假期作业20 空间点，直线、平面之间的位置关系-【快乐假期】2025-2026学年高一数学暑假作业（全学年）

三-022 假期作业20空间点、直线、平面之间的位置关系 精诚所至，金石为开。 完成日期： 月 《思维整合室 《《技能提升台 1.三个基本事实 素养提升 [基本事实1]如果一条直线上的 ◆[考点一]平面的基本性质 1.下列两个相交平面的画法中正确的是() 在一个平面内，那么这条直线在此平面内. [基本事实2]过 的三点， 有且只有一个平面， [基本事实3]如果两个不重合的平面有 一个公共点，那么它们 过该 点的公共直线， D 2.下列条件不能确定一个平面的有 基本事实3的三个推论 A.一条直线和直线外一点 [推论1]经过一条直线和这条直线外一 B.对边相等的四边形 点有且只有一个平面； C.两条相交直线 [推论2]经过两条相交直线有且只有一 D.两条平行直线 3.下列四个命题中的真命题是 () 个平面； A.如果一条直线与另两条直线都相交，那 [推论3] 经过两条平行直线有且只有 么这三条直线必共面 个平面 B.如果三条直线两两都相交，那么它们能 2.空间直线的位置关系 确定一个平面 C.如果三条直线相互平行，那么这三条直 共面直线 线在同一个平面上 D.如果一条直线与两条平行直线都相交， 异面直线：不同在 个平面内 那么这三条直线确定一个平面 3.空间中直线与平面、平面与平面的位置关系 4.若空间4个点不共面，则到这4个点距离都 相等的平面的个数为 图形语言 符号语言 公共点 ◆[考点二]空间两直线的位置关系 5.若直线a,b,c满足a∥b,a,c异面，则b与c 相交 a∩a=A 个 () A.一定是异面直线 B.一定是相交直线 线与 C.不可能是平行直线D.不可能是相交直线 平行 a∥a 个 面 6.(多选)如图所示，在正方体 D. ABCD-AB1CD1中，M,NA 在平 aCa 个 分别是棱CD,CC的中点， 面内 a 给出以下结论，其中正确的结 a 论为 () 平面 平行 a∥B 个 B A.直线AM与直线C,C相交 平面 B.直线AM与直线BN平行 相交 a∩B=l 个 C.直线AM与直线DD1异面 D.直线BN与直线MB,异面 39 人燮快乐假翻 7.(多选)如图是一个正方 12.如图，在三棱锥P一ABC 体的展开图，如果将它还 中，PA=4,BC=6. B D 原为正方体之后，下列结 (1)该棱锥的6条棱中， 共有多少对异面直线？ 论正确的有 ( H 请一一列出， A.HG∥CD B.CD与EF异面 (2)若PB中点为M,AC中点为N,MN=4, C.EF与AB异面D.GH∥AB 求异面直线PA与BC所成角的余弦值. 8.如图，G,H,M,N分别是正三棱柱的顶点或 所在棱的中点，则表示直线GH,MN是异 面直线的图形有 ① ③ A ◆[考点三]异面直线所成的角 9.在正四面体PABC中，D 为PC的中点，则直线PB 与AD所成角的余弦值为 R号 新题快递 1.（多选)已知m,n是两条不同的直线，a是平 c 面，若m∥a,nCa则m,n的关系可能为 D.23 () 3 A.平行 B.垂直 10.如图，M是正方体ABCD D C.相交 D.异面 A1B1C1D1的棱CD的中 A 2.正方体ABCD-A1B1C1D1的棱长为2，E,F 点，则异面直线AM与BC D M 分别是BC,CC,的中点，则平面AEF截该 所成的角的余弦值是 正方体所得的截面面积为 () A.g B多 c 2 收2g a D.①0 10 【《益智欢乐谷 踏上幽径，追逐星光 11.若正四棱锥P-ABCD的 人有两条路要走，一条是必须走的，一条 所有棱长均相等，E为 是想走的，你必须把必须走的路走漂亮才可以 D C PC的中点，则异面直线 走想走的路，有些路，你不走下去，就不会知道 BE与AC所成角的余弦 那边的风景有多美，所以内心难过也不要把自 值为 己丢在黑暗中.