假期作业27 古典概型与概率的基本性质-【快乐假期】2025-2026学年高一数学暑假作业（全学年）

壑快乐假期 假期作业27 古典概型与概 《(思维整合室 1.古典概型的定义 试验具有如下共同特征： (1)有限性：样本空间的样本点只有 个； (2)等可能性：每个样本点发生的可能性 我们将具有以上两个特征的试验称为 其数学模型称为古典概率模型，简称古典 概型. 2.古典概型的概率计算公式 一般地，设试验E是古典概型，样本空间2 包含n个样本点，事件A包含其中k个样本 点，则定义事件A的概率P(A)= 其中n(A)和n(2)分别表示事件A和样本 空间2包含的样本点个数. 3.概率的基本性质 性质1对任意的事件A,都有P(A)≥0. 性质2必然事件的概率为1，不可能事件 的概率为0，即P(2)=,P(0)= 性质3如果事件A与事件B互斥，那么 P(AUB)= 性质4如果事件A与事件B互为对立事 件，那么P(B)= ,P(A)= 性质5如果A二B,那么P(A) P(B). 性质6设A,B是一个随机试验中的两个 事件，我们有P(AUB)= 《技能提升台 素养提升 ◆[考点一]古典概型 1.(多选)下列情境适合用古典概型来描述的 是 () A.向一条线段内随机地投射一个点，观察 点落在线段上的位置 B.五个人站成一排，观察甲、乙两人相邻的 情况 C.从一副扑克牌（去掉大、小王共52张）中 随机选取1张，这张牌是红色牌 D.某同学随机地向靶心进行射击，这一试 验的结果只有有限个：命中10环，命中9 环…命中1环和脱靶 2.围棋盒子中有多粒黑子和白子，已知从中取 出2粒都是黑子的概率是，都是白子的概 5 S0M-= 学而时习之，不亦说乎。 率的基本性质 完成日期： 月 日 李是器 则从中任意取出2粒恰好是同一色 的概率是 ( A. B号 c品 D.1 3.如图所示的《宋人扑枣图 轴》是作于宋朝的中国古 画，该图中小孩有扑枣的 爬、扶、捡、顶四个动作，现 有A,B两个孩童分别随机 选择其中的一个动作进行模仿，则A,B两 个孩童选择模仿的动作相同的概率为 ( ) A.g B.4 C. 4.天气预报说，在今后的三天中，每一天下雨 的概率均为40%，用1,2,3,4表示下雨，用 5,6,7,8,9,0表示不下雨，产生了3个随机 数作为一组，得到了下列随机数表： 034743738636964736614 698637162332 616804560111 410959774 246762 则这三天中恰有一天下雨的概率大约是 ( ) A.5%B.10%C.45% D.90% ◆[考点二]概率的基本性质 5.（多选)下列说法正确的是 () A.甲、乙、丙三位同学都想去参加一个公益 活动，抽签决定谁去，则先抽的概率大些 B.若事件A发生的概率为P(A),则0≤ P(A)≤1 C.如果事件A与事件B互斥，那么一定有 P(A)+P(B)=1 D.已知事件A发生的概率为P(A)=0.3, 则它的对立事件A发生的概率P(A)= 0.7 6.某产品分甲、乙、丙三级，其中乙、丙两级均 属次品，在正常生产情况下，出现乙级品和 丙级品的概率分别是5%和3%，则抽检一 件是正品（甲级）的概率为 （) A.0.95B.0.97C.0.92D.0.08 三022 7.(多选)甲，乙两人下棋，和棋的概率为2，乙获 胜的概率为行，则下列说法错误的是（) A.甲获胜的概率是后 B甲不输的概率是号 C乙输的概率是号 D.乙不输的概率是 8.将一颗骰子连掷两次，则第一次点数小于3 且第二次点数大于3的概率为 ◆[考点三]复杂的古典概型 9.(多选)某学校成立了数 学、英语、音乐3个课外兴 英语 7人 音乐 6人 8 趣小组，3个小组分别有 \8人 /11人10人 39,32,33个成员，一些成 数学 员参加了不止一个小组，具 10人 体情况如图所示.