假期作业13 平面向量的数量积-【快乐假期】2025-2026学年高一数学暑假作业（全学年）

三0022 高一数学 有志者，事竟成。 假期作业13平面向量的数量积 完成日期： 月 《思维整合室 ◆[考点二] 利用向量数量积求向量的夹角 1.平面向量的数量积 和模 定义：已知两个非零向量a和b,它们的夹 4.已知向量a,b满足a=1,|a十2b=2,且 角为0，则数量 叫做a与b的数量 (b一2a)⊥b,则|b1= () 积（或内积）.规定：零向量与任一向量的数 量积为 A司 R号 D.1 2.平面向量数量积的运算律 5.已知向量a,b满足a=21b=2,|a+b1= (1)交换律：a·b= (2)数乘结合律：(a)·b=λ(a·b)=a·(b); √7，则a与b的夹角为 () (3)分配律：a·(b十c)= A.90° B.609 C.45° D.30° 3.平面向量数量积的性质及其坐标表示 6.已知向量a,b满足|a-b=√3，a+bl=|2a 设非零向量a=(x1,y1),b=(x2,y2),〈a,b》 b,则1b= =0. ◆[考点三]平面向量的垂直及应用 结论 几何表示 坐标表示 7.(多选)已知a,b为非零向量，且a=(x1, 模 al= al= y1),b=(x2,y2),则下列命题中与a⊥b等 数量积 a·b= a·b= 价的有 () 夹角 cos 0= cos 0= A.a·b=0 B.x1x2十y1y2=0 a⊥b C.la+bl=la-bl D.a2+62=(a-b)2 a·b=0 8.已知向量a=(0,1),b=(2,x),若b⊥(b 4.向量在几何中的应用 (1)证明线段平行或点共线问题，常用共线向 4a),则x= 量定理：a∥b台a=b台x1y2-x2y1=0(b A.-2 B.-1 C.1 D.2 ≠0). (2)证明垂直问题，常用数量积的运算性质： 9.已知向量a,b的夹角为，(a-b)Lb,则 a⊥b台a·b=0台x1x2十y1y2=0. atb 《《技能提升台 b a-b ◆[考点四]平面向量数量积的综合应用 素养提升 ◆[考点一]平面向量数量积的运算 10.(多选)若向量a=(3,3),b=(n,√3)，下 1.已知向量a=(0,1),b=(1,0),则a·(a一 列结论正确的有 b)= ( A.若a,b同向，则n=1 A.2 B.1 C.0 D.-1 B.与a垂直的单位向量一定是 31 2.正方形ABCD的边长是2，E是AB的中 2’2 点，则EC·ED= ( C.若b在a上的投影向量为3e(e是与向 A.√5 B.3 C.2√5 D.5 量a同向的单位向量)，则n=3 3.已知向量AB=(2,0),AC=(-1,2),且满足 D.若a与b的夹角为钝角，则n的取值范 (AB十AC)⊥BC,则λ的值为 围是（一3，十∞） 25 飞受快乐假期 0M-= 11.如图所示，ABCD是正方 新题快递 形，M是BC的中点，将 1.已知向量a,b是非零向量，设甲：向量a,b 正方形折起使点A与M 重合，设折痕为EF,若正 共线；乙：关于x的方程a2x2+2a·bx+b 方形面积为64，求△AEM的面积. =0有实数根；则 () A.甲是乙的充分不必要条件 B.甲是乙的必要不充分条件 C.甲是乙的充要条件 D.甲是乙的既不充分也不必要条件 2.设向量a与b的夹角为0，定义a与b的“向 量积”：a×b是一个向量，它的模为a×b= |a·|b·sin0.若a=(-1,1),b=(0,2), 则|a×b|= 〈《益智欢乐谷 12.在△ABC中，AB·AC=0,1AB1=12, 诺贝尔奖不设数学奖，但国际数学界有一 BC=15,l为线段BC的垂直平分线，l与 个代表数学界最高成就的大奖一菲尔兹奖 BC交于点D,E为l上异于D的任意一点. (1)求AD·CB的值； 菲尔兹奖于1932年在第九届国际数学家 (2)判断AE·CB的值是否为一个常数， 大会上设立，1936年首次颁奖.该奖以加拿大 并说明理由。 数学家约翰·菲尔兹的名字命名，授予世界上 在数学领域做出重大贡献且年龄在40岁以下 的数学家.该奖由国际数学联盟（简称IMU) 主持评定，每4年颁发一次，每次获奖者不超 过4人，每人可获得一枚纯金制作的奖章和一 笔奖金奖章上刻有希腊数学家阿基米德的头 像，还有用拉丁文镌刻的“超越人类极限，做宇 宙主人”的格言. 1982年，美籍华人数学家丘成桐荣获菲 尔兹奖，成为获此殊荣的第一位华人 26三022 新题快递 1.B[因为B配=3E求，所以B配=B求，C市=-Ai 一花， 所以B萨=a十C亦=a-是A正0， 弦=晾=b+A@, 由①+×②得酝=a+, 即亦-a+号6.] 