假期作业27 空间直线、平面的平行-【快乐假期】2025-2026学年高一数学暑假作业（北师版 全学年）

快乐假明 假期作业27 空间直线、平 思维整合室 1.(1)基本事实4：平行于同一条直线的两条 直线互相 (2)等角定理：空间中如果两个角的两边分别 对应平行，那么这两个角 2.直线与平面平行的判定定理和性质定理 文字语言 图形语言 符号语言 平面外一条直线 的 判 因为l∥a,a 一条直线平行，则 定 Ca&,l吐a,所 该直线与此平面 以l∥a 平行（线线平行→ 线面平行) 条直线与一个 平面平行，则过这 条直线的任一平 因为1∥a,1 性 面与此平面的 CB,a∩3 理 与该直 =b, 线平行（简记为 所以1∥b “线面平行→线线 平行”) 3.平面与平面平行的判定定理和性质定理 文字语言 图形语言 符号语言 个平面内的两条 因为a∥B, 与另 a b∥B, 定定 个平面平行，则 b aNb-P, 这两个平面平行 aCa:bCa, (简记为“线面平行 所以&∥B →面面平行”) 如果两个平行平 因为a∥B, 面同时和第三个 &∩y=a, 平面 ,那 理 3∩y=b, 么它们的 所以a∥b 平行 6 0M= 学而时习之，不亦说乎。 面的平行 完成日期： 月 日 【《技能提升台 素养提升 ◆[考点一]直线与平面平行的判定与性质 1.设AB,BC,CD是不在同一平面内的三条 线段，则经过它们的中点的平面和直线AC 的位置关系是 ) A.平行 B.相交 C.平行或相交 D.AC在此平面内 2.(多选)已知a,B,Y是三个不重合的平面，l是直 线.给出下列命题中正确的命题是 ( ) A.若l上两点到a的距离相等，则l∥a B.若l⊥a,l∥3，则a⊥3 C.若a∥B,ltB,且l∥a,则1∥B D.若a∥B,a∥y则B∥Y 3.已知1是过正方体ABCD一A1B,C,D1的顶 点的平面AB,D,与下底面ABCD所在平 面的交线，下列结论错误的是 ) A.D1B1∥平面ABCD B.BD∥平面AD1B C.l∥平面AC1 D.l⊥B1C1 4.(答案不唯一型)如图所示，在 正四棱柱ABCDA E,CD,A 中，E,F,G,H分别是棱CC, CD,DD,DC的中点，N是 BC的中点，点M在四边形 EFGH及其内部运动，则M只需满足条件 时，就有MN∥平面BBDD1.(注：请填 上你认为正确的一个条件即可，不必考虑全部 可能情况) ◆[考点二]平面与平面平行的判定与性质 5.平面α内有不共线的三点到平面3的距离相 等且不为零，则α与B的位置关系为() A.平行 B.相交 C.平行或相交 D.可能重合 三0022 6.(多选)已知a,b表示两条直线，a,B,y表示 三个不重合的平面，给出下列命题，正确 的是 ( A.若a∩y=a,3∩y=b,且a∥b,则a∥B B.若a,b相交，且都在a,3外，a∥a,b∥a,a ∥B,b∥3，则α∥3 C.若a∥a,b∥3，且a∥b,则a∥3 D.若aCa,a∥B,a∩3=b,则a∥b 7.在正方体EFGH-E,FG1H H 中，下列四对平面彼此平行的 E 一对是 () H A.平面E,FG与平面GH1 B.平面FHG1与平面EFH C.平面F,H,H与平面FHE, D.平面E,HG1与平面EHG 8.如图，在长方体ABCD D -ABCD1中，过 A B BB,的中点E作一个 D-- 与平面ACB1平行的 M B 平面交AB与M,交BC与N,则MN LAC ◆[考点三]平行的综合应用 9.如图，在棱长均为1的正三 A 棱柱ABCA,B,C1中，M, N分别为线段A1B,B1C上 的动点，且MN∥平面 ACC1A1,则这样的MN有 ( ) A.1条 B.2条 C.3条 D.无数条 10.如图，在多面体ABC一DEFG中，平面 ABC∥平面DEFG,AD∥BE,AC∥DG∥ EF,且AB=DE,DG=2EF,则下列说法 中正确的是 .