假期作业6 函数的应用-【快乐假期】2025-2026学年高一数学暑假作业（全学年）

三0022 假期作业6函数的瓜 《思维整合室 1.函数的零点 (1)函数零点的定义 对于函数y=f(x),我们把使 的 实数x叫做函数y=f(x)的零点， (2)几个等价关系 方程f(x)=0有实数根台函数y=f(x)的图 象与有交点台函数y=f(x)有 (3)函数零点的判定（零点存在性定理） 如果函数y=f(x)在区间[a,b]上的图象 是连续不断的一条曲线，并且有 那么，函数y=∫(x)在区间 内有 零点，即存在c∈(a,b),使得 ,这 个 也就是方程f(x)=0的根， 2.二次函数y=ax2十bx十c(a>0)的图象与零 点的关系 △>0 △=0 △<0 图象 与x轴 的交点 无交点 零点个数 3.函数的实际应用 (1)常见的函数模型 函数模型 函数解析式 次函数型f(x)=ax十b(a,b为常数，a≠0) 二次函数型f(x)=ax2十bx十c(a,b,c为常数，a≠0) 指数函数型 f(x)=ba+c(a,b,c为常数，a>0 且a≠1，b≠0) 对数函数型 f(x)=blog.x十c(a,b,c为常数，a>0 且a≠1，b≠0) 幂函数型 f(x)=ax”+b(a,b为常数，a≠0) (2)解决应用问题的基本步骤 ①审题：弄清题意，分析条件和结论，理顺 数量关系，恰当选择模型； ②建模：将文字语言、图形（或数表）等转化 为数学语言，利用数学知识建立相应的数 学模型，将实际问题化为数学问题； ③求解：求解数学问题，得出数学结论； ④还原：将利用数学知识和方法得出的结 论，还原为实际问题的答案， 11 高一数学 驽马十驾，功在不舍。 7用 完成日期： 月 ◇ 【《技能提升台 素养提升 ◆汇考点一]函数的零点 1.(多选)下列函数中，在（一1,1）内有零点且 单调递增的是 A.y=logx B.y=22-1 cy=-号 D.y=x3 2.函数f(x)=(x一2)(x一5)一1有两个零点 x1,x2,且x1<x2,则 () A.x1<2,2<x2<5B.x1>2且x2>5 C.x1<2,x2>5 D.2<x1<5,x2>5 3.设函数f(x)=x+log2x-m,若函数f(x) 在(，8上存在零点，则m的取值范围是 A-5 B.(-2.1 c D(, 4.函数y=-x2+(e-er)sinx在区间 [-2.8,2.8]的图象大致为 中·4 料 5.函数f(x)= 10g,(x-2),x>2则函数y= f(f(x)的所有零点之和为 6.已知定义域为R的函数f(x)满足f(2+x) =-f(-x),且曲线y=f(x)与曲线y= 1有且只有两个交点，则函数8(x）)- x)十1的零点之和是 ◆[考点二]函数的实际应用 7.Logistic模型是常用数学模型之一，可应用 于流行病学领域.有学者根据公布数据建立 了某地区新冠病毒累计确诊病例数I(t)(t 的单位：天)的Logistic模型：I(t)= 北曼快乐假期 1十e丽，其中K为最大确诊病例数。 K 当I(t*)=0.95K时，标志着已初步遏制疫 情，则t*约为(1n19≈3) () A.60 B.63 C.66 D.69 8生物卡密度指数d=品是河流水质的 个评价指标，其中S,N分别表示河流中的 生物种类数与生物个体总数，生物丰富度指 数d越大，水质越好.如果某河流治理前后 的生物种类数S没有变化，生物个体总数由 N1变为N2,生物丰富度指数由2.1提高到 3.15,则 A.3N2=2N1 B.2N2=3N C.N2=N D.N=N? 9.(多选)噪声污染问题越来越受到重视.用声 压级来度量声音的强弱，定义声压级L。一 20Xlg力，其中常数p,(p。>0)是听觉下限 po 阈值，卫是实际声压.下表为不同声源的声 压级： 声源 与声源的距离/m 声压级/dB 燃油汽车 10 60~90 混合动力汽车 10 5060 电动汽车 10 40 已知在距离燃油汽车、混合动力汽车、电动 汽车10m处测得实际声压分别为p1,p2, p3,则 () A.p1≥2 B.p2>10p3 C.p3=100p0 D.p1≤100p2 10.