假期作业17 复数-【快乐假期】2025-2026学年高一数学暑假作业（全学年）

三a0022... 在△ACD中，由余弦定理得，AD2=AC2十CD2一2AC· CDcos∠ACD=152, 则AD=2√38km.] 8.解析：在Rt△BCP1中，∠BP1C=a,在Rt△P2BC中，∠P2 =.∠BPC=∠PBP,+∠P,∠P,BP,=, 即△BP1P2为等腰三角形，BP1=P1P2=L, .'.BC=lsin a. 在Rt△ACP1中，CP一1cosa=tan(90°二a), .AC=lcos a,BA=AC-BC=lcos'a-lsin a= sin a sin a (cos'a-sin'a)lcos 2a sin a sin a 答案：lsin& lcos 2a sin a 9.B[由三角形的面积公式得6+2=3+2 besinA,即62+c2 tan A =3+2 bccos A.由余弦定理得a2=b+c2-2 bccos A=3,所 以a=√3.] 10.ABC[,√3(acos C+ccos A)=2 bsin B,∴.由正弦定理可 3(sin Acos C++sin Ccos A)=2sin2B,.'.3sin(A+C)= 2sinB,3sinB=2sin2B.又sinB≠0，sinB=￥5. 2 “∠CAB=晋B∈(0，)B=吾∠ACB= ∠CAB-∠B=于，国此A,B正确.四边形ABCD面积等 于SA十Sm=AC+?AD·DC·sim∠ADC= 9AD+DC-2AD·DC.os∠ADC)+合AD:DC· sim∠ADC=9x(9+1-6eos∠ADC)+号×3X1: si∠ADC=iY+3sn(∠ADC-吾)<+3，吉且仅 当∠ADC-吾=受，即∠ADC=爱时，等号成立，国此C 正确，D错误.] 11.解析：'sin∠BAC=sin(受+∠BAD）=cos∠BAD, 0s∠BAD-2在△ABD中，由余弦定理得BD AB2+AD2-2AB·ADcos∠BAD=(3√2)2+32-2X3√2 X3x2y2-3,BD=3. 答案W3 12.解：(1)在△OBC中，BC=4(W3-1),OB=OC=4√2，所以 余定程得s∠B0C=OB8CBC-号，片以 2OB·OC ∠B0C=吞， 于是BC的长为答42-2 3π. (2)设∠A0C=0,0c(0,号)，则∠0C-5-0, Sa0cm=Sae十Sae=合X4VEX42sin0+2X4 Ex4E·sin(g-0）=24sin9+85cos0 =165sim(9+）由于(0,2） 所以0+若∈（合，晋）所以163sm(0+看）卡 (8√3,16√3]，所以四边形OACB面积的最大值为16√3. 9 高一数类的 新题快递 L.B[根据余弦定理，得cOs∠ABC=AB+BC_AC 2AB·BC 6.92+7.12-12.62=-3037<0,所以交<∠ABC<元设 2×6.9×7.1 48.99 2 AC对应的圆心角为&，则有a十∠ABC=元，则cosa=cos(元 -∠ABC)-o∠ABC-股8品五0<o<登周为含< 股部<竖片以（货，哥）门 2.解：(1)在△DOE中，由余弦定理得： ED2=OD2+OE2-2OD·OE·cos∠EOD=4+1-2X2X c0s0=5-4cos0, 在△COE中，由余弦定理得： EC=OC+OE2-2·OC·OE·cos∠EOC=4+1-2X2 Xcos(π-8)=5+4cos0, 所以EC+ED=√5+4cos0+√5-4cos0=f(0),0∈[0， 元]， ,∴.