假期作业3 平面向量的数量积-【快乐假期】2025-2026学年高一数学暑假作业

三0022 假期作业3平面 【《思维整合室 1.平面向量的数量积 定义：已知两个非零向量a和b,它们的 夹角为0，则数量 叫做a与b的 数量积（或内积）.规定：零向量与任一向 量的数量积为 2.平面向量数量积的运算律 (1)交换律：a·b (2)数乘结合律：(a)·b=λ(a·b)=a·(b); (3)分配律：a·(b十c)= 3.平面向量数量积的性质及其坐标表示 设非零向量a=（x1,y1),b=(x2,y2), (a,b〉=0. 结论 几何表示 坐标表示 模 a|= a 数量积a·b= a·b= 夹角 cos 0= cos 0= a⊥b a·b=0 4.向量在几何中的应用 (1)证明线段平行或点共线问题，常用共线 向量定理：a∥b台a=b台x1y2-x2y1= 0(b≠0). (2)证明垂直问题，常用数量积的运算性质： a⊥b台a·b=0台x1x2+y1y2=0. 《技能提升台 素养提升 ◆[考点一]平面向量数量积的运算 1.(2025·八省联考)已知向量a=(0,1),b =(1,0),则a·(a-b)= () A.2B.1C.0 D.-1 2.(2023·全国乙卷（文）)正方形ABCD的 边长是2，E是AB的中点，则EC·ED= ( A.√5 B.3 C.2√5D.5 3.已知向量AB=(2,0),AC=(一1,2)，且满足 (入AB+AC)⊥BC,则入的值为 富一教半 图即刻扫码 句量的数量积 A伴学助手 风答案速查手册 同步学习微课 新知预习宝典 ◆[考点二]利用向量数量积求向量的夹 角和模 4.(2024·新课标Ⅱ卷)已知向量a,b满足 |a=1,|a+2b|=2,且(b-2a)⊥b,则 1b1= ( A. B.② C.3 2 D.1 5.已知向量a,b满足|a=2b=2,a+b =√7，则a与b的夹角为 ) A.90° B.60° C.45° D.30° 6.(2023·新课标卷)已知向量a,b满足a一b =5,a+b=|2a-b,则b= ◆[考点三]平面向量的垂直及应用 7.(多选题)已知a,b为非零向量，且a= (x1y1),b=(x2,y2),则下列命题中与a ⊥b等价的有 A.a·b=0 B.x1x2+y1y2=0 C.la+bl=la-bl D.a2+b2=(a-b)2 8.(2024·新课标I卷)已知向量a=(0,1),b (2,x),若b⊥(b-4a),则x= () A.-2B.-1C.1 D.2 9.已知向量a,b的夹角为，(a一b)Lb,则 8 -a-b ◆[考点四]平面向量数量积的综合应用 10.（多选)若向量a=(3,3),b=(n,√3)， 下列结论正确的有 ( A.若a,b同向，则n=1 B.与a垂直的单位向量一定是一5,1】 22 C.若b在a上的投影向量为3e(e是与 向量a同向的单位向量)，则n=3 D.若a与b的夹角为钝角，则n的取值 范围是（一3，十∞） 火壁快乐假翻 11.如图所示，ABCD是 正方形，M是BC的 中点，将正方形折起 使点A与M重合，设 折痕为EF,若正方形 面积为64，求△AEM的面积. 12.在△ABC中，AB·AC=0,|AB|=12, BC=15,l为线段BC的垂直平分线， l与BC交于点D,E为l上异于D的任意 一点 000= (1)求AD·CB的值； (2)判断AE·CB的值是否为一个常 数，并说明理由， 新题快递 1.已知向量a,b是非零向量，设甲：向量a, b共线；乙：关于x的方程a2x2+2a·bx +b2=0有实数根；则 () A.甲是乙的充分不必要条件 B.甲是乙的必要不充分条件 C.甲是乙的充要条件 D.甲是乙的既不充分也不必要条件 2.设向量a与b的夹角为0，定义a与b的 “向量积”：a×b是一个向量，它的模为 1a×bl=|a·|bl·sin0.若a=(-1,1), b=(0,2),则|aXb= 《益智欢乐谷 诺贝尔奖不设数学奖，但国际数学界 有一个代表数学界最高成就的大奖一菲 尔兹奖 菲尔兹奖于1932年在第九届国际数 学家大会上设立，1936年首次颁奖.该奖以 加拿大数学家约翰·菲尔兹的名字命名， 授予世界上在数学领域做出重大贡献且年 龄在40岁以下的数学家.