假期作业16 余弦定理、正弦定理的应用-【快乐假期】2025-2026学年高一数学暑假作业（全学年）

三0022. 假期作业16 余弦定理、正弦 《思维整合室 1.解三角形应用题的基本思想 解三角形应用题时，通常都要根据题意，从实 际问题中抽象出一个或几个三角形，然后通过 解三角形，得到实际问题的解，求解的关键是 将实际问题转化为 问题 2.运用正弦定理、余弦定理解决实际问题的基 本步骤 (1)分析：理解题意，弄清已知与未知，画出示 意图（一个或几个三角形）； (2)建模：根据已知条件与求解目标，把已知量 与待求量尽可能地集中在有关三角形中， 建立一个解三角形的数学模型； (3)求解：利用正弦定理、余弦定理解三角形， 求得数学模型的解； (4)检验：检验所求的解是否符合实际问题，从 而得出实际问题的解. 3.三角形面积公式 (1)三角形的高的公式：ha=bsin C=csin B, hB=csin A=asin C,hc=asin B=bsinA. (2)三角形的面积公式：S= 2absin C, S= = 【《技能提升台 素养提升 ◆[考点一]利用正、余弦定理测量角度问题 1.若水平面上点B在点A南偏东30°方向上， 则在点A处测得点B的方位角是() A.60°B.120°C.150° D.210° 2.如图，两座相距60m的建筑 C 物AB,CD的高度分别为 20m,50m,BD为水平面，则 从建筑物AB的顶端A看建 D 筑物CD的张角∠CAD等于 ( A.30°B.45° C.60° D.75° 3.如图，前卫斜塔位于辽宁省葫 芦岛市绥中县，始建于辽代，又 名瑞州古塔，其倾斜度（塔与地 面所成的角)远超著名的意大利 比萨斜塔.现有一个斜塔的塔身 长10m,一旅游者在正午时分 (太阳光线与地面垂直)测得塔在地面上的投 影长为5m,则该塔的倾斜度（塔与地面所成的 角)为 ( ) A.60° B.45° C.30° D.15° 3 高一数学 积土而为山，积水而为海。 玄定理的应用 完成日期： 月 日 4.如图所示，位于A处的信 息中心获悉：在其正东方向 相距40海里的B处有一艘 40 渔船遇险，在原地等待营 20 救，信息中心立即把消息告 知在其南偏西30°、相距20海里的C处的乙 船，现乙船朝北偏东O的方向沿直线CB前往 B处救援，则cos0的值为 ◆[考点二]利用正、余弦定理测量距离与高 度问题 5.如图，巡航艇在海上以 60km/h的速度沿南偏 )20 东40°的方向航行.为了 确定巡航艇的位置，巡航 艇在B处观测灯塔A, 其方向是南偏东70，航行h到达C处，观 测灯塔A的方向是北偏东65°，则巡航艇到 达C处时，与灯塔A的距离是 A.10 km B.10√2km C.15 km D.15√2km 6.圭表是我国古代一种通 过测量正午日影长度来 B/ 推定节气的天文仪器，它 圭面 包括一根呈南北方向的 水平长尺（称为“圭”）和一根直立于圭面的标 杆（称为“表”），如图.成语有云：“立竿见影”， 《周髀算经》里记载的二十四节气就是通过圭 表测量日影长度来确定的.利用圭表测得某市 在每年夏至日的早上8：00和中午13：00的太 阳高度角分别为23°（∠ABC)和83°（∠ADC). 设表高AC为1米，则影差BD~ (参考数据：sin16°≈0.276,3≈1.732) A.1.986米 B.2.126米 C.2.232米 D.2.346米 7.为运输方便，某工程队将从 A到D修建一条湖底隧道， 如图，工程队从A出发向正 东行105km到达B,然后从B向南偏西45° 方向行了一段距离到达C,再从C向北偏西 75°方向行了4√2km到达D,已知C在A南偏 东15°方向上，则A到D的距离为 () A.15√6km B.2√38km C.10√/2km D.15√3km 飞壁快乐假期 8.如图，一位同学从P1处观测 塔顶B及旗杆顶A,得仰角 分别为a和90°-a.后退lm 至点P2处再观测塔顶B,仰 角变为原来的一半，设塔CB 和旗杆BA都垂直于地面，且C,P,P2三点在 同一条水平线上，则塔BC的高为 m; 旗杆BA的高为 m.