8.2 课时1 一元线性回归模型及其参数的最小二乘估计 同步作业-2025-2026学年高二下学期数学人教A版选择性必修第三册

8.2 课时1 一元线性回归模型及其参数的最小二乘估计 【基础巩固】 1．已知两个变量和之间有线性相关关系，经调查得到的样本数据如下表所示，根据表格中的数据求得回归直线方程，则（ ） A．， B．， C．， D．， 【答案】D 【解析】由样本数据得随着的增大呈现减小的趋势， 所以和之间存在负相关的关系，所以，易得． 故选：D. 2．某公司研发新产品投入金额（单位：万元）与该产品的收益（单位：万元）的组统计数据如下表所示．由表中数据用最小二乘法求得投入金额与收益满足经验回归方程，则下列结论不正确的是（ ） A． B．时，残差为 C．与有正相关关系 D．当新产品投入金额为万元时，该产品的收益大约为万元 【答案】B 【解析】根据表中数据可求得： ，. 因为经验回归方程经过点，得.解得，所以A正确； 所以经验回归方程为.当时，， 所以残差为，所以B错误； 因为经验回归方程为，，所以正相关，所以C正确； 令，则，所以D正确. 故选：B. 3．已知线性相关系数是描述成对数据线性相关程度的统计量，也称为皮尔逊相关系数；一元线性回归分析是基于拟合误差取最小值的假设进行的，最终可得回归方程（回归直线）．现有个数据点，小明对它们进行了一元线性回归分析，得到线性相关系数和回归方程，随后发现自己漏掉了一个数据点且恰好．重新计算个数据点得到线性相关系数和回归方程，对于下面两个说法： ①一定小于 ②与一定重合 则（ ） A．①正确②错误 B．①正确②正确 C．①错误②正确 D．①错误②错误 【答案】C 【解析】当增加一个与回归直线完全拟合的数据点后，这个点没有产生新的拟合误差，整体数据点与回归直线的拟合程度变得更好，所以，不一定，故①错误； 回归方程是基于个数据点通过最小二乘法（使拟合误差取最小值）得到的，当加入新的数据点，因为它在回归直线上，它不会改变原来使取得最小的直线的位置，所以与一定重合，故②正确. 故选：C 4．已知变量线性相关，其一组样本数据，满足，用最小二乘法得到的经验回归方程为．若增加一个数据后，得到修正后的回归直线的斜率为，则数据的残差为（ ） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】因，则，则， 则新增数据后，，， 因新的回归直线过点，且修正后的回归直线的斜率为， 则，则修正后的回归直线为：， 则的估计值为，则数据的残差为. 故选：A 5．（多选）某同学经过随机抽样获得的成对样本数据为，，，，数据为其中一对样本数据，经统计分析，变量和变量具有线性相关关系，利用最小二乘法，计算得到经验回归方程为，则下列结论正确的为（ ） A．若，则 B．根据所求经验回归方程，数据的残差值为 C．若将样本数据，，，调整为，，，，则调整数据后所得经验回归方程为 D．若该同学将样本数据错误的记为，则样本相关系数将变小 【答案】ACD 【解析】对A，，因此，A正确； 对B，由回归直线方程知时，，因此残差为，B错； 对C，将样本数据，，，调整为，，，，根据计算公式，回归直线方程中系数不改变，但增加了，原来是，所以新的系数为，回归方程为，C正确； 对D，原回归直线中样本点的预估点是，现变为，远离了回归直线，因此线性相关性减弱，相关系数的绝对值变小，原来是，因此相关系数变小，D正确。 故选：ACD. 6．已知电商平台统计的连续5天某商品的点击量（单位：万次）如下： 并计算得，，，，.建立点击量关于天数的线性回归方程，预测第6天的点击量为______ 【答案】9.11万次 【解析】因为， 则，所以关于的回归直线方程为， 当时，，故预测第6天的点击量约为9.11万次. 故答案为：9.11万次. 7．已知变量与线性相关，由样本点求得的回归直线方程为，若点在回归直线上，且，则______． 【答案】 【解析】由点在回归直线上，且，可得，解得， 所以回归直线方程为， 又由样本中心在回归直线上，可得， 所以. 故答案为：. 8．是指空气中直径小于或等于微米的颗粒物（也称可入肺颗粒物）.为了探究车流量与的浓度是否相关，现采集到某城市周一至周五某一时间段车流量与的数据如下表： (1)根据上表数据，请在坐标系中画出散点图； (2)根据上表数据，用最小二乘法求出关于的线性回归方程；若周六同一时间段车流量是万辆，预测此时的浓度为多少（保留整数）? 参考公式：，. 【答案】见解析 【解析】(1)散点图如图所示； (2)∵，， ∴，，∴， ∴，∴关于的线性回归方程是：； 当时，， 所以可以预测此时的浓度约为. 【能力拓展】 9．下图是某地区2010年至2019年污染天数（单位：天）与年份的折线图．根据2010年至2014年数据，2015年至2019年的数据，2010年至2019年的数据分别建立线性回归模型，，，则（ ） A．， B．， C．， D．， 【答案】C 【解析】根据2010年至2014年数据，2015年至2019年的数据，2010年至2019年的数据分别建立线性回归模型，，， ∴由图知：2010年至2014年数据为； 2015年至2019年数据为； 2010年至2019年数据为；均成递减趋势. 又，，，且极差分别为6、51、65， 三条回归方程的直线大致图象，如下图示： ∴回归方程的斜率大小关系为，且截距.