假期作业14 余弦定理-【快乐假期】2025-2026学年高一数学暑假作业（全学年）

三0022 一数学恐) 千里之行，始于足下。 假期作业14余弦定理 完成日期： 夕 日 《思维整合室 3.设△ABC的内角A,B,C的对边分别为a, 1.余弦定理 三角形任何一边的平方等于其他两边的平方 6.c若a=2,c=25,c0sA=,且6<c 的和减去这两边与它们夹角的余弦的积的两 则b= () 倍，即a2=b2+c2-2 bccos A,b= A.√3 B.2 C.2√2D.3 c2= 4.在△ABC巾，BC=3,AC=5,<B<,则 2.余弦定理的推论 边AB的取值范围是 从余弦定理，可以得到它的推论 B.(1,4) cos A= b2+c2-a A.(2,8) -cos B= 2bc C.(4,十o∞) D.(2,4) cos C= ◆[考点二]已知三边或三边的关系解三角形 3.余弦定理与勾股定理 5.在△ABC中，sinA:sinB:sinC=4:5: 从余弦定理和余弦函数的性质可知，如果一 6,则cosC= ( 个三角形两边的平方和等于第三边的平方， 那么第三边所对的角是 ;如果 A B- D. 小于第三边的平方，那么第三边所对的角是 6.在△ABC中，内角A,B,C所对的边分别为 ;如果大于第三边的平方，那么 a,b,c.若a-+c)=-1,则A=（) bc 第三边所对的角是 从上可知， A.120°B.45° C.60° D.30° 余弦定理可以看作是勾股定理的推广， 〈《《技能提升台 7.△ABC中，角A,B,C所对的边分别为a= 4,b=5,c=6,则sinA= 素养提升 8.在△ABC中，内角A,B,C的对边分别为a, ◆[考点一]已知两边及一角解三角形 b,c,已知a=2,sinA=2 sin Bsin C,点E在 1.一个三角形的两边长分别为5和3，它们夹 BC边上，且AE⊥BC,则AE=;若 角的余弦值是一号，则三角形的第三边长为 b2+c2=√6bc,则cosA= ◆[考点三]余弦定理的综合应用 A.52 B.2√/13 C.16 D.4 9.△ABC中，角A,B,C所对的边分别为a,b, 2.在△ABC中，6osC-号AC=4,BC=3,则 c,(ab)(sin A-sin B)=(c-6)sin C, 若a=2,则△ABC的面积的最大值是 cos B= ( A日 c D.2 A.1 B.√3 C.2 D.2√3 27 飞壑快乐假期 S0M-= 10.在△ABC中，已知BC=7,AC=8,AB=9, (2)若△ABC的面积为3十3，求c. 则AC边上的中线长为 11.在△ABC中，角A,B,C所对的边分别是 a,6c已知cosB=66=5,2-号 (1)求a的值； (2)求sinA的值； (3)求cos(B-2A)的值. 新题快递 1.三角形内角平分线定理：三角形的内角平分 线内分对边，所得的两条线段与这个角的两 边对应成比例.已知△ABC中，AD为∠BAC 的角平分线，与BC交于点D,AB=3,AC=4, BC=5,则AD= () A号 B.9c162 D.122 7 7 2.在△ABC中，内角A,B,C的对边分别为a, 6,c.若a=8,6=7,6sA=7,则6 C- 【《益智欢乐谷 一哥们家里着火了 我是 他报警说：119吗？我家 发生火灾了… 119问：在哪里？ 他说：在我家 119问：具体点 他说：在我家的厨房里 119问：我说你现在的位置 他说：我趴在桌子底下 12.记△ABC的内角A,B,C的对边分别为a, 119:我们怎样才能到你家？ b,c.已知sinC=√2cosB,a2+b2-c2= 他说：你们不是有消防车吗 √2ab. 119说：… (1)求B; 28飞是快乐限积 故(a·b)2≥a2b2,即|a·b≥|al|bl, 又a·b|≤albl,所以a·bl=|a|bl,即向量a,b共线， 反之也成立，因此两者应为充要条件，门 2.解析：由a=(-1,1),b=(0,2),得a=√2，|b|=2,a·b= -1x0+1x2=2,超6-i高最g是又C [o,,所以0-=子到m0=竖又aX=a制·血0 所以1aXD1=Ex2x号=2. 