现随机选 取一个成员，则 ( A他只属于音乐小组的概率为吉 P B.他只属于英语小组的概率为 C.他属于至少2个小组的概率为 5 D.他属于不超过2个小组的概率为号 10.“田忌赛马”的故事千古流传，故事大意是： 在古代齐国，马匹按奔跑的速度分为上、 中、下三等.一天，齐王找田忌赛马，两人都 从上、中、下三等马中各派出一匹马，每匹 马都各赛一局，采取三局两胜制.已知田忌 每个等次的马比齐王同等次的马慢，但比 齐王较低等次的马快.若田忌事先打探到 齐王第一场比赛会派出上等马，田忌为使 自己获胜的概率最大，采取了相应的策略， 则其获胜的概率最大为 11.已知关于x的二次函数f(x)=ax2-4bx +1.设集合P={-1,1,2,3,4,5}和Q {-2,-1,1,2,3,4},分别从集合P和Q 中任取一个数作为a和b的值，则函数y= f(x)在区间[1，+∞)上单调递增的概率 为 5 高一数类恐) 12.小李在做一份调查问卷，共有5道题，其中 有两种题型，一种是选择题，共3道，另一 种是填空题，共2道. (1)小李从中任选2道题解答，每一次选1 题（不放回），求所选的题不是同一种题型 的概率； (2)小李从中任选2道题解答，每一次选1 题（有放回），求所选的题不是同一种题型 的概率. 新题快递 1.先后两次抛掷同一枚骰子，将得到的点数分 别记为a,b,则a,b,4能够构成钝角三角形 的概率是 ( A日 C13 2 36 D. 2.已知事件A,B,C两两互斥，若P(A)= 5 P(C)=3,PAUB)=是，则P(BUC)= ( ) c品 D 《《益智欢乐谷 建筑师们对0.618特别偏爱 无论是古埃及的金字塔，还是巴黎圣母 院，或者是法国的埃菲尔铁塔，都有与0.618 有关的数据.古希腊帕特农神庙是举世闻名的 完美建筑，它的高和宽的比是0.618.建筑师 们发现，按这样的比例设计殿堂，殿堂更加雄 伟、美丽；设计别墅，别墅将更加舒适、漂亮.人曼快乐假期 对于B:因为2[(-11.1)+(-6.7)+(-5.9)+(-3.5)+ (-1.8)+(-0.5)+2.5+2.7+3.1+3.5+5.4+6.7]= 7 -15<0, 所以12个月的月度同比增速百分比的平均值小于0，故B 错误； 对于C:由折线图可得前6个月的月度同比增速百分比先大 幅度波动后渐渐趋于稳定，后6个月的大波动整体较小， 所以前6个月的月度同比增速百分比波动比后6个月的大 故C正确； 7 对于D:因为-15≈一0.47，可知大于-0.47的有2.5,2.7， 3.1,3.5,5.4,6.7,共有6个， 所以共有6个月的月度同比增速百分比大于12个月的月度 同比增速百分比的平均值，故D错误.] 由题知总样本的平均数为4080×165+6000×1 168(cm), 所以总样本的方差=号×[(165-168)2+3]+亭× [(170-168)2+42]=19.2.] 假期作业26有限样本空间与随机 事件的关象及运算 思维整合室 1.(1)基本结果(2)样本点Ωw(3)有限样本空间 2.样本空间子集一个样本点所有样本点任何样本点 3.一定发生B三AA二BA2BA=B当且仅当事件 A发生或事件B发生AUBA十B当且仅当事件A发生 且事件B发生A∩BAB不可能不可能必然事件 技能提升台素养提升 1.A[A为随机现象，B为不可能现象，C,D为必然现象.] 2.B[从A,B,C,D,E五人中选两人，不同的选法有：(A,B), (A,C),(A,D),(A,E),(B,C),(B,D),(B,E),(C,D),(C, E),(D,E),所以样本空间中样本，点的个数为10.] 3.C[由题意知，10名学生中，男生人数少于5人，但不少于3 人，所以x=3或x=4.] 4.