假期作业19 简单几何体的表面积与体积-【快乐假期】2025-2026学年高一数学暑假作业（全学年）

三a022-.------ 新题快递 L.CD[如知图①，作BELCD交CD于E,易得CE=CDAB =2(cm),则BE=OO2=√/42-2=2√3(cm),则该圆台的 高为2,3cm,A错误；圆台的轴裁面面积为？X(4十8)×2 √3=12√3(cm2),B错误，C正确；将圆台的一半侧面展开， 如图②，设P为AD的中点，由圆台补成圆锥，圆台对应的 圆锥的一半侧面展开为扇形COD,可得大圆锥的母线长为8 cm,底面半径为4cm,圆锥侧面展开图的圆心角为0= 2X4-x,连接CP,可得∠C0P=乏，0C=8cm,0P=4+2 =6(cm),则CP=√62+82=10(cm),所以沿着该圆台侧面 从点C到AD的中点的最短路程为10cm,故D正确.] 03 B .0 B -D D 图① 图② 2.解析：不妨设原棱锥为四棱锥， 设棱台的高为h,截得棱台的原棱锥的 高为h1, 如图所示，即MN=h,PN=h E-M 因为四边形ABCD与四边形EFGH 相似， 且上下底面面积分别为4和9，故E4 AN A 由△PEM∽△PAN, 敬器号祭-片-1-号-音 -3=3, 这个棱台的高和裁得棱台的原棱锥的高的比为了： 答案：3 假期作业19简单几何体的 表面积与体积 思维整合室 1.2xrlπrlx(n1+r2)l 1 2.S底·h3S底·h4πR2 技能提升台素养提升 1.C2.C 3.A[依题意，圆柱的母线长l=2πr,故S侧=(2πr)2=4πr2 =4π2.] 4.B[由题意，侧面积相等，则圆锥的母线长是圆柱高的2 倍，即23，故其底面半径为3，所以圆维的体积为号×元× 32X√3=3√3π.故选择：B.] 5.A[由题意得，该饰品的表面积为6个边长为√2cm的正方 形与8个边长为√2cm的正三角形的面积之和，则该饰品的 表面积S=6×(W2)2+8×5×(W2)2=(12+4V3)(cm2).] 6.AC[如图，由∠APB=120°， AP=2可知，底面直径AB=2 √3，高PO=1,故该圆锥的体积为 π，故A对；该圆锥的侧面积为2 √3π，故B错；连接CB,取AC中 A)B 点为Q,连接QO,PQ,易证二面 角P-AC-O的平面角为∠PQ0=45°，所以QO=PO=1, PQ=√2，所以BC=2,所以AC=2V2,故C对；S△Pac=2 AC·PQ=2,故D错.] 9 高一数学) 7.A[由题可知圆锥的底面半径R=1,母线长l=2,高h= √-R2=√22-1严=√3， 圆维的体积为V=子元Rh- 3元.] 8.B[如图，分别过M,C作MM' ⊥PA,CC⊥PA,垂足分别为 M M M,C.过B作BB'⊥平面PAC, 垂足为B',连接PB,过N作 NN'⊥PB',垂足为N' B 因为BB⊥平面PAC,BBC平 面PBB', A② B 所以平面PBB'⊥平面PAC. 又因为平面PBB∩平面PAC=PB,NN'⊥PB',NN'C平 面PBB',所以NN'⊥平面PAC, 且BB'∥NN' 在△PCC中，因为MM⊥PA,CC⊥PA, 所以Mr/0C,所以器-警=专 PC CC' 在△PB中，因为B昭∥NN,所以器-器=号， 所以V-MMN=VN-Pw=3 SAPAM·NW VP-ABC VB-PAC 号SAc·BB -音x位Aar)- 号×（合PACC)·BB 9.B[在△AOB中，∠AOB= 120°，而OA=OB=√3，取AB 中，点C,连接OC,PC,有OC AB,PC⊥AB,如图， ∠AB0=30,0C= 2,AB= 2BC=3,由△PAB的面积为 9￥9，得2×3×C-9, 4 4 解得PC=3)5,于是P0=√PC-OC 2 - 所以国维的体积V-3X0AXP0=号xX(3)'X6= √6π.] 0限折：由效意如纪哥器-纪 3(m-)-5 22(m1-r2)4 答案，6 4 11.解：如图，过C作CE垂直于AD,交AD延E中S 长线于E,则所求几何体的体积可看成是 D 由梯形ABCE绕AE旋转一 周所得的圆台的体积，减去△EDC绕DEAb 旋转一周所得的圆锥的体积.所以所求几何体的体积V V台一V属#=子 X5+5X2+2)X4-日r×2X2= 148 3元. 12.解：如图所示，作出轴截面，O是球心，与 边BC,AC相切于点D,E.