按时睡觉，好好吃饭，洗个热乎的 澡，喝甜甜的奶茶.看看长河落日，花朵树木，驱 A② 6 B.2 逐丧气再努力奔跑，生活到处是发光的星星。 4 C.6 3 D.6 6 40k堂快乐假明 因为CD=1cm,所以AC=2cm,AD=√3cm, 设OE=r,则A0=√3-r,所以T一=1 V3-x2 所以=3 3 cm, V=3π3) 4 3)3 4√ ÷2 2π（cm3),即球的体积等 9em 新题快递 1.C[如图将正方体还原可得如下 D 图形： N∠ M B 则V4w=子×合×1X1X2 号Vm6=号××1×2X2= 号VcA4SB=2=8,所以该几 何体的你颜V-8日-号-7] 2.解析：因为∠A0C=∠B0D=苓，所以∠D0C=元-2×号 =号.设国0的半径为R,又Sm=号X号R=6x,解得 R=6(负值舍去). 如图，过点C作CE⊥AB交AB于点E,过 点D作DF⊥AB交AB于点F,则CE= 0Csin5=33,0E=0Ccos号=3，所以 AE=R-OE=3,同理可得DF=3√3，OF= BF=3. 将扇形DOC绕直线AB旋转一周形成的几何体为一个半径 R=6的球中上下截去两个相同的球冠所剩余部分再挖去两 个相同的圆锥，其中球冠的高h=3,圆锥的高h1=3,底面半 径r=3√3，则其中一个球冠的表面积S1=2πRh=2πX6X3 =36π，球的表面积S2=4πR2=4πX62=144π，圆锥的侧面 积S,=3√3X6π=183π，所以所求几何体的表面积S=S2 -2S,+2S3=144π-2×36π+2×18V3π=72π+36V3元. 答案：72π十36√3π 假期作业20空间点、直线、平面 之间的位置关系 思维整合室 1.两点不在一条直线上有且只有一条 2.平行相交任何3.10无数0无数 技能提升台素养提升 1.D 2.B[对选项A:经过直线与直线外一点有且只有一个平面， 故A不满足题意，对选项B:对边相等的四边形，对边有可能 异面，不能确定一个平面，比如对边相等的空间四边形，故B 满足题意.对选项C:经过两条相交直线有且只有一个平面， 故C不满足题意.对选项D:经过两条平行直线有且只有一 个平面，故D不满足题意.] 3.D[对于A、B,一条直线与另两条直线都相交或三条直线 两两都相交，比如棱柱中共点的三条棱，所在直线就不共面， 也不能确定一个平面，故A、B错；对于C,若三条直线相互 平行，其中两条可以确定一个平面，另一条可以与已知平面 平行，故C错误；对于D,一条直线与两条平行直线都相交， 这三条直线能确定一个平面.] 4.解析：当一个点在平面一侧，另三个点在平面另一侧时，这种 平面有4个；当平面两侧各有两个点时，这种平面有3个.故 共有7个. 答案：7 9 --00M 5.C[由于a∥b,a,c异面，此时，b和c可能相交，也即共面， 如图所示b与c相交；b和c也可能异面，如图所示b与c异 面.综上所述，b与c不可能是平行直线.] a 0 b 0 b o c 0 01 6.CD[AM与C,C异面，故A错；AM与BN异面，故B错 易知C、D正确.] 7.AC[根据正方体的展开图画出还原的正 C(E) 方体如图所示. 可以得到HG∥CD,CD与EF相交，EF 与AB异面，GH与AB相交.] 8.解析：①中HG∥MN;③中GM∥HN且 GM≠HN,所以直线HG与MN必相交. B 答案：②④ 9.C[取BC的中点为E,连接DE,AE(图略)，则DE∥PB, 所以∠ADE为AD与PB所成的角（或其补角）. 设正四面体的棱长为2a, 则DE=a,AD=√3a,AE=√3a, 所以在△ADE中，cos∠ADE=5a+a-3@)-5] 2XW3a·a 61 10.A[连接AD1,D1M(图略).'AB=C1D1,AB∥C1D1, ,',四边形ABC1D1为平行四边形，则AD1∥BC1,则 ∠D1AM(或其补角)为异面直线AM与BC1所成的角.