(填序号) 65 富一数类剑) E ①BF∥平面ACGD; ②CF∥平面ABED; ③BC∥FG; ④平面ABED∥平面CGF, 1.如图，在平行六面体 ABCD-A1B,C1D1中， E,M,N,G,H分别是E AA,CD,CB,CC,BB 的中点，求证： (1)MN∥BD1; 火曼快乐假期 (2)AC1∥平面EB1D1; (3)平面EB1D1∥平面BDG. 12.如图，ABCD与ADEF 均为平行四边形，M, N,G分别是AB,AD, EF的中点，求证： (1)BE∥平面DMF; S0M-= (2)平面BDE∥平面MNG. 新题快递 1.已知a,b表示直线，a,3表示平面，下列选项 正确的是 ) A.a∩B=a,bCa→a∥b B.a∩B=a,a∥b→b∥a且b∥B C.a∥B,b∥B,aCa,bCa→a∥3 D.a∥B,a∩y=a,βny=b→a∥b 2.设a∥B,A∈a,B∈B,C是AB的中点，当A, B分别在平面α，B内运动时，那么所有的动 点C () A.不共面 B.当且仅当A,B分别在两条直线上移动时 才共面 C.当且仅当A,B分别在两条给定的异面直 线上移动时才共面 D.不论A,B如何移动，都共面 〈《益智欢乐谷 1.不要向这个世界认 输，因为你还有牛逼的 梦想！ 2.即使梦想不能实 现，我们也不会放弃努力！ 3.所有的伤害只会让我变强，用更强大的 自己守护我的梦想！ 4.我若不努力，那谁来替我完成梦想！ 66三0022. 由题意得O为球心，在正方体ABCDA B C D,中，EF= √FG+EG=√4+4=2√2， ∴.R=√2， 则球心O到BB1的距离为OM=√ON2+MN产=√个+I =√2， .球O与棱BB1相切，球面与棱BB,只有一个交点， 同理，根据正方体ABCDA1B,C,D1的对称性可知，其余 各棱和球面也只有一个交点， ∴.以EF为直径的球面与正方体每条棱的交点总数为12. 答案：12 11.解：(1)连接AC(图略)，EG∥AC, .∠ACB即是BC和EG所成的角」 ,在长方体ABCD-EFGH中，AB=AD=2√3， .tan∠ACB=1,.∠ACB=45°， .直线BC和EG所成的角是45° (2):AE∥BF,∴∠FBG即是AE和BG所成的角. 易知tan∠FBG=√3， .∠FBG=60°， .直线AE和BG所成的角是60°. 12.解：(1)CG∥FB, ∴.∠EBF是异面直线BE与CG所成 的角， 在Rt△EFB中，EF=FB, .∠EBF=45°， 'D .BE与CG所成的角为45°. (2)连接FH, FB∥AE,FB=AE,AE∥HD,AE=HD, ∴.FB=HD,FB∥HD, ∴.四边形FBDH是平行四边形， .BD∥FH, ∴∠HFO或其补角是FO与BD所成的角，连接HA,AF, 则△AFH是等边三角形， 又O是AH的中点，∴.∠HFO=30°， ∴.FO与BD所成的角为30°. 新题快递 1.C[设底面圆心为O,连接EO,CO, OD,如图所示，可知EO∥AC,故∠OED 为异面直线AC与DE所成的角（或其 补角). ,CO⊥底面ABD, ∴COLOD.又：点D为半圆孤AB的 A--2 中点， D .AB⊥OD,又CO∩AB=O .OD⊥平面ABC, .OD⊥EO,在Rt△ODE中，OD=OE=1, ∠OED=牙sin∠OED=号，故异面直线AC与DB夫 角的正孩值是.故选C.] 2.D[连接AD1,则AD,∥EF, 连接FD,,则平面AEF截正方 体所得截面多边形为梯 形AD1FE, 正方体棱长为2，故AD1= 2√W2,EF=√2， D 又AE=D,F=√2+1=√5， ∴.等腰梯形ADFE的高为 A B “梯形AD,F,E的面积为=E+2区×3 2 .] 9 一数学， 假期作业27 思维整合室 1.(1)平行(2)相等或互补 2.这个平面内交线3.