(用含有l和a的 式子表示) ◆[考点三]正、余弦定理在平面几何中的 应用 9.在面积为S的△ABC中，内角A,B,C的对边分 别为a,b,c,若8+c=3+an则a=( A.1B.√3C.2D.3 10.(多选)如图，△ABC的内 角A,B,C所对的边分别为 a,b,c,3(acos C+ccos A) =2 bsin B,且∠CAB=T. 3 若D是△ABC外一点，DC=1,AD=3,则 下列说法中正确的是 A.△ABC的内角B=T 3 B∠ACB=S C四边形ABCD面积的最大值为+3 D.四边形ABCD的面积无最大值 11.如图，在△ABC中，已知点D 在BC边上，AD⊥AC,sin ∠MC-22A8=32A0 =3,则BD= 12.如图，已知扇形的圆心角 ∠A0B=,半径为42，若 点C是AB上的一动点（不与 点A,B重合) (1)若弦BC=4(√3一1)，求BC的长； (2)求四边形OACB面积的最大值. 3 S0M-= 新题快递 1.某艺术爱好者对《蒙娜丽莎》的同比例影像 作品进行了测绘.将画中女子的嘴唇近似看 作一个圆弧，在嘴角A,C处作圆弧的切线， 两条切线交于B点，测得如下数据：AB= 6.9cm,BC=7.1cm,AC=12.6cm.根据 测量得到的结果推算女子嘴唇视作的圆弧 对应的圆心角的范围为 12.6cm A 6.9cm 7.1cm A. ππ 4’3 c D. 5ππ 12’2 2.如图，现有一直径AB =2百米的半圆形广 场，AB所在直线上存CA0 B D 在两点C,D,满足OC=OD=2百米(O为 AB的中点)，市政规划要求，从广场的半圆 弧AB上选取一点E,各修建一条地下管道 EC和ED通往C、D两点. (1)设∠EOB=0,试将管道总长（即线段EC 十ED)表示为变量0的函数； (2)求管道总长的最大值. 《益智欢乐谷 中国女排打了8场，赢了5场，输了3场， 冠军！ 塞尔维亚打了8场，赢了6场，输了2场， 亚军！ 美国女排打了8场，赢了7场，输了1场， 季军！ [总结]人生呀，关键不在于你赢过多少 次，而在于你在什么时候，什么场次赢了什么 对手！ 2k曼快乐假期 12.解：1）由题意得2 2sin Bcos B=cosB,因为A为绕角， 7 则cosB≠0，则2sinB=5 2= sin A sinA,解得sinA=图. 7 21 因为A为纯角，则A=经。 (2选择①6=1，又a=1,期mB=得8-得×7=9因为 14 A-行，则B为锐角，则B=受 此时A十B=π，不合题意，舍弃； 选择②c0sB=是，周为B为三角形内角，则simB= -(-, 则代入2a如B=96得2X晋-6，解得6=3， 147 s血C-snA+B)=n(行+B）=sm答csB叶cws经nB 为5w-7咖mC-言x7xx5-155 14 41 选择③csin A= 吕3，则有c×夏-3，解得=5， 2 则由正弦定理得sAnC,即7C解得snC 3 2 =53 14 因为C为三角形内角，则osC-(-提 则sinB=sin(A+G)=sin(+C=-sino C+cosF sin C 1 则SaAc=2 acsin B=-2 号×7X5×3v5-15,5 14 4 新题快递 1.D[在△ABC中，由已知可得，sinA= V1-osA=号 A- 又c0sA=合>0，所以A为锐角】 BC=AB」 由正孩定理可得，inA一sinC' 3 所以，sinC=ABsin A_5x3 BC =2=10x. 要使命题力是真命题，则C有唯一满足条件的解. 若0<x<2,则sinC<号，显然C有唯一满足条件的解； 若x=2,则C=A,满足； 若>2，且sinC<1,即高<1， 即2<<号，此时C有两解满足条件，此时命题力是假命题； 当x一号时，此时有mC=1,C=受有唯-解，满足： 当>碧时，此时有mC>1,显然C无解，不满足. 综上所选，当0<≤2成一9时，伞题p是真命题] 9 90M-= 2.ABD[在△ABC中，若a>b,则根据正弦定理可得sinA> sinB,选项A正确；由sinA>sinB及正弦定理得a>b,则 A>B,选项B正确；若snA>cosB,即co(受-A）>cosB, 当c0sB<0,c0s(受-A)>0时，△ABC为钝角三角形，选 项C错误；若△ABC为钱角三角形，则A十B>否， 则有受>A>-B>0, 2 又正孩画教在(0，受)上单词递增， 所以sinA>sin(答-B即sinA>cosB,选项D正确.] 