专题16：函数与导数新定义综合压轴题（8大题型）讲义-2026年高考数学二轮复习高分冲刺【压轴题全突破】（上海专用）

2026年高考数学二轮复习高分冲刺【压轴题全突破】 专题16 函数与导数新定义综合题 题型一：切线角度定义新函数或新性质 【例1】（24-25华师大二附中高二期中）若函数图像上存在相异的两点P、Q，使得函数在点P和点Q处的切线重合，则称是“双切函数”，点P、Q为“双切点”，直线PQ为的“双切线”． （1）若，判断函数是否为“双切函数”，并说明理由； （2）若，证明：函数是“双切函数”，并求出其“双切线”； （3），求证：“”是“双切函数”的充要条件是“” 【跟踪训练】 1．（24-25高三上·上海·期中）已知函数的定义域为，直线：与曲线相切，若对一切恒成立，称直线是函数的“下切线”；若对一切恒成立，称直线是函数的“上切线”. (1)若，求其“上切线”的方程； (2)若存在直线，既是函数的“下切线”，也是函数的“上切线”，试求的取值范围； (3)证明：对任意的，函数，既有“上切线”，也有“下切线”. 2.（2025上海奉贤·一模）若函数的图象上存在个不同点、、、处的切线重合，则称该切线为函数的一条点切线，该函数具有点切线性质． (1)判断函数，的奇偶性并写出它的一条点切线方程（无需理由）； (2)设，判断函数是否具有点切线性质，并说明理由； (3)设，证明：对任意的，，函数具有点切线性质，并求出所有相应的切线方程． 题型二：方程角度定义新函数或新性质 【例2】（2026届高三奉贤区一模）记分别为函数和的导数，存在，满足且,则称为和的一个“点”. （1）若函数与存在“点”，求实数的值； （2）证明函数与不存在“点”； （3）已知函数，对任意的，判断是否存在，使得函数和在区间内存在“点”，请说明理由. 【例3】如果函数的定义域为，且存在常数，使得对定义域内的任意，都有恒成立，那么称此函数具有“性质”． (1)已知具有“性质”，且当时，，求的解析式及在上的最大值； (2)已知定义在上的函数具有“性质”，当时，．若有8个不同的实数解，求实数的取值范围． 【跟踪训练】 1．（25-26高三上·上海徐汇·月考）定义：对于，，若，则称为和的“一一值”；若，则称为和的“零二值”． (1)求与自身所有“零二值”的取值集合的子集； (2)求和的“一一值”的个数； (3)判断：对于定义域为的函数和，大于1的正数a满足：“任意x均为和的‘一一值’和‘零二值’”是命题“”的什么条件并说明理由． 2. （25-26杨浦区二模）设函数的定义域为D，值域.若且满足，则称与构成“函数的线性对”. （1）若，判断与π是否构成函数的线性对，并说明理由； （2）若，.若对于任意（常数），都存在，使得与构成函数的线性对，求的取值范围； （3）函数是定义在上的奇函数，且满足：若与构成函数的线性对，则与也构成函数的线性对.求证：对任意，. 3．若函数对任意，总存在唯一的，使成立，则称是在区间上的“阶和函数”．特别地，当时，称为区间上的“阶和函数”． (1)判断函数是否为区间上的“3阶和函数”； (2)若函数是在区间上的“2阶和函数”，求实数的取值范围； (3)若函数为区间上的“2阶和函数”，当时，函数有两个零点，证明：． 4.（2026届高三普陀一模）设函数的定义域为,导函数为,对于实数,若存在,使得成立,则称函数具有性质. （1）若函数，请判断该函数是否具有性质，并说明理由； （2）设，若函数具有性质，且的值恰有三个，求的取值范围； （3）若函数，求证:该函数具有性质的充要条件是. 题型三：不等式角度定义新函数或新性质 【例4】函数的导函数记为，若对函数的定义域内任意实数，存在实数，使得不等式成立，则称函数为上的＂函数＂． (1)判断函数是否是上的“函数”，请说明理由； (2)若函数是上的“函数”，求实数的取值范围； (3)已知函数是上的“函数”．若对任意的，当时，都有成立，求实数的最大值． 【例5】对于函数，和，，设，若对任意的，，都有成立，则称函数与“具有性质”. (1)判断函数，与是否“具有性质”，并说明理由； (2)若函数与“具有性质”，且函数在区间上存在两个零点，，求证：； (3)已知函数，，，求证：函数与“具有性质”. 【跟踪训练】 1.（2026·上海徐汇·二模）已知函数与函数的定义域均为，且在上的导函数分别为和.若存在常数，使得对任意实数恒成立，则称是的“调整函数”，并称为调整系数. (1)设.求证：是的“2-调整函数”； (2)设.若存在实数，使得是的“调整函数”，求调整系数的取值范围； (3)已知是的“1-调整函数”，函数的值域是一个闭区间，记作集合，函数的值域记作集合.若，判断是否一定是常值函数，并说明理由. 2.若存在正数，对任意的，恒成立，则称函数，在上具有性质“”． (1)判断函数，在上是否具有性质“”，并说明理由； (2)若函数，在上具有性质“”，求的取值范围； (3)若函数与在上具有性质“”，且存在，，使得，求证：． 3.（2025上师大闵行分校高二期中）设函数的定义域为R，其导函数为，．若存在区间及实数满足：对任意，都有恒成立，则称函数为上的“函数”． （1）判断函数是否为上的函数，并说明理由； （2）已知实数满足：函数为上的函数，求的取值范围； （3）已知函数存在最大值． 对于以下两个命题，：对任意，都有与恒成立；：对任意正整数，满足函数都是上的函数；判断P是否为Q的充要条件，并说明理由． 4. （25-26徐汇区二模）已知函数与函数的定义域均为，且在上的导函数分别为和.若存在常数，使得对任意实数恒成立，则称是的“调整函数”，并称为调整系数. （1）设.求证：是的“2-调整函数”； （2）设.若存在实数，使得是的“调整函数”，求调整系数的取值范围； （3）已知是的“1-调整函数”，函数的值域是一个闭区间，记作集合，函数的值域记作集合.若，判断是否一定是常值函数，并说明理由. 5.（2026届高三闵行区一模）已知函数的定义域为,对于,若,且,则称为的一个“点”,记为的所有“点”构成的集合. (1)若分别判断与是否正确； (2)证明:“”的一个充要条件为“当时，”; (3)已知，其中,记.若,求的取值范围. 题型四：函数性质角度定义新函数或新性质 【例6】已知函数的导函数为，的导函数为，对于区间A，若与在区间A上都单调递增或都单调递减，则称为区间A上的自律函数． (1)若是R上的自律函数． （ⅰ）求a的取值范围； （ⅱ）若a取得最小值时，只有一个实根，求实数t的取值范围； (2)已知函数，判断是否存在b，c及，使得在上不单调，且是及上的自律函数，若存在，求出b与c的关系及b的取值范围；若不存在，请说明理由． 【例7】（2024徐汇区一模）若函数的导函数是以为周期的函数，则称函数具有“性质”． （1）试判断函数和是否具有“性质”，并说明理由； （2）已知函数，其中具有“性质”，求函数在上的极小值点； （3）若函数具有“性质”，且存在实数使得对任意都有成立，求证：为周期函数． （可用结论：若函数的导函数满足，则（常数）．） 【跟踪训练】 1.已知初等函数的定义域为，令，若，，则是一个下凸函数. (1)分别判断是否是上的下凸函数？请说明理由； (2)已知，，，是公差不为0的等差数列，的定义域为，求证：为下凸函数是成立的充分不必要条件； (3)已知下凸函数的定义域为，且，，求证：，. 2. 已知函数的定义域为，区间，当时，如果，则称函数是上的凹函数．若函数在上连续，在上可导，则为凹函数的充要条件是其导函数在上单调递增． (1)证明：函数是凹函数； (2)若函数是上的凹函数，证明：对于任意的和任意的，总有； (3)求证：，其中，均为正数． 3.（2026届高三静安一模）已知函数的图像关于点成中心对称的充要条件是是奇函数.如果一个函数的图像关于点成中心对称,则称这个函数是点奇函数,其中点为对称中心.设函数 (1)若函数是点奇函数，求实数的值； (2)证明:对于任意给定的实数，函数存在两个极值点:若是的极小值点,求出的所有极值点: (3)若是的极大值点，函数是否是点奇函数？若是，求出对称中心;若不是,请说明理由. 4.（2025届高三上·上海黄浦·期末）函数的定义域为，在上仅有一个极值点，方程在上仅有两解，分别为、，且．若，则称函数在上的极值点左偏移；若，则称函数在上的极值点右偏移． (1)设，，判断函数在上的极值点是否左偏移或右偏移？ (2)设且，，，求证：函数在上的极值点右偏移； (3)设，，，求证：当时，函数在上的极值点左偏移． 题型五：图形几何性质角度定义新函数或新性质 【例8】（24-25青浦区高二期末）定义:若函数与的图像上分别存在点，使得当时有成立，则称函数与具有“对称互补”关系. （1）判断函数与是否具有“对称互补”关系，并说明理由； （2）若函数与在给定定义域区间上具有“对称互补”关系，且存在唯一的点对满足条件，求实数的取值范围; （3）若函数不具有“对称互补”关系，求实数的取值范围. 【跟踪训练】 1. （24-25高三上·上海松江·期末）定义在上的函数，若对任意不同的两点，，都存在，使得函数在处的切线与直线平行，则称函数在上处处相依，其中称为直线的相依切线，为函数在的相依区间．已知． (1)当时，函数在上处处相依，证明：导函数在上有零点； (2)若函数在上处处相依，且对任意实数、，，都有恒成立，求实数的取值范围． (3)当时，，为函数在的相依区间，证明：． 2．（25-26高三上·上海·期末）已知区间，定义域为的函数的图像是一条连续不断的曲线，点P不在函数的图像上，点A在函数的图像上．若线段PA与函数的图像有且仅有一个公共点，则称点A是“P－可见”的． (1)若，，点P的坐标为，判断点与是否是“P－可见”的； (2)已知为实数，若，，点P的坐标为，点是“P－可见”的，求m的取值范围； (3)若，点P的坐标为，证明：“函数的图像上任意一点都是‘可见’的”是“函数在上严格增或严格减”的充要条件． 3.（24-25七宝中学高二期末）在湖边，我们常看到成排的石柱子之间用铁链相连，这就是悬链线.选择适当的坐标系后，悬链线的解析式是一个双曲余弦函数，记为，其图象是曲线，与之对应的双曲正弦函数，其图象是曲线. （1）类比正余弦的两种性质：①平方关系：，②导数：，写出双曲正弦和双曲余弦的两种性质（不必证明）； （2）若当时，双曲余弦函数的图象曲线终在直线上方，求实数的取值范围； （3）若为坐标原点，直线与双曲余弦函数与双曲正弦函数分别相交于点，曲线在点处的切线是，曲线在点处的切线是，且与相交于点，记与面积的乘积为，证明：存在两个不同的实数，使，且任意． 4.若对于函数，存在直线，使得方程有个解、、、，且，则称直线为函数的阶临界直线，若可趋近于无穷大，则称直线为函数的无限阶临界直线. (1)判断函数，的奇偶性并直接写出它的一条阶临界直线方程； (2)若，，判断函数是否存在阶临界直线，并说明理由； (3)已知函数.证明：函数存在无限阶临界直线. 题型六：构造新函数 【例9】（25-26黄浦区二模）对于公共定义域为D的函数与，定义集合． （1）若，，求； （2）若，，且，求的最小值； （3）已知是定义在上的增函数，其图像是连续曲线，且存在正数，使得．若，，且，求证：． 【跟踪训练】 1. （25-26曹杨二中高二期中）对于一个函数和一个点，定义. （1）设，求函数的最小值； （2）设，若集合是双元素集，求的取值范围； （3）已知及其导函数的定义域均为，函数恒大于0，对于点，点，记集合，对任意，集合，对任意.若对任意，集合､非空，且，试判断的单调性. 2.（2026届高三宝山区一模）已知连续函数和,设,集合. （1）若指数函数的图像过点，且，求； （2）若，且在区间上存在极值点，求实数的取值范围,并判断是否属于,请说明理由; （3）若的导函数是上的严格减函数，，且函数在处的切线方程是.求证:“”的充要条件是“”. 3.（2026虹口区高三一模）已知函数的定义域为,记,其中,且. (1)当，求函数的零点: (2)当，若恒有，求实数的取值范围； (3)当，求证:“对于任意的正有理数，函数在上均是严格增函数”的充要条件是“任取中两个不相同的元素和,均有”. 4.记．已知函数和的定义域都为，若存在，使得，当且仅当时等号成立，则称和在上“次缠绕”. (1)已知和在上“2次缠绕”，设，求的值； (2)设，若和在实数集上“3次缠绕”，求的取值范围； (3)记所有定义在区间上的函数组成集合，证明：给定，对任意，都存在，使得，且和在上“次缠绕”. 题型七：高数背景下的新运算 【例10】（2026届高三浦东新区一模）已知函数的定义域为.若对任意区间,存在正整数,使得,则称函数为“回归函数”,为回归指数.其中, （1）若.请分别判断函数是否为回归指数为2的“回归函数”; （2）若.求证:函数是“回归函数”,并求满足条件的回归指数的最小值. （3）若是定义域为的函数，且，其中.请判断函数是否为“回归函数”?若是,请写出证明过程;若不是,请说明理由. 【跟踪训练】 1. （2026宝山区二模）已知和均为定义在上的可导函数，且函数满足：（是正整数）. （1）若满足，求实数的值； （2）设数列是无穷数列，若，且，是否存在实数，使得是常数列，请说明理由： （3）若是定义域上的增函数，函数是周期函数，且存在对任意实数，都有，求证：“恒成立”的充要条件是“是周期函数”. 2. 帕德逼近是法国数学家亨利·帕德发明的用有理多项式近似特定函数的方法.已知函数在处的阶帕德近似定义为：，且满足.其中.已知在处的阶帕德近似为. (1)求的值； (2)若对于任意的，不等式恒成立，求的取值范围； (3)已知是函数的三个不同的零点，且，求实数的取值范围，并证明. 题型八：充要条件的证明 【例11】（2024·上海·高考真题）记 (1)若，求和; (2)若，求证:对于任意，都有，且存在，使得. (3)已知定义在上有最小值，求证"是偶函数"的充要条件是“对于任意正实数，均有”. 【例12】（2026·上海·高考真题）设是定义在上的函数.