连接AD,OE, 因为△ABC是正三角形，所以CD=名AC 因为Rt△AOE Rt△ACD,所以 OE AO CD AC k堂快乐假明 因为CD=1cm,所以AC=2cm,AD=√3cm, 设OE=r,则A0=√3-r,所以T一=1 V3-x2 所以=3 3 cm, V=3π3) 4 3)3 4√ ÷2 2π（cm3),即球的体积等 9em 新题快递 1.C[如图将正方体还原可得如下 D 图形： N∠ M B 则V4w=子×合×1X1X2 号Vm6=号××1×2X2= 号VcA4SB=2=8,所以该几 何体的你颜V-8日-号-7] 2.解析：因为∠A0C=∠B0D=苓，所以∠D0C=元-2×号 =号.设国0的半径为R,又Sm=号X号R=6x,解得 R=6(负值舍去). 如图，过点C作CE⊥AB交AB于点E,过 点D作DF⊥AB交AB于点F,则CE= 0Csin5=33,0E=0Ccos号=3，所以 AE=R-OE=3,同理可得DF=3√3，OF= BF=3. 将扇形DOC绕直线AB旋转一周形成的几何体为一个半径 R=6的球中上下截去两个相同的球冠所剩余部分再挖去两 个相同的圆锥，其中球冠的高h=3,圆锥的高h1=3,底面半 径r=3√3，则其中一个球冠的表面积S1=2πRh=2πX6X3 =36π，球的表面积S2=4πR2=4πX62=144π，圆锥的侧面 积S,=3√3X6π=183π，所以所求几何体的表面积S=S2 -2S,+2S3=144π-2×36π+2×18V3π=72π+36V3元. 答案：72π十36√3π 假期作业20空间点、直线、平面 之间的位置关系 思维整合室 1.两点不在一条直线上有且只有一条 2.平行相交任何3.10无数0无数 技能提升台素养提升 1.D 2.B[对选项A:经过直线与直线外一点有且只有一个平面， 故A不满足题意，对选项B:对边相等的四边形，对边有可能 异面，不能确定一个平面，比如对边相等的空间四边形，故B 满足题意.对选项C:经过两条相交直线有且只有一个平面， 故C不满足题意.对选项D:经过两条平行直线有且只有一 个平面，故D不满足题意.] 3.D[对于A、B,一条直线与另两条直线都相交或三条直线 两两都相交，比如棱柱中共点的三条棱，所在直线就不共面， 也不能确定一个平面，故A、B错；对于C,若三条直线相互 平行，其中两条可以确定一个平面，另一条可以与已知平面 平行，故C错误；对于D,一条直线与两条平行直线都相交， 这三条直线能确定一个平面.] 4.解析：当一个点在平面一侧，另三个点在平面另一侧时，这种 平面有4个；当平面两侧各有两个点时，这种平面有3个.故 共有7个. 答案：7 9 --00M 5.C[由于a∥b,a,c异面，此时，b和c可能相交，也即共面， 如图所示b与c相交；b和c也可能异面，如图所示b与c异 面.综上所述，b与c不可能是平行直线.] a 0 b 0 b o c 0 01 6.CD[AM与C,C异面，故A错；AM与BN异面，故B错 易知C、D正确.] 7.AC[根据正方体的展开图画出还原的正 C(E) 方体如图所示. 可以得到HG∥CD,CD与EF相交，EF 与AB异面，GH与AB相交.] 8.解析：①中HG∥MN;③中GM∥HN且 GM≠HN,所以直线HG与MN必相交. B 答案：②④ 9.C[取BC的中点为E,连接DE,AE(图略)，则DE∥PB, 所以∠ADE为AD与PB所成的角（或其补角）. 设正四面体的棱长为2a, 则DE=a,AD=√3a,AE=√3a, 所以在△ADE中，cos∠ADE=5a+a-3@)-5] 2XW3a·a 61 10.A[连接AD1,D1M(图略).'AB=C1D1,AB∥C1D1, ,',四边形ABC1D1为平行四边形，则AD1∥BC1,则 ∠D1AM(或其补角)为异面直线AM与BC1所成的角.设 正方体的棱长为2，则AD1=2√2，AM=D1M=√5， cos∠D,AM=22)+5-5=0,即异面直 2×2√2×W5 5 线AM与BC所成角的余弦值是5.] 11.D[如图，取棱AP的中点为F,连 接EF,BF.因为E为PC的中点，所 以EF∥AC,EF=2AC, 所以异面直线BE与AC所成角为 ∠BEF(或其补角). 不妨设正四棱锥P-ABCD的所有棱 长均为2， 则BE=BF=,EP=合AC=E, 2 12.解：(1)6条棱中，PC,AB成异面直线， PB,AC成异面直线，PA,BC成异面 直线，共3对.（2)如图，取AB的中，点 Z,连接MZ,NZ,因为M是PB中点， Z是AB中点， 所以MZ∥PA,MZ=PA=2. 同理，NZ∥BC,NZ=}BC=3. 