若q→，但p力q,则p是q的必要而 不充分条件； [思路点拨按充要系件的定义判断： 若p→q且q→p,则力是g的充要 条件； 若力q且q力p,则力是q的既不充 分也不必要条件， (2)集合法（适用于需对命题的条件或结论化 简的命题)首先建立与p,q相应的集合， p:A=(xlp(x));q:B={xg(x)). 若A二B,则p是q的充分条件； 若B二A,则p是q的必要条件； 若AB,则力是q的充分而不必要条件； 若B手A,则p是q的必要而不充分条件； 若A=B,则p是q的充要条件； 若A生B,B生A,则A是B的既不充分也不 必要条件 ·20· 第一章集合与常用逻辑用语 (3)传递性法（适用于多个条件之间的关系 规律方法 推断) 充要条件的证明策略 由于逻辑联结符号“→”“←”“台”具有 (1)准确理解题意明确证明方向. 传递性，因此可根据几个条件的关系， ①条件已知证明结论成立是充分性，结 经过若干次的传递，判断所给的两个条 件之间的相互关系. 论已知推出条件成立是必要性 ⊙[变式训练] ②“力是q的充分（必要）条件”常写为 1.下列各题中，哪些p是q的充要条件？ “q的充分（必要）条件是p”。 (1)p:x≠0，q:x+|x>0; (2)关注证明的两个环节. (2)p:a,b∈R,|a-bl=|a|+|bl,g:a,b∈ 一是充分性；二是必要性.证明时，不要 R;ab<O; 认为它是推理过程的“双向书写”，而应 (3)p:x1,x2是方程x2十5x-6=0的两个 该进行由条件到结论，由结论到条件的 实数根，9：x1十x2=一5； (4)p:ACB,q:A∩B=A. 两次证明. ⊙[变式训练] 2.已知a+b≠0，证明：a2+b2-a-b+2ab=0 成立的充要条件是a+b=1. 题型 充要条件的证明 [例2]求证：方程mx2一2x+3=0有两个同 号不相等实根的充要条件是0<m<号 汇思路点拨]从充分性和必要性两个方面 证明， ·21 数学·必修第一册 题型】 充要条件的应用 ◇[变式训练] [例3]已知p:x∈{x|-2≤x≤10}，q:x∈{x|1 3.已知集合M={x|x<-3,或x>5},P= 一m≤x≤1十m},若p是q的必要不充分条 {xla≤x≤8}. 件，求实数m的取值范围。 (1)求实数a的取值范围，使它成为M∩P= [思路点拨]由已知，x1-m≤x≤1十m {x5<x≤8}的充要条件； 手{x一2≤x≤10}，注意端点值的取舍， (2)求实数a的一个值，使它成为M∩P= {x5<x≤8}的一个充分不必要条件； (3)求实数a的取值范围，使它成为M∩P= {x5<x≤8}的一个必要不充分条件. 规律方法 应用充分不必要、必要不充分及充要条件求 参数值（范围）的一般步骤 (1)根据已知将充分不必要条件、必要不充分 条件或充要条件转化为集合间的关系， (2)根据集合间的关系构建关于参数的方程 或不等式求解。 随堂。步步夯实 ---● 1.设x∈R,则“1<x<2”是“1<x<3”的() 5.求证：一元二次方程ax2+bx十c=0有一正 A.必要不充分条件 根和一负根的充要条件是ac<0. B.充分不必要条件 C.充要条件 D.既不充分也不必要条件 2.“两个三角形面积相等”是“两个三角形全 等”的 () A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充要条件 D.既不充分也不必要条件 3.“x≠-1”是“x2一1≠0”的 条件。 4.条件p:1-x<0,条件q:x>a,若p是q的充 ©温馨提污 分不必要条件，则a的取值范围是 学习至此，请完成配套训练 ·22·