将管道总长（即线段EC十ED)表示为变量0的函数为： f(0)=√5+4cos0+V√5-4cos0,0∈[0，π]， (2)由(1)可得： [f(0)]2=(√/5+4cos0+√5-4cos0)2 =10+2√5+4cos0·√5-4cos0=10+2√25-16cos20, 因为，0∈[0，π]，所以0≤cos20≤1， [f(0)]2=10+2√25-16cos20≤10+2√25=20（百米） 当且仅当c0s20=0,即0=受时取等号， 因为f(0)=/5+4c0s0+√5-4cos0>0,∴.f(8)=√20= 2√5（百米）. ∴.管道总长的最大值为2√5百米. 假期作业17复数 思维整合室 1.(1)ab(2)=≠=≠(3)a=c且b=d (4)a=c且b=-d(5)|z|a+bi3.(1)(a+c)+(b+d)i (a-c)+(b-d)i (ac-bd)+(ad+bc)i actbdbcad c2+dc2+d (2)x2十之11十(22十3） 技能提升台素养提升 1.C[|x=√/(-1)2+(-1)2=2.] 2.C[由题意：|2-4i=√22+(-4)2=2√5.] 3D[=名=a29D=1+i. 2(1+i) ∴.|x|=√2，z2=2i,x的共轭复数为1一i,z的虚部为1.故 A,C错，B,D正确.] 4.A[由题知(1+3i)(3-i)=3-i十9i-3=6+8i,所以该 复数在复平面内对应的点为(6,8)，位于第一象限.门 5.D[由题意(x+yi)+2=(x+2)+yi=(3-4i)+2yi=3+ 以{2y4解得x=1y=4,所以x十y=5.] (2y-4)i,所以x+2=3 6.BCD[若之1>z2,则名1，之2为实数，当名1=1，之2=一2时，满 足之1>22，但之1<之2，故C项不正确；因为两个虚数之间 只有等与不等，不能比较大小，所以D项不正确；当两个复 数不相等时，它们的模有可能相等，比如1一≠1十i,但1一i =1十，所以B项不正确；因为当两个复数相等时，模一定 相等，所以A项正确.门 7.C[由题知=1+D:-1D2=1中=1-i故选择：C.] 8.A[因为x=5十i,所以之=5一i,故i(2十)=10i] 9.C[÷=-1-i,则z=i(-1-iD=-i-=1-i] 10.解析：(w5+i)·(W5-2i)=5+√5i-2√5i+2=7-√5i. 答案：7-√5 飞壁饶乐假明 11.解：设x=a十bi(a,b∈R),由z|=1+3i-z, 得√a+b-1-3i+a+bi=0, 则√a+B+a-1=0,所以=。-4，所以之=-4十31 b-3=0, 1b=3, 则1+)(3+4D2-2i(3+4D2 2(-4+3i) =2(-4+3D(3+4D=3+4, 2(-4+3i) 12.解：(1)设x=a+bi(a,b∈R), 由已知条件得：a2十b=2,22=a2一b2十2abi,所以2ab=2. 所以a=b=1或a=b=一1，即z=1+i或z=一1一i. (2)当之=1十i时，z2=(1十i)2=2i,之-x2=1-i,所以点 A(1,1),B(0,2),C(1,-1), 所以5m=号ACX1=合X2X1=1: 当x=-1-i时，22=（-1-i)2=2i,之-z2=-1-3i. 所以点A(-1,-10,B0,2,C(-1,-3,所以5Ac=号1AC ×1=号×2X1=1.即△ABC的面积为1. 新题快递 1.AC [z=r(cos 0+isin )(cos 20+isin 20), =r2(cos 20+isin 20)=2,=r(cos 0+isin 0)2=, 以A正确；当r=1,0=受时，2=(os受+isin晋）广=cos x十isin元=-1，所以B错误；当r=1,0=3时，z=c0s3+ 血号=名+受则=号-号所以C正动：当=10 时，2=os要+isin, 当n为偶数时，设n=2k,k∈Z, 则=cos经+isin经，k长Z, 所以当k为奇数时，z”为纯虚数，当k为偶数时，”为实数， 所以D错误.