定义性质：若对任意，当时，，则称函数具有“性质”. (1)判断函数是否具有“性质”； (2)若分段函数具有“性质”，求所有满足条件的实数和的解； (3)已知的值域为，且在上是严格增函数，证明：是偶函数的充要条件是：具有“性质”. 【跟踪训练】 1.（2026届高三黄埔区一模）已知函数的定义域为,对于给定实数,定义集合. （1）若，求； （2）若，求证:“为周期函数”的充要条件是“存在非零常数，使得”. （3）若，，且对于任意的，都有，求实数的取值范围. 2．（2025·上海崇明·二模）已知函数，P为坐标平面上一点．若函数的图像上存在与P不同的一点Q，使得直线PQ是函数在点Q处的切线，则称点P具有性质． (1)若，判断点是否具有性质，并说明理由； (2)若，证明：线段上的所有点均具有性质； (3)若，证明：“点具有性质”的充要条件是“”． 3. （2026长宁区二模）设函数定义域为，区间，记函数在区间上的最大值为，最小值为. （1）设，，若，求实数的值； （2）设，，若，且，求的值； （3）已知，，且对任意闭区间，与均存在. 求证：“在区间上严格增”的充要条件是“对于任意闭区间、，当，且时，均有.” 4．（2025·上海·三模）设定义域为的函数在上可导，导函数为．若区间及实数满足：对任意成立，则称函数为上的“函数”． (1)判断是否为上的函数，说明理由； (2)若实数满足：为上的函数，求t的取值范围； (3)已知函数存在最大值．求证：对任意正整数都是上的函数的充要条件是对任意与恒成立 5．（2025·上海杨浦·一模）已知区间，函数的定义域为，若函数满足：对任意，均有，则称函数为压缩函数. (1)判断函数，，是否为压缩函数?并说明理由； (2)若函数，为压缩函数，求实数的取值范围； (3)已知函数，为压缩函数，求证：，为单调函数的充要条件是：对任意，均有. 1. （24-25金山中学高二期末）已知函数，若点是函数的图像的两条互相垂直的切线的交点，则点是函数的“特征点”，记的所有“特征点”的集合为； （1）若，求； （2）若，求证：函数的所有“特征点”在一条定直线上，并求出这条直线的方程； （3）若，记函数的所有点组成的集合为，且，求实数的取值范围． 2．（24-25高三上·上海金山·期末）对于函数图像上不同的三点（其中），记点M处的切线为l，若，则称M为函数在区间上的“T点”．特别地，当，则称M为函数在区间上的“和谐T点”． (1)设是函数在区间上的“T点”，若，求实数n的值； (2)设，若函数在区间上恰有3个“T点”，求所有满足条件的实数a的值组成的集合； (3)设，试探究函数的定义域内是否存在一个包含“和谐T点”的区间，若存在，求出该区间；若不存在，请说明理由． 3. （25-26华师大附中高二期中）对于函数的导函数，若在其定义域内存在实数和，使得成立，则称是“跃点”函数，并称是函数的“跃点”. （1）若函数是“跃点”函数，求实数的取值范围； （2）若函数是定义在上的“0跃点”函数，且在定义域内存在三个不同的“0跃点”，求实数的取值范围； （3）若函数是“1跃点”函数，且在定义域内恰存在2个“1跃点”，求实数满足的条件. 4. 若存在正数，对任意的，恒成立，则称函数，在上具有性质“”． (1)判断函数，在上是否具有性质“”，并说明理由； (2)若函数，在上具有性质“”，求的取值范围； (3)若函数与在上具有性质“”，且存在，，使得，求证：． 5. （24-25进才中学高二期末）已知、为实数集的非空子集，若存在函数且满足如下条件：①定义域为时，值域为；②对任意、，，均有．则称是集合到集合的一个“完美对应”． （1）构造区间到区间的一个完美对应，并说明理由； （2）求证：整数集到有理数集之间不存在完美对应； （3）若，，且是某区间到区间的一个完美对应，求的取值范围． 6.（2026届高三杨浦区一模）已知区间，函数的定义域为，若函数满足：对任意、， 均有，则称函数为压缩函数. （1）判断函数，是否为压缩函数？并说明理由； （2）若函数，为压缩函数，求实数的取值范围； （3）已知函数，为压缩函数，求证：，为单调函数的充要条件是：对任意、，均有. 7. （24-25莘庄中学高二期末）已知是定义在R上的函数，集合对任意，都有．当时，若函数存在最小值，则称为直线的“距离”． （1）对于，求证：； （2）设，且存在实数，使得直线的“距离”不小于2，求实数的取值范围： （3）设的导函数在R上严格增．若对任意，都有且直线与的“距离”相等．证明：是偶函数． 8.（2026届高三徐汇区一模）已知函数的定义域为,若其导函数在上是严格减函数,则称是一个“函数”. (1)设.分别判断是否为“函数”，并说明理由； (2)已知数列是公差为的等差数列,且的各项都为正数,若定义在上的函数是“函数”，求证:; (3)已知“函数”的定义域为，不等式的解集为.证明:函数在上是严格减函数. 9. （2024长宁区二模）设函数的定义域为，若存在实数，使得对于任意，都有，则称函数有上界，实数的最小值为函数的上确界. 记集合在区间上是严格增函数. （1）求函数的上确界； （2）若，求的最大值； （3）设函数的定义域为.若，且有上界，求证：，且存在函数，它的上确界为0. 10.（25-26上师大附中高二期末）设是的一个非空子集，函数的定义域为，若在上不是单调函数，且存在常数，使得对任意的成立，则称函数具有性质，称为该函数的一个下界． （1）设，，判断函数，是否具有性质； （2）设为常数，，，当且仅当满足什么条件时，函数，具有性质，且是该函数的一个下界； （3）设，，，若函数，具有性质，求的取值范围：当在上述范围内变化时，若总是该函数的下界，求的取值范围． 11. （2026长宁区二模）设函数定义域为，区间，记函数在区间上的最大值为，最小值为. （1）设，，若，求实数的值； （2）设，，若，且，求的值； （3）已知，，且对任意闭区间，与均存在. 求证：“在区间上严格增”的充要条件是“对于任意闭区间、，当，且时，均有.” 12．意大利画家达•芬奇提出：固定项链的两端，使其在重力的作用下自然下垂，那么项链所形成的曲线是什么？这就是著名的“悬链线问题”其原理往往运用于悬索桥、架空电缆、双曲拱桥、拱坝等工程．通过适当建立坐标系，悬链线可表示为双曲余弦函数的图象，现定义双曲正弦函数，他们之间具有类似于三角函数的性质．（已知） (1)证明：①倍元关系：；②平方关系： (2)对任意，恒有成立，求实数a的取值范围； (3)证明：． 13．定义：如果函数在定义域内，存在极大值和极小值，且存在一个常数，使成立，则称函数为极值可差比函数，常数称为该函数的极值差比系数.已知函数. (1)当时，判断是否为极值可差比函数，并说明理由； (2)是否存在使的极值差比系数为？若存在，求出的值，若不存在，请说明理由； (3)若，求的极值差比系数的取值范围. 14. 在数学中，泰勒公式是一个用函数在某点的信息描述其附近取值的公式，这个公式来自于微积分中的泰勒定理，在已知函数在某一点的各阶导数值的情况下，泰勒公式可以用这些导数值作为系数构建一个多项式来近似函数在这一点的邻域中的值，这个多项式称为泰勒多项式.若函数在包含的某个开区间中具有阶导数，设表示的阶导数，则对任意，有，其中，是位于与之间的某个值，它称为阶泰勒余项，叫作在处的阶泰勒多项式.已知函数. (1)求在处的3阶泰勒多项式. (2)证明：当时，. (3)当时，是否存在实数，使得不等式成立？若存在，求的最小值；若不存在，请说明理由. 15. 已知函数的导数为，的导数为的二阶导数，记作．若函数在包含的某个开区间上具有二阶导数，那么，，我们把称为函数在处的二阶拟合函数． (1)写出函数在处的二阶拟合函数，并证明对恒成立； (2)若对恒成立，求a的取值范围； (3)设函数的两个零点为，，在处的二阶拟合函数为，证明：有两个零点，，且． 16.（2026虹口区高三一模）已知函数的定义域为,记,其中,且. (1)当，求函数的零点: (2)当，若恒有，求实数的取值范围； (3)当，求证:“对于任意的正有理数，函数在上均是严格增函数”的充要条件是“任取中两个不相同的元素和,均有”. 17.（2025上师大闵行分校高二期中）设函数的定义域为R，其导函数为，．若存在区间及实数满足：对任意，都有恒成立，则称函数为上的“函数”． （1）判断函数是否为上的函数，并说明理由； （2）已知实数满足：函数为上的函数，求的取值范围； （3）已知函数存在最大值． 对于以下两个命题，：对任意，都有与恒成立；：对任意正整数，满足函数都是上的函数；判断P是否为Q的充要条件，并说明理由． 18．（2025·上海浦东新·二模）定义域为的可导函数满足，在曲线上存在三个不同的点，使得直线与曲线在点处的切线平行（或重合）．若成等差数列，则称为“等差函数”；若成等差数列且均为整数，则称为“整数等差函数”． (1)设，，分别判断和是否为“整数等差函数”，直接写出结论； (2)若为“整数等差函数”，求实数的最小值； (3)已知的导函数在上为增函数，且存在一个正常数， 使得对任意，成立，证明：为“等差函数”的充要条件是为常值函数． 19. （2025·上海普陀·一模）设函数的定义域为，导函数为，对于实数，若存在，使得成立，则称函数具有性质． (1)若函数，请判断该函数是否具有性质，并说明理由； (2)设，若函数具有性质，且的值恰有三个，求的取值范围； (3)若函数，求证：该函数具有性质的充要条件是 2 / 2 学科网（北京）股份有限公司 $ 2026年高考数学二轮复习高分冲刺【压轴题全突破】 专题16 函数与导数新定义综合压轴题 题型一：切线角度定义新函数或新性质 【例1】（24-25华师大二附中高二期中）若函数图像上存在相异的两点P、Q，使得函数在点P和点Q处的切线重合，则称是“双切函数”，点P、Q为“双切点”，直线PQ为的“双切线”． （1）若，判断函数是否为“双切函数”，并说明理由； （2）若，证明：函数是“双切函数”，并求出其“双切线”； （3），求证：“”是“双切函数”的充要条件是“” 【答案】（1）不是 （2）证明见解析； （3）证明见解析 【解析】 【分析】（1）对函数求导可的，显然为单调递增函数，不存在两个不相等的实数，使得，所以不是“双切函数”； （2）易知函数为奇函数，为偶函数，所以必存在两个不相等的实数，且，使得，利用对称性可解得即为“双切点”， 为其“双切线”； （3）由是“双切函数”可得存在两个不相等的实数，使得，即函数不单调，再求导利用判别式即可求得充分条件为，同时也可证明必要性成立. 【小问1详解】 根据“双切函数”的定义可知，若是“双切函数”， 则存在两个不相等的实数，使得； 由可知，； 易知为单调递增函数， 所以不存在两个不相等的实数，使得； 即不是“双切函数”. 【小问2详解】 由可得； 显然为偶函数，且在上为单调递增； 所以必存在两个不相等的实数，使得，且； 不妨设两切点分别为， 易知函数为奇函数，又； 所以两切点关于原点对称； 即此时切线斜率， 即，解得或； 即存在两点满足条件，所以函数是“双切函数”， 此时，两点确定的直线方程即为“双切线”， 由直线的两点式方程可得即为函数的“双切线”. 故其“双切线”为. 【小问3详解】 充分性： 若是“双切函数”， 则需存在两个不相等的实数，使得； 令，即存在实数使得函数在定义域内有两个零点； 所以不单调，又， 即，可得，即； 所以充分性成立； 必要性： 因为是“双切函数”，设点，为其一对“双切点”， 函数在处的切线方程为， 所以， 即， 即， 因为，所以， ， 设，， 原式即， 由①可得， 代入②得， 化简得， ， 假设，则，原方程仅有一解， 所以， 所以，为方程的两个相异实根， 但由此一元二次方程的判别式， 即方程要么无实根，要么有两个相等的实数根，与，存在且不等矛盾， 所以假设不成立，即，所以必要性成立. 因此，“”是“双切函数”的充要条件是“” 【点睛】关键点点睛：本题关键在于理解“双切函数”的定义，充分利用导函数和原函数之间的对应关系，并利用导函数零点个数解决原函数不单调问题，即可实现问题求解. 【跟踪训练】 1．（24-25高三上·上海·期中）已知函数的定义域为，直线：与曲线相切，若对一切恒成立，称直线是函数的“下切线”；若对一切恒成立，称直线是函数的“上切线”. (1)若，求其“上切线”的方程； (2)若存在直线，既是函数的“下切线”，也是函数的“上切线”，试求的取值范围； (3)证明：对任意的，函数，既有“上切线”，也有“下切线”. 【答案】(1) (2) (3)证明见解析 【分析】（1）设出直线，结合余弦函数性质可得当或当时都不符合要求，再结合导数的几何意义计算即可得解； （2）由题意可得、存在公切线，结合导数的几何意义即可表示出与有关等式，构造相应函数后借助导数研究其单调性即可得解； （3）由，可取上斜率为的切线，则可设其切点为，从而表示出两切线，再结合“上切线”与“下切线”定义，借助作差法研究函数与两切线的差的正负即可得证. 【详解】（1）设直线：是的“上切线”， 则有恒成立，令， 则，即， 若，则对任一确定的，都存在， 使， 若，则对任一确定的，都存在， 使， 故，令，解得， 有，即此时的切线为，又，故， 即的“上切线”的方程为； （2）设该直线的方程为，其在上的切点为， 在上的切点为， 对，有，对，有， 则， 即， 令，， 则当时，，当时，， 故在上单调递减，在上单调递增， 故， 故是函数的“下切线”； 令 ，则当时，，当时，， 故在上单调递增，在上单调递减， 故， 故是函数的“上切线”； 则有，即有， 则， 整理得， 令， 则， 令，则， 故在上单调递增，又， 故当时，，当时，， 即在上单调递增，在上单调递减， 即，又时，， 即，即； （3）， 则， 令，， 设分别为的两根，则， 有，故， 则，在点处的切线为， 即， 同理可得，在点处的切线为， ， 由，则恒成立，即为其“下切线”； 同理可得， 由，则恒成立，即为其“上切线”； 综上所述，对任意的，函数，既有“上切线”，也有“下切线”. 【点睛】关键点点睛：最后一问关键点在于取上斜率为的切线，设其切点为，从而表示出两切线，再结合“上切线”与“下切线”定义，借助作差法研究函数与两切线的差的正负. 