答案：2 假期作业14余孩定理 思维整合室 1.a+2accos B a+8-2abcos C 2. 2ca a2+62-c2 2ab 3.直角钝角锐角 技能提升台素养提升 1.B 2.A如图，由余弦定理可知： Cos C=2=BC+AC-AB2 3 2BC·AC =32+42-AB2 2×3×4, 可得AB=3,又由余弦定理可知： cos B-AB+BC-AC+32-4 2AB·BC 2×3×3 一91 3.B 4.D[依题意，5-3<c<5+3,即2<c<8, 由于B为钝角，所以c0sB=a+C-<0,a2十2一=9 2ac +c2-25=c2-16<0 解得2<c<4, 所以c的取值范围，也即AB的取值范围是(2,4).] 5.A[由正弦边角关系知：a:b:c=4:5：6,令a=4x,b=5x, c=6x,所以cos C-a+C=16x,+25362=号 2ab 2X4xX5x 6.A[因为0-(6+c =-1,所以a2-(b+c)2=-bc,即a2- bc b-c2-2bc=-bc,所以a2=b2+c2+bc,由余弦定理得cosA _+然4-是因为0<A<180,所以A-120.] 2bc 7.解析：0sA=+c-d2_25+36-16=3 2bc 2×5×6 4 sin A=V1-cosA7 4 答聚号 8.解析：如图所示，记AE边为h,由AE⊥ BC在△AB中，血B-脂-女：在 △AEC中，sinC=AS=A, B ACb· sin A-2sin Bsin C be, 又S版=csnA=合ah,得mA-袋， 则有2张=央，即2=h,解得h=1,即AE=1; bcbc Sowc besin A sin A 十c2=√6bc,由余弦定理，a2=b2+c2-2 bccos A=√6bc 2bccos A, 4-bc(6-2cos A)-sin6-2cos A). 可得2sinA+2cosA=√6， 9 0M-= 即A+), 由AE0,,有A十至-经。 sA=s(管-）=osos+msn =6-2 4 答案：1 6-√2 4 9.B (ab)(sin A-sin B)=(c-b)sin C, 利用正弦定理可得：(a十b)(a一b)=(c-b)c, 即a2=b2+c2-bc, 所以由余孩定理可得：0sA=十一d= 2bc 2 又A∈(0,0，所以A=子 因为a=2,所以4=6+c2-bc≥2bc-bc=bc, 即bc≤4，当且仅当b=c=2时取等号， 所以Sa度=2snA长号×4×盟-5 2 即△ABC面积的最大值为√3.] 10.解析：由已知及余弦定理可得cosA=AB十AC-BC 2AB·AC 装智-号这中线长为由会做定理得子一（皆）】 +AB-2,9.AB·sA=+92-2X4X9×号=40， 即x=7.所以AC边上的中线长为7. 答案：7 11.解：(1)设a=2t,c=3t,t>0,则根据余弦定理得b=a2十c2- 2ac cos B, 即25=4r+9r-2X20X3×0,解得1=2（负值合去）1 则a=4,c=6. (2)因为B为三角形内角，所以sinB=√1-cosB= (-, 报器正袋定理得后人品即入 b 、5 16 解得血A=汽 8)月为mB=是>0，且Be0,,所以BE(0,受）》 由(2)知sinB=5V万， 16 为长B,所以A气-(=是 则n2A-2 in AcoA=2x号×是-8m2A=2asA -1=2×(）-1=g B-2=aBm2A+m2A=是×日+0× 37_57 8 -641 12,解：(1)由余孩定理可得osC=a士-d-2 2ab 21 因方C∈0m.所以C=子，所以2sB=nC=号中 cosB 因为B∈(0，)，所以B=子 三-0022 (2)由(I)可得A=元一B-C=是，设△ABC外接圆的半 径为R, 由正孩定理可得：in Asin Bsin C2R,所以6=，3R, c=√2R,sinA=sin(B+C) -sin Bcos C+cos Bsin C 4 所以Sae=名esinA=合R·R.5十2=3计 1 4 √3，解得R=2, 所以c=2√2 新题快递 1.D[AB=3,AC=4,BC=5,满足32+4=52，.