假期作业11 平面向量的概念与线性运算-【快乐假期】2025-2026学年高一数学暑假作业（全学年）

三0022 假期作业11平面向量的概彩 《(思维整合室 1.向量的有关概念 (1)向量：既有大小又有 的量叫向量； 向量的大小叫做向量的 (2)零向量：长度等于 的向量，其方向是任 意的 (3)单位向量：长度等于 的向量 (4)平行向量：方向相同或 的非零向量， 又叫共线向量，规定：0与任一向量共线 (5)相等向量：长度相等且 相同的 向量 (6)相反向量：长度相等且 相反的 向量 2.向量的线性运算 (1)向量的加法和减法 ①加法法则：服从三角形法则，平行四边形 法.运算性质：a十b=b十a;(a十b)十c= a+(b+c). ②减法与加法互为逆运算；服从三角形法则。 (2)实数与向量的积 ①实数入与向量a的积是一个向量，记作 a,规定： a.长度：λa=λa; b.方向：当λ>0时，a与a的方向相同；当 入<0时，a与a的方向相反；当入=0时， λa=0. ②运算律：设λ、∈R,则：λ(a)=(入u)a; (入+u)a=a+a;λ(a+b)=a+b. 3.共线向量定理 向量a(a≠0)与b共线的充要条件是存在 唯一一个实数入，使得b=λa. 《技能提升台 素养提升 ◆[考点一]平面向量的基本概念 1.下列各命题中假命题的个数为 ①向量AB的长度与向量BA的长度相等. ②向量a与向量b平行，则a与b的方向相 同或相反. ③两个有共同起点而且相等的向量，其终点 必相同. ④两个有共同终点的向量，一定是共线 向量. 2 高一教学的) 念与线性运算 天行健，君子以自强不息。 完成日期： 月 日 ⑤向量AB与向量CD是共线向量，则点A, B,C,D必在同一条直线上 ⑥有向线段就是向量，向量就是有向线段 A.2 B.3 C.4D.5 2.如图，在⊙0中，向量B0,OC, OA是 ( A.有相同起点的向量 B.模相等的向量 C.共线向量 D.相等向量 3.若a等于“向东走8km”,b等于“向北走8 km”,则|a十b|= km,a+b的方 向是 4.中国象棋中规定：马走 “日”字，象走“田”字.如 A 图，在中国象棋的半个 棋盘(4×8的矩形中每 个小方格都是单位正方形)中，若马在A处，可 跳到A1处，也可跳到A2处，用向量AA1,AA2 表示马走了“一步”，若马在B处或C处，则表 示马走了“一步”的向量共有 个 ◆[考点二]平面向量的线性运算 5.如图，在正六边形ABCDEF 中，BA+CD+EF=( A.0 B.BE C.AD D.CF 6.（多选)已知m,n是实数，a,b是向量，则下 列说法中正确的是 A.m(a-b)-ma-mb B.(m-n)a=ma-na C.若ma=mb,则a=b D.若ma=na,则m=n 7.如图，在△ABC中，AD= DB,AE=EC,CD与BE交 于点F.设AB=a,AC=b,6 AF=a十b,则(x,y)为 (11） A.22 c) D. 21 3’2 火壁快乐假期 8.在△ABC中，∠A=60°，|BC=1,点D为 线段AB的中点，点E为线段CD的中点， 若设AB=a,AC=b,则AE可用a,b表示为 ◆[考点三]向量的共线及其综合应用 9.已知向量a,b不共线，c=a+b(k∈R),d= a-b,如果c∥d,那么 () A.k=1且c与d同向 B.k=1且d与c反向 C.k=一1且c与d同向 D.k=-1且d与c反向 10.已知AB=a+2b,BC=-5a+6b,CD=7a 一2b,则下列一定共线的三点是() A.A,B,C B.A,B,D C.B,C,D D.A,C,D 11.已知AB=BC,且BA=mAC,求实数m 的值. 2 S0M-= 12.一辆消防车从A地去B地北 执行任务.先从A地向北 偏东30°方向行驶2千米到 D地，然后从D地沿北偏西南 东 东60°方向行驶6千米到达 C地，又从C地向南偏西30°方向行驶2千 米才到达B地， (1)在如图所示的坐标系中画出AD,DC, CB,AB; (2)求B地相对于A地的位置向量. 新题快递 1.(多选)以下选项中，能使a∥b成立的条 件有 () A.a=b B.a=0或|b|=0 C.a=-2b D.a与b都是单位向量 2.若OA=a,OB=b,a与b不共线，则∠AOB 平分线上的向量OM为 () A日+8 B.Ta a+b C.Ibla-lalb la+b D2(日+合)aOi确定 【《益智欢乐谷 一 男子和老婆 在火锅店，边吃边 还人类一片清新 聊，正高兴时，有个 请丢掉手中的香烟 少妇走过来，直视着 他说：“我怀孕了！” 那个男人的老婆先是一愣，紧接着甩手给了他 一耳光，又拉又扯，连哭带闹.全火锅楼的目光 都聚焦在他俩身上，那哥们欲哭无泪！ 这时，少妇又幽幽的来了一句：“麻烦你 把烟掐了，谢谢！” 