2.（2025上海奉贤·一模）若函数的图象上存在个不同点、、、处的切线重合，则称该切线为函数的一条点切线，该函数具有点切线性质． (1)判断函数，的奇偶性并写出它的一条点切线方程（无需理由）； (2)设，判断函数是否具有点切线性质，并说明理由； (3)设，证明：对任意的，，函数具有点切线性质，并求出所有相应的切线方程． 【答案】(1)偶函数，一条点切线方程为 (2)没有，理由见解析 (3)证明见解析，切线方程为和 【分析】（1）利用函数奇偶性的定义可得出函数的奇偶性，数形结合可得出该函数的一条点切线方程； （2）求出，分析函数的单调性，即可得出结论； （3）取点、、，利用导数求出曲线在三处的切线方程，利用这三条切线重合可得出，然后对、、的关系进行讨论，即可求出对应的切线方程. 【详解】（1）令，其中，则， 所以，函数为偶函数，且，如下图所示： 由图可知，函数的一条点切线方程为. （2）因为，该函数的定义域为，且， 令，其中，则， 所以，函数在上为增函数， 因此，不可能存在、且，使得， 因此，函数不具有点性质. （3）取点、、， 因为，则， 所以，曲线在点处的切线方程为， 即， 曲线在点处的切线方程为， 曲线在点处的切线方程为， 由题意可知，这三条切线重合， 则， 由上得，则，，， （i）若，，， 则，所以，， 因为，则（舍去）； （ii）若，，中至少有一个成立， 不妨设，则， 若，则（舍去），所以，， 故或. 综上所述，点切线方程为和. 【点睛】关键点点睛：本题第（3）问题考查点切线的新定义，解题的关键就是利用切线重合得出，通过分析、、之间的关系来求解. 题型二：方程角度定义新函数或新性质 【例2】（2026届高三奉贤区一模）记分别为函数和的导数，存在，满足且,则称为和的一个“点”. （1）若函数与存在“点”，求实数的值； （2）证明函数与不存在“点”； （3）已知函数，对任意的，判断是否存在，使得函数和在区间内存在“点”，请说明理由. 【解析】（1）函数 所以 设为与的“”点,由且, 得 得 （2）函数，则. 由且 令 该方程无解 因此,与不存在“”点。 （3）对任意，设. 因为,且的图象是不间断的, 所以存在,使得,令,则. 函数, 则. 由且 得(**) 此时,满足方程组,即是函数与在区间内的一个“点”.因此,对任意,存在,使函数与在区间内存在“点”, 【例3】如果函数的定义域为，且存在常数，使得对定义域内的任意，都有恒成立，那么称此函数具有“性质”． (1)已知具有“性质”，且当时，，求的解析式及在上的最大值； (2)已知定义在上的函数具有“性质”，当时，．若有8个不同的实数解，求实数的取值范围． 【答案】(1)；3； (2). 【分析】（1）由题意可得是偶函数，根据偶函数性质求出的解析式，由复合函数的单调性判断在上单调性，求出最值； （2）由对称性求出的解析式，有8个不同的实数解，令，则有两个不等的实数根，，且，，然后根据一元二次方程的实根分布求解. 【详解】（1）具有“性质”， 对恒成立，是偶函数. 当时，， 所以当时，则， 由得，当时 ， 因为是增函数，在单调递增， 所以由复合函数的单调性可知函数在上单调递增， 因此，在上的最大值为. （2）函数具有“性质”，则， 当时，，所以当时，， 于是， 如下图所示： 若有8个不同的实数解，令， 则有两个不等的实数根，，且，， 所以，所以. 所以t的取值范围为. 【点睛】思路点睛：第一问，利用是偶函数，求出的解析式，再根据复合函数单调性求出最值；第二问，函数具有“性质”，即得图象关于对称，求出的解析式，有8个不同的实数解，令，转化为方程有两个不等的实数根，，且，，根据实根分布求解. 【跟踪训练】 1．（25-26高三上·上海徐汇·月考）定义：对于，，若，则称为和的“一一值”；若，则称为和的“零二值”． (1)求与自身所有“零二值”的取值集合的子集； (2)求和的“一一值”的个数； (3)判断：对于定义域为的函数和，大于1的正数a满足：“任意x均为和的‘一一值’和‘零二值’”是命题“”的什么条件并说明理由． 【答案】(1)； (2)2； (3)充要条件，理由见解析 【详解】（1）由题， 令即，解得或， 所以与自身所有“零二值”的取值共有3个，构成的集合为， 所以与自身所有“零二值”的取值集合的子集为. （2）由题和，令， 则当时，，即，解得（舍去）或； 当时，即即，解得（舍去）或. 所以和的“一一值”的个数为2个. （3）对于定义域为的函数，大于1的正数a满足：“任意x均为和的‘一一值’和‘零二值’”是命题“”的充要条件， 理由如下：任意x均为和的‘一一值’和‘零二值’， 则任意x均满足且，又， 则（c为常数）， 所以，所以，充分性成立； 当时，对任意x均有且， 所以任意x均为和的‘一一值’和‘零二值’必要性成立. 所以对于定义域为的函数和，大于1的正数a满足：“任意x均为和的‘一一值’和‘零二值’”是命题“”的充要条件. 2. （25-26杨浦区二模）设函数的定义域为D，值域.若且满足，则称与构成“函数的线性对”. （1）若，判断与π是否构成函数的线性对，并说明理由； （2）若，.若对于任意（常数），都存在，使得与构成函数的线性对，求的取值范围； （3）函数是定义在上的奇函数，且满足：若与构成函数的线性对，则与也构成函数的线性对.求证：对任意，. 【答案】（1）是，理由见解析； （2）； （3）证明见解析 【解析】 【分析】利用赋值即可求证； 利用分离变量求值域，即可求得参数范围； 利用恒等式变形，结合值域分析，即可得证. 【小问1详解】 因为，， 所以，满足值域且， 即与π是构成函数的线性对； 【小问2详解】 由题意，，需满足， 代入 ​整理得： ， 因为，所以要求， 又，故，由等式可得：， 对任意都存在满足条件的，故， 所以的取值范围； 【小问3详解】 由是上的奇函数，可得，； 则，即是线性对， 由是线性对，则也是线性对，可得也是线性对， 所以有， 因为定义在上，所以通过迭代可得：， 又由题设大前提，的值域， 若值域内存在正数，必存在，使得， 此时，而，显然， 即值域内不存在正数； 若值域内存在负数，必存在，使得， 此时，而，显然， 即值域不存在负数， 因此对任意，，问题得证. 3．若函数对任意，总存在唯一的，使成立，则称是在区间上的“阶和函数”．特别地，当时，称为区间上的“阶和函数”． (1)判断函数是否为区间上的“3阶和函数”； (2)若函数是在区间上的“2阶和函数”，求实数的取值范围； (3)若函数为区间上的“2阶和函数”，当时，函数有两个零点，证明：． 【答案】(1)不是“3阶自和函数”. (2) (3)证明见解析 【详解】（1）对于，有. 如果存在，使得． 则必有， 令，则， 所以不是“3阶和函数”. （2）函数在区间上的值域为． 因为是在区间上的“2阶和函数”． 所以对任意，总存在唯一的，使得成立， 所以， 所以在上的值域必定包含区间，且当时，方程的解在上是唯一的. 又因为函数的图象开口向上，对称轴为， 当时，在上单调递增，则必有，解得． 当时，在上单调递减，则必有，解得． 当时，在上单调递减，在上单调递增， 则必有，解之得：； 当时，在上单调递减，在上单调递增， 则必有，解之得：. 综上所述，的取值范围为. （3）对，有． 如果存在，使得，则必有， 因为为区间上的“2阶和函数”， 所以，即，解得. 所以当时，函数， 所以函数的定义域为，且． 设， 则， 因为，所以． 所以在上单调递增，即在上单调递增，而． 所以当时，，单调递减，当时，，单调递增． 而，当且时，． 所以. 设，则， 所以，又， 所以，所以． 因为且在上单调递增， 所以，即. 设，则， 所以当时，，单调递减， 当时，单调递增． 所以，则． 因为， 所以当时，，当时，. 所以， 整理得 由①②得，， 因为，所以，所以． 综上得证. 4.（2026届高三普陀一模）设函数的定义域为,导函数为,对于实数,若存在,使得成立,则称函数具有性质. （1）若函数，请判断该函数是否具有性质，并说明理由； （2）设，若函数具有性质，且的值恰有三个，求的取值范围； （3）若函数，求证:该函数具有性质的充要条件是. 【解析】（1）由得, 设, 当时,, 又 则存在,使得,即 故函数具有性质 （2）由得,, 因为函数具有性质, 所以存在实数,使得, 即,即, 设,则, 令,解得或,列表如下: 0 - 0 + 0 - ↘ 极小值0 ↗ 极大值 ↘ 4分 因为函数具有性质时,的值恰有三个, 所以满足条件的的取值范围是.6分 （3）由得，， 由得,,设, 先证充分性,当时,, 考虑函数,则, 当时,;当时,;当时,. 则函数在(0,1)上是严格减函数,在上是严格增函数,在时取得极 小值0. 因此,当时,,函数具有性质； 当且时,, 且当时,,则, 则存在满足,即成立, 则函数具有性质. 再证必要性,即证若函数具有性质,则. 由得,, 若,则,与已知矛盾； 若,设,则, 即函数是严格减函数,则函数是严格增函数, 又, 则存在使得,即, 当时,,即函数是严格减函数; 当时,,即函数是严格增函数. 则, 需证,令,则, 即. 则, 则不存在,使得成立,与具有性质矛盾 综上所述,函数具有性质的充要条件是. 题型三：不等式角度定义新函数或新性质 【例4】函数的导函数记为，若对函数的定义域内任意实数，存在实数，使得不等式成立，则称函数为上的＂函数＂． (1)判断函数是否是上的“函数”，请说明理由； (2)若函数是上的“函数”，求实数的取值范围； (3)已知函数是上的“函数”．若对任意的，当时，都有成立，求实数的最大值． 【答案】(1)不是，理由见解析； (2)； (3)6. 【分析】（1）根据定义直接判断即可； （2）结合定义可得对任意的恒成立，进而得到对任意的恒成立，令，进而结合导数分析单调性求得最值即可求解； （3）先根据定义得到对任意的恒成立，分类讨论求得，再结合题意可得，令，，进而结合导数分析求解即可. 【详解】（1）不是，理由如下： 因为，则， 由于，即对任意的不恒成立， 所以函数不是上的“函数”. （2）因为，所以， 因为函数是上的“函数”， 所以对任意的恒成立， 即对任意的恒成立， 令，则， 当时，；当时，， 所以函数在上单调递增，在上单调递减， 所以，即， 所以实数的取值范围为. （3）因为，所以， 因为函数是上的“函数”， 所以对任意的恒成立， 即对任意的恒成立， 当时，对任意的，上式恒成立，符号题意； 当时，恒成立， 设，， 则，所以函数在上单调递减， 所以，即； 当时，恒成立， 设，， 则，所以函数在上单调递减， 所以，即. 综上所述，. 若对任意的，当时，都有成立， 不妨设，则，于是有， 即， 令，， 则存在，使得在上为增函数， 于是存在，使得， 即对任意的恒成立， 可得对任意的恒成立， 即对任意的恒成立， 而函数在上单调递增，所以，即， 另一方面，当，时，，， 可得知恒成立，满足题意， 所以实数的最大值为6. 【例5】对于函数，和，，设，若对任意的，，都有成立，则称函数与“具有性质”. (1)判断函数，与是否“具有性质”，并说明理由； (2)若函数与“具有性质”，且函数在区间上存在两个零点，，求证：； (3)已知函数，，，求证：函数与“具有性质”. 【答案】(1)具有性质，理由见解析 (2)证明见解析 (3)证明见解析 【详解】（1）令，， 所以，所以在上单调递增， 不妨设，所以，即， 即， 所以， 所以函数，与“具有性质”. （2）证明：由函数在上有两个零点，，得， 又函数与“具有性质”， 则， 即，即， 令，，即. 记，即，又， 当时，；当时，， 所以函数在上单调递减，在上单调递增. 要证，即证，不妨设， 即证，只需证，即证. 设，即， 所以， 所以函数在上单调递减，且， 又，则，即，则得证， 故. （3）证明：不妨设，所以，所以， 所以，令，， 所以，所以在上单调递减， 又，所以，即， 所以； 当时，， 令，，所以， 令，所以， 令，解得， 令，解得， 所以在上单调递减，在上单调递增， 所以， 即，所以在上单调递增， 又，所以，即， 所以， 综上，，即， 即函数与“具有性质”. 【跟踪训练】 1.（2026·上海徐汇·二模）已知函数与函数的定义域均为，且在上的导函数分别为和.若存在常数，使得对任意实数恒成立，则称是的“调整函数”，并称为调整系数. (1)设.求证：是的“2-调整函数”； (2)设.若存在实数，使得是的“调整函数”，求调整系数的取值范围； (3)已知是的“1-调整函数”，函数的值域是一个闭区间，记作集合，函数的值域记作集合.若，判断是否一定是常值函数，并说明理由. 【答案】(1)证明见解析 (2) (3)不一定，举出反例即可 【分析】（1）对分别求导，并根据是的“k-调整函数”的定义判断即可； （2）对分别求导，根据是的“k-调整函数”的定义，得恒成立，时显然成立；当时，设，利用导数，分和两种情况分析，可得.并分析此时时，满足题意，即可确定的取值范围； （3）对题意所述函数举出实例说明不一定是常值函数即可. 【详解】（1）因为， 所以. 所以 所以是的“2-调整函数”； （2）由，得. 由于是的“调整函数”，那么存在常数，使得恒成立， 即，即. 因为存在实数，满足上式，所以，即. 1)若，则成立； 2)若，则，所以，且. 设，则在单调递增. 当时，因为， 所以存在，当时，，单调递增， 所以当时，，不满足题意； 当时，，，所以，在上单调递减， 所以恒成立. 3)当时，对，恒成立. 综上，调整系数的取值范围是. （3）不一定是常值函数. 例：令，， ，. 此时函数的值域是一个闭区间，为集合，函数的值域为集合，满足. 又，满足对任意实数恒成立，即满足是的“调整函数”， 此时不是常值函数. 2.若存在正数，对任意的，恒成立，则称函数，在上具有性质“”． (1)判断函数，在上是否具有性质“”，并说明理由； (2)若函数，在上具有性质“”，求的取值范围； (3)若函数与在上具有性质“”，且存在，，使得，求证：． 【答案】(1)和具有性质“”，理由见解析； (2)； (3)答案见解析. 