假期作业24 基本立体图形及立体图的直观图-【快乐假期】2025-2026学年高一数学暑假作业（北师版 全学年）

壁快乐假期 6.B[根据复数加、减法的几何意义及名十2= |≈1一之2，知以OA,OB为邻边所作的平行四边形的对角线相 等，则此平行四边形为矩形，故△AOB为直角三角形.] x0[由：4+0-2-可得发-福名4 g号一号对于A的盒部为一号，故八错误；对于B. :在复平面内对应的点（合，-号）位于第回象限，故B正确： 对于C, 号个+(-2-5就D错民.故选e] 5 8解析：由题意将之1十 -i 2i =0化简得，之·2i十i(1十i)=0,之= 1 2i212 27一之，所以= +所以复教 2 之在复平面内对应的点在第二象限. 答案：二 9A[因为=计云一子所以=分所以一=-i] 1-i 10.解析：由题意可得，土l:-5+1C23别-2+13i-4十i 2+3i(2+3i)(2-3i) 13 答案：4十i 11.解：设x=a+bi(a,b∈R),由{x=1+3i一x, 得√a+6-1-3i+a+bi=0, 则{√公+6+a-1=0,所以a=。4·所以=-4+3. 1b-3=0, 1b=3, 则1+)(3+4)2=2i(3+4 2 2(-4+3i) 2(-4+3i)(3+4位=3+4i 2(-4+3i) 12.解：(1)设≈=a十bi(a,b∈R), 由已知条件得：a2+6=2,之=a2-6+2abi,所以2ab=2. 所以a=b=1或a=b=-1,即x=1十i或x=一1一i. (2)当=1+i时，x2=(1+i)2=2i,之-2=1-i, 所以，点A(1,1),B(0,2),C(1,-1), 所以5m=7ACX1=2×2X1=1: 当=-1-i时，之2=(-1-i)2=2i,之-g2=-1-3i.所以 点A(-1,-1),B(0,2),C(-1,一3)， 所以Sm=合ACX1=弓×2X1=1.即△ABC的面 积为1. 新题快递 1.B[由题意可得≈= 2+i 2+i-i(2+i边=2i-1 1++=1-1+i -1 1-2i,则=1+2i.] 2.AD[对于A,若十2=0，则名=一名，所以名|=|一2= 总，所以A正确；对于B,设名1=2+4i,之=4，则|名1十1= 13+4i=5=≈+1=l5l,而名|=√2+4=25≠|x= 4,所以B错误；对于C,设名1=x十yi(x,y∈R),则=(x+ yi)2=x2-y2+2xyi,x1|=√元+y,所以名112=x2+y， 所以≠|名2，所以C错误；对于D,设1=x+yi(x,y∈ R),2=a-bi(a,b∈R),则12=(x十yi)(a-bi)=(ax十 by)(ay-bx)i. 所以之1|=√(a.x+by)+(ay-bx) =√(x+y)(a+b),|名11l821 =√(x2+y)(a十b),所以当=名1时， |之|=|必11|≈2|，所以D正确.故选AD.] 假期作业24 思维整合室 1.互相平行公共顶点平行于 2.(2)①45°（或135°）②变为原来的一半 10 0M-= 技能提升台素养提升 1.B2.C 3.BCD[当任意两点与球心在一条直线上时，可作无数个圆，故A 错；B正确：C正确：根据球的半径的定义可知D正确.] 4.解析：①以直角梯形垂直于底边的一腰所在直线为轴旋转一 周可得到圆台：②它们的底面为圆面：③④⑤正确. 答案：③④⑤ 5.D[如图所示为原图形和其直观图】 y C A OB A'O DB 由图可知.AB'=AB=a,0C'=20C=点。. 在图中作C'D'⊥A'B'于点D', cD'=50c'=5。 