门 2.AC[对于A,当64ac=0时，x=x2=一，6ER,故正 确；对于B,当-4ac<0时，则=-b-i二B+4ac, 2a --b叶i+4c,则5华R,任R,且五≠红，故错误；对 于C,由一元二次方程根与系数的关系可得工十西=一。， 西=名，故正确；对于D,(一石)_二如，故错误] a 假期作业18基本立体图形及 立体图的直观图 思维整合室 1.互相平行公共顶点平行于 2.(2)45°（或135）变为原来的一半 技能提升台素养提升 1.B2.C 3.BCD[当任意两，点与球心在一条直线上时，可作无数个圆，故A 错；B正确；C正确；根据球的半径的定义可知D正确.] 4.A[由题意，圆柱的侧面展开图是矩形，如图所D 示，AC即为葛藤的最短长度，一条直角边长（即圆 木的高)为3×10十5=35（尺），另一条直角边长为 3×4=12(尺)，故葛藤长为√352+122=37 (尺).] 5.ABD[由直观图的画法规则，可知A,B,D正确， C中∠x'0'y'可以是45°或135°，故C错误.] 6.D[根据斜二测画法的原则可知OC= 2,OA=1, 所以对应直现图的面积为S=2X名×04 0/入 ×00xm45=2x号×1x2x'号-2.] x 2 9 000= 7.C[由题知∠D/OA'=45°，0C'= CD'=1,所以0D'=√2， D 故在原图形中，OD=2√2，CD=C D'=1,OC=√OD+CD=√8+1 =3,OA=OA'=3,所以四边形 OABC为菱形（如图所示），则原图 0 形面积S=OA·OD=6√2.] 8.解析：在直观图中，四边形为OA'B'C菱形且边长为2cm, .由斜二测法的规则得：在xOy坐标系中，四边形ABCO是 矩形， 其中OA=2cm,OC=4cm, ,∴.四边形ABCO的周长为：2×(2+4)=12(cm), 面积为S=2X4=8(cm2). y 答案：128 9.A[可以将该半正多面体分为三层，A 上层8个面，中层8个面，下层8个面， 上下底各1个面，所以共有8十8+8十 1+1=26个面. 设半正多面体的棱长为a,作出该几何 体的截面如图，截面图为正八边形， 由图可得CD-22,CE=a, 因为△CDE为等腰直角三角形，所以CE=√2CD,即a=√2 XI-a 2 1=2-1,所以该半正多面体的棱长为2 解得a=2十1 -1.] 10.解析：圆锥底面半径为1cm,母线长为2cm,则它的侧面展 开图扇形的圆心角所对的孤长为2πX1=2π(cm); 所以扇形的圆心角为日=受=元 答案：π 11.解：圆台的轴截面题图所示，设圆台上、 下底面半径分别为xcm,3xcm,延长 A AA1交OO1的延长线于S,在Rt 01 △SOA中，∠ASO=45°，则∠SAO A 0 =45°， 所以S0=AO=3x,S01=A1O,=x,所以O01=2x. 又S#6=2(6x+2x）·2x=392,所以x=7. 所以圆台的高OO=14(cm),母线长l=√20O=14√2(cm), 两底面半径分别为7cm,21cm, 12.解：把长方体的部分面展开，如图所示， 对甲、乙、丙三种展开图利用勾股定理可得AC,的长分别 为√90、√74、√80，由此可见乙是最短线路，所以甲壳虫 可以先在长方形ABB,A1内由A到E,再在长方形 BCC1B1内由E到C1,也可以先在长方形AAD1D内由A 到F,再在长方形DCCD1内由F到C1,其最短路程 为√74. 4三0022 假期作业17 《思维整合室 1.复数的有关概念 (1)复数的定义 形如a十bi(a,b∈R)的数叫做复数，其中实部 是 ,虚部是 (2)复数的分类 复数之=a十bi(a,b∈R) 实数(b0), 纯虚数(a 0,b0) 虚数(b 0) 非纯虚数(a≠0，b≠0). (3)复数相等 a+bi=c+di台 (a,b,c,d∈R). (4)共轭复数 a十bi与c十di共轭台 (a,b,c,d ∈R) (5)复数的模 向量OZ的模叫做复数之=a十i的模，记作 或 ,即|z|=|a+bi=r= √a2+b(r≥0，a、b∈R). 