2.解析：建立如图的平面直角坐标系， y 由已知得B(6,0),D(0,4),E(3,4), EB=(3,-4), 由成=3成得成-是成 0) -(-3 设Fx,则-3y)=(-3 可程-3=号，解得 21 (y-4=-3 ,所以F(保，A应 (y=1 =( 又因为AF=λAB+uAD=A(6,0)十u(0,4)=(6入，4)， 4=1 6-型，解得=名以=子则A+= 7 所以》 9 4 答案：日 假期作业13平面向量的数量积 思维整合室 1.(1)lallblcos002.(1)b·a(3)a·b+a·c a·b 3.a.a lallblcos o yy Talbl x1x2十y1y2 √/x+y·√+y x1x2十y1y2=0 技能提升台素养提升 1.B[a=(0,1),b=(1,0), .a-b=(-1,1), ∴.a·(a-b)=0×(-1)+1×1=1.] 2.B[以{AB,AD)为基底向量，可知AB1=|AD1=2,AB, AD-0 则EC-E成+BC=号A店+Aò，ED=EA+A方=-合A成 +AD, 所以成.筋=（合A菇+）·（专A菇+A) -4A店+A=-1+4=3.] 3.解析：因为BC=AC-AB=(-3,2),所以(aAB+AC)⊥BC →(aAB+AC)·BC=0→XAB·BC+AC·BC=0,即-6x 十7=0，解得X=日 答案：日 4.B[将条件|a+2b|=2平方得1+4a·b+4b2=4,由(b一 20Lb得5-2a6=0,片以6=是61=盟] 5.B[由a十b=√7，即(a+b)2=7,即a+2a·b+b=7,则 |al2+2la·|blcos<a,b>+|b2=7,又|a=2|bl=2,所以 cosa,b)=合，又0≤a,b》≤180，所以a与b的夹角 为60°.] 8 一数类 6.解析：由a十b=|2a-bl,得a2=2a·b; 由a-bl=√3，得a2-2a·b+b=3,即b=3,|b=√3. 答案：√3 7.ABCD[la+bl=|a-bl台|a+bl2=|a-b|2台a2+2a·b +b=a2-2a·b+b2台→a·b=0,a2+b2=(a-b)2台a2+b2 =a2-2a·b+b2台a·b=0.] 8.D[因为b⊥(b-4a),所以b·(b-4a)=0,则4+x2-4z =0,解得x=2.] 9.解析：由向量a,b的夹角为号，且(a-b)Lb, 得(a-b)·b=a·b-8=合1ab1-b12=0, 所以1a=2b1,8=2 因为|a+bl=√(a+b)=√a2+2a·b+b =√41b2+2b2+1b平=√7b1, |a-bl=√/(a-b)2=√a2-2a·b+b =√4b2-21b2+b平=√31b, 所以a+b!=2红 ×1a-b3 答案：2 3 10.AC[设a=h(>0),所以n=3,解得=3， 3k=3, (n=1 即a=√3b,故A正确」 设c=(x,y)是与a垂直的单位向量，则有√3x十3y=0,x2十y =1,所以()成-（停》）战B错灵 因为b在a上的投影向量为36，所以。=3，所以 3n十33=3，解得n=3,故C正确. 23 因为a与b的夹角为钝角，所以a·b<0且a,b不共线，所 以3n十33<0解得{n,3,即n<-3,所以n∈(-o, 13-3n≠0， 1n≠1， 一3)，故D错误.] 11.解：如图所示，建立直角坐标系，显然EF 是AM的中垂线，设AM与EF交于，点 N,则N是AM的中点，又正方形边长为 8,所以M(8,4),N(4,2). 设点E(e,0),则AM=(8,4),AN=(4, O(A) 2),AE=(e,0),EN=(4-e,2), 由AM⊥EN得AM·EN=0,即(8,4)·(4-e,2)=0,解得 e=5,即|AE1=5. 所以Sax=号ABd=合×5×4=10. 12.解：(1)：AB·AC=0,.AB⊥AC. 又|AB1=12,|BC1=15,.1AC1=9. 由巴知可得d=2店+A心)，C=店-A心， “A访.C店=名(A店+A心)，(A店-AC=号(A店 A心)=合14-81)2 2 (2)A正.CB的值为一个常数. 