解析：根据题意，3双鞋子共6只，从中任取4只，必然有两 只鞋是一双， 则至少有两只鞋是一双是必然事件， 答案：必然 5.A[事件A和事件B不能同时发生，∴.事件A和事件B 是互斥事件.，·该同学还有政治和化学，政治和生物等不同 选择，∴.事件A和事件B不是对立事件 综上所述，事件A和事件B是互斥事件，不是对立事件.] 6.B[用Venn图解决此类问题较为直 观.如图所示，AUB是必然事件，] 7.CD[A中至少有一个红球包含两种情 形：一红一白，两个红，至少有一个白球 包含：一红一白，两个白，这两个事件不互斥，B中的两事件 互斥但不对立，C,D中的两个事件互斥且对立，] 8.解析：由已知可得B=“出现6点”，A=“出现2,4点”， B=“出现1,2,3,4,5点”， 故AUB=“出现2,4,6，点”，A∩B=“出现2,4点”， 答案：出现2,4,6点；出现2,4点 9.ABC[对于A,事件E,H不可能同时发生，是互斥事件，故 A正确；对于B,事件F与I不可能同时发生，且必有一个发 生，是互斥事件，且为对立事件，故B正确；事件I=“至多去 一个名楼”刚好包含事件G=“只去一个名楼”与事件H= “一个名楼也不去”，所以I=GUH,G=G∩I,故C正确，D 错误.门 10.解析：事件D=(A∩B)U(A∩B)U(A∩B)表示的是第一 道工序和第二道工序加工中至少有一道加工工序不合格， 所以事件D表示“产品不合格” 答案：产品不合格 11.解：(1)事件A={获得10元菜品或饮品，获得20元菜品或 饮品，获得30元莱品或饮品}. (2)事件A是获得不多于30元的菜品或饮品，它的对立事 件是获得多于30元但不多于120元的菜品或饮品，即A= “获得多于30元但不多于120元的菜品或饮品”.在获得的 00M= 菜品或饮品不多于120元且多于30元中的任何一个事件 都与事件A互斥，如事件A的一个互斥事件为“获得40元 的菜品或饮品” 12.解：把2个红球标记为a、b,2个白球标记为c、d,任取两球， 样本空间为： n=ab,ac,ad,bc,bd;cd), 设“至少有一个白球”为事件A,则A={ac,ad,bc,bd,cd}, 设“至少有一个红球”为事件B,则B={ab,ac,ad,bc,bd}, 设“都是白球”为事件C,则C={cd}, 设“都是红球”为事件D,则D={ab}, 设“恰有一个白球”为事件E,则E={ac,ad,bc,bd} 对于①，A∩C={cd},∴.“至少有一个白球”与“都是白 球”不是互斥事件； 对于②，A∩B={ac,ad,bc,bd),∴.“至少有一个白球”与 “至少有一个红球”不是互斥事件； 对于③，由题意，“恰有2个白球”即“都是白球”，，E∩C= ⑦，EUC≠， .“恰有一个白球”与“恰有2个白球”是互斥事件，但不是 对立事件； 对于④，.A∩D=,AUD=2, “至少有一个白球”与“都是红球”是互斥事件，且为对立 事件. 综上所述，③④是互斥事件，其中④是对立事件 新题快递 1.B[因为x1,x2分别取值0和1，因此(x1,x2)的取值为(1， 1),(1,0),(0,1),(0,0),①正确：事件B中x2=1,而x1任 取，因此②正确； 事件“电路是断路”中，x1,x2至少有一个取0，因此事件“电 路是断路”={(0,1)，(1,0)，(0,0)}， A={(1,1),(1,0)},A={(0,1),(0,0)},B={(1,0),(0, 0)},从而“电路是断路”可表示为AUB,③错； 事件“电路是通路”中，x1,x2两个都取1，因此事件“电路是 通路”={(1,1)}， A={(1,1),(1,0)},从而“电路是通路”可表示为A∩B,其 中只有一个样本点，④错 正确的个数是2.门 2.A[由P(AUB)=P(A)+P(B)-P(AB),仅当P(AB)= 0时P(AUB)=P(A)+P(B),所以A与B是两个互斥事 件，由独立事件的判定知：P(A∩B)=P(A)·P(B),即A与 B是两个独立事件.] 