某化工厂生产一种溶液，按市场要求杂质 含量不超过0.1，若初始时含杂质2，每过 滤一次可使杂质含量减少了，至少应过滤 次才能达到市场要求？（已知 1g2=0.3010,1g3=0.4771) 11.在如图所示的锐角三角形空 地中，欲建一个面积最大的内 接矩形花园（阴影部分），则其 边长x为 (m). -40m 12.某省两重要城市之间人员交 流频繁，为了缓解交通压力，特修一条时速 350公里的城际高铁，已知该车每次拖4 节车厢，一天能来回16次，如果每次拖7 节车厢，则每天能来回10次. (1)若每天来回的次数是车头每次拖挂车 厢节数的一次函数，求此一次函数解析式； 0M= (2)在(1)的条件下，每节车厢能载乘客110 人.问这列火车每天来回多少次才能使运营 人数最多？并求出每天最多运营人数 新题快递 1.近年，“人工智能”相关软件以其极高的智能 化水平引起国内关注，深度学习是人工智能 的一种具有代表性的实现方法，它是以神经 网络为出发点的.在神经网络优化中，指数 减的学率模型为工× ,其中L 表示每一轮优化时使用的学习率，G表示训 练迭代轮数，则学习率衰减到0.2及以下所 需的训练迭代轮数至少为（参考数据：1g2≈ 0.301) ( A.16 B.72 C.74 D.90 2.若函数f(x)=ax2-2x-|x2一ax+1|有且仅 有两个零点，则a的取值范围为 《益智欢乐谷 一个姑娘上了高铁， 见自己的座位上坐着一男 士.她核对自己的票，客 时速352km/h 气地说：“先生，您坐错位 置了吧？”男士拿出票，嚷 嚷着：“看清楚点，这是我的座，你瞎了？”女孩 仔细看了他的票，不再作声，默默地站在他的 身旁.一会儿高铁开动了，女孩低头轻松对男 士说：“先生，您没坐错位，您坐错车了！” 有一种忍让，叫做让你后悔都来不及，如 果嚎叫能解决问题，驴早就统治了世界！密快乐假积 技能提升台素养提升 c[令f)=f,则4=2，a=合f)=.] 2.B[:幂函数f(x)=(n2十2n-2)x-m在(0，十oo)上单调 递减， ”+2m二2=1：m=1, …{n2-3n<0, 又n=1时，f(x)=x2的图象关于y轴对称，故n=1.] 3.D 4A[y-(合)广-2， 它与函数y=2的图象关于y轴对称.] 5.D[由题意易得，号≥1，所以a的取值范国是[2，十∞).] 6.D[由题意得z>0 12x-1≠0 解得x(0,)U(合+∞)门 7.B[因为y=4.2在R上递增，且一0.3<0<0.3，所以0<4. 20.3<4.2°<4.2.3， 所以0<4.20.3<1<4.23，即0<a<1<b, 因为y=log2x在(0，十∞)上递增，且0<0.2<1， 所以1og4.20.2<log4.21=0,即c<0, 所以b>a>c.] 8.D 9.AC[f(x)的定义域为(0,2).由于f(x)=lnx+ln(2-x) =ln(2x一x2),从而对f(x)的研究可转化为对二次函数 g(x)=2x-x2(x∈(0,2)的研究.因为g(x)=2x-x2= -(x一1)2+1，所以g(x)在(0,1)上单调递增，在(1,2)上单调递 减，直线x=1是y=g(x)的图象的对称轴.从而排除B,D.] In(x-1) -1ln2 10.解析：由三阶行列式1n(3x)1 e2 根据题意得， 元素1的金子式=g一Dg2到=如6-D计 -2 0 2 2 2h2=2h2(z-1D]=0,解得x=号； 元素2的余子式M3= ln(x-1)-1 ln(3-x)1 =ln(x-1)+ In(3-x) 则函数f(x)=ln(x-1)+ln(3-x) 由一1之0，解得1<x<3,则f(x)定义战为(1,3)， 13-x>0 f(x)=1n(-x2+4x-3),x∈(1,3) 令w=-x2+4x-3=-(x-2)2+1,u∈(0,1] 则当x∈(1,2]，函数u=-x2+4x-3单调递增，又y=lnu, u∈(0,1]单调递增，所以由复合函数单调性可知f(x)在区 间(1,2]上单调递增； 当x∈[2,3)，函数u=一x2十4x一3单调递减，又y=lnu, u∈（0,1]单调递增，所以由复合函数单调性可知f(x)在区 间[2,3)上单调递减； 故f(x)单调减区间为[2,3)」 答案：号，[2,3)（填(2,3）也正确) 11.