1.4.1 充分条件与必要条件-【创新教程】2026-2027学年高中数学必修第一册五维课堂同步复习（人教A版）

数学·必修第一册 此时U={3,5,6},A={3,6},满足CA={5}; 当m=一2时，|3一2m=7≠5， 此时U={3,5,6},A={6,7},不符合题意舍去. 综上，可知m=3. 1.4充分条件与必要条件 1.4.1充分条件与必要条件 课前预习学案 情境引入 提示(1)一定亮 (2)不一定，还可能是C开关闭合. 知识梳理 知识点一、1.→书充分必要充分必要 知识点二、(1)判定(2)性质 [思考] 1.提示：相同，都是p→4. 2.提示：这五种表述形式是等价的. 预习自测 1.A2.B 3.(1)中(2)→ 课堂互动学案 [例1][解](1)由于QR,所以p→g,所以力是q的充 分条件. (2)由于a<b,当b<0时，合>1；当6>0时，分<1，因 为中q,所以p不是g的充分条件. (3)由x>1可以推出x>1.因此p→g,所以p是q的充 分条件 (4)设A={a(a一2)(a一3)=0}，B={3},则BA.因 此力户q,所以力不是g的充分条件， (5)由三角形中大角对大边可知，若∠A>∠B,则BC> AC.因此，p→q,所以力是q的充分条件. [例2][解析](1)等腰梯形的两条对角线相等.因此，p →q,所以q是力的必要条件， (2)直角三角形不一定是等腰三角形. 因此p中q,所以g不是力的必要条件. （8)若一子周y是真命效 因此→q,所以q是p的必要条件， (4)命题“若关于x的方程ax十b=0(a,b∈R)有唯一解， 则a>0”为假命题，因此p中g,所以g不是p的必要 条件 [例3][解]由-a<x-1<a,得1-a<x<1十a, 依题意，得{x一1<x3}二{x1一a<x<1十a}, 所以-a≤1解得u≥2. 1+a≥3， 故使a>b恒成立的实数b的取值范围是{bb<2}. 变式训练 1.(1)A (2)解析：由题意得，MUN=N,所以“a∈M”→“a∈N”, 所以“a∈M”是“a∈N”的充分条件， 答案：充分 ·31 2.解：(1)该命题是真命题，p→q,所以g是力的必要条件， (2)因为∠a=60°32′，所以∠a的余角为90°-6032'= 2928. p→q,所以g是p的必要条件. (3)因为3十4<9，所以长分别为3cm、4cm和9cm的 三条线段不能组成三角形，所以p中q,所以g不是力的 必要条件， (4)两个偶数相乘仍是偶数： 所以p→q,所以g是力的必要条件. 3.解：(1)若2x+m<0是x<-1或x>3的充分条件 则只要{<-受}<-1，或x>31,即只需 -g≤-1，所以m≥2. 2 故存在实数m≥2，使2x十m<0是x<-1或x>3的充 分条件 (2)若2x十m<0是x<-1或x>3的必要条件，则只要 {<-1,或x>8{红<-受}这是不可能的. 故不存在实数m,使2x十m<0是x<-1或x>3的必 要条件， 随堂步步夯实 1.B 2.BD 3.(1)必要条件(2)充分条件4.充分 5.解：因为力是g的充分条件，但不是必要条件，所以p→g 但g中p,即{x|一2x10}是{x|1一mx1十m}的 真子集， 所以-m<-2, ,或-m≤-2， 解得m≥9. (1+m≥10 1+m>10, 所以实数m的取值范围为{mm≥9}. 1.4.2充要条件 课前预习学案 情境引入 提示 一般地，如果慨有p→q,又有q→，就记作： 台q, 知识梳理 知识点一、1.充分必要充要互为充要 [思考] 1.提示：正确.若p是g的充要条件，则力曰g,即力等价 于q: 2.提示：①p是g的充要条件说明力是条件，9是结论. ②力的充要条件是q说明q是条件，p是结论， 预习自测 1.D2.A3.