假期作业16余孩定理、 正孩定理的应用 思维整合室 1.解三角形3.(2)26 besin A 2casin B 技能提升台素养提升 1.C2.B 3.A[如图所示，线段AC表示塔身，线段AB为 C 塔在地面上的投影，CB⊥AB,所以在Rt△ABC 中，@sA=能-名，因为0P<A<90,所以A =60°.] 4.解析：在△ABC中，AB=40,AC=20,∠BACA =120°， 由余弦定理得BC=AB2+AC-2AB·AC·cOs120°= 2800→BC=20√7. 由正张定理，得n2CB28nc BC →sin∠ACB BC·sin∠BAC=V2I AB 7 由∠BAC-120,知∠ACB为锐角，则cDs∠ACB=2y7 7· 由0=∠ACB+30°，得cos0=cos(∠ACB+30) =cos∠ACBcos30°-sin∠ACBsin30°=Y2T 141 答案：阳 5.D[在△ABC中，BC=60×号=30(km),∠ABC=70 40°=30°，∠ACB=40°+65°=105°，则∠A=180°-(30°+ 105)=45°，由正弦定理，可得AC=15√2(km).] 6.C[在Rt△ACD中，AD= AC 1 sin 83 cos 7 在△ABD中，由正弦定理，得 BD AD sinZBAD=sinZABD,即 BD AD sin(83°-23)sin23' 3 则BD=2sin23°cos7: 因为sin30°=sin(23°+7)=sin23°·cos7°+cos23°sin7°， 且sin16°=sin(23°-7)=sin23°cos7°-cos23°sin7°， 所以2sin23°cos7°=sin30°+sin16°≈0.776， 所以BD1≈72≈2.232.] 0.776 7.B[连接AC,由题意，∠ABC=45°， ∠ACD=75°-15°=60°，∠BCD= 75°+45°=120°， ∠ACB=60°，AB=10N3,CD=4N2, AB AC 在△ABC中，由正弦定理得，sin2ACB=sinABC,即 103_AC,则AC=105, 2 2 三a0022... 在△ACD中，由余弦定理得，AD2=AC2十CD2一2AC· CDcos∠ACD=152, 则AD=2√38km.] 8.解析：在Rt△BCP1中，∠BP1C=a,在Rt△P2BC中，∠P2 =.∠BPC=∠PBP,+∠P,∠P,BP,=, 即△BP1P2为等腰三角形，BP1=P1P2=L, .'.BC=lsin a. 在Rt△ACP1中，CP一1cosa=tan(90°二a), .AC=lcos a,BA=AC-BC=lcos'a-lsin a= sin a sin a (cos'a-sin'a)lcos 2a sin a sin a 答案：lsin& lcos 2a sin a 9.B[由三角形的面积公式得6+2=3+2 besinA,即62+c2 tan A =3+2 bccos A.由余弦定理得a2=b+c2-2 bccos A=3,所 以a=√3.] 10.ABC[,√3(acos C+ccos A)=2 bsin B,∴.由正弦定理可 3(sin Acos C++sin Ccos A)=2sin2B,.'.3sin(A+C)= 2sinB,3sinB=2sin2B.又sinB≠0，sinB=￥5. 2 “∠CAB=晋B∈(0，)B=吾∠ACB= ∠CAB-∠B=于，国此A,B正确.四边形ABCD面积等 于SA十Sm=AC+?AD·DC·sim∠ADC= 9AD+DC-2AD·DC.os∠ADC)+合AD:DC· sim∠ADC=9x(9+1-6eos∠ADC)+号×3X1: si∠ADC=iY+3sn(∠ADC-吾)<+3，吉且仅 当∠ADC-吾=受，即∠ADC=爱时，等号成立，国此C 正确，D错误.] 11.