【详解】（1）函数和在上具有性质“”. 理由如下： 因为和在上均为偶函数，且在上单调递增， 所以只需考虑的情况， 令，则， 所以在区间上单调递增，且，所以恒成立， 则，即， 则，再根据函数是偶函数， 即，， 所以函数和在上具有性质“”. （2），在区间单调递增，在上单调递增， 设，若函数和具有性质“”， 则，整理为 设，由以上可知，在区间上单调递增， 即， 当时，恒成立， 令，，，得， 当时，，单调递减， 当时，，单调递增， 所以当时，取得最小值， 所以； （3）由题意可知，存在，， ，又， 则，即， ，，设，， ， 当时，，单调递减，当时，，单调递增， 设，，不妨设，，，且， 设， ， 所以在区间上单调递减，且，即， 即，即，则， 即，则，得，即证. 3.（2025上师大闵行分校高二期中）设函数的定义域为R，其导函数为，．若存在区间及实数满足：对任意，都有恒成立，则称函数为上的“函数”． （1）判断函数是否为上的函数，并说明理由； （2）已知实数满足：函数为上的函数，求的取值范围； （3）已知函数存在最大值． 对于以下两个命题，：对任意，都有与恒成立；：对任意正整数，满足函数都是上的函数；判断P是否为Q的充要条件，并说明理由． 【答案】（1）是，理由见解析 （2） （3）为的充要条件，理由见解析 【解析】 【分析】（1）利用函数的定义来判断即可； （2）根据函数，将问题转化为不等式问题，进一步转化为恒成立问题进行求解； （3）推导出为的充分条件，若成立，即对任意正整数，有：，记函数的最大值为．用反证法证明恒成立和恒成立，从而为的充要条件． 【小问1详解】 设定义域为的函数 在上可导，导函数为 ． 若区间及实数满足：，对任意成立， 则称函数为上的“函数”． ，， ，在时恒成立， 是 上的函数． 【小问2详解】 实数满足：函数为上的函数， 则有，得， 函数，有在上恒成立， 在单调递减，在上， 所以，即的取值范围为； 【小问3详解】 若成立，则对任意正整数，有：， 即 为上的函数，成立．故为充分条件． 若成立，即对任意正整数，有：（2） 记函数的最大值为． 先证明恒成立． 反证法，假如存在使得，则取正整数，使得， 此时有，与（2）矛盾． 则有恒成立，这意味着为上的严格减函数． 再证明恒成立． 取为的一个最大值点， 则当时，由单调性知， 但，所以， 于是． 对任意 ，可取一个与有关的正整数，使得， 由（2）知：． 于是成立，故也为的必要条件． 故为的充要条件． 【点睛】思路点睛： 本题考查导数性质及应用、函数的单调性、充分条件、必要条件等基础知识，考查运算求解能力，（1）中直接根据定义来判断，（2）将不等式问题转化为恒成立问题来求解；（3）巧用反证法来证明． 4. （25-26徐汇区二模）已知函数与函数的定义域均为，且在上的导函数分别为和.若存在常数，使得对任意实数恒成立，则称是的“调整函数”，并称为调整系数. （1）设.求证：是的“2-调整函数”； （2）设.若存在实数，使得是的“调整函数”，求调整系数的取值范围； （3）已知是的“1-调整函数”，函数的值域是一个闭区间，记作集合，函数的值域记作集合.若，判断是否一定是常值函数，并说明理由. 【答案】（1）证明见解析 （2） （3）不一定，举出反例即可 【解析】 【分析】（1）对分别求导，并根据是的“k-调整函数”的定义判断即可； （2）对分别求导，根据是的“k-调整函数”的定义，得恒成立，时显然成立；当时，设，利用导数，分和两种情况分析，可得.并分析此时时，满足题意，即可确定的取值范围； （3）对题意所述函数举出实例说明不一定是常值函数即可. 【小问1详解】 因为， 所以. 所以 所以是的“2-调整函数”； 【小问2详解】 由，得. 由于是的“调整函数”，那么存在常数，使得恒成立， 即，即. 因为存在实数，满足上式，所以，即. 1)若，则成立； 2)若，则，所以，且. 设，则在单调递增. 当时，因为， 所以存在，当时，，单调递增， 所以当时，，不满足题意； 当时，，，所以，在上单调递减， 所以恒成立. 3)当时，对，恒成立. 综上，调整系数的取值范围是. 【小问3详解】 不一定是常值函数. 例：令，， ，. 此时函数的值域是一个闭区间，为集合，函数的值域为集合，满足. 又，满足对任意实数恒成立，即满足是的“调整函数”， 此时不是常值函数. 5.（2026届高三闵行区一模）已知函数的定义域为,对于,若,且,则称为的一个“点”,记为的所有“点”构成的集合. (1)若分别判断与是否正确； (2)证明:“”的一个充要条件为“当时，”; (3)已知，其中,记.若,求的取值范围. 【解析】(1)由题意， 所以正确； 由不正确. (2)充分性:因为 当, 当， 所以 必要性:当时, 当 当 所以时,. 综上,“”的一个充要条件为“当时,”. (3)当时， 此时不存在点 当时， 此时不存在点 所以 所以 当时，不存在点 当时，，不存在点 当时, 此时, 当时, 此时在上单调递增，不成立; 当时, 所以在上单调递增，在上单调递减； 此时, 所以或 解得 当时, 所以在上单调递增，在上单调递减； 此时 所以或 解得 所以 综上,. 题型四：函数性质角度定义新函数或新性质 【例6】已知函数的导函数为，的导函数为，对于区间A，若与在区间A上都单调递增或都单调递减，则称为区间A上的自律函数． (1)若是R上的自律函数． （ⅰ）求a的取值范围； （ⅱ）若a取得最小值时，只有一个实根，求实数t的取值范围； (2)已知函数，判断是否存在b，c及，使得在上不单调，且是及上的自律函数，若存在，求出b与c的关系及b的取值范围；若不存在，请说明理由． 【答案】(1)（ⅰ）；（ⅱ） (2)不存在，理由见解析 【分析】（1）（i）根据函数新定义，列式求解，即可得答案；（ii）利用导数判断函数的单调性，求出其函数值情况，即可求得答案； （2）求出的导数以及二次导数，利用导数判断函数单调性，结合函数新定义，即可判断出结论. 【详解】（1）（ⅰ）因为， 所以，， 因为是R上的自律函数， 所以恒成立，恒成立， 所以 解得，所以a的取值范围是． （ⅱ）当时，， 设，则， 所以当时，，单调递减， 当或时，，单调递增， 因为，，， 所以若只有一个实根，t的取值范围是． （2）由得，， 令得， 当时，，当时，， 所以在上单调递减，在上单调递增， 由在上不单调，且是及上的自律函数， 得， 则，，     所以时， ， 在上单调递增，与已知矛盾， 所以不存在b，c及，使得在上不单调，且是及上的自律函数． 【例7】（2024徐汇区一模）若函数的导函数是以为周期的函数，则称函数具有“性质”． （1）试判断函数和是否具有“性质”，并说明理由； （2）已知函数，其中具有“性质”，求函数在上的极小值点； （3）若函数具有“性质”，且存在实数使得对任意都有成立，求证：为周期函数． （可用结论：若函数的导函数满足，则（常数）．） 【答案】（1）不具有“性质”，具有“性质”，理由见解析 （2） （3）证明见解析 【解析】 【分析】（1）根据所给定义计算可得； （2）法一：依题意可得可得对恒成立，再令、求出、的值，再利用导数求出函数的极小值点；法二：依题意可得，所以且，即可求出、的值，再利用导数求出函数的极小值点； （3）令，则，从而得到（为常数），法一：分、、三种情况讨论；法二：分和两种情况讨论，当时，不妨令，记，推出矛盾即可得解. 【小问1详解】 不具有“性质”．理由是：，，； 具有“性质”．理由是：，． 【小问2详解】 法一：，则， 由可得对恒成立． 令，得 ①；令，得 ②． 得，因此，从而恒成立， 即有且． 由得，所以，当时，令可得，列表如下： x + 0 0 + 极大值 极小值 函数在的极小值点为． 法二：， 由，可得， 所以， 即， 所以，所以且，所以且且． 由得，所以，当时，令可得，列表如下： x + 0 0 + 极大值 极小值 函数在的极小值点为． 【小问3详解】 令，因为具有“”性质 ， ， （为常数）， 法一： ① 若，是以为周期的周期函数； ②若，由， 当时，，这与矛盾，舍去； ③若，由， 当时，，这与矛盾，舍去． 综上，．，所以是周期函数． 法二： 当时，，所以是周期函数． 当时，不妨令，记，其中表示不大于的最大整数．（同理可证）， 若存在，这． 这与矛盾． 若存在，这． 这与矛盾． 若不存在，使得或，则，此时，与矛盾，故舍去． 综上，．，所以是周期函数． 【点睛】方法点睛：函数新定义问题的方法和技巧： （1）可通过举例子方式，将抽象的定义转化为具体的简单的应用，从而加深对信息的理解； （2）可用自己的语言转述新信息所表达的内容，如果能清晰描述，那么说明对此信息理解的较为透彻； （3）发现新信息与所学知识的联系，并从描述中体会信息的本质特征与规律； （4）如果新信息是课本知识的推广，则要关注此信息与课本中概念的不同之处，以及什么情况下可以使用书上的概念. 【跟踪训练】 1.已知初等函数的定义域为，令，若，，则是一个下凸函数. (1)分别判断是否是上的下凸函数？请说明理由； (2)已知，，，是公差不为0的等差数列，的定义域为，求证：为下凸函数是成立的充分不必要条件； (3)已知下凸函数的定义域为，且，，求证：，. 【答案】(1)不是，理由见解析 (2)证明见解析 (3)证明见解析 【详解】（1），， 因为当时，， 所以不是上的下凸函数. （2）令，不妨设，，，的公差为且， 充分性：因为定义在上的函数是下凸函数， 所以，，即在上单调递增， 设，则， 所以在上单调递增， 故，即， 所以， 即成立， 所以充分性成立； 必要性：令，，，，，，， 则，再令，则，当时，， 所以不是下凸函数， 但 ， 所以， 所以，必要性不成立. （3）下凸函数的定义域为， 所以在上单调递增， ，设，则， 当时，；当时，； 函数在内单调递减，在内单调递增， 所以， 即， 因为，， 所以， 所以， 假设，使，则当时，， 这与，矛盾，故不存在使成立， 所以，. 2. 已知函数的定义域为，区间，当时，如果，则称函数是上的凹函数．若函数在上连续，在上可导，则为凹函数的充要条件是其导函数在上单调递增． (1)证明：函数是凹函数； (2)若函数是上的凹函数，证明：对于任意的和任意的，总有； (3)求证：，其中，均为正数． 【答案】(1)证明见解析； (2)证明见解析； (3)证明见解析. 【详解】（1），定义域为， ， 设，则， ，，， 在上是单调递增函数，即在上是单调递增函数， 根据题中凹函数的充要条件，可知函数是凹函数. （2）设，，不妨设， ，， ， ， ， ，， 由凹函数的定义，， ，， ，， 转化为， 转化为， ，， 转化为， ， ， ， ， . （3）要证明，即证明， 即证明， 即， 即， 即， 即， 当时，，； 当时，，； 综上可得，，其中，均为正数. 3.（2026届高三静安一模）已知函数的图像关于点成中心对称的充要条件是是奇函数.如果一个函数的图像关于点成中心对称,则称这个函数是点奇函数,其中点为对称中心.设函数 (1)若函数是点奇函数，求实数的值； (2)证明:对于任意给定的实数，函数存在两个极值点:若是的极小值点,求出的所有极值点: (3)若是的极大值点，函数是否是点奇函数？若是，求出对称中心;若不是,请说明理由. 【解析】(1)由题知：为奇函数 所以 所以 化简得： (2) 所以函数存在两个极值点 解得： 当 令 此时在单调递增，在单调递减； 在处取得极大值，不符，舍去； 所以 令 此时在单调递增，在单调递减； 在处取得极大值，在处取得极小值； 所以极值点为 (3)由（2）得： 所以 所以为奇函数 当时， 为奇函数 综上： 4.（2025届高三上·上海黄浦·期末）函数的定义域为，在上仅有一个极值点，方程在上仅有两解，分别为、，且．若，则称函数在上的极值点左偏移；若，则称函数在上的极值点右偏移． (1)设，，判断函数在上的极值点是否左偏移或右偏移？ (2)设且，，，求证：函数在上的极值点右偏移； (3)设，，，求证：当时，函数在上的极值点左偏移． 【答案】(1)函数在上的极值点不偏移 (2)证明见解析 (3)证明见解析 【分析】（1）先求的根及的极值点，再根据题设定义，即可求解； （2）先求的根，对求导，得到，通过计算得到，再利用二次函数的性质，即可求解； （3）设的两个零点为，根据条件得到，再构造函数，利用函数的单调性，得到，即可求解. 【详解】（1）由，得到，所以， 又，由，得到，又当时，，当时，， 所以只有一个极值点，且极值点为，此时， 所以函数在上的极值点不偏移. （2）因为， 且，， 由，得到或，则， 又，，则有两根， 不妨设为，且，又，所以， 又时，，时，，所以函数在上只有一个极值点，且， 又， 所以，故函数在上的极值点右偏移. （3）由题知，，令，得到， 当时，，当时，， 所以是的极值点， 且在区间上单调递增，在区间上单调递减， 又，时，，时，，， 则有两个零点，不妨设为，且，所以，， 令， 则在恒成立， 所以在区间上单调递增， 所以，即， 故，又， 故，得到，即， 所以当时，函数在上的极值点左偏移． 【点睛】方法点睛：本题第三问考查极值点偏移问题，解决极值点偏移的主要方法有： 1．构造对称函数； 2．比值换元； 3．对数平均不等式. 题型五：图形几何性质角度定义新函数或新性质 【例8】（24-25青浦区高二期末）定义:若函数与的图像上分别存在点，使得当时有成立，则称函数与具有“对称互补”关系. （1）判断函数与是否具有“对称互补”关系，并说明理由； （2）若函数与在给定定义域区间上具有“对称互补”关系，且存在唯一的点对满足条件，求实数的取值范围; （3）若函数不具有“对称互补”关系，求实数的取值范围. 【答案】（1）具有“对称互补”关系，理由见解析 （2）或 （3） 【解析】 【分析】（1）根据函数新定义计算求解判断即可； （2）先求出导函数结合函数单调性计算求出参数范围； （3）构造函数求出导函数结合函数单调性计算极大值进而得出参数范围. 