∠BAC =90°，故cos∠ABC=3 · :AD是∠BAC的扇半分线，肥-是=是BD=号 ×5=9, 在△ABD中，由余弦定理AD=AB2十BD2-2AB·BD· Cos∠ABD, 得A0=+(停)-x××号 49 解得AD=12,2或者AD= 7 12区（舍去）.门 7 2.解析：由余弦定理可得a2=b2+c2-2 bccos A,即64=b2+49 -2×6×7×号=8-2b+49, 故b-2b-15=0,解得b=-3(舍)或b=5, 因为cosC=a2+8-c 2ab ,所以c0sC=64t25-49=1」 2×8×5 2,又 C∈(0，x),故C=子 答案5号 假期作业15正孩定理 思维整合室 a b 1,sin A sin B sin C2.元素解三角形 技能提升台素养提升 1.D2.B 3.C 4.C[在△ABC中，已知A=号，BC=3,AB=6, 则由正孩文理可得品即三 πsinc, sin 3 来得smC-号， Ce(0,C=或C-还 4 再由BC>AB,以及大边对大角可得C=晋<A.] 5.C[因为B=吾，=是ac,所以5mB=号inAsin C, 如Asin C=-号×是-日由余孩定理可得，8=d+e-ac 9 是ac,即。2+e=9ac,sA+sC=只m Asin C-8, 4 所以(mA计G=盒A+C+2mAmC=是+号 ，sinA+sinC-g只 2 2 6.BD[将a=2 Rsin A,b=2 Rsin B(R为△ABC外接圆的半 径)代入已知条件，得sin'Atan B=-sin'Btan A,则sin'Asin B cos B =sin Asin'B cos A 9 一数学) 因为sin Asin B≠0，所以sinA=sinB】 cos B cos A' 所以sin2A=sin2B,所以2A=2B或2A=元-2B, 所以A=B或A十B=交，故△ABC为等腰三角形或直角三角形.] 7.解析：如图所示：记AB=c,AC=b, BC=a, 22+b-2X2Xb×cos60°=6， 因为b>0,解得：b=1+√3， 由SAABC=S△ABD十S△ACD可得， 号×2X6Xsm60=7×2 xADXsin30+ XADX6Xsin 30", 解得：AD=36=23(1+③=2. 1+ 3+√3 答案：2 由A品B得mB=名nA=,， 8.解析：由a，= b 又a2=b+c2-2 bccos A,∴.c2-2c-3=0,解得c=3. 答案：四3 9.C[设AB=x,根据余弦定理BC=A AC2+AB2-2AC·AB·cos∠BAC, 已知BC=8,AC=10,cos∠BAC 吾代入可得： 8=10+-2X10Xx×号， C 即x2-12x十36=0，解得x=6, 由于BC+AB=64+36=100=AC,则△ABC为直角三角形， 则S=2×6X8=24.] l0.BD[因为A+B=π-C,所以sinC=sin(π-C)=sin(A +B)=sin Acos B+cos Asin B. sin C+sin(A-B)=3sin 2B, 所以2 sin Acos B=6 sin Bcos B, 即2cosB(sinA-3sinB)=0,解得cosB=0或sinA= 3sin B. 当cosB=0时，因为B∈(0，)，所以B=2,又C=号，所 以A=吾，则sinA=号nB=1,所以由正孩定理得8 如合分当nA-36nB时，由正纹定双得a-3动 所以号=3，综上所述，号=3减7] 1.解：1)2（合snA+9csA=2, sm(A+晋）=1， :A为三角形ABC的内角， A+骨=登A=百 (2).√2 bsin C=csin2B, .'sin Bsin C≠0， ..2sin Bsin C=sin Csin 2B=2sin Csin Bcos B, VE=2cosB,∴cosB=2 2, B=至C=受， 12 a b sin A sin B sin C' 2b 126+√2 ∴.b=2√2，c=√6+√2， 22 4 △ABC的周长为2+√6+3√2.