8a. Se=号4gCD=e×5=e,楼n] 6.C[解法一：依题意可知∠BAD=45°，则原平面图形为直 角梯形，上下底面的长与BC,AD相等，高为梯形ABCD的 高的2√2倍，所以原平面图形的面积为8cm2.故选C. 解法二：依题意可知，S见国=2√2cm, 故S原周形=2√2S支现周=8cm.故选C.] 7.解析：在直观图中，四边形为OA'B'C'菱形且边长为2cm, ∴.由斜二测法的规则得：在xOy坐标系中，四边形ABCO是 矩形， 其中OA=2cm,OC=4cm, ..四边形ABCO的周长为：2×(2+4)=12(cm), 面积为S=2×4=8(cm2). C B 答案：128 8.解析：作CD,BE⊥OA于点D,E, y O D E A 剥OD=EA=OA二BC=2, 2 ∴.CD=OD=2, “在立观图中梯形的高为号×2×号-号 2 答案：号 9.A「依题意可得圆柱的底面半径r=1,高h =4 将圆柱的侧面（一半）展开后得矩形ABCD, 其中AB=π，AD=4, D Q 问题转化为在CD上找一点Q,使AQ十PQ 最短， 作P关于CD的对称，点E,连接AE,令AE A B 与CD交于点Q, 则得AQ十PQ的最小值就是为AE=√π+(4+2) =√元+36.] 三0022. 10.C[如图，设正四棱锥的高为h,底面边 长为a,侧面三角形底边上的高为h',则依 [=2a 题意有： 2,因此有 2=- ( (侣)）=a,化筒得4（台）-2（）-1=0，解得 =5十1（负根已舍去）.] a 4 11.解：圆台的轴截面题图所示，设圆台上、下底面半径分别为 xcm,3xcm,延长AA1交OO的延长线于S,在Rt△SOA 中，∠AS0=45°，则∠SA0=45°， 所以S0=A0=3x,S01=A1O=x,所以O01=2x 又S=合(6x+2)…2z=392,所以x=7. 所以圆台的高O0=14(cm),母线长l1=√2OO=14√2(cm), 两底面半径分别为7cm,21cm. 12.解：把长方体的部分面展开，如图所示 对甲、乙、丙三种展开图利用勾股定理可得AC1的长分别为 √90、√74、√80，由此可见乙是最短线路，所以甲壳虫可以先 在长方形ABBA1内由A到E,再在长方形BCCB,内由E 到C,也可以先在长方形AA,D1D内由A到F,再在长方形 DCCD内由F到C1,其最短路程为√74. 43B4C A 3B 43 新题快递 1.B[沿侧棱BB,将正三棱柱的侧面 C B' 展开，得到一个矩形BB1B′B (如图). 由侧面展开图可知，当B,M,C1三，点B A 共线时，从，点B经过M到达C,的路线最短. 所以最短路线长为BC1=√4+2=2√5.] 2.解析：不妨设原棱锥为四棱锥， 设棱台的高为h,截得棱台的原 棱锥的高为h1, 如图所示，即MN=h,PN=h1 因为四边形ABCD与四边形 EA EFGH相似， 且上下底面面积分别为4和9， D 故EM2 N AN=3' A 由△PEM∽△PAN, 故N-N-名，M=上=1- 21 PNAN3'PN 3=3 这个棱台的高和裁得棱台的原棱锥的高的比为 3 1 答案：3 假期作业25 思维整合室 1.2 arl xrl x(r1十r2)l2.S底·h 子S·hR 技能提升台素养提升 1.C 2.A[依题意，圆柱的母线长1=2xr,故S剑=2πrl=4πr2 =4x.] 3.A[设正三棱锥的侧棱长为b,由条件知2b=a2,所以三棱 维的表西长为0+3x号×日×。=3。.】 