8.1 向量的概念和线性运算同步练习-2025-2026学年高一下学期数学沪教版必修第二册

8.1 向量的概念和线性运算 一、填空题 1．化简：__________． 2．一个人从A点出发沿东北方向走了到达B点，然后改变方向，沿南偏东方向又走了到达C点，则此人从C点回到A点的位移为_____________． 3．下列说法中正确的有________．（填序号） ①温度有零上温度，有零下温度，所以温度是向量； ②作用力与反作用力是一对大小相等、方向相反的向量； ③向量可以比较大小； ④体积、面积和时间都不是向量． 4．给出下列命题： ①若，则或； ②向量的模一定是正数； ③起点不同，但方向相同且模相等的向量是相等向量； ④向量与是共线向量，则A、B、C、D四点必在同一直线上． 其中正确命题的序号是___________． 5．在矩形中，，，则_____________. 6．对于任意三个向量，下列命题中正确的序号是______. ①若则 ② ③ ④若满足，且与反向，则 7．如图，在正六边形中，若，则______. 8．已知，且，则实数_____． 9．化简 ________________ 10．已知，不共线，，，（），若三点共线，则______. 11．若，则_____． 12．已知O是三角形ABC所在平面内一定点，动点P满足，，则P点的轨迹一定通过三角形ABC的________心． 二、选择题 13．在平行四边形ABCD中，点是对角线BD上靠近点的三等分点，设，，则（   ） A． B． C． D． 14．已知向量与均为非零向量，则“”是“”的（    ） A．充要条件 B．充分不必要条件 C．必要不充分条件 D．既不充分也不必要条件 15．如图所示，已知，，分别是的边，，的中点，则下列等式中不正确的是（    ） A． B． C． D． 16．如图是一个机器人手臂的示意图.该手臂分为三段，分别可用向量代表.若用向量代表整条手臂，则（    ） A． B． C． D． 三、解答题 17．在下图田字格中，以图中的节点为向量的起点或终点. （1）写出与相等的向量； （2）写出与方向相同或相反的向量； （3）写出的模相等方向相反的向量. 18．化简： （1）； （2）. 19．已知小船在静水中的速度与河水的流速都是，问： （1）小船在河水中行驶的实际速度的最大值与最小值分别是多少？ （2）如果小船在河南岸M处，对岸北偏东有一码头N，小船的航向如何确定才能直线到达对岸码头？（河水自西向东流） 20．如图，四边形ABCD是平行四边形，E，F分别是AD，DC的中点，BE，BF分别交AC于M，N．求证：M，N三等分AC．    21．如图，点C是点B关于点A的对称点，点D是线段上一个靠近点B的三等分点，设，． （1）用向量与表示向量，； （2）若，求证：C，D，E三点共线． 8.1 向量的概念和线性运算（答案） 一、填空题 1．化简：__________． 【答案】 ． 2．一个人从A点出发沿东北方向走了到达B点，然后改变方向，沿南偏东方向又走了到达C点，则此人从C点回到A点的位移为_____________． 【答案】根据题意画出示意图． ，，， 为正三角形，， 即此人从C点回到A点所走的路程为． ，，， 此人行走的方向为西偏北， 此人从C点走回A点的位移为沿西偏北，长度为． 故答案为：沿西偏北，长度为. 3．下列说法中正确的有________．（填序号） ①温度有零上温度，有零下温度，所以温度是向量； ②作用力与反作用力是一对大小相等、方向相反的向量； ③向量可以比较大小； ④体积、面积和时间都不是向量． 【答案】对于命题①，虽然温度有零上、零下之分，但不表示方向，故温度不是向量，①错误； 对于命题②，作用力与反作用力是大小相等、方向相反的两个力，而力是向量，②正确； 对于命题③，向量既有大小又有方向，而方向没有大小之分，所以向量不能比较大小，③错误； 对于命题④，体积、面积和时间都只有大小，没有方向，④正确．故说法正确的有②④． 故答案为：②④. 4．给出下列命题： ①若，则或； ②向量的模一定是正数； ③起点不同，但方向相同且模相等的向量是相等向量； ④向量与是共线向量，则A、B、C、D四点必在同一直线上． 其中正确命题的序号是___________． 【答案】①错误．由仅说明与模相等，但不能说明它们方向的关系． ②错误．的模为零． ③正确．对于一个向量，只要不改变其大小和方向，是可以任意移动的． ④错误．共线向量即平行向量，只要方向相同或相反即可，并不要求两个向量，必须在同一直线上． 故答案为：③ 5．在矩形中，，，则_____________. 【答案】在矩形中，，， . 6．