8.2 第1课时 一元线性回归模型及其参数的最小二乘估计-【成才之路·练案】2025-2026学年高中数学选择性必修第三册同步新课程学习指导(人教A版)

11.D因为r1>r2,但不确定r1,r,的正负情况，所以不能推出 第一组变量和第二组变量的相关程度；若第一组变量比第二 组变量相关程度强，则1rI>r2I,所以r1>2是第一组变量 比第二组变量线性相关程度强的既不充分也不必要条件.故 选D. 12.二、四由r= 盛出-86- =<0,则三(x-x) √含x-√含- (y:-y)<0,所以大多数点x-x与y:-异号，又(x,y)为坐 标原点，故大多数的点都落在第二、四象限 13.【解析】由题意得=6×(8+11+14+20+23+26)=17， 含(x-)2=(8-17)2+(1-17)2+(14-17)2+(20-17)2 +（23-17)2+(26-17)2=252,.r= 含（属-0-列 85 85 √x-√(-列 V252x5.5=67×5.5 0.97,由此可得这种酶的活性指标值y与温度x具有较强的 线性相关关系 14.【解析】(1)由表格中的数据，可得 x=5+2+9+8+L=7, 5 y=2+3+10+5+15=7, 外卖甲的日接单量的方差 号=5-7》°+2-7)+9-7'+8-7+1-7=10， 5 外卖乙的日接单量的方差 2=2-7)+3-7》°+10-7》°+5-7+5-71=23.6. 5 因为元=y,5<2,即外卖甲平均日接单量与外卖乙平均日 接单量相同，但外卖甲日接单量波动更小，所以外卖甲比外 卖乙的经营状况好 含(x-)-列 (2)因为r= 90857> √含(-)√含(y-)2 0.75. 所以可认为y与x之间有较强的线性相关关系，表明外卖的 接单量与日期有关系. 练案[19] 1.D根据经验回归方程的定义，可得两个变量x与y之间的经 验回归方程是反映x与y之间的真实关系的一种最佳拟合. 2.A由x与y正相关，排除选项C、D.将x=3,y=3.5代人选项 A、B,经检验B不成立. 3.B因为经验回归直线的斜率为80，所以x每增加1，y平均增 加80，即劳动生产率提高1000元时，工人工资平均提高 80元. 4C=40,放-罗=20：=1580，放-180=79. 20 故点(20,79)在经验回归直线上，即79=206-1，得6=4，即寸 =4x-1,当x=26时，代入计算得到y=103. -19 5.AC经验回归直线一定过样本中心点，但不一定过某个样本 点，故A正确，B错误；由题图可知x和y的样本相关系数在 区间[-1,0)上，故C正确；不能因为2026是偶数就断定分 布在直线l两侧的样本点的个数相同，故D错误 6.y=1.23x+0.08经验回归直线的斜率的估计值为1.23，即6 =1.23,又经验回归直线过定点(4,5)，.a=5-1.23×4= 0.08,.y=1.23x+0.08. 7.300因为经验回归直线过点(x,y),所以将x=20代入经验 回归方程得y=60,所以y1+y2+y+y4+5=5y=300. 8.73.5由题意得元=3+4+5+6=4.5,7=25+30+40+45 4 4 35.经验回归方程y=bx+a中6=7，.35=7×4.5+a,解 得a=3.5,.y=7x+3.5.当x=10时，y=7×10+3.5= 73.5(万元). 9.【解析】(1)由题意，知n=10, x=12x=80=8, x=10 10 x02 =19 又2-107=720-10x82=80, 0 y-10x=184-10×8×2=24, 则8-骑=03. a=y-6x=2-0.3×8=-0.4, 故所求经验回归方程为y=0.3x-0.4. (2)由于变量y的值随x值的增加而增加(b=0.3>0),故x 与y之间是正相关. (3)将x=7代入经验回归方程可以预测该家庭的月储蓄为y =0.3×7-0.4=1.7(千元). 10.【解析】(1)散点图如图所示. y 5 V681072x (2)元-6+8+10+12=9， 4 y-2+3+5+6=4 4 含=6+82+10+12=34， 8xy,=6×2+8×3+10×5+12×6=158, 6=158-4x9×4=4=0.7, 344-4×92201 a=y-6x=4-0.7×9=-2.3, 故经验回归方程为夕=0.7x-2.3. (3)由(2)中经验回归方程可知， 当x=9时，y=0.7×9-2.3=4, 即预测记忆力为9的同学的判断力为4. 1.ABD设A(2,11),B(6,2),由k=号<3，而8个数据点 的经验回归方程中b=3,∴.0<m<3,A、B正确；而10个数 据点的元=4×8+2+6=4,7=(3×4+4.5)×8+11+2。 10 10 16.5,.经验回归直线过定点(4,16.5)，则16.5=4m+n,n =16.5-4m,0<m<3,0<4m<12,-12<-4m<0,4.5< 16.5-4m<16.5,即4.5<n<16.5.