4 高一数学蜀) 4.AC[如图，由∠APB= 120°，AP=2可知，底面 直径AB=2V3,高PO=1, 故该圆锥的体积为π，故 A对；该圆锥的侧面积为A 0 2√3π，故B错；连接CB 取AC中点为Q,连接QO,PQ,易证二面角P一AC一O的平 面角为∠PQO=45°，所以QO=PO=1,PQ=√2，所以BC= 2,所以AC=2反，故C对：Sae=号AC:PQ=2,故D错.] 5.B[由题意可知：三棱锥PABC的高为PA=3,所以该四 面体的体积为号×3×号×2X2=2.] 200 2 6.B[按相似，小圆维的底面半径r=之mm=50mm,故 V=子×xX50X150mm=502·xmm, 积水厚度h= =V小处=50·元 S大属x·100 mm=12.5mm,属于中雨， 选B.] 7.B[如图，分别过M,C作MM' ⊥PA,CC'⊥PA,垂足分别为 M,C'.过B作BB'⊥平面PAC, 垂足为B,连接PB,过N作 NN'⊥PB,垂足为N'. 因为BB'⊥平面PAC,BBC平 A 面PBB', 所以平面PBB'⊥平面PAC. 又因为平面PBB'∩平面PAC=PB,NN⊥PB,NN'C平 面PBB',所以NN⊥平面PAC 且BB∥NN'. 在△PCC中，因为MM⊥PA,CC'⊥PA, 所以MM∥CC',所以PM=MM=⊥ PC CC' 3 在△PBB'中，因为BB'∥NN,所以P=NY=2 PB=BB=3· 所以YTy=3saaw·NN VP-ABC VB-PAC 3S△PAC·BB 1 合×（合PA·M:N 合×（合PA·cC）:BB =] 8.解析：由题意易求正四棱锥的高为6，V装台=V大四一V小四 =3×4X4X6-3×2X2X3 =28. 答案：28 QA[由题意知⊙0的半径r为2，由正孩定理知光二2，则 OO=AB=2rsin60°=2√3，所以球O的半径R=√？+OO=4, 所以球O的表面积为4πR=64π，故选A] 10.A[记△ABC的外接圆圆心为O1,由AC⊥BC,AC=BC =1,知0为AB的中点，且AB=厄，0，C=号，又球的半 径为1，所以OA=OB=OC=1,所以OA+OB=AB, 00-号，于是00+0，C-0C,所以有0,10，C.00 ⊥AB,进而OO⊥平面ABC,所以V。-A= sw00=号·11…号-接A] 1 03三0022 高一数学 假期作业24基本立体图形及立体图的直观图 好书不厌读百回，熟读深思子自知。 完成日期： 思维整合室 2.直观图 1.空间几何体的结构特征 (1)画法：常用斜二测画法. (1)多面体的结构特征 (2)规则：①原图形中x轴、y轴、之轴两两垂 直，直观图中，x'轴，y轴的夹角为 多面体 结构特征 ,x√轴与x轴和y轴所在平面垂直. 有两个面 ,其余各面 ②原图形中平行于坐标轴的线段，直观图中 棱柱 都是四边形且每相邻两个四边形的 仍平行于坐标轴.平行于x轴和x轴的线段 公共边都互相平行 在直观图中保持原长度不变，平行于y轴的 有一个面是多边形，而其余各面都 线段长度在直观图中 棱锥 是有一个 的三角形 《技能提升台 棱锥被 底面的平面所截， 素养提升 棱台 截面和底面之间的部分叫做棱台 ◆[考点一]空间几何体的结构特征 1.观察如图所示的四个几何体，其中判断不正 (2)旋转体的形成 确的是 几何体 旋转图形 旋转轴 矩形一边所在的直线 圆柱 矩形 或对边中点连线所在 直线 直角三角形 一直角边所在的直线 ④ 圆锥 或 或等腰三角形底边上 A.①是棱柱 B.②不是棱锥 等腰三角形 的高所在直线 C.③不是棱锥 D.④是棱台 2.