设 正方体的棱长为2，则AD1=2√2，AM=D1M=√5， cos∠D,AM=22)+5-5=0,即异面直 2×2√2×W5 5 线AM与BC所成角的余弦值是5.] 11.D[如图，取棱AP的中点为F,连 接EF,BF.因为E为PC的中点，所 以EF∥AC,EF=2AC, 所以异面直线BE与AC所成角为 ∠BEF(或其补角). 不妨设正四棱锥P-ABCD的所有棱 长均为2， 则BE=BF=,EP=合AC=E, 2 12.解：(1)6条棱中，PC,AB成异面直线， PB,AC成异面直线，PA,BC成异面 直线，共3对.（2)如图，取AB的中，点 Z,连接MZ,NZ,因为M是PB中点， Z是AB中点， 所以MZ∥PA,MZ=PA=2. 同理，NZ∥BC,NZ=}BC=3. 21 所以异面直线PA与BC所成角为∠MZN(或其补角)， 在△MZN中，由余弦定理可得cos∠MZN=2,十3-4 2×2×3 },故异面直线PA与BC所成角的余孩值为， 新题快递 1.ABD[如图，在正方体ABCD- D AB,CD中， 若a是平面ABCD,AB为m,AB为A B n,此时m与n平行，故A正确；若a是 平面ABCD,AD为m,AB为n,此时 mLn,且m与n异面，故B,D正确；若 D m∥a,则m与平面a无交，点，又nCa, 则m与n无交，点，即m不可能与n相 B 交，故C错误.] 三0022.-.-- 2.D[连接AD1,则AD1∥EF,连接 FD1,则平面AEF截正方体所得截 面多边形为梯形AD,FE, ,正方体棱长为2，故AD1=2√2， EF=√2， D 又AE=D1F=/2+1=√5， .等腰梯形ADFE的高为 √/⑤2-7 3 2 √2 六梯形ADEE的面积为=2十22×号=号，门 2 假期作业21空间直线、 平面的平行 思维整合室 1.(1)平行(2)相等或互补 2.这个平面内交线3.相交直线相交交线 技能提升台素养提升 1.A 2.A[五棱台中，AB∥A1B1,∴.四边形AA1B1B是梯形， AF BG A,GB,FG∥AB.而FGt平面ABCDE,ABC平 面ABCDE..FG∥平面ABCDE.] 3.A[对于①，若m∥n,则n∥a或n∥B,正确；对于②，若m ⊥n,当nCa或nC3时，结论不一定成立，错误；对于③，若n ∥a且n∥B,根据线面平行的性质知，m∥n,正确，对于④， 若n与a,3所成的角相等，m与n不一定垂直，错误.] 4.解析：如图，连接AC交BD于点 O,连接CN交BM于点G,连 接OG. 由AN∥平面BDM,平面ANC∩ 平面BDM=OG,ANC平面ANC, 可得AN∥OG,,OA=OC,.CG =NG,.G为CN的中点. 作HN∥BM交PC于点H,.∴.CM =HM. .PM:MC=4:1,.'.PH:HM=3:1, .'PN:NB-PH:HM=3:1. 答案：3：1 5.C 6.BD[A:若a∩y=a,B∩y=b,且a∥b,则a,B可能相交、平 行，错误；B:若a,b相交，且都在a,B外，a∥a,b∥a,a∥B,b B,由面面平行的判定可得a∥B,正确；C:若a∥a,b∥B,且a ∥b,则a,B可能相交、平行，错误；D:若aCa,a∥B,a∩B=b, 由线面平行的性质定理得a∥b,正确.] 7.B[对于A选项，若平面ABC∥平面 DEF,BCC平面ABC,则BC∥平面 DEF,由题图可知BC与平面DEF相 交，故平面ABC与平面DEF不平行， A不满足题意； 对于B选项，如图①所示，连接NG, 因为A,C分别为PN,PG的中，点，所H 以AC∥NG, 图① 在正方体EHDG-MFNP中，FN∥EG 且FN=EG,故四边形EFNG为平行四边形，所以NG∥ EF,所以AC∥EF,因为AC寸平面DEF,EFC平面DEF, 所以AC∥平面DEF, 同理可证BC∥平面DEF,因为AC, M BCC平面ABC,AC∩BC=C,所以平 面ABC∥平面DEF,B满足题意； N B/ 对于C选项，如图②所示， 在正方体PHDG-MNFE中，若平面 ABC∥平面DEF,且平面DEF∥平面 MNHP, H D 则平面ABC∥平面MNHP,但这与平 面ABC与平面MNHP相交矛盾， 图② 9 含一数类 因此平面ABC与平面DEF不平行，C不满足题意； 对于D选项，在正方体PDHG-FNEM M 中，连接PH,PM,MH,如图③所示， 因为DH∥FM且DH=FM,所以四边 形DHMF为平行四边形，所以DF ∥MH, 因为DF丈平面PHM,MHC平面 PHM,所以DF∥平面PHM, 同理可证EF∥平面PHM,因为DF∩ EF=F,DF,EFC平面DEF,所以平面 图③ DEF∥平面PHM, 若平面ABC∥平面DEF,则平面ABC∥平面PHM, 这与平面ABC与平面PHM相交矛盾，故平面ABC与平面 DEF不平行，D不满足题意.门 8.解析：由正方体是侧棱长等于底面正方形边长的正四棱柱 知：平面AA1DD∥平面BB1C1C,平面ABCD∥平面 ABCD;:正方体的侧棱相互平行，∴AA1∥BB1∥CC, .CC1∥平面BDDB1,AA1∥平面BDDB1. 答案：平面BB1C1C;平面ABCD;AA1,CC 9.D[如图，任取线段AB上一，点M,过M A 作MH∥AA,交AB于H,过H作HG∥ AC交BC于G,过G作CC1的平行线，与 CB,一定有交点N,连接MN, 可证平面MNGH∥平面ACC1A1 所以MN∥平面ACC1A,,则这样的MN 有无数条.门 10.解析：连接HN,FH,FN,则FH∥DD1,HN∥BD, 易知平面FHN∥平面B1BDD1,只需M∈FH,则MNC 平面FHN,'.MN∥平面B1BDD 答案：点M在线段FH上（或点M与点H重合） 11.证明：(1)因为M,N分别是CD,CB的 中点， 所以MN∥BD.又因为BB4DD,,所以 四边形BB1D1D是平行四边形，所以BD ∥B1D1, 从而MN∥B,D. (2)连接A1C1,交BD1于点O,连接OE. 因为四边形A1B1C1D1为平行四边形，则O点是A1C1的 中点.因为E是AA1的中，点，所以EO是△AAC1的中位 线，所以EO∥AC. 又AC1寸平面EB,D1,EOC平面EBD1, 所以AC1∥平面EB1D1. (3)连接GH,因为EALB,H,则四边形EAHB,是平行四 边形，所以EB1∥AH.因为AD LHG,则四边形ADGH是 平行四边形，所以DG∥AH,所以EB,∥DG. 又因为BB1LDD1,所以四边形BB1DD是平行四边形， 所以BD∥BD1.因为BD∩DG=D, 所以平面EB1D1∥平面BDG 12.证明：(1)取B1D1的中点O,连接 CO,AO, ABCD-A1BC1D1是四棱柱， ..AO LOC, .四边形A1OCO1为平行四边形， -20 .AO∥O1C. 又OCC平面B,CD1,A,O￠平面BCD1,.AO∥平 面B1CD1, (2)BB1LAA1LDD1,.四边形BB,D,D是平行四边 形，.BD∥BD1 又BD寸平面B1CD1,BD1C平面B1CD1,.BD∥平 面B1CD1, 由(1)得AO∥平面B,CD1且BD∩A1O=O,BD,A1OC 平面ABD, .平面A,BD∥平面B,CD,. (3)由(2)得平面A1BD∥平面BCD1, 又平面A1BD∩平面ABCD=BD,平面B,CD,∩平面 ABCD=l,..BD∥1. 新题快递 1.解析：(1)由平面与平面平行的判定可知，若平面α内有两条 相交直线分别平行于平面B,则a∥B,故(1)错误；