【小问1详解】 由题意得： ， ， 所以具有“对称互补”关系； 【小问2详解】 由题知：在上有唯一解； 令 当，此时单调递增； 当，此时单调递减； 所以在处取得极大值为， 所以或 所以或 【小问3详解】 由题知：在无解； 当时，无解； 所以 令 所以 当时，，在单调递增，此时 当时，，在单调递增； 当，，在单调减； 所以当时，在处取得极大值为，此时 综上， 所以 【跟踪训练】 1. （24-25高三上·上海松江·期末）定义在上的函数，若对任意不同的两点，，都存在，使得函数在处的切线与直线平行，则称函数在上处处相依，其中称为直线的相依切线，为函数在的相依区间．已知． (1)当时，函数在上处处相依，证明：导函数在上有零点； (2)若函数在上处处相依，且对任意实数、，，都有恒成立，求实数的取值范围． (3)当时，，为函数在的相依区间，证明：． 【答案】(1)证明见详解 (2) (3)证明见详解 【分析】（1）求出，根据零点存在性定理判断证明； （2）根据函数在上处处相依，可得，使得，转化为，，得解； （3）根据题意可得，结合的单调性将要证明的问题转化为，，构造函数，利用导数证明. 【详解】（1）当时，， ， 所以，， 即，又在上处处相依， 所以函数在上有零点. （2），， ， 因为函数在上处处相依， 所以，，使得， 即，使得， ，，即，， 又， . 所以实数的取值范围为. （3）当时，，则， 因为为函数的在的相依区间， 所以，又， 则， 因为，，即单调递减， ，，即单调递增， 所以，则， 要证，即证，即证， 即证，， 令， ， 令，， ， 因为，，， 所以，即在上单调递减，则， 所以，即在上单调递减， 所以，即，即证得成立. 从而证明得到. 【点睛】关键点点睛：本题第三问解题的关键是根据相依区间的定义得到，结合条件利用分析法转化为，，构造函数证明. 2．（25-26高三上·上海·期末）已知区间，定义域为的函数的图像是一条连续不断的曲线，点P不在函数的图像上，点A在函数的图像上．若线段PA与函数的图像有且仅有一个公共点，则称点A是“P－可见”的． (1)若，，点P的坐标为，判断点与是否是“P－可见”的； (2)已知为实数，若，，点P的坐标为，点是“P－可见”的，求m的取值范围； (3)若，点P的坐标为，证明：“函数的图像上任意一点都是‘可见’的”是“函数在上严格增或严格减”的充要条件． 【答案】(1)是，不是 (2) (3)证明见解析 【详解】（1）， 由解得， 故A是“P－可见”的. ， 由解得或， 故B不是“P－可见”的. （2）,， 则在有且仅有1解， 整理得，为此方程的解， 则在无解， 设， 对称轴， 当时，在单调递增， 由于，，则此时不符合题意， 当时，在单调递减， 由于，，则此时不符合题意， 当时， 由于，则需， 解得， 综上 . （3）任取，，则， 设，， 则， 由于函数的图像是一条连续不断的曲线，则函数的图像是一条连续不断的曲线. 必要性：若函数的图像上任意一点都是‘可见’的， 则在有且仅有1个零点， 则时，恒正或恒负， 若恒正，即任取，， 则， 则， 则函数在上严格增， 同理若恒负，可得函数在上严格减. 充分性： 若函数在上严格增， 则任取，有， 则， 即， 则在有且仅有1个零点， 则函数的图像上任意一点都是‘可见’的， 若函数在上严格减同理. 3.（24-25七宝中学高二期末）在湖边，我们常看到成排的石柱子之间用铁链相连，这就是悬链线.选择适当的坐标系后，悬链线的解析式是一个双曲余弦函数，记为，其图象是曲线，与之对应的双曲正弦函数，其图象是曲线. （1）类比正余弦的两种性质：①平方关系：，②导数：，写出双曲正弦和双曲余弦的两种性质（不必证明）； （2）若当时，双曲余弦函数的图象曲线终在直线上方，求实数的取值范围； （3）若为坐标原点，直线与双曲余弦函数与双曲正弦函数分别相交于点，曲线在点处的切线是，曲线在点处的切线是，且与相交于点，记与面积的乘积为，证明：存在两个不同的实数，使，且任意． 【答案】（1）答案见解析 （2） （3）证明见解析 【解析】 【分析】（1）类比，写出平方关系，和角关系和导数关系；（2）构造函数，求导，得到函数单调性，进而得到答案；（3）通过导数求出，，联立求得，由面积公式求导和，则，分类讨论当，，时函数的单调性，再根据题意求解即可. 【小问1详解】 因为正余弦的两种性质：①平方关系：，②导数：， 类比得到①， ②； 【小问2详解】 即当时，恒成立，故， 令，， 由，即，解得（负值舍去）， 当严格减，当严格增， 故， 所以. 【小问3详解】 由题可知：，，， 则，，则， 同理，联立求得， 此时， ； 同理，求得， 则， 当时，记， ，， 当时，，即在严格减， 当时，，即在严格增， 易得，，， 故存在，使， 此时，在严格减，在严格增， 又，故，在严格增，在严格减， 故存在两个不同的，使， 因为即， 此时 ，当且仅当时取等， 因为，故对任意． 4.若对于函数，存在直线，使得方程有个解、、、，且，则称直线为函数的阶临界直线，若可趋近于无穷大，则称直线为函数的无限阶临界直线. (1)判断函数，的奇偶性并直接写出它的一条阶临界直线方程； (2)若，，判断函数是否存在阶临界直线，并说明理由； (3)已知函数.证明：函数存在无限阶临界直线. 【答案】(1)偶函数， (2)不存在，理由见解析 (3)证明见解析 【分析】（1）分析函数的奇偶性，结合阶临界直线的概念可得结果； （2）利用导数分析函数的单调性，结合阶临界直线的概念可得结果； （3）利用导数分析函数的单调性，推导出当时，，，可得，求出函数在处的切线方程，结合阶临界直线可证得结论成立. 【详解】（1）令，其中，则， 所以，函数为偶函数， ，故当时，函数取最小值， 当时，，，， 当时，，，， 所以函数在点处的切线方程为，在点处的切线方程为， 如下图所示： 函数的一条阶临界直线方程为. （2）若，， 令，， 令，， 所以在上单调递增，所以， 所以在上单调递增，所以不存在、，使得， 综上可知函数不存在阶临界直线. （3）当时，， 令，， 所以在上单调递减， 因为，，所以当时，， 因为， ，， 所以， 则存在，使， 当时，，，所以， 所以， 因为函数在处的切线方程为， 函数在处的切线方程， 又因为， 所以 ， 所以， 所以直线与直线重合， 则、、、、为方程的解， 且， 又因为可趋近于无穷大，所以存在直线为函数的无限阶临界直线. 题型六：构造新函数 【例9】（25-26黄浦区二模）对于公共定义域为D的函数与，定义集合． （1）若，，求； （2）若，，且，求的最小值； （3）已知是定义在上的增函数，其图像是连续曲线，且存在正数，使得．若，，且，求证：． 【答案】（1）． （2）． （3）证明见详解． 【解析】 【分析】（1）先求出 的解析式，再转化为二次函数值域问题求解. （2）由题设可知函数 的值域为非负实数集，从而其最小值为 ，再据此构造极值点并结合基本不等式求最小值. （3）法一：由 得 ．取 ，构造 ，证明其为常量，从而得到 ．再结合单调性与连续性，求出 ，进而求得 . 法二：由 得 ．再分正整数、零、负整数三种情况迭代，证明 ．结合单调递增与图像连续，得到 ，从而求得 . 法三：先由 推出 ．再对正整数、负整数分别迭代，得到对任意 ，都有 ．最后结合连续性与单调性确定 的值域，进而求得 . 【小问1详解】 由题意，. 因为 ，所以 . 当 时，等号成立．故 =. 【小问2详解】 令 . 由题设可知， 的值域为非负实数集，从而其最小值为 . 设 时取到最小值，则 ，且 ， 因为所以. 又由 ，得即. 从而. 由 可得故 令 ，则当且仅当 时，等号成立. 此时 ，由 得 ，于是 ，又 ，故 ．所以 的最小值为 . 【小问3详解】 法一：由 可知，对任意 ，都有. 而所以. (1) 已知存在正数 ，使得. 对任意整数 ，令. 由式（1）可得即. 所以 为常量，即对任意 ，都有. 于是. (2) 下面证明 . 先证 对任意 都成立． 任取 ，必存在 ，使. 因为 在 上为增函数，所以. 故对任意 ，都有． (3) 再由式（2）知且. 由于 的图像是连续曲线，且 在 上单调递增，因此 的值域为． 又因为所以 当 取遍 时， 也取遍 ． 故. 法二： 由 可知，对任意 ，都有. 而所以． (1) 已知存在正数 ，使得. 先证明：对任意整数 ，都有． (2) 当 时，由式（1）反复应用可得. 当 时，显然. 当 时，设 （），则由式（1）得, 故. 反复使用上式可得. 所以式（2）对任意整数都成立． 由式（2）知且. 又因为 在 上单调递增，且图像连续，所以. 由 ，可得. 于是. 法三： 由 可知，对任意 ，都有. 而所以． (1) 已知存在正数 ，使得. 由式（1）对正整数 反复迭代，可得. 从而. 同理，对负整数部分可得, 于是对任意 ，都有． (2) 由式（2）知且. 又因为 在 上连续且单调递增，所以. 再由可得. 故. 【跟踪训练】 1. （25-26曹杨二中高二期中）对于一个函数和一个点，定义. （1）设，求函数的最小值； （2）设，若集合是双元素集，求的取值范围； （3）已知及其导函数的定义域均为，函数恒大于0，对于点，点，记集合，对任意，集合，对任意.若对任意，集合､非空，且，试判断的单调性. 【答案】（1） （2） （3） 在 上单调递减. 【解析】 【分析】（1）直接把写成关于的式子，再利用基本不等式求最小值. （2）先把方程化简，再令，转化为函数在上与水平直线的交点个数问题，由导数讨论单调性后确定的范围. （3）先对固定的分别写出函数和，由证明公共最小值点只能是，再由极值点处导数为得到，从而判断的单调性. 【小问1详解】 由题意，，其中. 因为，当且仅当，即时取等号. 所以函数的最小值为. 【小问2详解】 由题意，. 令，则，原方程化为. 设，则. 所以在上递增，在上递减，在上递增. 又，，. 因为集合是双元素集，所以方程恰有两个不同实数解. 而，当时对应两个实数解，当时只对应一个实数解. 因此方程在上必须恰有一个正根. 由函数的单调性可知，当时，方程在上恰有一个正根； 当时，方程在上至少有两个正根；当时，方程在上恰有一个正根. 所以的取值范围为. 【小问3详解】 对任意固定的，设，则，. 由且非空，取. 因为，，所以，且. 又，，于是有. 另一方面，. 代入，得. 所以，从而. 因此，即同时是函数和的最小值点. 因为可导，所以在处导数为 . 由，可得. 令，得，所以. 又因为对任意，都有，所以对任意，都有. 故函数在上单调递减. 2.（2026届高三宝山区一模）已知连续函数和,设,集合. （1）若指数函数的图像过点，且，求； （2）若，且在区间上存在极值点，求实数的取值范围,并判断是否属于,请说明理由; （3）若的导函数是上的严格减函数，，且函数在处的切线方程是.求证:“”的充要条件是“”. 【解析】（1）设,由题意可知,则 所以 由得,即. （2） 设 因为,所以在上是严格增函数 所以, 又因为在上存在极值点 所以, 解得. 由得,,则 所以, 因为,所以, 从而,即. （3）①已知，则当时， 因为是连续函数且,所以 所以是的一个极大值点,故 又, 于是 所以在处的切线方程为: 代入化简得， 即 ②已知 又在处的切线是,即 所以,所以 因为 又因为是上的严格减函数 所以也是上的严格减函数 当时,, 所以在上严格减,则 当时,, 所以在上严格增,则 所以,必要性成立. 综上即证. 3.（2026虹口区高三一模）已知函数的定义域为,记,其中,且. (1)当，求函数的零点: (2)当，若恒有，求实数的取值范围； (3)当，求证:“对于任意的正有理数，函数在上均是严格增函数”的充要条件是“任取中两个不相同的元素和,均有”. 【解析】（1） （2） 若,则(舍) 若,则(舍) 必要性 对称轴: 在上严格增 （3）必要性:不妨设 要证 只要证 只要证 易知 取,得证 充分性:要证严格增函数 只要证 只要证 只要证 只要证 取,得证 4.记．已知函数和的定义域都为，若存在，使得，当且仅当时等号成立，则称和在上“次缠绕”. (1)已知和在上“2次缠绕”，设，求的值； (2)设，若和在实数集上“3次缠绕”，求的取值范围； (3)记所有定义在区间上的函数组成集合，证明：给定，对任意，都存在，使得，且和在上“次缠绕”. 【答案】(1) (2) (3)证明见解析 【详解】（1）由和在上“2次缠绕”知存在，使得，当且仅当时等号成立 因为，当和时，， 对任意，当且仅当和时，等号成立， 所以． （2）设，因为和在上“3次缠绕”， 所以存在互异的三个数，使得，当且仅当时等号成立， 所以是的三个零点． 注意到，所以是的一个零点． ，令 ①当时，在上单调递增，是的唯一零点，不合题意． ②当时，，在上单调递减，是的唯一零点，不合题意． ③当时，，则关于的方程存在两个不相等的根，不妨令， 当时，单调递减；当时，单调递增， 当时，单调递减， 所以，因为， 设，因为， 所以在上递减，所以，即，所以存在． 又，，所以存在． 所以存在互异的三个数，使得恒成立，当且仅当时等号成立，即时，和在上“3次缠绕”， 综上，的取值范围是． （3）取，设， 令， 显然，且， 当且仅当时，等号成立． 所以对任意，存在， 其中，使得，且和在上“次缠绕”． 题型七：高数背景下的新运算 【例10】（2026届高三浦东新区一模）已知函数的定义域为.若对任意区间,存在正整数,使得,则称函数为“回归函数”,为回归指数.其中, （1）若.请分别判断函数是否为回归指数为2的“回归函数”; （2）若.求证:函数是“回归函数”,并求满足条件的回归指数的最小值. （3）若是定义域为的函数，且，其中.请判断函数是否为“回归函数”?若是,请写出证明过程;若不是,请说明理由. 【解析】（1） 所以 取，所以是回归指数为2的“回归函数”; 取，所以不是回归指数为2的“回归函数”; （2） 取，不是； 取，不是； 取，所以是回归指数为4的“回归函数”; 所以回归指数的最小值为 （3）函数是否为“回归函数”，理由如下： 任取，设的区间长度为， 由于，每次迭代之后图像长度至少乘的最小值 所以的覆盖范围随着的增大而呈指数增长 因为，所以当足够大时， 所以任取，必然有 【跟踪训练】 1. （2026宝山区二模）已知和均为定义在上的可导函数，且函数满足：（是正整数）. （1）若满足，求实数的值； （2）设数列是无穷数列，若，且，是否存在实数，使得是常数列，请说明理由： （3）若是定义域上的增函数，函数是周期函数，且存在对任意实数，都有，求证：“恒成立”的充要条件是“是周期函数”. 