哥们捂住脸哭都哭不出来… 吃饭有风险，抽烟需谨慎！三022 "tan20=2tan g 4 4 1-tan201-4=-3, am(20-吾）厂1+n2咖m子 =7 +m01-专 答案：7 7B[由慈客知)=是如x十4×1中四=多如x叶 2 2cosx+2-号sin(z十p)+2(共中tan9=专）又因为z∈ R,所以f)的最大值为号.] 8.D[由题意得： y-sin (sin cos )-sin'sin 2x1cos 2 是如2=号如(2：一吾)十宁：递项A:画数的装小正同 期为Tm=2红=2西=元，故A错误：选项B:由于-1≤ 2 如(2：)S1,画餐的溪大位为竖+安故B错误，建须心 函教的对琳轴满足2红一吾=x十受=台x十否，当x=子 时，-一子正乙，故C错误；选项D:令x一吾，代入函数的 f(餐)=号(2×晋-)十合-合，故（晋，）为画 数的一个对称中心，故D正确.门 9.AD[:画数f(x)=sim(2x+)十co(2x+) Esim[(2x+至）+]=Esn(2x+受）-Eas2zx,xeR, f(-x)=√2cos(-2x)=√2cos2x=f(x),∴f(x)为偶函数， 故A正确， 令2kr十元≤2x≤2x十2kx,k∈Z,解得kx+受≤x≤π十kr,k ∈五，当=0时，受≤x≤，则画数f)在（受上单调 递增，故B不正确.f(x)的最大值为√2，故C不正确.由2x =6x十受，k∈Z,解得x=经+至，E乙，可得当=0时，共 图象关于点（云0）对称，故D正确门 10.解析：由题意知fz)=sinx-3cosx=2sin(z-子）当 [0时江-晋【-吾] 六m(:青)【-9小于是fe[-,2],故 f(x)在[0，π]上的最大值为2. 答案：2 11.解：(1)：f(x)=OA·OB=sinx十sin xcos+sinx-sinx= 竖m(:-晋）》十安当2红-至=2版+受∈，中 4 x=+(Z)时，f()取得最大值l士，)的最小 2 正周期为π。 当2kx- 受≤2x-至≤2x+登k∈z, 即-吾≤≤十餐∈Z时，函数f)为增通数。 )的单调递增区间为[x一吾kx+晋]∈D, 8 一教学恐， 12解：①)由角a的终边过点P(一号，一号) 得sina=- 5, 所以sin(a十x)=一sina=4 5 ②肉角a的降速这点P(一号一台）将cas。 3 5 由me叶0-高将osa叶=士是 由B-(a十)-a得cosB=cos(a十B)cosa十sin(a十)sina,所以 osg=一3或os-号 16 新题快递 1A[由血aosn(答-。)=3 cn(e+吾） 得sina sin a)-3cos sin oos a 3 1 √3 即sin'a+2V3 sin acos a十3cos2a=0 则(sina十√3cosa)2=0,得sina=一√3cosa,则tana=一√3，所以 n(2a+若）-号na+2ms2a=sin a叶o。 1 1 3sin acos a cos'a 1=3tana十，1 cos a+sin'a cos'a+sin'a 2 1+tan'a 1+tan a 2 1 cos(2x+号）-cos(2x-骨） 2.解析： cos(2z+号）)sin -2sin2 2sin号 -4 sincn子 cos(2z+号）sin eoscos(2x+子）sin cos -4sn 一4sin os(2x+5） 8夏-6 1-2sim(+）1-号 答案：一6√3 假期作业11平面向量的概 念与线性运算 思维整合室 1.(1)方向模(2)0(3)1个单位（④）相反（⑤）方向(6)方向 技能提升台素养提升 1.C 2.B[对于A,根据题中图形，可得向量BO,OC,OA不是有相 同起点的向量，.A错误；对于B,O是圆心，那么向量 BO,OC,OA的模是一样的，B正确；对于C,共线向量是方 向相同或者相反的向量，∴.C错误；对于D,相等的向量指的 是大小相等，方向相同的向量，D错误.] 3.解析：如图所示，设AB=a,BC=b,则AC=a十 b,且△ABC为等腰直角三角形，则|AC|= a+b b 8√2，∠BAC=45°. a 答案：8√2北偏东45° 4.解析：此题中，马在A处有两条路 可走，在B处有三条路可走，在C 处有八条路可走，如图，以B为起点 作有向线段表示马走了“一步”的向 量，符合题意的共3个；以C为起，点 作有向线段表示马走了“一步”的向 量，符合题意的共8个，所以共有11个. 答案：11 5.D 6.AB[A和B属于数乘对向量与实数的分配律，正确；C中， 若m=0,则不能推出a=b,错误；D中，若a=0,则m,n没有 关系，错误.门 k受快乐限期 7.C[AD=DB,AE=EC,.F是△ABC的重心，则DF= 子D心A=d+D萨=市+号D心=d+号(AC- )=号A+号AC=号A店+号AC=号a+号，∴x= 号y=3] 8.