解：(1)当a=2时，g(x)=log2(1-x),在[-15，-1]上单 调递减，因此当x=一15时，g(x)的最大值为log2[1一 (-15)]=log216=4. (2)f(x)-g(x)>0,即f(x)>g(x),所以当0<a<1时， 11+x1-x, log(1十x)>log(1-x),满足1十x>0,所以-1<x<0, 1-x>0, 故当0<a<1时x的取值范围是{x|一1<x<0}. 2+2=号， 12.解：(1)因为 所以 22+22a+b=17 41 郎得{名01敢0,6的值分别为-1,0 8 cS0M-号 (2)f(x)是偶函数，证明如下： 由(1)知f(x)=2十2，f(x)的定义域为R,关于原点对称.因 为f(-x)=2+2=f(x),所以f(x)为偶函数. (3)f(x)在[0，十∞)上单调递增，证明如下： 对任意x1,x2∈[0，十∞)，不妨设x1<x2,则f(1)一 f(x2)=(21+2)-(2?+22) =(-+(合)户-(2) 2=(251-22)· 2t-1,因为x<2,且1x∈[0，+o), 2*1+x2 所以25-22<0,25+2>1， 即25+2-1>0，则f(x1)-f(x2)<0,即f(x1)<f(2). 所以f(x)在[0，+∞)上单调递增. 又f(x)在R上为偶函数，故f(x)在（一∞，0]上单调递减， 则当x=0时，f(x)取最小值. 又f(0)=1十1=2，所以f(x)的值域为[2，+∞). 新题快递 1.B[根据题意，经过x天后，“进步”的与“落后”的比 (1+20%)- 1-20% (6号)≥10， 即（受）≥10，两边取以10为底的对数得xg3-lg2)≈ x(0.4771-0.3010)=0.176x≥2，解得x≥0.176≈ 2 11.36. 要使“进步”的是“落后”的100倍，则大约需要经过11天.] /a',x1 2.解析：①因函数f(x)= 1=20,x>1又f(-2)=9,于是得 x a2=9,而a>0,解得a=3, 所以a的值等于子 ②因对任意工≠，都有）二)<0成立，则函数 x1一x2 f(x)在R上单调递减， ,0<a<1 因此，1-2a>0,解得3≤a<2' 1 a≥1-2a 所以实数a的取值范围是}<0< 答案：①}②号<a<日 假期作业6函数的应用 思维整合室 1.(1)f(x)=0(2)x轴零点(3)f(a)·f(b)<0(a,b) f(c)=0c2.(x1,0),(x2,0)(x1,0)210 技能提升台素养提升 1.BD 2.C 3B[画数f)=x十lgx一m在（合，8）上单润运增，则函 数f知)在（合，8上存在零点， 舍f(）=+n0,解-<m< 1 f(8)=8+log28-m>0 4.B f(x)=-x2+(e*-e)sin x, 则f(-x)=-(-x)2+(e-e)sin(-x) =-x2+(e-e*)sin x=f(x) y=f(x)为偶函数，排除A,C: f(受）=-+e-ei=e-e-对>0， 故排除D,B正确.] 5.解析：令t=f(x), 由0-0释任-2》=0所以-0或1-8. 当t=f(x)=0时，x=0或x=3, 三0022 当t=f(x)=3时，则≤？或x>2 x=3i {og影(x-2)=3解得x=10, 所以函数y=f(f(x)的所有零，点之和为0+3+10=13. 答案：13 6.解析：由题意定义域为R的函数f(x)满足f(2十x)=一f(一x), 则f(x)的图象关于点(1,0)成中心对称， 虽数y=一马的图象是由y=一是的图象向右半移一个 x 单位得到， 故y=一 的图象关于点(1,0)成中心对称， 又南线y化)与向线y一品有且只有两个交点， 这两个交，点关于(1,0)对称，故这两个交点的横坐标之和为2， 而画数&)=f)十马的幸点即为曲线y=f(x)与由 线y一马文点的横坐标， 故西数g)=f)十马的率点之米是2。 答案：2 7. 