相交直线相交交线 技能提升台素养提升 1.A 2.BCD[对于A,若直线1在平面a内，l上有两点到a的距离 为0，相等，此时1不与a平行，所以A错误；对于B,因为l∥ B,所以存在直线mCB使得l∥m,因为l⊥a,所以m⊥a,又 m二B,所以B⊥a,所以B正确：对于C,l∥a,故存在m二a使 得l∥m,因为a∥B,所以m∥B,因为l∥m,l中B,所以l∥B,C 正确.对于D由面面平行的判定定理知D正确.门 3.D[A可由上底面与下底面平行的性质定理判定正确，B,C 可由线面平行的判定定理判定正确性.D错在DB1∥I,l与 B,C1所成角是45°.] 4.解析：连接HN,FH,FN(图略)，则FH∥DD,HN∥BD, 易知平面FHN∥平面B,BDD,只需M∈FH,则MNC平 面FHN,∴.MN∥平面BBDD1. 答案：点M在线段FH上（或点M与点H重合） 5.C 6.BD[A:若a∩y=a,B∩y=b,且a∥b,则a,B可能相交、平 行，错误：B:若a,b相交，且都在a,B外，a∥a,b∥a,a∥B,b∥ B,由面面平行的判定可得a∥B,正确：C:若a∥a,b∥B,且a ∥b,则a,B可能相交、平行，错误；D:若aCa,a∥B,a∩B=b, 由线面平行的性质定理得a∥b,正确，] 7.AB[如图，：EG∥E,G1,EG寸平 面E1FG1, E,GC平面EFG1, .EG∥平面E1FG1· 又GF∥HE, 同理可证H,E∥平面EFG, 又H,E∩EG=E,∴.平面E,FG∥ EGH1,故A正确，同理可得B正确，故选AB.] 8.解析：平面MNE∥平面ACB, 由平面平行的性质定理可得EN∥B,C,EM∥B,A, 又E为BB的中点， .M,N分别为BA,BC的中点， 六MN=AC,即然N=2 答案：2 9.D[如图，任取线段AB上一点M, 过M作MH∥AA1,交AB于H,过H 作HG∥AC交BC于G,过G作CC 的平行线，与CB,一定有交点N,连 接MN, 可证平面MNGH∥平面ACC,A1 所以MN∥平面ACC1A,,则这样的 H MN有无数条.] 10.解析：：EF∥DG,BE∥AD,BE∩EF=E,AD∩DG=D, BE,EFC平面BEF,AD,EGC平面ADGC,'.平面BEF∥ 平面ADGC. ,BFC平面BEF, .BF∥平面ACGD,故①正确； 由于DG=2EF, 则四边形EFGD是梯形， GF的延长线必与直线DE相交，故④不正确； 选项②③不能推出. 答案：① 11.证明：(1)因为M,N分别是CD,CB的 中点， 所以MN∥BD.又因为BB,LDD,所以 四边形BB1DD是平行四边形，所以BD ∥BD, 从而MN∥B1D. 05 人坐快乐假期 (2)连接AC1,交BD于点O,连接OE 因为四边形A1BC1D1为平行四边形，则O,点是AC的 中点.因为E是AA,的中点，所以EO是△AAC,的中位 线，所以EO∥AC1. 又AC,车平面EB,D,EO平面EB,D, 所以AC1∥平面EB,D. (3)连接GH,因为EALB1H,则四边形EAHB1是平行四 边形，所以EB1∥AH.因为AD业HG,则四边形ADGH是 平行四边形，所以DG∥AH,所以EB,∥DG. 又因为BB1业DD,所以四边形BB1DD是平行四边形， 所以BD∥BD. 因为BD∩DG=D, 所以平面EBD,∥平面BDG. 12.证明：(1)连接AE,则AE必过DF与GN 的交点O,连接MO,则MO为△ABE的 中位线，所以BE∥MO. 又BE中平面DMF,MOC平面DMF, 所以BE∥平面DMF (2)因为N,G分别为平行四边形ADEF的边AD,EF的中 点，所以DE∥GN, 又DE在平面MNG,GNC平面MVG, 所以DE∥平面MNG.又M为AB的中点， 所以MN为△ABD的中位线，所以BD∥MN, 又MNC平面MNG,BD庄平面MNG, 所以BD∥平面MNG, 又DE,BDC平面BDE,DE∩BD=D 所以平面BDE∥平面MNG. 