故D正确，C错误. 12.0.50.53y=0.4+0.5+06+0.6+0.4-2.5-0.5,= 5 5 1+2+3+4+5=3.由公式得6=0.01，从而a=了-b元=0.5 -0.01×3=0.47,所以经验回归方程为y=0.47+0.01x,所 以当x=6时，y=0.47+0.01×6=0.53. 13.【解析】（1)画出散点图，如图所示 1y零件数1件 9外 。 0810121416x转速/（转/秒） (2)x=12.5,y=8.25, 含5=438,2=60， d4可 8买-47 -438-4×12.5×825=0.7286, 660-4×12.52 a=y-bx≈825-0.7286×125=-0.8575. 故经验回归方程为y=0.7286x-0.8575. (3)要使y≤10，则0.7286x-0.8575≤10. 得x≤14.9019. 故机器的转速应控制在14.9转/秒以下. 14.AD 元=2+4+7+10+15+2=10，= 6 8.1+9.4+12+14.4+18.5+24=14.4,故经验回归直线 6 过点(10,14.4)，选项A正确；将点(10,14.4)代人y= 0.8x+a,得a=6.4,B错误：y=0.8x+6.4,当y=16时 x=12,∴.月出时间为阴历12日，选项C错误；.阴历27 日时，即x=27,代入得y=0.8×27+6.4=28,∴.日出时间 应该为28日早上4：00，选项D正确. 练案[20] 1B因为R1含-) ,所以当R越大时，(-) 8(%-) 越小，即残差平方和越小 2.C对于回归模型，残差平方和越小，回归模型的拟合效果越 好，故拟合效果最好的模型是模型③. 3.D由残差图可以看出，图中的残差点不能拟合成一条直线， 且不满足D(e)=o2. 19 4.ABD由R2的计算公式，知B正确，C错误；A,D均正确。 5.B=5×(4+m+8+10+12)=4专m,万=写×1+2+3 +5+6)=3.4,将(4与0,3.4)代人经验国归方程了=06x -1.8中，得3.4=0.65×4m-1.8,解得m=6.所以当x 4时，y=0.65×4-1.8=0.8,11-0.81=0.2;当x=6时，y= 0.65×6-1.8=2.1,12-2.11=0.1;当x=8时，y=0.65×8 -1.8=3.4,13-3.41=0.4.综上，(4,1)，（m,2),(8,3)这三 个样本点中，距离经验回归直线最近的点是(m,2).故选B. 6.丁由题表可知，丁同学的相关系数r最大且残差平方和m 最小，故丁同学的试验结果体现了A,B两变量更强的线性相 关性. 7.0.96当x=175cm时，y=0.85×175-85.71=63.04(kg), ∴.相应残差e=64-63.04=0.96(kg). 8.0.06因为y=2x+1,故当x=2时，y=5,e1=-0.1;x=3,y =7,e2=0.1;x=4,y=9,e3=0.2.则+e+号=0.01+0.01 +0.04=0.06. 9.【解析】(1)元=了(10+9+9.5+10.5+1)=10， 万=5(78+76+7+79+80)=78. 又(x,-)(-)=5,8(x-0)=2.5, 8=25=2,a=y-6=78-2x10=58 ∴.y关于x的经验回归方程为y=2x+58 (2)当x=8时，y=2×8+58=74, 满足174-731=1<2， 当x=8.5时，y=2×8.5+58=75, 满足175-751=0<2， 故所得的经验回归方程是可靠的. 10.【解析】(1)由题意知这是一个古典概型， 试验发生包含的所有样本点是分别从集合A,B中各取一个 数组成数对(x,y）,共有25个， 其中满足x+y≥10的有(6,4)，(6,5)，(7,3)，(7,4)，(7， 5),(8,2),(8,3),(8,4),(8,5),共9个. 故使x+y≥10的概率为P=25 9 (2)当用y=3x+1作为拟合直线时， 残差平方和为=(1-号）+(2-2)+(3-3)尸+(4 9)+5号)=子 当用y2+作为报合直线时， 残差平方和为2=(1-1)》+(2-2)2+(3-7）+(4 因此$1>$2， 故用直线了=宁+号拟合效果更好。 1 8练案[19]第八章8.2[第1课时 A组·基础巩固 1.两个变量x与y之间的经验回归方程() A.表示x与y之间的函数关系 B.表示x与y之间的不确定关系 C.反映x与y之间的真实关系 D.是反映x与y之间的真实关系的一种最佳 拟合 2.已知变量x与y正相关，且由观测数据算得样 本平均数x=3,y=3.5,则由该观测数据算得 经验回归方程可能为 ( A.y=0.4x+2.3 B.y=2x-2.4 C.y=-2x+9.5 D.y=-0.3x+4.4 3.工人工资y(元)关于劳动生产率x(千元)的 经验回归方程为y=50+80x,下列判断正确的 是 A.劳动生产率为1000元时，工人工资为 130元 B.