【答案】（1）或 （2）存在，证明见解析 （3）证明见解析 【解析】 【分析】（1）先根据已知条件求出，再结合列方程组即可求出； （2）先求出，再根据得到与的关系，然后假设是常数列，即可求出实数； （3）先根据已知条件得到的性质，再分别证明充分性和必要性. 【小问1详解】 对求导， ， ，， 则，解得或. 【小问2详解】 已知，则， 故， 若是常数列，则， 则，即， 令，则，即在上单调递增， 又， 且是连续函数，由零点存在性定理可得， 存在唯一的，使得，即， 故当时，是常数列， 综上，存在实数使得是常数列. 【小问3详解】 证明充分性： 若恒成立， 则，故（为常数）， 则，则（为常数）， 是定义域上的增函数， 是增函数，， 又函数是周期函数，设其周期为，即， 而，故， 即是周期函数，周期也为. 证明必要性： 设，设的一个正周期为，的一个正周期为. 由题意，存在对任意实数，都有， 则有最大值，记. 记集合，由为的一个正周期， 则对任意的，均有. 下面用反证法证明是常值函数. 假设不是常值函数，则存在实数， 不妨假设，又由已知是增函数，可得， 又因为是上的增函数，所以，则； 可在集合中取一个元素，满足，且， 再取足够大的正整数，使得， 则，则， 由的的一个正周期，则， 即，即①， 由是上的增函数，则， 若，又由， 可得，这与①式矛盾， 故，又由是上可导（必连续）的增函数， 所以对任意，. 由，则任意，； 则，这与矛盾， 故假设不成立，是常值函数，且. 故， 恒成立，必要性证毕. 综上，“恒成立”的充要条件是“是周期函数”. 2. 帕德逼近是法国数学家亨利·帕德发明的用有理多项式近似特定函数的方法.已知函数在处的阶帕德近似定义为：，且满足.其中.已知在处的阶帕德近似为. (1)求的值； (2)若对于任意的，不等式恒成立，求的取值范围； (3)已知是函数的三个不同的零点，且，求实数的取值范围，并证明. 【答案】(1)，， (2) (3)，证明见解析 【详解】（1）， ； 所以； 所以，， 由，可得. （2）由（1）得：. 令， 由于，所以若恒成立， 则在附近单调递增，即， 又， 所以，则. 下面证明充分性，即当时，不等式恒成立， 由于当时，， 所以若，则恒成立， 若时，， 令， ，所以， 则在上单调递增，又， 所以恒成立，即在上成立， 则有成立，充分性得证， 所以当时，不等式恒成立. （3）， 设，则 令， 当时，，则，故在上单调递增，不合题意； 当时，由，可得， 此时在上恒成立，故，则在上单调递增，不合题意； 当时，即时，有两个零点， 其中， 令， 当时，，则在上单调递增， 当时，，则在上单调递减， 当时，，则在上单调递增， 由，所以， 又， 即在区间内存在一个零点，在区间上存在一个零点， 又，所以当时，有三个不同的零点， 因为，所以， 由于， 可得，即， 由可得，即， 由（2）可知当时，， 则当时，有， 由于，所以， 化简得， 即， 可化为， 即， 由，则有，原命题得证 题型八：充要条件的证明 【例11】（2024·上海·高考真题）记 (1)若，求和; (2)若，求证:对于任意，都有，且存在，使得. (3)已知定义在上有最小值，求证"是偶函数"的充要条件是“对于任意正实数，均有”. 【详解】（1）由题意得:； （2）由题意知，记，有或2， 0 2 正 0 负 0 正 极大值 极小值 现对分类讨论: 当，有为严格增函数，因为，此时，符合条件; 当时，，先减后增，， 因为取等号)，所以， 此时，符合条件，且时，； 当时，，在严格增，在严格减，在严格增， ，因为， 此时，，则，则成立; 综上可知，对于任意，都有，且存在，使得. （3）必要性:若为偶函数，则， 当，因为，故; 充分性：若对于任意正实数，均有，其中， 因为有最小值，不妨设， 由于任意，令，则， 故最小元素为，中最小元素为， 又 则对任意成立，则 ， 若，则对任意成立是偶函数， 若，此后取， ， 综上，任意，即是偶函数. 故"是偶函数"的充要条件是“对于任意正实数，均有”. 【例12】（2026·上海·高考真题）设是定义在上的函数.定义性质：若对任意，当时，，则称函数具有“性质”. (1)判断函数是否具有“性质”； (2)若分段函数具有“性质”，求所有满足条件的实数和的解； (3)已知的值域为，且在上是严格增函数，证明：是偶函数的充要条件是：具有“性质”. 【详解】（1）函数不具有“性质”，理由如下： 例如当时，显然成立， ，根据指数函数的单调性可知， 所以有，这与“性质”矛盾，故函数不具有“性质”； （2）因为函数具有“性质”，所以取，有， 于是有， 当时，由， 当时，由， 若，若，则有， 取， 此时，但是，不符合“性质”，所以不符合题意， 故，此时， 若时，则， 由， 若时，则， 由， 因此， 综上所述：当且仅当时，满足条件； （3）充分性：若具有“性质”，则是偶函数. 若存在，，不妨设， 记，即， 因为函数的值域为， 所以， 若，则有， 若，则有， 故对任意，，这与的值域为矛盾， 所以不成立，则有，因此函数是偶函数； 必要性：若是偶函数，则具有“性质”. 当时，因为在上是严格增函数， 所以， 又因为函数是偶函数， 所以由，因此具有“性质”. 所以是偶函数的充要条件是：具有“性质”. 【跟踪训练】 1.（2026届高三黄埔区一模）已知函数的定义域为,对于给定实数,定义集合. （1）若，求； （2）若，求证:“为周期函数”的充要条件是“存在非零常数，使得”. （3）若，，且对于任意的，都有，求实数的取值范围. 【解析】（1），即， 可得， 解得或. 故. ……………………4分 （2）若且为周期函数，则存在非零常数，使得对一切恒成立，故对一切恒成立，所以； 由，即对一切恒成立， 可知对一切恒成立，故对一切恒成立， 所以. 故存在非零实数，使得. ………………………7分 若且存在非零实数，使得，则对一切,都有与恒成立，可知对一切,与恒成立，从而恒成立，所以为周期函数. 综上可知：若，“为周期函数”的充要条件是“存在非零常数，使得”. ………………………10分 （3）由，且对任意，，可知对任意的，都有，它等价于在上是增函数，故 对于恒成立， ……………………13分 即对于恒成立，又直线过定点 ，的图像在处的切线方程为，若此切线过点 ，则有，即（*） 当与时，（*）成立，故当时，直线与 的图像相切，由图像可知. ……………17分 若，则，故在上严格增;若，则当时， ，当时，，此时在上严格增;若，则当时，，当时，，此时在上严格增.所以当时在上必为增函数. 综上可知，所求的取值范围是. ………………18分 法二；前面同上法.令，. 若,则，与矛盾；若，当时，；当时， ；当时，，故的最小值为. 由，可知 ，当时，等号成立，由图像可知. 以下同上法. 2．（2025·上海崇明·二模）已知函数，P为坐标平面上一点．若函数的图像上存在与P不同的一点Q，使得直线PQ是函数在点Q处的切线，则称点P具有性质． (1)若，判断点是否具有性质，并说明理由； (2)若，证明：线段上的所有点均具有性质； (3)若，证明：“点具有性质”的充要条件是“”． 【答案】(1)点具有性质，理由见解析 (2)证明见解析 (3)证明见解析 【分析】（1）设，然后写出经过的切线方程，将代入求解，即可判断； （2）设，然后写出经过的切线方程，按是否在分类讨论，代入切线方程，得到关于的方程，证明其有解即可； （3）设，然后写出经过的切线方程，然后按照充分必要性的推出关系，分别证明即可. 【详解】（1）点具有性质，理由如下： 设，因为， 所以曲线在点Q处的切线方程为：， 将点坐标代入，得：，所以或2 即函数的图像上存在与P不同的一点， 使得直线PQ是函数图像在点Q处的切线，故点具有性质； （2）证明： 设 函数的图像在Q处的切线方程为：① 当时，点P在函数的图像上， 将代入①式，得：② 令，则 所以关于q的方程②必有实数解，且 故函数的图像上存在与P不同的一点Q，使得直线PQ是函数图像在点Q处的切线，即点具有性质； 当时，点P不在函数的图像上， 将代入①式，得：③ 令，则 所以当时，关于q的方程③必有解， 故函数的图像上存在与P不同的一点Q，使得直线PQ是函数图像在点Q处的切线，即点具有性质， 综上所述，线段上的所有点均具有性质； （3）证明：设， 函数的图像在Q处的切线方程为： 必要性：若点具有性质，则点应满足方程 令，则由，得：， 当时，，当时，， 故函数在时取得最小值 因为P与Q是不相同的点，所以点P的横坐标，因此， 即. 充分性：当时，令 对于函数，当q趋向时，趋向， 又，故关于q的方程必然有解， 即存在点使得直线PQ是函数的图像的切线， 所以点具有性质 综上所述，“点具有性质”的充要条件是“”. 3. （2026长宁区二模）设函数定义域为，区间，记函数在区间上的最大值为，最小值为. （1）设，，若，求实数的值； （2）设，，若，且，求的值； （3）已知，，且对任意闭区间，与均存在. 求证：“在区间上严格增”的充要条件是“对于任意闭区间、，当，且时，均有.” 【答案】（1） （2）或或 （3）证明见解析 【解析】 【分析】（1）讨论在区间上的单调性，则可找到其最小值，即可求出答案； （2）讨论，，，分别求出，即可求出答案； （3）必要性直接证明即可，利用反证法再证明充分性. 【小问1详解】 由题意知函数，在区间上的最小值为， 由题意得， ①当时，恒成立， 在区间上单调递增，无最小值，不满足题意； ②当时，当时，， 在区间上单调递减， 当时，， 此时在区间上单调递增， 此时，满足题意； ③当时，恒成立， 在区间上单调递减，无最小值，不满足题意； 综上所述，. 【小问2详解】 由题意得, 当或时，，函数单调递增， 当时，，函数单调递减， 又， ①当时，在区间上单调递增，在区间上单调递减， 此时， 因为，所以， 又在区间上单调递减，即， 所以，故； ②当时，在区间上单调递减， 此时，满足； ③当时，在区间上单调递减，在区间上单调递增， 此时， 因为，在区间上单调递减， 所以，则，得到，解得， 综上所述：或或. 【小问3详解】 必要性：若在区间上严格增， 设， 因为在区间上严格增， 所以， 又，， 所以，又在区间上严格增， 所以，必要性成立； 充分性：假设在上不严格增， 则存在，使得， 令，设，， 由函数在区间连续， 所以必存在，使得， 令，则，， 由于，函数在区间上不可能是严格增函数， 若函数在区间上为常数，可取， 则，与题设矛盾；若函数在区间上不为常数， 则其最大值与最小值不可能同时在两个端点取到， 故是的真子集，即与题设矛盾. 因此假设不成立，在上严格增，充分性成立. 综上所述：“在区间上严格增”的充要条件是“对于任意闭区间、， 当，且时，均有.” 4．（2025·上海·三模）设定义域为的函数在上可导，导函数为．若区间及实数满足：对任意成立，则称函数为上的“函数”． (1)判断是否为上的函数，说明理由； (2)若实数满足：为上的函数，求t的取值范围； (3)已知函数存在最大值．求证：对任意正整数都是上的函数的充要条件是对任意与恒成立 【答案】(1)是，理由见解析； (2)且； (3)证明见解析. 【分析】（1）根据给定条件，作差判断即可. （2）利用给定定义列出恒成立的不等式，再建立关于的不等式求解即得. （3）根据给定的定义，按充分性、必要性分别推理证明. 【详解】（1）函数，求导得， ，恒成立， 所以是上的函数. （2）由为上的函数，， 得， 取，得，反之当时，在恒成立， 令，求导得，且的为离散的点， 因此为严格减函数，又，则， 又， 所以t的取值范围是：且. （3）（充分性）对任意与恒成立，则对任意正整数，有：， 因此为上的函数，即充分条件成立； （必要性）即对任意正整数，有①， 记函数的最大值为， 先证明恒成立， 反证法，假设存在使得，则取正整数，使得， 此时有，与①矛盾，因此假设错误，即； 再证明恒成立， 取为的一个最大值点， 则当时，由单调性知，但，则， 于是， 对任意，可取一个与有关的正整数，使得， 由②知：，因此必要性成立， 所以原命题正确． 5．（2025·上海杨浦·一模）已知区间，函数的定义域为，若函数满足：对任意，均有，则称函数为压缩函数. (1)判断函数，，是否为压缩函数?并说明理由； (2)若函数，为压缩函数，求实数的取值范围； (3)已知函数，为压缩函数，求证：，为单调函数的充要条件是：对任意，均有. 【思路分析】（1）根据压缩函数的定义，判断对于任意，是否都有成立. （2）根据压缩函数的定义，得到关于的不等式，进而求出的取值范围. （3）结合压缩函数的定义，分充分性和必要性进行证明.在充分性证明时，先证明函数连续，再用反证法假设函数不单调，借助极值点附近函数值与极值的大小比较，推出矛盾即证. 【规范答题】（1）已知函数，则. 因为，所以， 那么， 所以函数，是压缩函数. （2）因为函数，为压缩函数， 所以对于任意，均有. 显然当时成立，不妨设， 则不等式可化为：， 则且， 令，则在上为减函数； 令则 在上为增函数. 对于 ，则 由为减函数，得对恒成立， 即，所以，可得； 对于，其导数为 由为增函数，得对成立， 即恒成立，所以，可得 综上，的取值范围为. （3）（必要性）已知函数，为压缩函数，若，为单调函数， 则对任意，均有. 证明：若在上单调， ①若在上单调递增， 则对任意，不妨设，有， 从而 于是，且， 则； ②若在上单调递减，则对任意，不妨设， 同理可得，且， 则； 综上所述，对任意， 均有，必要性得证. （充分性）已知函数，为压缩函数， 若对任意，均有，则，为单调函数. 证明：由函数，为压缩函数， 则对任意，恒有， 故当时，有，即. 即的图象在上连续不断. 下面用反证法证明. 