假期作业27古典概型与 概率的基本性质 思维整合室 1.(1)有限(2)相等古典概型试验2.是=nA nn(2) 3.10P(A)+P(B)1-P(A)1-P(B)≤ P(A)+P(B)-P(A∩B) 技能提升台素养提升 1.BC[对于A,试验结果有无数个，显然不是古典概型，故A 错误；对于B,试验结果有限且等可能，故B正确；对于C,试 验结果有限且等可能，故C正确；对于D,显然试验并非等可 能，故D错误.] 2.C[设“从中取出2粒都是黑子”为事件A,“从中取出2粒 都是白子”为事件B,“任意取出2粒恰好是同一色”为事件 C,则C=AUB,且事件A与B互斥. 由于P(A)=子，P(B)=: 所以PO=PA+PB)=+号-品] 3.B[A,B两个孩童分别随机选择其中的一个动作进行模 仿，一共有4×4=16种情况，其中A,B两个孩童选择模仿 的动作相同的情况有4种，所以A,B两个孩童选择模仿的 动作相同的概率为着-子] 4.C[三天中恰有一天下雨的次数为： 738636964736637616804774762,共9次， 所以这三天中恰有一天下雨的概率大约为P=0=45%,幻 三0022....-- 5.BD[对于A,甲、乙、丙三位同学抽签决定谁去，则每位同 学被抽到的概率都是了，故A错误；对于B,由概率的性质 可知，0≤P(A)≤1，故B正确；对于C,如果事件A与事件B 对立，那么一定有P(A)十P(B)=1,但互斥事件不一定对 立，故C错误；对于D,因为事件A发生的概率为P(A)= 0.3,所以它的对立事件A发生的概率P(A)=1一0.3=0. 7,故D正确.] 6.C[设事件“抽检一件是甲级”为事件A,“抽检一件是乙 级”为事件B,“抽检一件是丙级”为事件C,由题意可得事件 A,B,C为互斥事件，且P(A)+P(B)+P(C)=1,因为乙级 品和丙级品均属次品，且P(B)=0.05,P(C)=0.03,所以P (A)=1-P(B)-P(C)=0.92.] 7.BCD[“甲获胜”是“和棋或乙获胜”的对立事件，所以“甲获 胜”的概率是1一2一3=6，故A正确；设甲不输为事件 A,则事件A是“甲获胜”和“和棋”这两个互斥事件的并事 件，所以P(A)=日十号=号，故B错误：“乙输”的概率即 “甲获胜”的概率，为日，故C错误：设乙不输为事件B,则事 件B是“乙获胜”和“和棋”这两个互斥事件的并事件，所以 P(B)=号十日=吾，故D赣误.] .1 8.解析：由题意，将一颗骰子连掷两次，共有6×6=36个基本 事件，设事件A=“第一次点数小于3且第二次点数大于3 的事件”，则事件A包含：{(1,4)，(1,5)，(1,6)，(2,4)， (2,5),(2,6)},共有6种情况，所以第一次点数小于3且第 二次点数大于3的概率为P=希日 1 答案：6 9.CD[由题图知参加兴趣小组的共有6十7十8+8十10十10 十11=60（人），只属于数学、英语、音乐小组的人数分别为 10,68,故只属于音乐小组的概率为高-品，只属于笑语小 组的薇率为品-品“重少2个小组”包含2个小组“和3 个小组”两种情况，故他属于至少2个小组的概率为 1+10+7+8=3.“不超过2个小组”包含1个小组”和“2 60 5 个小组”，其对立事件是“3个小组”，故他属于不超过2个小 组的概率是P=1-品-号] 10.解析：设齐王有上、中、下三等的三匹马A,B,C,田忌有上、 中、下三等的三匹马a,b,c,所有比赛的方式有Aa,Bb,Cc; Aa,Bc,Cb;Ab,Ba;Cc;Ab,Bc;Ca;Ac,Ba,Cb;Ac,Bb,Ca, 共6种. 若齐王第一场比赛派出上等马，则第一场比赛田忌必输，此 时他应先派下等马c参加. 