对于任意三个向量，下列命题中正确的序号是______. ①若则 ② ③ ④若满足，且与反向，则 【答案】对于①，由于零向量与任意向量均共线，则当时，不确定的关系，错误； 对于②，显然若时，，错误； 对于③，根据三角形三边关系及向量加法的三角形法则知， 当且仅当两向量共线同向时取得等号，正确； 对于④，由向量的定义知，向量不能比大小，错误. 故答案为：③ 7．如图，在正六边形中，若，则______. 【答案】如图所示，过点作的垂线，垂足为， 根据直角三角形的性质： ，， 根据勾股定理，在中，， 因此. 8．已知，且，则实数_____． 【答案】， ， ． 9．化简 ________________ 【答案】. 10．已知，不共线，，，（），若三点共线，则______. 由题意可知，存在使得，即， 因为，不共线，所以. 11．若，则_____． 【答案】， ， 整理得：. 12．已知O是三角形ABC所在平面内一定点，动点P满足，，则P点的轨迹一定通过三角形ABC的________心． 【答案】由正弦定理可知：，R为三角形的外接圆的半径， 所以动点P满足． 则， 因为是以AB，AC为邻边的平行四边形的对角线以A为起点的向量，方向与边上的中线方向相同， 所以P点的轨迹一定通过三角形ABC的重心． 二、选择题 13．在平行四边形ABCD中，点是对角线BD上靠近点的三等分点，设，，则（   ） A． B． C． D． 【答案】C 由题意可知：， 则向量减法的三角形法则，可得：， 又因为，，所以 . 14．已知向量与均为非零向量，则“”是“”的（    ） A．充要条件 B．充分不必要条件 C．必要不充分条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】若，因为向量与均为非零向量，则存在非零实数，使得， 所以， 因为与均为非零向量的倍数， 所以与共线，即，充分性成立. 若，当时，，所以； 当时，存在实数，使得，所以， 假设，则，，与为非零向量矛盾，所以假设不成立，， 所以，因为为非零向量，所以共线，即，所以必要性成立. 综上，“”是“”的充要条件. 15．如图所示，已知，，分别是的边，，的中点，则下列等式中不正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】因为，，分别是的边，，的中点，所以∥，，即∥，且. 所以四边形是平行四边形 由向量加法的三角形法则可得，，； 由向量加法的平行四边形法则可得，，. 所以A，B，C正确；D错误. 故选：D． 16．如图是一个机器人手臂的示意图.该手臂分为三段，分别可用向量代表.若用向量代表整条手臂，则（    ） A． B． C． D． 【答案】根据题意得，所以， 所以由于各向量间的夹角未知，故，均不一定成立， 故C选项正确，A，B，D选项错误；所以C 三、解答题 17．在下图田字格中，以图中的节点为向量的起点或终点. （1）写出与相等的向量； （2）写出与方向相同或相反的向量； （3）写出的模相等方向相反的向量. （1）如图（1）标出了与方向相同，大小相等的向量，是与相等的向量，有，，，，； （2）与方向相同或相反的向量，长度可以相等也可以不相等，故有，，，，，，，，，如图（2）所示； （3）的相反向量是指模相等，方向相反的向量，故有，，，如图（3）所示. 18．化简： （1）； （2）. 【答案】（1） . （2）. 19．已知小船在静水中的速度与河水的流速都是，问： （1）小船在河水中行驶的实际速度的最大值与最小值分别是多少？ （2）如果小船在河南岸M处，对岸北偏东有一码头N，小船的航向如何确定才能直线到达对岸码头？（河水自西向东流） 【答案】（1）小船顺流行驶时实际速度最大，最大值为； 小船逆流行驶时实际速度最小，最小值为，此时小船是静止的． （2）如图所示， 设表示水流的速度，表示小船实际过河的速度，表示小船在静水中的速度． 设，由题意可得，，则， 因为，所以四边形为菱形． 所以，为等边三角形． 在中，，而，所以， 所以小船要由M直达码头N，其航向应为北偏西． 20．如图，四边形ABCD是平行四边形，E，F分别是AD，DC的中点，BE，BF分别交AC于M，N．求证：M，N三等分AC．    【答案】由题意可得：，， 所以, 由于与，与分别共线，但与不共线， 所以，，因此N是AC的一个三等分点； 同理可证，因此M也是AC的一个三等分点． 21．如图，点C是点B关于点A的对称点，点D是线段上一个靠近点B的三等分点，设，． （1）用向量与表示向量，； （2）若，求证：C，D，E三点共线． 【答案】（1）由题意得． ，，， ． （2）证明： ， 与平行，又与有公共点C， ，D，E三点共线． 学科网（北京）股份有限公司 $