理由：：l为线段BC的垂直平分线，l与BC交于点D,E 为l上异于D的任意一点，∴DE·CB=0. 故AE·CB=(AD+DE)·CB=AD·CB+DE.CB= ò.成=（常教）. 新题快递 1.C[关于x的方程a2x2十2a·bx+b=0有实数根，则△= 4(a·b)2-4a2b≥0， 飞是快乐限积 故(a·b)2≥a2b2,即|a·b≥|al|bl, 又a·b|≤albl,所以a·bl=|a|bl,即向量a,b共线， 反之也成立，因此两者应为充要条件，门 2.解析：由a=(-1,1),b=(0,2),得a=√2，|b|=2,a·b= -1x0+1x2=2,超6-i高最g是又C [o,,所以0-=子到m0=竖又aX=a制·血0 所以1aXD1=Ex2x号=2. 答案：2 假期作业14余孩定理 思维整合室 1.a+2accos B a+8-2abcos C 2. 2ca a2+62-c2 2ab 3.直角钝角锐角 技能提升台素养提升 1.B 2.A如图，由余弦定理可知： Cos C=2=BC+AC-AB2 3 2BC·AC =32+42-AB2 2×3×4, 可得AB=3,又由余弦定理可知： cos B-AB+BC-AC+32-4 2AB·BC 2×3×3 一91 3.B 4.D[依题意，5-3<c<5+3,即2<c<8, 由于B为钝角，所以c0sB=a+C-<0,a2十2一=9 2ac +c2-25=c2-16<0 解得2<c<4, 所以c的取值范围，也即AB的取值范围是(2,4).] 5.A[由正弦边角关系知：a:b:c=4:5：6,令a=4x,b=5x, c=6x,所以cos C-a+C=16x,+25362=号 2ab 2X4xX5x 6.A[因为0-(6+c =-1,所以a2-(b+c)2=-bc,即a2- bc b-c2-2bc=-bc,所以a2=b2+c2+bc,由余弦定理得cosA _+然4-是因为0<A<180,所以A-120.] 2bc 7.解析：0sA=+c-d2_25+36-16=3 2bc 2×5×6 4 sin A=V1-cosA7 4 答聚号 8.解析：如图所示，记AE边为h,由AE⊥ BC在△AB中，血B-脂-女：在 △AEC中，sinC=AS=A, B ACb· sin A-2sin Bsin C be, 又S版=csnA=合ah,得mA-袋， 则有2张=央，即2=h,解得h=1,即AE=1; bcbc Sowc besin A sin A 十c2=√6bc,由余弦定理，a2=b2+c2-2 bccos A=√6bc 2bccos A, 4-bc(6-2cos A)-sin6-2cos A). 可得2sinA+2cosA=√6， 9 0M-= 即A+), 由AE0,,有A十至-经。 sA=s(管-）=osos+msn =6-2 4 答案：1 6-√2 4 9.B (ab)(sin A-sin B)=(c-b)sin C, 利用正弦定理可得：(a十b)(a一b)=(c-b)c, 即a2=b2+c2-bc, 所以由余孩定理可得：0sA=十一d= 2bc 2 又A∈(0,0，所以A=子 因为a=2,所以4=6+c2-bc≥2bc-bc=bc, 即bc≤4，当且仅当b=c=2时取等号， 所以Sa度=2snA长号×4×盟-5 2 即△ABC面积的最大值为√3.] 10.解析：由已知及余弦定理可得cosA=AB十AC-BC 2AB·AC 装智-号这中线长为由会做定理得子一（皆）】 +AB-2,9.AB·sA=+92-2X4X9×号=40， 即x=7.所以AC边上的中线长为7. 答案：7 11.解：(1)设a=2t,c=3t,t>0,则根据余弦定理得b=a2十c2- 2ac cos B, 即25=4r+9r-2X20X3×0,解得1=2（负值合去）1 则a=4,c=6. (2)因为B为三角形内角，所以sinB=√1-cosB= (-, 报器正袋定理得后人品即入 b 、5 16 解得血A=汽 8)月为mB=是>0，且Be0,,所以BE(0,受）》 由(2)知sinB=5V万， 16 为长B,所以A气-(=是 则n2A-2 in AcoA=2x号×是-8m2A=2asA -1=2×(）-1=g B-2=aBm2A+m2A=是×日+0× 37_57 8 -641 12,解：(1)由余孩定理可得osC=a士-d-2 2ab 21 因方C∈0m.所以C=子，所以2sB=nC=号中 cosB 因为B∈(0，)，所以B=子