劳动生产率提高1000元时，工人工资平均 提高80元 C.劳动生产率提高1000元时，工人工资平均 提高130元 D.当月工资为250元时，劳动生产率为2000 元 4.为了研究某班学生的听力成绩x(单位：分)与 笔试成绩y(单位：分)的关系，从该班随机抽 取20名学生，根据散点图发现x与y之间有 线性关系，设其经验回归方程为y=bx+a,已 知=400，=1580，à=-1，若该班某 学生的听力成绩为26，据此估计其笔试成绩 约为 A.99 B.101 C.103D.105 5.（多选)设(x1,y1),（x2,y2),…,（x026,y2026） 是变量x和y的2026个样本点，直线1是由 这些样本点通过最小二乘法得到的经验回归 直线，如图所示，下列结论正确的是( y 0 -14 元线性回归模型及其参数的最小二乘估计] A.直线l过点(x,y) B.直线1过点(x1o13,y1o13） C.x和y的样本相关系数在区间[-1,0)上 D.因为2026是偶数，所以分布在直线1两侧 的样本点的个数一定相同 6.已知经验回归直线的斜率的估计值是1.23， 且过定点(4,5)，则经验回归方程是 7.为了规定工时定额，需要确定加工零件所花费 的时间，为此进行了5次试验，得到5组数据 (x1,y1),（x2,y2),(x3,y3),(x4,y4),（x5,y5), 根据收集到的数据可知x=20,由最小二乘法 求得经验回归方程为y=0.6x+48,则y1+ y2+y3+y4+y5= 8.某产品的广告费用x(单位：万元)与销售额 y(单位：万元)的统计数据如表： 广告费用x/万元 3 4 5 6 销售额y/万元 25 30 40 45 根据上表可得经验回归方程子=bx+a中的6 为7，据此模型，若广告费用为10万元，则预计 销售额为 万元 9.从某居民区随机抽取10个家庭，获得第i个 家庭的月收入x,(单位：千元)与月储蓄y:（单 位：千元)的数据资料，算得气=80，= 10 20,2=184,2=720, (1)求家庭的月储蓄y对月收入x的经验回归 方程y=bx+a; (2)判断变量x与y之间是正相关还是负 相关； (3)若该居民区某家庭月收入为7千元，预测10.某研究机构对高二学生的记忆力x和判断力 该家庭的月储蓄 y进行统计分析，得如表数据： 6 8 10 12 附：经验回归方程夕=x+a中，6= y 2 3 5 6 含-n ,a=y-6元，其中x,y为样本 (1)请画出上表数据的散点图； 含f-n子 (2)请根据上表提供的数据，用最小二乘法 平均值. 求出y关于x的经验回归方程y=bx+a; (3)试根据求出的经验回归方程，预测记忆 力为9的同学的判断力 参考公式：6少一n -,@=y-bx. 含-n —148 B组·综合运用 11.（多选)已知两个变量y与x线性相关，为研 究其具体的线性关系进行了10次试验.试验 中不慎丢失2个数据点，根据剩余的8个数 据点求得的经验回归方程为y=3x+4.5,且 x=4,又增加了2次试验，得到2个数据点 (2,11),(6,22),根据这10个数据点重新求 得经验回归方程为y=mx+n(其中m,n∈ R),则 A.变量y与x正相关 B.m<3 C.n<4.5 D.经验回归直线=mx+n经过点(4,16.5) 12.为了解篮球爱好者小李的投篮命中率与打篮 球时间之间的关系，下表记录了小李某月1 号到5号每天打篮球时间x(单位：h)与当天 投篮命中率y之间的关系： 时间x 1 2 3 4 5 命中率y 0.4 0.5 0.6 0.6 0.4 小李这5天的平均投篮命中率为 用线性回归分析的方法，预测小李该月6号 打6h篮球的投篮命中率为 13.一台还可以用的机器由于使用的时间较长， 它按不同的转速生产出来的某机械零件有一 些会有缺陷，每小时生产有缺陷零件的多少 随机器运转的速率而变化，下表为抽样试验 结果 转速x(转/秒) 16 14 12 8 每小时生产有缺 9 8 5 陷的零件数y(件) (1)画出散点图； (2)如果y与x有线性相关的关系，求经验回 归方程； 149 (3)若实际生产中，允许每小时生产的产品 中有缺陷的零件最多为10个，那么机器 的运转速度应控制在什么范围内？（结 果保留一位小数) C组·拓展提升 4.（多选)月亮公转与自转的周期大约为30天， 阴历是以月相变化为依据.人们根据长时间 的观测，统计了月亮出来的时间y(简称“月 出时间”，单位：小时)与天数x(x为阴历日 数，x∈N*,且0≤x≤30)的有关数据，如表， 并且根据表中数据，求得y关于x的经验回 归方程为y=0.8x+a. 2 4 7 10 15 22 y 8.19.4 12 14.418.5 24 其中，阴历22日是分界线，从阴历22日开始 月亮就要到第二天（即23日00：00）才升起， 则 () A.经验回归直线过点(10,14.4) B.a=6.8 C.预测月出时间为16时的那天是阴历13日 D.预测阴历27日的月出时间为阴历28日早 上4：00