解析：'sin∠BAC=sin(受+∠BAD）=cos∠BAD, 0s∠BAD-2在△ABD中，由余弦定理得BD AB2+AD2-2AB·ADcos∠BAD=(3√2)2+32-2X3√2 X3x2y2-3,BD=3. 答案W3 12.解：(1)在△OBC中，BC=4(W3-1),OB=OC=4√2，所以 余定程得s∠B0C=OB8CBC-号，片以 2OB·OC ∠B0C=吞， 于是BC的长为答42-2 3π. (2)设∠A0C=0,0c(0,号)，则∠0C-5-0, Sa0cm=Sae十Sae=合X4VEX42sin0+2X4 Ex4E·sin(g-0）=24sin9+85cos0 =165sim(9+）由于(0,2） 所以0+若∈（合，晋）所以163sm(0+看）卡 (8√3,16√3]，所以四边形OACB面积的最大值为16√3. 9 高一数类的 新题快递 L.B[根据余弦定理，得cOs∠ABC=AB+BC_AC 2AB·BC 6.92+7.12-12.62=-3037<0,所以交<∠ABC<元设 2×6.9×7.1 48.99 2 AC对应的圆心角为&，则有a十∠ABC=元，则cosa=cos(元 -∠ABC)-o∠ABC-股8品五0<o<登周为含< 股部<竖片以（货，哥）门 2.解：(1)在△DOE中，由余弦定理得： ED2=OD2+OE2-2OD·OE·cos∠EOD=4+1-2X2X c0s0=5-4cos0, 在△COE中，由余弦定理得： EC=OC+OE2-2·OC·OE·cos∠EOC=4+1-2X2 Xcos(π-8)=5+4cos0, 所以EC+ED=√5+4cos0+√5-4cos0=f(0),0∈[0， 元]， ,∴.将管道总长（即线段EC十ED)表示为变量0的函数为： f(0)=√5+4cos0+V√5-4cos0,0∈[0，π]， (2)由(1)可得： [f(0)]2=(√/5+4cos0+√5-4cos0)2 =10+2√5+4cos0·√5-4cos0=10+2√25-16cos20, 因为，0∈[0，π]，所以0≤cos20≤1， [f(0)]2=10+2√25-16cos20≤10+2√25=20（百米） 当且仅当c0s20=0,即0=受时取等号， 因为f(0)=/5+4c0s0+√5-4cos0>0,∴.f(8)=√20= 2√5（百米）. ∴.管道总长的最大值为2√5百米. 假期作业17复数 思维整合室 1.(1)ab(2)=≠=≠(3)a=c且b=d (4)a=c且b=-d(5)|z|a+bi3.(1)(a+c)+(b+d)i (a-c)+(b-d)i (ac-bd)+(ad+bc)i actbdbcad c2+dc2+d (2)x2十之11十(22十3） 技能提升台素养提升 1.C[|x=√/(-1)2+(-1)2=2.] 2.C[由题意：|2-4i=√22+(-4)2=2√5.] 3D[=名=a29D=1+i. 2(1+i) ∴.|x|=√2，z2=2i,x的共轭复数为1一i,z的虚部为1.故 A,C错，B,D正确.] 4.A[由题知(1+3i)(3-i)=3-i十9i-3=6+8i,所以该 复数在复平面内对应的点为(6,8)，位于第一象限.门 5.D[由题意(x+yi)+2=(x+2)+yi=(3-4i)+2yi=3+ 以{2y4解得x=1y=4,所以x十y=5.] (2y-4)i,所以x+2=3 6.BCD[若之1>z2,则名1，之2为实数，当名1=1，之2=一2时，满 足之1>22，但之1<之2，故C项不正确；因为两个虚数之间 只有等与不等，不能比较大小，所以D项不正确；当两个复 数不相等时，它们的模有可能相等，比如1一≠1十i,但1一i =1十，所以B项不正确；因为当两个复数相等时，模一定 相等，所以A项正确.门 7.C[由题知=1+D:-1D2=1中=1-i故选择：C.] 8.A[因为x=5十i,所以之=5一i,故i(2十)=10i] 9.C[÷=-1-i,则z=i(-1-iD=-i-=1-i] 10.解析：(w5+i)·(W5-2i)=5+√5i-2√5i+2=7-√5i. 答案：7-√5