假设在上不是单调函数，又的图象连续不断， 则存在实数，使得在处取极值， 若为极小值点，则存在区间，其中， 使得在上单调递减，且在上单调递增， 则存在，满足， 则，且，即，且， 故； 这与任意，矛盾； 若为极大值点，同理可得存在，且， 故， 也与产生矛盾. 故假设错误，即在上是单调函数，充分性得证. 综上所述，是单调函数的充要条件是： 对任意，都有. 1. （24-25金山中学高二期末）已知函数，若点是函数的图像的两条互相垂直的切线的交点，则点是函数的“特征点”，记的所有“特征点”的集合为； （1）若，求； （2）若，求证：函数的所有“特征点”在一条定直线上，并求出这条直线的方程； （3）若，记函数的所有点组成的集合为，且，求实数的取值范围． 【答案】（1）； （2）证明见解析， （3） 【解析】 【分析】（1）假设存在，求出导函数，利用导数的几何意义推出矛盾即可判断； （2）设“特征点”是在和处的切线的交点，求出切线方程，即可求出交点坐标，由切线互相垂直求出，即可得解； （3）依题意不存在图象上的点，使得该点是“特征点”，先利用反证法证明：对任意的实数，若图象上的点是“特征点”，则该点本身一定是切点，假设，，处切线互相垂直，不妨令是两条切线的交点，即可得方程对无解，结合二次函数的性质计算可得. 【小问1详解】 假设存在“特征点”，则存在两条互相垂直的切线， 设为和处的切线， 因为，所以， 所以不存在“特征点”，所以. 【小问2详解】 设“特征点”是在和处的切线的交点， 因为，所以， 所以在和处的切线方程为，， 联立解得，即， 因为两条切线相互垂直，所以， 所以，所以的所有“特征点”在一条定直线上. 【小问3详解】 因为，所以由题意可知不存在图象上的点，使得该点是“特征点”， 先证明：对任意的实数，若图象上的点是“特征点”，则该点本身一定是切点， 反证法：假设该点不是切点，则存在切线， 它与函数图象交于点，所以， 化简得，因为，所以， 同理可得，所以，两条切线重合，矛盾，所以该点本身一定是切点； 假设，处切线互相垂直，不妨令是两条切线的交点， 则由前文可知，所以，， 因为， 所以，即， 设， 则有， 由题意可知图象上的点都不是“特征点”，即不存在这样的点， 所以方程对无解， 设，其对称轴为， 所以当时取最小值， 要使得无解，只需，解得. 【点睛】关键点睛：本题解答的关键是理解定义，利用导数、反证法相关知识进行解答，以达到转化的目的. 2．（24-25高三上·上海金山·期末）对于函数图像上不同的三点（其中），记点M处的切线为l，若，则称M为函数在区间上的“T点”．特别地，当，则称M为函数在区间上的“和谐T点”． (1)设是函数在区间上的“T点”，若，求实数n的值； (2)设，若函数在区间上恰有3个“T点”，求所有满足条件的实数a的值组成的集合； (3)设，试探究函数的定义域内是否存在一个包含“和谐T点”的区间，若存在，求出该区间；若不存在，请说明理由． 【答案】(1) (2) (3)不存在，理由见解析 【分析】（1）根据“T点”的性质可求的值； （2）根据“T点”的性质可得在上有三个不同的解，利用换元法可求参数的值； （3）若存在一个包含“和谐T点”的区间，则在上有解，利用导数可证该结论错误. 【详解】（1），由可得，而 因为为函数在区间上的“T点”，故. （2）， 因为函数在区间上恰有3个“T点”， 所以在上有三个不同的解， 故在上有三个不同的解， 设，则， 则在上有两个不同的根， 且其中有且只有一个根为或或， 若一个根为，则，此时另一个根为， 此时有一根，在上有两个不同的解， 故此时在上有三个不同的解； 若一个根为，则，此时另一个根为， 同理可得在上有三个不同的解； 若一个根为，则，此时在上仅有一个根，舍； 综上，. （3）， 若存在含“和谐T点”的区间，则， 其中， 整理得到：即， 设，故，设， 则，故在上为增函数，故， 故，故不成立， 故函数的定义域内不存在一个包含“和谐T点”的区间 【点睛】思路点睛：对于导数背景下的多变量的存在性问题，注意根据方程组的形式合理消元，从而构建较为简单的函数，而后者可以利用导数来处理. 3. （25-26华师大附中高二期中）对于函数的导函数，若在其定义域内存在实数和，使得成立，则称是“跃点”函数，并称是函数的“跃点”. （1）若函数是“跃点”函数，求实数的取值范围； （2）若函数是定义在上的“0跃点”函数，且在定义域内存在三个不同的“0跃点”，求实数的取值范围； （3）若函数是“1跃点”函数，且在定义域内恰存在2个“1跃点”，求实数满足的条件. 【答案】（1） （2） （3）且 【解析】 【分析】（1）求出给定函数的导数，再由“跃点”函数的定义结合三角函数的性质求得实数的范围作答. （2）根据“0跃点”函数的定义，可得方程在R上有3个不同的解，构造函数令，利用导数判断单调性，求出极值得解. （3）根据题意将问题转化为在R上恰有两根，再构造函数，借助导数求解作答. 【小问1详解】 函数的导函数为， 因为函数是“跃点”函数， 所以方程有解，即有解， 又，所以. 【小问2详解】 函数的导函数为， 由题意可得方程，即在R上有3个不同的解， 令，则，令，得或， 当时，，即单调递增， 当时，，即单调递减， 当时，，即单调递增， 又，，，当时，，当时，， 所以，即实数的取值范围为. 【小问3详解】 函数的导函数为， 因为函数是“1跃点”函数，且在定义域内恰存在2个“1跃点”， 所以方程，即在R上恰有两根， 令，则， 当时，，在R上单调递增，此时最多只有一个实根，不合题意； 当时，令，得， 当时，，单调递减，当时，，单调递增， 所以在处取得极小值，且， 又当时，，当时，， 要使得在R上恰有两根，仅需，即. 综上，实数满足的条件为且. 4. 若存在正数，对任意的，恒成立，则称函数，在上具有性质“”． (1)判断函数，在上是否具有性质“”，并说明理由； (2)若函数，在上具有性质“”，求的取值范围； (3)若函数与在上具有性质“”，且存在，，使得，求证：． 【答案】(1)和具有性质“”，理由见解析； (2)； (3)答案见解析. 【分析】（1）根据函数的奇偶性，结合新定义，转化为证明函数在区间单调递增； （2）根据新定义，转化为函数，在区间上单调递增，利用导数，结合参变分离，转化为最值问题，即可求解； （3）首先根据新定义，转化为，再通过构造函数，，，转化为证明，转化为利用极值点偏移解决问题. 【详解】（1）函数和在上具有性质“”. 理由如下： 因为和在上均为偶函数，且在上单调递增， 所以只需考虑的情况， 令，则， 所以在区间上单调递增，且，所以恒成立， 则，即， 则，再根据函数是偶函数， 即，， 所以函数和在上具有性质“”. （2），在区间单调递增，在上单调递增， 设，若函数和具有性质“”， 则，整理为 设，由以上可知，在区间上单调递增， 即， 当时，恒成立， 令，，，得， 当时，，单调递减， 当时，，单调递增， 所以当时，取得最小值， 所以； （3）由题意可知，存在，， ，又， 则，即， ，，设，， ， 当时，，单调递减，当时，，单调递增， 设，，不妨设，，，且， 设， ， 所以在区间上单调递减，且，即， 即，即，则， 即，则，得，即证. 5. （24-25进才中学高二期末）已知、为实数集的非空子集，若存在函数且满足如下条件：①定义域为时，值域为；②对任意、，，均有．则称是集合到集合的一个“完美对应”． （1）构造区间到区间的一个完美对应，并说明理由； （2）求证：整数集到有理数集之间不存在完美对应； （3）若，，且是某区间到区间的一个完美对应，求的取值范围． 【答案】（1），理由见解析 （2）证明见解析 （3） 【解析】 【分析】（1）取，根据正切型函数的图象与性质即可证明其满足题意； （2）利用反证法，假设有是集合到的一个完美对应，最后得到，这与假设矛盾即可. （3）利用导数对分，和讨论，求出每个情况下的取值范围，再取并集即可. 【小问1详解】 结合题意令，当时，， 则其值域为，满足条件①， 根据复合函数单调性知在单调递增，则其满足条件②， 故可取. 【小问2详解】 假设有是集合到的一个完美对应， 则有，其中，于是，， 由完美对应的定义，存在整数，使得且， 这与为整数矛盾，故假设不成立. 所以，整数集到有理数集之间不存在完美对应. 【小问3详解】 由题意得，而令，解得或， 若，则严格递增，且，此时；满足题意; 若，当时，； 当时，；时，； 则在上单调递增，在上单调递减，在上单调递增; 又，故只有极小值才满足题意， 即，解得， 若，当时，； 当时，；当时，； 则在单调递增，在单调递减，在单调递增； 又，故只有极大值才满足题意， 即，即解得. 综上, 的取值范围是 . 6.（2026届高三杨浦区一模）已知区间，函数的定义域为，若函数满足：对任意、， 均有，则称函数为压缩函数. （1）判断函数，是否为压缩函数？并说明理由； （2）若函数，为压缩函数，求实数的取值范围； （3）已知函数，为压缩函数，求证：，为单调函数的充要条件是：对任意、，均有. 【解析】（1）函数是压缩函数 理由:对任意,易知 所以 （2）由题意，，都有.显然，当时，符合.不妨设,则,即. 设,在上为减函数,,在上为增函数. 所以,即. 所以,即. 所以的取值范围是 （3）证明:必要性:已知为单调函数，不妨设在上为增函数任取,不妨设,则,由为增函数所以, 进而 充分性:已知任意,均有 假设不为单调函数, 则存在,使得或, 不妨设,取实数满足 记,由于 可知:所以, 若,记,否则记 重复上面的操作,可以得到区间满足:,对任意. 且区间的长度. 因为函数为压缩函数 可得:, 又,记, 所以对任意恒成立. 取,则,矛盾! 所以为单调函数. 7. （24-25莘庄中学高二期末）已知是定义在R上的函数，集合对任意，都有．当时，若函数存在最小值，则称为直线的“距离”． （1）对于，求证：； （2）设，且存在实数，使得直线的“距离”不小于2，求实数的取值范围： （3）设的导函数在R上严格增．若对任意，都有且直线与的“距离”相等．证明：是偶函数． 【答案】（1）证明见解析 （2） （3）证明见解析 【解析】 【分析】（1）举出实例即可； （2）令，时不合要求，，求导得到单调性，求出，故，即，令，求导得到其单调性，得到，故； （3）设，，与都存在最小值，且最小值相等，设在处取得最小值，在处取得最小值，故，即，结合在R上严格增，若，得到，要想恒成立，需满足且，由于的任意性，可知是偶函数，若，此时直线与重合，是偶函数满足要求，得到结论 【小问1详解】 当时，， ，对恒成立，故； 【小问2详解】 ，令， 则， 当时，，故在R上单调递增， 无最小值，不合要求， 当时，令，得， 当时，，当时，， 故在上单调递减，在上单调递增， 所以， 因为直线“距离”不小于2，故， 即，令，， 令得，令得， 故在上单调递增，在上单调递减， 故，故； 【小问3详解】 设，， 若对任意，都有，直线与的“距离”相等， 即与都存在最小值，且最小值相等， 设在处取得最小值，在处取得最小值， 故，， ， 其中，， 则，， 故，， 若，因为在R上严格增，所以，故， 要想恒成立，需满足且， 由于的任意性，可知是偶函数， 若，此时直线与重合，是偶函数满足要求， 综上，是偶函数. 8.（2026届高三徐汇区一模）已知函数的定义域为,若其导函数在上是严格减函数,则称是一个“函数”. (1)设.分别判断是否为“函数”，并说明理由； (2)已知数列是公差为的等差数列,且的各项都为正数,若定义在上的函数是“函数”，求证:; (3)已知“函数”的定义域为，不等式的解集为.证明:函数在上是严格减函数. 【解析】(1) 在严格减，故是“函数” 严格增,故不是“函数” (2)已知是公差为的等差数列 所以 所以要证 等价于证 构造函数 因为是“函数”,且在严格减, 所以 所以在严格减 所以 因为 所以 即 (3)由题知： 在严格减； 假设存在使得，，则 在严格增，在严格减； 若，不妨取，则 所以与不等式的解集为矛盾； 若，不妨取，则 所以与不等式的解集为矛盾； 所以假设不成立； 所以 9. （2024长宁区二模）设函数的定义域为，若存在实数，使得对于任意，都有，则称函数有上界，实数的最小值为函数的上确界. 记集合在区间上是严格增函数. （1）求函数的上确界； （2）若，求的最大值； （3）设函数的定义域为.若，且有上界，求证：，且存在函数，它的上确界为0. 解：（1）函数在区间严格减, 所以函数的值域为， ……2分 进而函数的上确界为2. ……4分 （2），， ……2分 由已知，当时，恒成立， ………4分 因为，所以. 所以的最大值为4 ………6分 证明：（3）因为函数有上界，设. 假设存在，使得，设， 因为,所以在上严格增，进而 得，， ……3分 取，且， 由，得① 由，得② ①式与②式矛盾，所以假设不成立， 即对于任意，均有. ……6分 令，则 因为当时，， 所以在上严格增， 因为的值域为， 所以函数的上确界为0. ……8分 10.（25-26上师大附中高二期末）设是的一个非空子集，函数的定义域为，若在上不是单调函数，且存在常数，使得对任意的成立，则称函数具有性质，称为该函数的一个下界． （1）设，，判断函数，是否具有性质； （2）设为常数，，，当且仅当满足什么条件时，函数，具有性质，且是该函数的一个下界； （3）设，，，若函数，具有性质，求的取值范围：当在上述范围内变化时，若总是该函数的下界，求的取值范围． 【答案】（1）不具有，理由见解析； （2）； （3），. 【解析】 【分析】（1）借助导数，利用“函数具有性质”的定义推理判断. （2）利用导数求出函数的单调区间及极小值，再利用“函数具有性质”的定义求解. （3）求出的导数，按分类，结合“函数具有性质”的定义求出范围，并求出最小值函数，再换元求出最小值函数的最小值即可. 【小问1详解】 函数，，求导得， 当时，；当时，， 函数在上单调递增，上单调递减， 于是函数在上不是单调函数，，， 函数在上的值域为， 不存在常数，使得对任意的成立， 所以函数，不具有性质H. 