2.1=S-1 8.D[由题意可得{ In N S-1 3.15=nN21 两式相除得2.1lnN1=3.15lnN2, 所以lnN=lnN经5，即N1=N25.] 9.ACD[由题意可知：L∈[60,90]，L,∈[50,60]，L,=40, 对于选项A:可得L,-L,=20×1g多-20X1g2=20X Po Po 因为L,≥L则L-L,=20X1g≥0，即18会≥0， 所以>1且pp2>0,可得p1≥p,故A正确； 对于选项B:可得L,-L=20X1g多-20X1g2 po =20X1g2, P3 因为L,-L,=L,-40>10,则20×1g≥10， 所以2≥√10且p2,p>0,可得p2≥√10p, P3 当且仅当Lp,=50时，等号成立，故B错误； 对于选项C:因为L,-20×1g2-40,即1g分-2， Po 可得=100，即力=100p,故C正确； 对于适项D:白选项A可知：-1=20Xa会】 且L,-L,≤90-50=40，则20×1g2≤40， 即18会≤2，可得≤10，且AA:>0,所以A≤10p,故 2 D正确.] 10.解析：设过滤n次才能达到市场要求，则21-子)”<0.1，即 (号”<02，mlg号≤-1-lg2.∴n≥7.39n=8. 答案：8 1.解析：设矩形花网的宽为ym,则着-0。，即y=40一，矩 形花园的面积S=x(40-x)=-x2+40x=-(x-20)2+ 400,当x=20m时，面积最大. 答案：20 8 富一数学都 12.解：(1)设每天来回y次，每次挂x节车厢，由题意设y=kx十b. 当x=4时，y=16,当x=7时，y=10,得到16=4k+b,10 =7k十b.二式联立解得k=一2，b=24,∴.y=一2x十24 (2)设每天来回y次，每次挂x节车厢，由题意知，每天挂车 厢最多时，运营人数最多，设每天运营S节车厢，则S=xy =x(-2x十24)=-2x2+24x=-2(x-6)2+72,所以当x =6时，Smx=72,此时y=12,则每日最多运营人数为 110×72=7920(人). 新题快递 1.C[白题意得，×（传）<化商起专 2 因为g号<0，所 Gg5-g2-1g5 181g5 41g4-1g5 =0二器-器2号41 所以G≥18×4.1=73.8.] 2.解析：(1)当x2-a.x十1≥0时，f(x)=0台(a-1)x2+(a- 2)x-1=0, 即[(a-1)x-1](x+1)=0, 若a=1时，x=一1，此时x2一ax十1≥0成立； 若a1时=或工=-1， 若方程有一根为x=一1，则1十a十1≥0，即a≥-2且a≠1； 若方程有一根为x=品则(。品)°-×。马十1≥0，解 得a2且a≠1； 若x= 。-=-1时，a=0,此时1+a+1≥0成立. (2)当x2-ax十1<0时，f(x)=0台(a十1)x2-(a十2)x十1=0， 即[(a+1)x-1](x-1)=0, 若a=一1时，x=1,显然x2一ax十1<0不成立； 1 若a≠一1时，x=1或x= a+1 若方程有一根为x=1,则1-a十1<0，即a>2; 若方程有一根为x=。中则()-aX十十1<0，解 1 得a<-2; 若x=a十=1时，a=0,里然t-ax+10不成立； 综上可知，当a<-2时，零点为a十1'a-1 11 当一2≤a<0时，零点为1， a-1,1; 当a=0时，只有一个零点-1； 当0Ka<1时，本点为。己-11 当a=1时，只有一个零点一1； 当1<a≤2时，零，点为1 -1,-1: 当a>2时，零点为1，一1. 所以当函数有两个零点时，a≠0且a卡1. 答案：(-∞，0)U(0,1)U(1,十∞) 假期作业7任意角的三角函数与孤度制 思维整合室 1.(1)负角零角(2)象限角2.(1)半径长(3)ra 3.y x 技能提升台素养提升 1.CD2.A3.C 4.C[因为π一a的终边与3π一a的终边相同，而π一a的终边 与a的终边关于y轴对称，所以a的终边与3π一a的终边关 于y轴对称.] 5.A 6.解析：1=3π，a=135°=3π 41 -。=4,5=合=合×3mX4=6元 答案：46π 3