解析：在△ABC中，∠A=60°，|BC1=1,点D为AB的中 点，点E为CD的中点，A店=a,AC=b,则A正=号(Ai十 Aò=A应+2AC-子a+2b, 答案：}a+2b 9.D[由c∥d,得c=d,∴ka+b=(a-b) 中俊印e=-a+6里6=-4] 10.B[因为AD=AB+BC+CD=3a+6b=3(a+2b)=3AB, 又AB,AD有公共点A,所以A,B,D三点共线.] 11.解：BA=-A店=-BC=-(BA+AC, 4 4 Bi=-号AC=mAC, 12.解：(1)画出向量如图所示 北 (2)D地在A地北偏东30°方向 30° 上，B地在C地南偏西30°方向上， .AD∥BC. 30 30 又AD=BC=2千米，.四边形AB CD是平行四边形， 西A 东 .AB=DC=6千米. 'C地在D地北偏东60°方向上， .B地在A地北偏东60°方向6千米处. .AB的方向为北偏东60°，大小为6千米. 新题快递 1.BC[对于A、D:不妨取a,b分别为xy轴上的单位向量， 满足“|a=|b|”,满足“a与b都是单位向量”，但是a∥b不 成立.故A、D错误；对于B:由零向量与任何向量平行，可知 |a=0或|b|=0时，a∥b.故B正确；对于C:因为a=一2b, 所以a∥b.故C正确.] 2,D[因为黄形对角线平分对商，所以日+合与∠A0B平 分线所在向量共线， 所以O=A(日+台)A由0i确定.] 假期作业12平面向量的基本 定理及坐标表示 思维整合室 1,不共线入1e十入2e2基底2.(1)0≤≤180° (2)同向180°(3)90°a⊥b3.(1)x1十x2y1+2 (2)x1-x2y1-y2(3)ax,y4.(1)a=b (2)x1y2-x2y1=0 技能提升台素养提升 1.B2.D 3.B[以D为坐标原点，建立如图所示 的平面直角坐标系.不妨设AD=2, 则A(-1,W3),B(5,5W3),D(0,0),E (9W3),C(0,4W3),故AB=(6,43), CE=(9,-3V3),DE=(9,W3). 设AB=xCE+yDE, 则/6=9x+9y {4V3=-3Vx+5y' 5 解得 6所以成=成+硫.] 3 y=2 8 S0M-= 4,解析：由条件可知十=2， 一=3解得 λ2 5 答案：2 1 5.D[2a+b=2(2,4)+(-1,1)=(3,9).] 6.A[设c=m十0，则(0，号）=(2x-yz+2, 12x-y=0, 1 所以 05解得r=立'则e=2a+6.] x+2y=2’ y=1, 7.C[若a⊥b,则x(x+1)十2x=0, 即x2十3x=0,解得x=0或x=-3, A错，C对；若a∥b,则2(x十1)-x2=0,即x2-2x-2=0, 解得x=1士√3，故B、D错.] 8.解析：由题意可知，2k=5X6,则k=15, 答案：15 9.A[如图，以A为原，点，AB所在直线为x轴，AC 所在直线为y轴建立平面直角坐标系，则B点的 坐标为(1,0)，C点的坐标为(0,2)，因为∠DAB= 60°，所以设D,点的坐标为(mw3m)(m≠0). AD=(m,W3m)=AAB+uAC=(1,0)+u(0,2)=(λ，2)， 则入=m,且=乞n, √3 所以2-2】 10.解析：设向量b=(x,),由a/b,可得受=兰， 又a·b=-√/10，则2x十y=-√10， 解得x=-210 5 y=、0 5 则=（2，- 5， 以+-2 答案：√2 11.解：(1)若a,b共线，则存在λ∈R,使a=沾，则e-2e2=(e十 %以由6不失线得，2， =1, }以=-号所以1不 存在，故a与b不共线，可以作为一组基底. (2)设c=ma十nb(m,n∈R),得 3e1-e2=m(e1-2ez)+n(e1+3e)=(m+n)e1+(-2m+3n) e.所以{m十n=3, 了一2m十3m=一1，解之得{n=1,”所以c=2a+6, (3)由4e,-3e2=a+b,得 4e1-3e2=λ(e-2e2)+μ(e1+3e2)=(a+r)e1+(-2a+ 3)e2.所以十u=4, →1=3， {-2λ+3μ=-3，{μ=1. 故所求入，以的值分别为3和1. 12.解：(1)a-2b=(1,2)-2(-4,3)=(1,2)-(-8,6)=(1+ 8,2-6)=(9,-4). (2)由已知两点M(3,-2)和N(-5,-1),可得号M- 2(-5-3,-1+2)=(-4,2) 设点P的坐标是(x,y),则MP=(x-3,y十2) 由已知M应-合M,可得x-3y叶2)=(-4，）》 x-3=-4, /x=-1, +2=安，郎 3 y=-21 点P的坐标是(1，一是)广