就会出现两种比赛方式：Ac,Ba,Cb和Ac,Bb,Ca,其中田 忌能获胜的为Ac,Ba,Cb,故此时田忌获胜的概率最大 为 答案：之 11.解析：函数f(x)=ax2一4bx+1的图象的对称轴为x= ,要使画数f(x)=ax2-4bx十1在区间[1，十∞)上单调 a 递增，当且仅当>0且2≤1，即a≥2b且a>0. a 若a=1,则b=一2，一1； 若a=2,则b=-2,-1,1； 若a=3,则b=-2,一1,1； 若a=4,则b=-2,一1,1,2； 若a=5,则b=一2，一1,1,2. 高一数 ,∴.事件包含的基本事件的个数是2+3十3十4十4=16， 又所有基本事件的个数是6X6=36, “所求事件的概率为36=9 164 答案：号 12.解：将3道选择题依次编号为1,2,3；2道填空题依次编号 为4,5. （1)从5道题中任选2道题解答，每一次选1题（不放回），样本 空间2={(1,2)，(1,3)，(1,4)，(1,5)，(2,1)，(2,3)，(2,4)，(2， 5),(3,1),(3,2),(3,4),(3,5),(4,1),(4,2),(4,3),(4,5),(5, 1),(5,2),(5,3),(5,4)},共20个样本点，这20个样本点发生 的可能性是相等的. 设事件A为“所选的题不是同一种题型”，则事件A包含的 样本点有(1,4)，(1,5)，(2,4)，(2,5)，(3,4)，(3,5)，(4,1)， (4,2),(4,3),(5,1),(5,2),(5,3),共12个，所以P(A)= 贵-o6 (2)从5道題中任选2道题解答，每一次选1题（有放回）， 样本空间={(1,1)，(1,2)，(1,3)，(1,4)，(1,5)，(2,1)， (2,2),(2,3),(2,4),(2,5),(3,1),(3,2),(3,3),(3,4), (3,5),(4,1),(4,2),(4,3),(4,4),(4,5),(5,1),(5,2), (5,3),(5,4),(5,5)},共25个样本点，这25个样本点发生 的可能性是相等的. 设事件B为“所选的题不是同一种题型”，则事件B包含的 样本点有(1,4)，(1,5)，(2,4)，(2,5)，(3,4)，(3,5)，(4,1)， (4,2),(4,3),(5,1),(5,2),(5,3),共12个，所以P(B)= 2号=048. 新题快递 1.D[要使a,b,4能够构成钝角三角形，则a,b,4需要满足 a2+b<4或a2+42<b或42十b<a,且能够满足三角形 中两边之和大于第三边，两边之差小于第三边 样本，点的总数是36，结合上述条件可知，当a=1时，均不符 合要求，有0种情况； 当a=2时，b=3,5符合要求，有2种情况； 当a=3时，b=2,6符合要求，有2种情况； 当a=4时，b=6符合要求，有1种情况； 当a=5时，b=2符合要求，有1种情况； 当a=6时，b=3,4符合要求，有2种情况. 所以能构成钝角三角形的共有8种情况，故所求的概率为 2.B[因为事件A,B,C两两互斥，所以P(B)=P(AUB)一 PA=是-专-专所以PBUC=P(B)+PO=号+ 3- 假期作业28事件的相互独立性、 频率与概率 思维整合室 1.(1)P(A)P(B)2.缩小概率P(A)频率fn(A) 技能提升台素养提升 1.D[事件A与事件B能同时发生，互不影响，A与B既不 互斥，也不对立，但相互独立.] 2.B[因为事件E与F相互独立，由相互独立事件的概率计 算公式，可得： P(E)=P(E·PRD=号X3=g] 3.D[根据题意，恰有一人获得一等奖即甲获得一等奖而乙 设有获得或甲设有获得一等关而乙茂得，则所求概率是号 ×(-)+圣×(-号)品] 4,解析：员工甲答对两题的概率为×号×十×号×号 +×号×名是 幻