2.复数的几何意义 (1)复数之=a十i一对应复平面内的点 Z(a,b)(a,b∈R). (2)复数之=a十bi(a,b∈R) 一一对应平面向 量0z. 3.复数的运算 (1)复数的加、减、乘、除运算法则 设z1=a+bi,x2=c+di(a,b,c,d∈R),则 ①加法：之1+之2=(a十bi)+(c十di) ②减法：之1-之2=(a+bi)一（c+di) ③乘法：之1·之2=(a十bi)·(c+di) 复数 恢弘志士之气，不宜妄自菲薄。 完成日期： 月 ④除法： atbi (a+bi)(c-di) 22 c+di (c+di)(c-di) (c+di≠0)， (2)复数加法的运算律 复数的加法满足交换律、结合律，即对任何 之1，之2,23∈C,有之1十之2= ,（之1十之2) 十23= 《《技能提升台 素养提升 ◆[考点一]复数的概念及其几何意义 1.已知x=一1一i,则|x= ( A.0 B.1 C.√2 D.2 2.2-4i= () A.2 B.4 C.25 D.6 3(多选)下面是关于复数：=吕的四个命 题，其中真命题为 A.|z|=2 B.x2=21 C.之的共轭复数为一1十i D.之的虚部为1 4.在复平面内，(1十3i)(3一i)对应的点位于 ) A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限 5.已知i为虚数单位，x,y为实数，若(x十yi) +2=(3一4i)+2yi,则x+y= () A.2 B.3 C.4 D.5 6.（多选)已知之1,2为复数，则下列说法不正 确的是 A.若之1=之2，则之1=|之2 B.若之1卡之2，则之1卡|之2 C.若之1>之2，则|之11>|之2】 D.若|之1|>|之2，则之1>之2 33 火壑快乐慑期 ◆[考点二]复数的代数运算 7.若二11+i,则= A.-1-i B.-1+i C.1-i D.1+i 8.若z=5十i,则i(之+z)= A.10i B.2i C.10 D.2 9.若复数x满足兰=一1一i,则= ( A.-1-i B.-1+i C.1-i D.1+i 10.已知i是虚数单位，复数（√5+i)·(5 2i)= 11.已知复数满足|之|=1十3i一之，求 1+D(3+4D的值. 2x 12.已知复数之满足|z=√2，之2的虚部为2. (1)求复数之； 90M-= (2)设之，之2，之一之2在复平面内对应的点分 别为A,B,C,求△ABC的面积. 新题快递 1.（多选)任何一个复数之=a+bi(其中a,b∈ R,i为虚数单位)都可以表示成之=r(cos0 +isin)的形式，通常称之为复数之的三角 形式.法国数学家棣莫弗发现：对于之= (cos 0+isin 0),z"=[r(cos 0+isin 0)]"=r" (cosn0+isin n0)(n∈N“),我们称这个结论 为棣莫弗定理.根据以上信息，下列说法正 确的是 () A.|z2|=|z2 B.当=1,0=5时，=1 C当=1,0g时2=合-8 D.当r=1,0=灭时，若n为偶数，则复数” 为纯虚数 2.（多选)对于实系数一元二次方程ax2十bx 十c=0(a,b,c∈R),在复数范围内的解是 x1,x2,下列结论中正确的是 () A.若b2-4ac=0,则x1,x2∈R且x1=x2 B.若b2-4ac<0,则x1R,x2庄R,且x1=x2 C一定有十=一合d一 D.一定有(z,-x,)2=1b-4acl 《益智欢乐谷 世上没有坐享其成的好事，要幸福就要 奋斗！ 幸福是奋斗出来的，不是等出来的！向着 目标，我们一起努力吧！ 34