21 所以异面直线PA与BC所成角为∠MZN(或其补角)， 在△MZN中，由余弦定理可得cos∠MZN=2,十3-4 2×2×3 },故异面直线PA与BC所成角的余孩值为， 新题快递 1.ABD[如图，在正方体ABCD- D AB,CD中， 若a是平面ABCD,AB为m,AB为A B n,此时m与n平行，故A正确；若a是 平面ABCD,AD为m,AB为n,此时 mLn,且m与n异面，故B,D正确；若 D m∥a,则m与平面a无交，点，又nCa, 则m与n无交，点，即m不可能与n相 B 交，故C错误.]三0022 盒一数学 假期作业19简单几何体的表面积与体积 绳锯木断，水滴石穿。 完成日期： 夕 日 《思维整合室 1.圆柱、圆锥、圆台的侧面展开图及侧面积 2已知△15C是面积为停的等边三角形，日其 顶点都在球O的球面上.若球O的表面积为 公式 16π，则O到平面ABC的距离为 ( 圆柱 圆锥 圆台 A.√3 R C.1 D. 2 侧面展开图 3.若圆柱的底面半径为1，其侧面展开图是一 个正方形，则这个圆柱的侧面积是() A.4π2 B.3π2 C.2π2 D.π2 侧面积 4.已知圆柱和圆锥的底面半径相等，侧面积相 S圆柱侧 S圆锥侧 S圆台侧二 等，且它们的高均为3，则圆锥的体积为 2.空间几何体的表面积与体积公式 A.2√3π B.3√3π 名称 C.63π D.9√3π 表面积 体积 几何体 5.水晶是一种石英结晶体矿 S表面积一 物，因其硬度、色泽、光学性 柱体（棱柱和圆柱） V= S侧十2S底 质、稀缺性等，常被人们制 作成饰品.如图所示，现有 S表面积= 棱长为2cm的正方体水晶一块，将其裁去 锥体（棱锥和圆锥） V= S侧十S底 八个相同的四面体，打磨成饰品，则该饰品 的表面积为 ( ) v=1 3 A.(12+4W3)cm2B.(16+4√3)cm S表面积一 台体（棱台和圆台） S侧十S上十S下 (S上+S下+ C.(12+3√3)cm2D.(16+33)cm2 √SES下)h 6.(多选)已知圆锥的顶点为P,底面圆心为 O,AB为底面直径，∠APB=120°，PA=2, 球 S- V- 3R3 点C在底面圆周上，且二面角PACO为 45°，则 () 技能提升台 A.该圆锥的体积为π 素养提升 B.该圆锥的侧面积为4√3π ◆[考点一]空间几何体的表面积与侧面积 C.AC=2√2 1.如图所示，圆锥的底面半径为 D.△PAC的面积为3 1,高为，√3，则该圆锥的表面 ◆[考点二]空间几何体的体积 积为 ( 7.底面直径和母线长均为2的圆锥的体积为 () A.π B.2π C.3π D.4π A③ B.元 C.2π D.3π 37 北曼快乐假朗 0M= 8.在三棱锥P一ABC中，线段PC上的点M 12.轴截面是正三角形的圆锥内有一个内切球， 满足PM=3PC,线段PB上的点N满足 若圆锥的底面半径为1cm,求球的体积. PN=号PB,则三棱锥P-AMN和三棱锥 P一ABC的体积之比为 ( A司 B号 c号 D 9.已知圆锥PO的底面半径为√3，O为底面圆 心，PA,PB为圆锥的母线，∠AOB=120°， 若△PAB的面积等于 ,则该圆锥的体 积为 A.π B.√6π C.3π D.3√6π 10.已知圆台甲、乙的上底面半径均为r1,下底 新题快递 面半径均为r2,圆台的母线长分别为2(r2 1.如图是一个棱长为2的正方 一r1),3(r2一r1),则圆台甲与乙的体积之 体被过棱AB,、AD,的中点 比为 M、N,顶点A和过点N顶点 11.如图，在四边形ABCD D、C,的两个截面截去两个 角后所得的几何体，则该几何体的体积为 中，∠DAB=90°，D ∠ADC=135°，AB=5, A.5 B.6 C.7 D.8 CD=22,AD=2,求四 2.球面被平面所截得的 边形ABCD绕AD旋转一周所成几何体 一部分叫做球冠，截得 的体积. 的圆叫做球冠的底，垂 直于截面的直径被截 图① 图② 得的一段叫做球冠的 高.球被平面截下的一部分叫做球缺，截面 叫做球缺的底面，垂直于截面的直径被截下 的线段长叫做球缺的高，球缺是旋转体，可 以看作是球冠和其底所在的圆面所围成的 几何体.如图①，一个球面的半径为R,球冠 的高是h,球冠的表面积公式是S=2πRh.如图 ②，已知C,D是以AB为直径的圆上的两点， ∠A0C=∠BOD=号，Sm=6,则扇形 COD绕直线AB旋转一周形成的几何体的表 面积为 《益智欢乐谷 今天做数学题.十个人排队，甲不能站中 间，不能站两端，还得和乙挨着，还得和丙隔两 个人，还得站丁后面.经过激烈的讨论，大家一 致认为，让甲滚… 38