该奖由国际数学 联盟（简称IMU)主持评定，每4年颁发一 次，每次获奖者不超过4人，每人可获得一 枚纯金制作的奖章和一笔奖金.奖章上刻 有希腊数学家阿基米德的头像，还有用拉 丁文镌刻的“超越人类极限，做宇宙主人” 的格言. 1982年，美籍华人数学家丘成桐荣获 菲尔兹奖，成为获此殊荣的第一位华人飞空快乐假期 S00= 7.C[若aLb,则x(x十1)+2x=0, 新题快递 即x2+3x=0,解得x=0或x=-3, ∴A错，C对；若a∥b,则2(x+1)-x2=0,即x2-2x-2 1B[因为配=3成，所以酝=酝，C市=-A =0, 解得x=1士√3，故B、D错.] 8.解析：由题意可知，2k=5×6,则k=15. 所以B亦=a+C市=Q-Ai0, 答案：15 9.A[如图，以A为原点，AB所在直线为x轴， 成-=是萨=b+A@, AC所在直线为y轴建立平面直角坐标系，则 B点的坐标为(1,0)，C点的坐标为(0,2)，因为 由①+子×g得号亦=a+子0， 4 ∠DAB=60°，所以设D点的坐标为(m,W5m) 中B-+是] (m≠0). AD=(m,5m)=AAB+4AC=A(1,0)+(0,2)=(a, 2.解析：建立如图的平面直角坐 标系， ),则=m,且4=5m 2m, 由已知得B(6,0),D(0,4),E(3, 4),EB=(3,-4), 所以-2」 由亦=3F店得示=是店 10.解析：设向量6=(，)，由a/6,可得受=兰 =(是-3小 又a·b=-√10，则2x+y=-√0， 解得x=-20 设F,则-3y-4=(-3） 21 则b= ,0 -4=-3'1 y=1 5 5 所以b= 2/10) =√2 5 又因为AF=入AB+以AD=入(6,0)十(0,4)=(6x,4), 答案：√2 /4=1 11.解：(1)若a,b共线，则存在入∈R,使a=,则e1-2e, 以=2解得x=之」 所以 d=1, 4 入(e1+3e).由e1,e2不共线得， {31=-2, 即 答案：号 入=1， {久=一子.所以1不存在，故a与b不共线，可以作为 假期作业3平面向量的数量积 3 思维整合室 组基底， 1.(1)lallblcos902.(1)b·a(3)a·b+a·c (2)设c=ma十nb(m,n∈R),得 3.√a·a√+听lallblcos0xx+yy2 a·b 3e1-e=m(e1-2e)+n(e1+3e)=(m+n)e1+(-2m+ ab 3mc.所以m十n=3, {-2m+3m=-1解之得m=2, x1xg十y1y2 n=1. 所以c=2a x+y·√x+y x1x2+y1y=0 +b. 技能提升台素养提升 (3)由4e1-3e,=a十b,得 1.B[a=(0,1),b=(1,0) 4e1-3e2=(e1-2e,)+(e1+3e)=(a+u)e1+(-2x .a-b=(-1,1), +3)e.所以十a=4,， =3, .a·(a-b)=0×(-1)+1×1=1,] {-2λ+3μ=-3，{=1. 2.B[以{AB,AD为基底向量，可知AB=|AD1=2, 故所求入，的值分别为3和1. AB.AD=0 12.解：(1)a-2b=(1,2)-2(-4,3)=(1,2)-(-8,6)= (1+8,2-6)=(9,-4). 剥EC=房+BC=子A店+Ad,FD=E+Aò (2)由已知两点M3,-2)和N(-5,-1),可得2M示 -+元， =2(-5-3.-1+2)=（4,2)片 所以元.元=（合+市）·(2+) 设点P的坐标是(x,y),则MP=(x-3,y+2). 店+茄=-1+4=3.] 由已知M市-号.可得-3y+2)=（4,号） 3.解析：因为B元=AC-AB=(-3,2),所以（入A店+AC) x-3=-4, x=-1, ⊥BC→(AAB+AC)·BC=0→AAB·BC+AC·BC- +2=1.解得 2 0,即-6以+7=0，解得X=名 点P的坐标是(1.-是)） 答案日 50 三0022 富一数学 4.B[将条件|a+2b=2平方得1十4a·b十4b=4,由(b 12.