【小问2详解】 函数，求导得， 当或时，；当时，， 函数在上单调递增，在上单调递减， 由函数，具有性质H，且是该函数的一个下界，得， 当时，函数在上不单调，，， 由，即，整理得，解得或， 当时，，当时，， 因此，，则， 所以当且仅当时，函数，具有性质，且是该函数的一个下界. 【小问3详解】 当时，函数， 求导得， 当时，，，函数在上单调递增，不符合题意； 当时，，由，得；由，得， 函数在上单调递减，在上单调递增，在上不是单调函数， ，，因此， 令，则，令， 求导得， 函数在上单调递减，， 由当变化时，总是该函数的下界，得， 所以的取值范围是，的取值范围是. 11. （2026长宁区二模）设函数定义域为，区间，记函数在区间上的最大值为，最小值为. （1）设，，若，求实数的值； （2）设，，若，且，求的值； （3）已知，，且对任意闭区间，与均存在. 求证：“在区间上严格增”的充要条件是“对于任意闭区间、，当，且时，均有.” 【答案】（1） （2）或或 （3）证明见解析 【解析】 【分析】（1）讨论在区间上的单调性，则可找到其最小值，即可求出答案； （2）讨论，，，分别求出，即可求出答案； （3）必要性直接证明即可，利用反证法再证明充分性. 【小问1详解】 由题意知函数，在区间上的最小值为， 由题意得， ①当时，恒成立， 在区间上单调递增，无最小值，不满足题意； ②当时，当时，， 在区间上单调递减， 当时，， 此时在区间上单调递增， 此时，满足题意； ③当时，恒成立， 在区间上单调递减，无最小值，不满足题意； 综上所述，. 【小问2详解】 由题意得, 当或时，，函数单调递增， 当时，，函数单调递减， 又， ①当时，在区间上单调递增，在区间上单调递减， 此时， 因为，所以， 又在区间上单调递减，即， 所以，故； ②当时，在区间上单调递减， 此时，满足； ③当时，在区间上单调递减，在区间上单调递增， 此时， 因为，在区间上单调递减， 所以，则，得到，解得， 综上所述：或或. 【小问3详解】 必要性：若在区间上严格增， 设， 因为在区间上严格增， 所以， 又，， 所以，又在区间上严格增， 所以，必要性成立； 充分性：假设在上不严格增， 则存在，使得， 令，设，， 由函数在区间连续， 所以必存在，使得， 令，则，， 由于，函数在区间上不可能是严格增函数， 若函数在区间上为常数，可取， 则，与题设矛盾；若函数在区间上不为常数， 则其最大值与最小值不可能同时在两个端点取到， 故是的真子集，即与题设矛盾. 因此假设不成立，在上严格增，充分性成立. 综上所述：“在区间上严格增”的充要条件是“对于任意闭区间、， 当，且时，均有.” 12．意大利画家达•芬奇提出：固定项链的两端，使其在重力的作用下自然下垂，那么项链所形成的曲线是什么？这就是著名的“悬链线问题”其原理往往运用于悬索桥、架空电缆、双曲拱桥、拱坝等工程．通过适当建立坐标系，悬链线可表示为双曲余弦函数的图象，现定义双曲正弦函数，他们之间具有类似于三角函数的性质．（已知） (1)证明：①倍元关系：；②平方关系： (2)对任意，恒有成立，求实数a的取值范围； (3)证明：． 【答案】(1)证明见解析 (2) (3)证明见解析 【分析】（1）根据题意将双曲余弦函数，双曲正弦函数的解析式代入计算即可证明； （2）分和讨论，结合导数判断并取舍即可； （3）利用给定定义目标式子左边合理放缩，结合裂项相消法求和即可证明. 【详解】（1）证明：①； ②. （2）构造函数     ①当时，因为，当且仅当即时等号成立， 所以，故单调递增， 此时，故对任意恒成立，符合题意；   ②当时，令， 则恒成立，故单调递增， 由与， 可知存在唯一，使得， 当时，，则在内单调递减， 故对任意，即，不合题意，舍去； 综上所述，实数a的取值范围为. （3）由（2）知：当时，，令，则， 令单调递增， 所以，即恒成立， 所以，则， 令单调递增， 所以，即恒成立，令， 所以 . 【点睛】关键点点睛：本题第（3）问考查数列与导数新定义结合，解题的关键是对目标式子左侧合理放缩，然后使用裂项相消法求和，得到所证明的不等关系即可. 13．定义：如果函数在定义域内，存在极大值和极小值，且存在一个常数，使成立，则称函数为极值可差比函数，常数称为该函数的极值差比系数.已知函数. (1)当时，判断是否为极值可差比函数，并说明理由； (2)是否存在使的极值差比系数为？若存在，求出的值，若不存在，请说明理由； (3)若，求的极值差比系数的取值范围. 【答案】(1)是，理由见解析 (2)不存在，理由见解析 (3) 【详解】（1）当时，（）， 则 当时，，当，， 所以在和上严格递增，在上严格递减， 所以的极大值为，极小值为， 所以，所以是极值差比函数. （2）的定义域为，， 假设存在使的极值差比系数为， 则，是方程的两个不相等的正实数根， 则，解得，不妨设，则， 因为 ， 所以，从而，得（*） 令（），， 所以在上是严格增函数，所以， 因此（*）无解，所以不存在使的极值差比系数为； （3）由（2）知极值差比系数为，即， 不妨设，令，，极值差比系数可化为， ，又，解得， 令（），， 设（），， 所以在上单调递减，当时，， 从而，所以在上单调递增，所以， 即， 所以的极值差比系数的取值范围为. 【点睛】思路点睛：研究复杂函数的性质，直接构造或者简单拆分函数依然复杂，这时候需要依赖对函数的等价变换，通过恒等变形发现简单函数结构，再进行构造研究. 14. 在数学中，泰勒公式是一个用函数在某点的信息描述其附近取值的公式，这个公式来自于微积分中的泰勒定理，在已知函数在某一点的各阶导数值的情况下，泰勒公式可以用这些导数值作为系数构建一个多项式来近似函数在这一点的邻域中的值，这个多项式称为泰勒多项式.若函数在包含的某个开区间中具有阶导数，设表示的阶导数，则对任意，有，其中，是位于与之间的某个值，它称为阶泰勒余项，叫作在处的阶泰勒多项式.已知函数. (1)求在处的3阶泰勒多项式. (2)证明：当时，. (3)当时，是否存在实数，使得不等式成立？若存在，求的最小值；若不存在，请说明理由. 【答案】(1) (2)证明见解析 (3)存在，的最小值为 【详解】（1）因为，所以，，， 则. （2）当时，； 当时，由泰勒定理可知存在，使得. 因为，且，所以，则. 综上，当时，. （3）当时，不等式，即不等式，. 当时，不等式等价于不等式. 设函数， 则. 设函数， 则，，，. 显然在上单调递增，且， 则在上单调递增，所以， 所以在上单调递增，所以， 所以在上单调递增，所以， 所以在上单调递增，所以， 所以对任意的恒成立，所以在上单调递增， 所以，则，即的最小值为. 15. 已知函数的导数为，的导数为的二阶导数，记作．若函数在包含的某个开区间上具有二阶导数，那么，，我们把称为函数在处的二阶拟合函数． (1)写出函数在处的二阶拟合函数，并证明对恒成立； (2)若对恒成立，求a的取值范围； (3)设函数的两个零点为，，在处的二阶拟合函数为，证明：有两个零点，，且． 【答案】(1)，证明见解析； (2)； (3)证明见解析. 【详解】（1）因为，， 所以在处的二阶拟合函数． 设，则，， 所以在上单调递增，则， 所以在上单调递增，即， 所以对恒成立． （2）记，则，则， 所以在上单调递增，， 所以在上单调递增，即， 所以对恒成立， 由（1）可知，则， 所以当时，对恒成立， 则对恒成立． 设， 当时，， 设，则， 所以在上单调递减，则， 所以，这与题意矛盾，所以． （3）因为， 所以，则， 则， 因为，且的图象开口向上， 所以有两个零点，且． 因为当时，，当时，， 所以在上单调递减，在上单调递增，所以， 要证，只需证， 因为，且， 所以只需证， 构造函数， 则， 所以在上单调递增，所以，即， 因为，所以，所以． 题型八：充要条件的证明 3.（2026虹口区高三一模）已知函数的定义域为,记,其中,且. (1)当，求函数的零点: (2)当，若恒有，求实数的取值范围； (3)当，求证:“对于任意的正有理数，函数在上均是严格增函数”的充要条件是“任取中两个不相同的元素和,均有”. 【解析】（1） （2） 若,则(舍) 若,则(舍) 必要性 对称轴: 在上严格增 （3）必要性:不妨设 要证 只要证 只要证 易知 取,得证 充分性:要证严格增函数 只要证 只要证 只要证 只要证 取,得证 4.（2025上师大闵行分校高二期中）设函数的定义域为R，其导函数为，．若存在区间及实数满足：对任意，都有恒成立，则称函数为上的“函数”． （1）判断函数是否为上的函数，并说明理由； （2）已知实数满足：函数为上的函数，求的取值范围； （3）已知函数存在最大值． 对于以下两个命题，：对任意，都有与恒成立；：对任意正整数，满足函数都是上的函数；判断P是否为Q的充要条件，并说明理由． 【答案】（1）是，理由见解析 （2） （3）为的充要条件，理由见解析 【解析】 【分析】（1）利用函数的定义来判断即可； （2）根据函数，将问题转化为不等式问题，进一步转化为恒成立问题进行求解； （3）推导出为的充分条件，若成立，即对任意正整数，有：，记函数的最大值为．用反证法证明恒成立和恒成立，从而为的充要条件． 【小问1详解】 设定义域为的函数 在上可导，导函数为 ． 若区间及实数满足：，对任意成立， 则称函数为上的“函数”． ，， ，在时恒成立， 是 上的函数． 【小问2详解】 实数满足：函数为上的函数， 则有，得， 函数，有在上恒成立， 在单调递减，在上， 所以，即的取值范围为； 【小问3详解】 若成立，则对任意正整数，有：， 即 为上的函数，成立．故为充分条件． 若成立，即对任意正整数，有：（2） 记函数的最大值为． 先证明恒成立． 反证法，假如存在使得，则取正整数，使得， 此时有，与（2）矛盾． 则有恒成立，这意味着为上的严格减函数． 再证明恒成立． 取为的一个最大值点， 则当时，由单调性知， 但，所以， 于是． 对任意 ，可取一个与有关的正整数，使得， 由（2）知：． 于是成立，故也为的必要条件． 故为的充要条件． 【点睛】思路点睛： 本题考查导数性质及应用、函数的单调性、充分条件、必要条件等基础知识，考查运算求解能力，（1）中直接根据定义来判断，（2）将不等式问题转化为恒成立问题来求解；（3）巧用反证法来证明． 3．（2025·上海浦东新·二模）定义域为的可导函数满足，在曲线上存在三个不同的点，使得直线与曲线在点处的切线平行（或重合）．若成等差数列，则称为“等差函数”；若成等差数列且均为整数，则称为“整数等差函数”． (1)设，，分别判断和是否为“整数等差函数”，直接写出结论； (2)若为“整数等差函数”，求实数的最小值； (3)已知的导函数在上为增函数，且存在一个正常数， 使得对任意，成立，证明：为“等差函数”的充要条件是为常值函数． 【答案】(1)不是“整数等差函数”，是“整数等差函数” (2)答案见解析； (3)证明见解析. 【分析】（1）设公差为，根据所给定义及导数的几何意义得到，即可判断； （2）设公差为，则且，由得到从而确定的最小值； （3）首先证明充分性，再说明必要性，设公差为，结合所给定义得到，令，结合推出为常值函数. 【详解】（1）假设成等差数列，得， 设公差为，则， 对于：直线的斜率， 因为，所以曲线在点处的切线斜率为， 由题意，恒成立， 取，，则成等差数列且均为整数，故是“整数等差函数”． 对于，直线的斜率， 因为，所以曲线在点处的切线斜率为， 由题意， 若，则， 令，，则恒成立，所以在上单调递减， 所以，即在上恒成立， 即恒成立，所以无解， 故不是“整数等差函数”． （2）因为为“整数等差函数”，所以成等差数列且均为整数， 设公差为，则，且， 直线的斜率， 因为，所以曲线在点处的切线斜率为， 由题意，， 又的定义域为，有， 当时,,此时,无最小值； 当时,因为，， 所以 ， 则，可取使等号成立，故的最小值为; 综上，实数无最小值； （3）充分性，因为为常值函数，所以， 任意取等差数列 ，则直线的斜率， 曲线在点处的切线斜率为， 因为，所以为“等差函数”． 必要性，因为为“等差函数”，所以成等差数列， 设公差为，则， 直线的斜率， 曲线在点处的切线斜率为， 由题意，, ， 令， 则 ， 令， 则， 因为在上为增函数，所以，在上为增函数， 因为，所以，在上为增函数， 因为，所以在上恒成立， 又，由的单调性知， 故，， ，为常数， ， ， ， 接下来，一方面，因为，且在上为增函数， 所以在上为增函数，故，， 由，可得， 另一方面，因为， 所以，可得， 以此类推，在上恒成立，即为常值函数． 命题得证！ 【例3】（2025·上海普陀·一模）设函数的定义域为，导函数为，对于实数，若存在，使得成立，则称函数具有性质． (1)若函数，请判断该函数是否具有性质，并说明理由； (2)设，若函数具有性质，且的值恰有三个，求的取值范围； (3)若函数，求证：该函数具有性质的充要条件是 【答案】(1)函数具有性质，理由见解析 (2) (3)证明见解析 【详解】（1）解：由得， 设， 当时，， 又 则存在，使得，即 故函数具有性质 （2）解：由得，， 因为函数具有性质， 所以存在实数，使得， 即，即， 即存在实数，使得有三个实数根 设，则， 令，解得或，列表如下： 0 0 + 0 ↘ 极小值0 ↗ 极大值 ↘ 因为函数具有性质时，的值恰有三个， 所以满足条件的的取值范围是． （3）证明：由得，， 由得，， 设， 先证充分性：当时，， 考虑函数，则， 当时，，当时，，当时，， 所以函数在上严格单调递减，在上严格单调递增，在时有极小值， 所以，当时，，函数具有性质， 当且时，， 且当时，，则， 则存在满足，即成立， 所以函数具有性质 再证必要性：即证函数具有性质，则 由得， 若，则，与已知矛盾； 若，设，则，即函数是严格减函数， 所以函数是严格增函数， 又，， 则存在使得，即， 当时，，即函数严格减函数， 当时，，即函数严格增函数， 所以， 需证， 令，则，在单调递增， 所以， 所以， 则不存在，使得成立，与具有性质矛盾； 综上，函数具有性质的充要条件为. 2 / 2 学科网（北京）股份有限公司 $