下列说法中，正确的是 ( 直角腰所在的直线或 直角梯形或 A.棱柱的侧面可以是三角形 圆台 等腰梯形上下底中点 等腰梯形 B.若棱柱有两个侧面是矩形，则该棱柱的 连线所在直线 其他侧面也是矩形 球 半圆或圆 直径所在的直线 C.正方体的所有棱长都相等 D.棱柱的所有棱长都相等 57 飞曼快乐假期 3.(多选)下列命题正确的是 () 7.在直观图（如图）中，四边 A.过球面上任意两点只能作一个经过球心 形为OA'B'C'菱形且边 的圆 长为2cm,则在xOy坐标 0 B.球的任意两个经过球心的圆的交点的连 系中，四边形ABCO周长为 cm, 线是球的直径 面积为 cm2. C.用不过球心的截面截球，球心和截面圆 8.如图所示，四边形OABC 心的连线垂直于截面 是上底为2，下底为6，底 D.球的半径是球面上任意一点和球心的连线段 角为45°的等腰梯形，用斜 4.下列命题正确的是 .(填序号) 二测画法画出这个梯形的直观图OA'B'C',则 ①以直角梯形的一腰所在直线为轴旋转一 直观图中梯形的高为 周所得的旋转体是圆台； ◆[考点三]空间几何体的计算问题 ②圆柱、圆锥、圆台的底面都是圆； 9.如图，一个矩形边长为1和4， ③以等腰三角形的底边上的高线所在的直 绕它的长为4的边旋转二周后 线为旋转轴，其余各边旋转一周形成的几何 体是圆锥； 所得如图的一开口容器（下表 ④半圆面绕其直径所在直线旋转一周形成 面密封)，P是BC中点，现有一只妈蚁位于 球面； 外壁A处，内壁P处有一米粒，若这只蚂蚁 ⑤用一个平面去截球，得到的截面是一个 要先爬到上口边沿再爬到点P处取得米 圆面 粒，则它所需经过的最短路程为 ◆[考点二]空间几何体的直观图 A.√π2+36 B.π2+16 5.已知正三角形ABC的边长为a,那么 C./4π2+36 D.W/4π2+1 △ABC的平面直观图△A'B'C'的面积为 10.埃及胡夫金字塔是古代 ( 世界建筑奇迹之一，它 B.32 D.62 16a 的形状可视为一个正四 6.用斜二测画法画出的某平 棱锥，以该四棱锥的高为边长的正方形面 面图形的直观图如图，边 积等于该四棱锥一个侧面三角形的面积， 0 AB平行于y轴，BC,AD 则其侧面三角形底边上的高与底面正方形 平行于x轴.已知四边形ABCD的面积为 的边长的比值为 ( 2√2cm,则原平面图形的面积为 ( A.5-1 B.51 4 2 A.4 cm2 B.4√2cm C.8 cm2 D.8√2cm C.5+1 D.5+1 4 2 58 三0022 宫一数学型 11.圆台的一个底面周长是另 12.长方体ABCD-A1B1CD D 一个底面周长的3倍，轴截 (如图所示)中，AB=3,BC A 面的面积等于392cm2,母 =4,A1A=5,现有一甲壳虫 D 线与轴的夹角是45°，求这个圆台的高、母 从A出发沿长方体表面爬 线长和两底面半径 行到C,来获取食物，试画出 它的最短爬行路线，并求其路程的最小值， 新题快递 1.如图所示，在正三棱柱ABC A -A1BC1中，AB=2,AA =2,由顶点B沿棱柱侧面 (经过棱AA,)到达顶点C1, 与AA1的交点记为M,则从点B经点M到 C的最短路线长为 (） A.2√2 B.2√5 C.4 D.45 2.棱台的上下底面面积分别为4和9，则这个 棱台的高和截得棱台的原棱锥的高的比是 《益智欢乐谷 某学生本科读的重大，硕 士读的浙大，博士读的北大， 毕业证上校长栏统统盖的林 建华的章」 找工作的时候，面试官： “同学，造假也要专业一点，你 就不能多刻几个章？”（林建华先后任重大、浙 大、北大的校长) 59