解：(1)AB·AC=0,∴.ABLA -2a16得6-8a6=0,所以6=号，61-厚 又AB1=12,1BC=15,.AC1=9 5.B[由a+bl=√7，即(a+b)2=7,即a2+2a·b+b= 由已知可得A市=之(A+AC).C第=A店-心， 7,则|a2+2a·|bcos(a,b〉+|b12=7,又|a=2|b =2,所以cosa,b》=子，又0°≤a,b》≤180，所以a与 :A市.Ci-号（成+AC)(-AC)=号（店- b的夹角为60°，] A花)=2144-81)-2 6.解析：由a+b=|2a-b,得a=2a·b; (2)A正.C的值为一个常数 由a-b1=√5，得a2-2a·b+b=3,即6=3，b1=√5. 理由：：l为线段BC的垂直平分线，l与BC交于点D, 答案：√3 E为l上异于D的任意一点，DE·CB=0. 7.ABCD[|a+bl=|a-b1台|a+b|2=|a-b2台a+2a ·b+b=a-2a·b+b台a·b=0,a+b=(a-b)台 故AE.CB=(AD+DE)·CB=AD.CB+D正.CB a2+b2=a2-2a·b+b台a·b=0.] =.市=号（常教）. 8.D[因为b⊥(b-4a),所以b·(b-4a)=0,则4+x2- 新题快递 4x=0,解得x=2.] 1.C[关于x的方程a2x2+2a·bz十b=0有实数根，则 9.解析：由向量a,b的夹角为受，且(a-b)1b, △=4(a·b)2-4ab2≥0， 故(a·b)2≥ab,即|a·b≥|alb1, 得a-)·b=a·b-6=号a1b1-b=0 又a·b≤|al|b,所以a·b|=al川bl,即向量a,b共 所以a=2引81，合=2. 线，反之也成立，因此两者应为充要条件，] 2.解析：由a=(-1,1),b=(0,2),得|a=2,|b|=2,a· 因为a+b=√(a+b)'=√a+2a·b+b =√4b+2b+1bF=√71b1, -1X0+2-28清点g号 |a-bl=√(a-b)产=√a2-2a·b+b 又9e[0,],所以0=至则sm0=盟.又aXb1=1al. 21 =√4b2-2b+b产=3b1, 所以a+b=团 b·m,所以a×b=2×2×号=2. 2 a-b 3 答案：2 答案：2 21 3 假期作业4正孩定理和余孩定理 10.AC[设a=h(k>0),所以1=B解得=3， 思维整合室 b C 3k=3, (n=1 1.sin B sin C 62+c-2bccos A c2+a2-2cacos B 即a=3b,故A正确 。+8-2 aleos)2 Rsin B2 RsinC(2)2录 sin A 设c=(x,y)是与a垂直的单位向量，则有√3.x十3y=0,x sin B:sin C 6+c2-a c2+a2-6a2+6-cd 、-22 2bc 2ac 2ab 错误。 3.一解两解一解一解无解 技能提升台素养提升 因为b在a上的投影向量为3c,所以a:b=3,所以 a 1.D2.D3.C4.B Bm+3E=3,解得n=3,故C正确. 5.A[因为a-(b+c) =1,所以a2一(b十c)2=一bc, bc 2√ 即a2-6-2-2bc=-bc,所以a2=b+c2+bc,由余弦 因为a与b的夹角为钝角，所以a·b<0且a,b不共 线，所以5十3<0解得{3即-3，所以n 定足得A-6士立=子周为0<A<180,所 2bc 13-3n≠0， n≠1， 以A=120°，故选A.] ∈(-∞，-3)，故D错误.] 11.解：如图所示，建立直角坐标系，显然 4 6.解析：周为c=2b,所以sinC=2sinB=是，所以sinB= EF是AM的中垂线，设AM与EF 交于点N,则N是AM的中点，又正 含.因为c=2b,所以6+bc=36=2a2,所以a=。 2 方形边长为8，所以M(8,4),N(4, 2). 所以co月=。+-公是8+6-6 3√6 2ac 8 设点E(e,0),则AM=(8,4),AN 2√66 (4,2),AE=(e,0),EN=-(4-e,2), 答案：号 8 由AMLEN得AM·EN=0,即(8,4)·(4-e,2)=0, 7.BD[将a=2 Rsin A,b=2 Rsin B(R为△ABC外接圆的 解得e=5,即|AE1=5. 半径)代入已知条件，得sin'Atan B=sin'Btan A,则 所以Sm=2A应B=号X5X4=10. sin'Asin B sin Asin'B cos B cos A 51