充分不必要 课堂互动学案 [例1][解](1)由三角形中大角对大边可知，若A>B, 则a>b,即→g,反之，若a>b,则A>B即g→p. 因此，力是q的充要条件， (2)由x>1可以推出x>1即p→q: 由x>1,得x<-1或x>1,不一定有x>1即q力b. 因此，p是g的充分不必要条件。 】数学·必修第一册 1.4充分条件与必要条件 1.4.1 充分条件与必要条件 课程标准 素养解读 1.通过对典型数学命题的梳理，理解充分条件的意 通过对充分条件、必要条件的学习和理 义，理解判定定理与充分条件的关系 解，体会充分条件、必要条件在数学表 2.通过对典型数学命题的梳理，理解必要条件的意 达、论证等方面的作用，重点提升逻辑推 义，理解性质定理与必要条件的关系 理素养与数学抽象素养 课前。预习学案 [情境引入] 3.应用：充分条件、必要条件是两个常用的逻 某居民的卧室里安有一 辑用语，数学学科中大量的命题用它们来 盏灯，在卧室门口和床头各 叙述， 有一个开关，任意一个开关 ?思考1.p是q的充分条件与q是p的必要 都能够独立控制这盏灯。这 条件所表示的推出关系是否相同？ 就是电器上常用的“双刀”开关，如图所示. 2.以下五种表述形式：①p→q;②p是q的充 [问题](1)A开关闭合时B灯一定亮吗？ 分条件；③q的充分条件是p;④q是p的 (2)B灯亮时A开关一定闭合吗？ 必要条件；⑤p的必要条件是q.这五种表 述形式等价吗？ [知识梳理] [知识点一]充分条件与必要条件 1.定义 [知识点二]判定定理、性质定理与充分条 件、必要条件的关系 命题 “若，则q”是真 “若，则q”是 (1)数学中的每一条 定理都给出了相应 真假 命题 假命题 数学结论成立的一个充分条件. 推出 (2)数学中的每一条 定理都给出了相应 关系 9 数学结论成立的一个必要条件， [预习自测] p是q的 p不是g的 1.设命题甲：{x0<x<3},命题乙：{x|x-1| 条件 条件 条件 <2},那么甲是乙的 () 关系 g是p的 g不是p的 A.充分不必要条件 条件 条件 B.必要不充分条件 2.本质：当命题p→q是真命题时，条件p与结 C.充要条件 论q之间的逻辑称谓. D.既不充分也不必要条件 ·16 第一章集合与常用逻辑用语 2.下列四个条件中能成为x>y的充分条件 3.用符号“→”“力”填空. 的有 ) A.xt>yt B.xt>yt (1)x2=y2 x=y; C.22>y2 D.0<1s1 (2)内错角相等 两直线平行， 课堂。互动学案 题型三 规律方法 充分条件的判断 充分条件的两种判断方法 [例1]判断下列各题中，p是否是q的充分 条件： (1)定义法： (1)p:a∈Q,q:a∈R; 第一步 确定谁是条件，谁是结论 (2)p:a<b,9:号<1， 第二步 尝试由条件推结论 (3)p:x>1,q:x2>1; 若条件能推出结论，则条件为 (4)p:(a-2)(a-3)=0,q:a=3; 第三步 结论的充分条件，否则条件就 不是结论的充分条件 (5)在△ABC中，p:∠A>∠B,q:BC>AC. (2)命题判断方法： 思路点拨]分清命题的条件和结论，判断 是由条件推出结论，还是由结论推出条件. 如果命题：“若p,则q是真命题，则p 是q的充分条件； 如果命题：“若p,则q”是假命题，则p 不是g的充分条件 ◇[变式训练] 1.(1)使x(y-2)=0成立的一个充分条件是 () A.x2+(y-2)2=0B.(x-2)2+y2=0 C.(x+1)2+y2=0D.x(y-2)(x+2)=0 (2)设集合M={x|0<x≤2}，N={x0< x≤3}，那么“a∈M”是“a∈N”的 条件.（填“充分”或“必要”） 题型 必要条件的判断 [例2]下列“若p,则g”形式的命题中，哪些命 题中的q是p的必要条件？ (1)若一个四边形是等腰梯形，则这个四边 形两条对角线相等； (2)若△ABC是直角三角形，则△ABC是 等腰三角形； 8若}则： ·17· 数学·必修第一册 (4)若关于x的方程ax+b=0((a,b∈R)有 题型 充分条件写必要条件的应用 唯一解，则a>0. [例3]已知p:-l<x<3,若-a<x-l<a是p 汇思路点拨]“找到条件和结论的关系，是 的一个必要条件，求使a>b恒成立的实数b 判断必要条件的关键， 的取值范围 [思路点拨]依充分条件的定义构造不等式 组求解 规律方法 必要条件的两种判断方法 (1)定义法： 、第一步 确定谁是条件，谁是结论 规律方法 利用充分、必要、充要条件的关系求参数范围 第二步 尝试由结论推条件 (1)化简p,9两命题. 若结论能推出条件，则条件为 (2)根据p与q的关系（充分、必要条件）转化 第三步 结论的必要条件，否则条件就 不是结论的必要条件 为集合间的关系.依据如下： (2)命题判断方法： p是q的充分条件 →q ACB 如果命题：“若力，则q”是真命题，则q p是q的必要条件 q→p 是饣的必要条件； 如果命题：“若力，则q”是假命题，则q (3)根据集合间的关系，利用集合端点的大小 不是p的必要条件. 建立不等式组 ⊙[变式训练] (4)求解参数范围. 2.下列“若p,则g”形式的命题中，哪些命题中 特别提醒：验证集合为⑦时是否符合题意， 的q是p的必要条件？ ◇[变式训练] (1)若两个三角形全等，则这两个三角形对 3.(1)是否存在实数m,使2x+m<0是x<一1 应边上的中线相等； 或x>3的充分条件？ (2)若∠a=6032',则∠a的余角是2928'； (2)是否存在实数m,使2x+m<0是x<-1 (3)若有三条线段长分别为3cm、4cm和 或x>3的必要条件？ 9cm,则这三条线段能组成三角形； (4)若a和b都是偶数，则a×b是偶数， ·18· 第一章集合与常用逻辑用语 随堂。步步夯实 1.已知x∈R,则“x2=x十6”是“x=√Jx+6”的 4.“a=2”是“方程x2-4x十a=0有实根”的 ) 条件.（用“充分”“必要”填空） A.充分不必要条件 5.已知p:-2≤x≤10，q:1-m≤x≤1+m,且 B.必要不充分条件 饣是q的充分条件，但不是必要条件，求实 C.既充分又必要条件 数m的取值范围. D.既不充分也不必要条件 2.（多选)已知p:a=b,q:|a=|b,则下列说 法正确的是 ) A.q是p的充分不必要条件 B.p是q的充分不必要条件 C.q的必要不充分条件是p D.p的必要不充分条件是q 3.用充分条件、必要条件填空： (1)“a+b<0”是“a<0且b<0”的 (2)“x=2”是“x2-7x+10=0”的 1.4.2 充要条件 课程标准 素养解读 通过对典型数学命题的梳理，理解充要条针对充要条件问题，通过几个数学定义的研究比较， 件的意义，理解数学定义与充要条件的学生经历梳理知识，提炼定义，感悟思想的学习过程， 关系 提升逻辑推理素养与数学抽象素养 课前。预习学案 [情境引入] [知识梳理] 姚明大家都认识，他说过很多 [知识点]充要条件 很经典的话，其中有一句给我留下 1.一般地，如果既有p→q,又有q→p,就记作 了很深刻的印象，他说：“努力不一 台q.此时，我们说，p是g的 条 定成功，但放弃一定失败” 件，简称 条件 [问题]话语中有两组关键词：“努力”和“成 概括地说，如果p台q,那么p与q 功”；“放弃”和“失败”.每组中的两个词之间有 条件. 什么样的逻辑关系？ 2.若→q,但q力p,则称p是q的充分不必 要条件 3.若q→p,但p力q,则称p是q的必要不充 分条件 4.若pq,且q力p,则称p是q的既不充分 也不必要条件. ·19·