新题快递 1.D[A中，a∩B=a,b二a,a,b可能平行也可能相交；B中，a ∩B=a,a∥b,则可能b∥a,b∥B,也可能b在平面a或3内：C 中，a∥B,b∥B,a二a,b二a,根据平面平行的判定定理，若加上 条件a∩b=A,则a∥B.故选D.] 2.D[如图所示，A',B分别是A, B两点在Q,B上运动后的两点， 此时AB中点C变成A'B′中点 C'.连接A'B,取A'B的中点E, 连接CE,CE',CC,AA',BB'. 则CE∥AA',又AA'Ca,CE中a ∴.CE∥a,同理CE∥B B B 又a∥B,∴CE∥a. :C'E∩CE=E,.平面CCE∥平面a..CC'∥a.故不论 A,B如何移动，所有的动点C都在过点C且与a,B平行的 平面上.] 假期作业28 思维整合室 1.两条相交直线平行2.垂线交线3.（1)锐角 ∠PAO 技能提升台素养提升 1.D 2.A[过，点A作AH⊥BD于，点H(图略)，由平面ABD⊥平 面BCD,得AH⊥平面BCD,则AH⊥BC.文DA⊥平面 ABC,所以BC⊥AD,所以BC⊥平面ABD,所以BC⊥AB, 即△ABC为直角三角形.故选A.」] 3.C[连接AC,因为ABCD是菱形， 所以AC⊥BD, 又MC⊥菱形ABCD所在的平面， BDC平面ABCD,所以MC⊥BD, 又MC∩AC=C,MC,ACC平面A MAC,所以BD⊥平面MAC,MAC 平面MAC, S0M-= 所以MA⊥BD.] 4.解析：连接AC1,则∠AC1A1为AC1与 平面AB,CD1所成的角. 因为AB=BC=2,所以A,C=AC= 22,又AA,=1,所以AC1=3, 所以sn∠ACA-治-子 答案：弓 5.D 6.BCD[A中当m⊥n,m⊥a,n∥B时，两个平面的位置关系 不确定，A不正确，B中，过直线n作平面Y与B交于c, 则n∥c, 由m⊥a,所以m⊥c,所以m⊥n,B正确.C中由面面平行的 性质，易得m∥B,C正确.D中，由线面角的定义与等角定理 可知D正确.] 7.A[对于A选项，在正方体 D ABCD-AB,C,D1中，因为E,F 分别为AB,BC的中点，易知EF ⊥BD,EF⊥DD1,又BD∩DD =D,从而EF⊥平面B,BDD1, 又因为EF二平面B1EF,所以平 面B,EF⊥平面BDD1,所以A选 项正确：对于B选项，因为平面 E A1BD∩平面BDD1=BD,由上 述过程易知平面B1EF⊥平面ABD不成立；对于C选项， 由题意知直线AA1与直线B,E必相交，故平面B1EF与平 面A1AC有公共，点，从而C选项错误：对于D选项，连接 AC,AB,,B1C,易知平面AB1C∥平面A1C1D,又因为平面 AB,C与平面B,EF有公共点B,,故平面AB,C与平面 B1EF不平行，所以D选项错误.] 8.解析：如图，取AB的中点E,连接 DE,CE, 因为△ADB是等边三角形， 所以DE⊥AB. E 当平面ADB⊥平面ABC时， 因为平面ADB∩平面ABC=AB,DEC 平面ABD, 所以DE⊥平面ABC.又CEC平面ABC, 可知DE⊥CE.由已知可得DE=√3，EC=1, 在Rt△DEC中，CD=√DE+CE=2. 答案：2 9.C[如图，过E做EOL平面ABCD,垂足为O,过E分别做 EG⊥BC,EM⊥AB,垂足分别为G,M,连接OG,OM, D G M 由题意得等腰梯形所在的面、等腰三角形所在的面与底面夹 角分别为∠EMO和∠EGO, 所以tan∠EMO=tan∠EGO=√厘 51 因为EO⊥平面ABCD,BCC平面ABCD,所以EO⊥BC, 因为EG⊥BC,EO,EGC平面EOG,EO∩EG=E, 所以BC⊥平面EOG,因为OGC平面EOG,所以BC⊥OG 同理：OM⊥BM,又BM⊥BG,故四边形OMBG是矩形， 所以由BC=10得OM=5,所以EO=√14，所以OG=5, 所以在直角三角形EOG中，EG=√EO十OG= √/（√14）+5=39， 6