故选：C. 10．已知变量线性相关，其一组样本数据，满足，用最小二乘法得到的经验回归方程为．若减少一个杂点数据后，得到修正后的回归直线的纵截距为，则数据的残差为（ ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】由题意可得回归方程为，所以， 因为，所以，所以， 若减少一个杂点数据后，剩余样本数量为，修正后的，，又修正后的回归方程的纵截距为， 设修正后的回归方程为，可得， 所以修正后回归方程为，当时，， 所以数据的残差为. 故选：C 11．某软件科技公司近年的年利润额y与投入的年研发经费x（单位：千万元）如表所示． 根据散点图可以认为与之间存在线性相关关系，且相关系数，用最小二乘法求线性回归方程（，用分数表示），________． 附：参考数据：，． 【答案】 【解析】， ， 由条件可知， 得，所以， 故答案为：. 【素养提升】 12．某汽车研发公司的工程师为了解一款新型汽车在不同行驶速度（）下油耗（）的变化规律，进行了相关实验，记录不同速度下的油耗数据的散点图如下： 并计算得，． (1)根据散点图求关于的经验回归方程（精确到）； (2)根据线性回归方程，绘制残差图，并分析线性回归方程的拟合效果（若残差的平方和小于，则说明拟合效果良好，否则拟合效果较差）． 【答案】见解析 【解析】(1)由图得，， 则， 故，则关于的经验回归方程为． (2)结合(1)，计算得残差如下表： 因此残差分布图如下： 因为， 所以经验回归方程的拟合效果较好． 第7页，共7页 学科网（北京）股份有限公司 $ 8.2 课时1 一元线性回归模型及其参数的最小二乘估计 【基础巩固】 1．已知两个变量和之间有线性相关关系，经调查得到的样本数据如下表所示，根据表格中的数据求得回归直线方程，则（ ） A．， B．， C．， D．， 2．某公司研发新产品投入金额（单位：万元）与该产品的收益（单位：万元）的组统计数据如下表所示．由表中数据用最小二乘法求得投入金额与收益满足经验回归方程，则下列结论不正确的是（ ） A． B．时，残差为 C．与有正相关关系 D．当新产品投入金额为万元时，该产品的收益大约为万元 3．已知线性相关系数是描述成对数据线性相关程度的统计量，也称为皮尔逊相关系数；一元线性回归分析是基于拟合误差取最小值的假设进行的，最终可得回归方程（回归直线）．现有个数据点，小明对它们进行了一元线性回归分析，得到线性相关系数和回归方程，随后发现自己漏掉了一个数据点且恰好．重新计算个数据点得到线性相关系数和回归方程，对于下面两个说法： ①一定小于 ②与一定重合 则（ ） A．①正确②错误 B．①正确②正确 C．①错误②正确 D．①错误②错误 4．已知变量线性相关，其一组样本数据，满足，用最小二乘法得到的经验回归方程为．若增加一个数据后，得到修正后的回归直线的斜率为，则数据的残差为（ ） A． B． C． D． 5．（多选）某同学经过随机抽样获得的成对样本数据为，，，，数据为其中一对样本数据，经统计分析，变量和变量具有线性相关关系，利用最小二乘法，计算得到经验回归方程为，则下列结论正确的为（ ） A．若，则 B．根据所求经验回归方程，数据的残差值为 C．若将样本数据，，，调整为，，，，则调整数据后所得经验回归方程为 D．若该同学将样本数据错误的记为，则样本相关系数将变小 6．已知电商平台统计的连续5天某商品的点击量（单位：万次）如下： 并计算得，，，，.建立点击量关于天数的线性回归方程，预测第6天的点击量为______ 7．已知变量与线性相关，由样本点求得的回归直线方程为，若点在回归直线上，且，则______． 8．是指空气中直径小于或等于微米的颗粒物（也称可入肺颗粒物）.为了探究车流量与的浓度是否相关，现采集到某城市周一至周五某一时间段车流量与的数据如下表： (1)根据上表数据，请在坐标系中画出散点图； (2)根据上表数据，用最小二乘法求出关于的线性回归方程；若周六同一时间段车流量是万辆，预测此时的浓度为多少（保留整数）? 参考公式：，. 【能力拓展】 9．下图是某地区2010年至2019年污染天数（单位：天）与年份的折线图．根据2010年至2014年数据，2015年至2019年的数据，2010年至2019年的数据分别建立线性回归模型，，，则（ ） A．， B．， C．， D．， 10．已知变量线性相关，其一组样本数据，满足，用最小二乘法得到的经验回归方程为．若减少一个杂点数据后，得到修正后的回归直线的纵截距为，则数据的残差为（ ） A． B． C． D． 11．某软件科技公司近年的年利润额y与投入的年研发经费x（单位：千万元）如表所示． 根据散点图可以认为与之间存在线性相关关系，且相关系数，用最小二乘法求线性回归方程（，用分数表示），________． 附：参考数据：，． 【素养提升】 12．某汽车研发公司的工程师为了解一款新型汽车在不同行驶速度（）下油耗（）的变化规律，进行了相关实验，记录不同速度下的油耗数据的散点图如下： 并计算得，． (1)根据散点图求关于的经验回归方程（精确到）； (2)根据线性回归方程，绘制残差图，并分析线性回归方程的拟合效果（若残差的平方和小于，则说明拟合效果良好，否则拟合效果较差）． 第2页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 $